Tien luong ngoc

Một số toán giải phương pháp đếm theo hai cách Lương Ngọc Tiến THPT Nguyễn Trãi, TX Ninh Hòa, Khánh Hòa Bài tốn tổ hợp xuất nhiều lĩnh vực toán học túy, đặc biệt đại số, lý thuyết xác suất, tô pô, hình học, lý thuyết tối ưu, khoa học máy tính, Trong toán sơ cấp, toán tổ hợp đóng vai trò quan trọng, có mặt hầu hết kì thi: Học sinh giỏi cấp, vơ địch Tốn nước, Olympic Tốn Quốc Tế, Bài viết xin giới thiệu cách tiếp cận phương pháp thường sử dụng tốn tổ hợp phương pháp đếm theo hai cách Mở đầu Đếm theo hai cách gì? Đếm theo hai cách phương pháp chứng minh phổ biến Tổ hợp, chứng minh hai biểu thức cách hai biểu thức kết hai cách đếm khác tập hợp Đếm theo hai cách kĩ thuật chứng minh phổ biến sử dụng nhiều lý thuyết tổ hợp, đồ thị, số học, đại số, .Nói cách nơm na, đếm theo hai cách việc xem xét ma trận thích hợp sau ta tính tổng số phần tử ma trận theo hai cách khác Đầu tiên tổng theo dòng tổng phần tử dòng thứ hai tổng theo cột tổng phần tử cột Phương pháp đếm theo hai cách không sử dụng để chứng minh đẳng thức tổ hợp mà sử dụng toán bất đẳng thức tổ hợp, cực trị tổ hợp, tồn hai không tồn tại, Rất nhiều kết tảng toán học hệ đếm theo cách như: Bổ đề bắt tay (Handshaking Lemma), Tính nhân hàm Euler, Điều quan trọng phương pháp đếm theo hai cách phải xác định ta cần phải đếm ? Trong viết này, thơng qua số tốn cụ thể, chúng tơi giới thiệu số kĩ thuật sử dụng phương pháp đếm theo cách để giải số kiểu toán sau: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp Bài toán cực trị tổ hợp Bài tốn tồn hay khơng tồn Đặc biệt viết, sử dụng kĩ thuật đếm theo hai cách thông qua ma trận liên thuộc vào nhiều toán Đây kĩ thuật hay giúp giải nhiều toán tổ hợp khó, cho nhiều lời giải đẹp Các kết bổ trợ cho phương pháp đếm theo hai cách Mệnh đề Số tập gồm k phần tử tập hợp có n phần tử là: n k Mệnh đề Qui tắc cộng: Nếu A1 , A2 , An với Ai ∩ Aj = ∅, i, j ∈ {1, 2, , n}, i = j, |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | 174 Mệnh đề Nếu A1 , A2 , , An tập hợp hữu hạn A1 × A2 × · · · × An tích Đề n tập hợp |A1 × A2 × · · · × An | = |A1 | × |A2 | × · · · × |An | Mệnh đề Cho A = (aij )là ma trận cỡ m × n Gọi Ri tổng phần tử dòng thứ i, Cj m n Ri = tổng phần tử cột thứ j Khi đó: i=1 Cj j=1 Mệnh đề ChoA ma trận cỡ m × n phần tử tùy ý Cj tổng phần tử cột thứ j Giả sử dòng có t cột chứa số hai dòng Khi đó: t m n = j=1 Cj Chứng minh Gọi T tập tất cặp số nằm cột Ta đếm số phần tử T theo cách: Đếm theo dòng: dòng cho ta t cặp số 1, từ suy có tất t m2 cặp số Đếm theo cột: Cj tổng phần tử cột thứ j nên suy có Cj số cột thứ j nghĩa có Cj n cặp số Vì có tất n cột nên có j=1 Cj cặp số Mệnh đề Cho A = (aij ) ma trận cỡ m × n Gọi Ri tổng phần tử dòng thứ i, Cj m n a ij = m tổng phần tử cột thứ j Khi Ri > với ≤ i ≤ mthì: i=1 j=1 Ri Tương tự, Cj > với ≤ j ≤ n thì: n m aij = n Chứng minh Ta có j=1 i=1 Cj m n m aij = i=1 j=1 Ri i=1 Ri m n aij j=1 = i=1 Ri Ri m = = m i=1 Mệnh đề Cho A = (aij )là ma trận cỡ m × n phần tử 0, 1.Ri tổng phần tử dòng thứ i, Cj tổng phần tử cột thứ j cho Ri > với ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n Nếu Cj ≥ Ri aij = 1, m ≥ n Chứng minh Khi aij = 1, 1 aij aij Cj ≥ Ri ⇔ ≥ ⇔ ≥ với ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n Từ kết mục 1.6, ta có: Ri Cj Ri Cj m n a n m a ij ij m= ≥ = n R C i i=1 j=1 j=1 i=1 j 3.1 Một số toán sử dụng phương pháp đếm theo hai cách Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài toán (Hằng đẳng thức Pascal) Chứng minh rằng, với n ≥ 2, ≤ k ≤ n Ta có n k = n−1 n−1 + Nhận xét Vế trái đẳng thức số tập gồm k phần tử tập k k−1 có n phần tử, điều gợi ý cho đếm số tập gồm k phần tử theo cách khác Xét tập X = {x1 , x2 , , xn }, tập gồm k phần tử X gồm loại: khơng chứa phần tử xi có chứa phần tử xi Ta giải toán cụ thể sau: 175 Giải Xét tập hợp X = {x1 , x2 , , xn } Ta đếm số tập gồm k phần tử X n cách Cách 1: Số tập gồm k phần tử X (1) Cách 2: Tập gồm k phần tử X k gồm loại: - Loại 1: Không chứa phần tử x1 Tập gồm k phần tử X không chứax1 phải n−1 lấy tập X\ {x1 } Do số tập cần tìm - Loại 2: Có chứa phần tử x1 k Để chọn tập gồm k phần tử X có chứa phần tử x1 , ta việc chọn thêm k − phần tử n−1 n−1 n−1 từ tập X\ {x1 }, số tập cần tìm Vậy X có tất + tập k−1 k k−1 n n−1 n−1 có k phần tử (2) Từ (1) (2) ta có: = + k k k−1 Bài toán (Đẳng thức Vandermode) Cho m, n, r số tự nhiên thỏa r ≤ {m, n} Chứng r m n m+n Nhận xét Vế trái đẳng thức số tập minh rằng: = k r−k r k=0 gồm r phần tử tập có m + n phần tử, điều gợi ý cho đếm số tập gồm r phần tử theo cách khác Nhìn vào vế phải ta lại thấy có xuất tập gồm k phần tử tập m phần tử tập gồm r - k phần tử tập n phần tử điều gợi ý cho xây dựng tập gồm r phần tử mà có k phần tử từ tập m phần tử r - k phần tử từ tập có n phần tử Giải Vế trái đẳng thức số tập gồm r phần tử tập A có m + n phần tử Ta đếm số tập có r phần tử A cách sau: Cách 1: Vì tập A có m + n phần tử m+n nên A có tập gồm r phần tử Cách 2: Ta chia tập A thành tập rời A1 A2 r tương ứng có số phần tử m n Từ A1 ta chọn k phần tử, từ A2 ta chọn r - k phần tử m n Khi số cách chọn r phần tử từ tập A là: Cho k chạy từ đến r ta tổng số k r−k r n m cách chọn tập gồm r phần tử từ tập A là: k r−k k=0 Tổng quát toán trên: Chon, x, y, ki (i= 1, y) số tự nhiên Khi ta có đẳng n x n n n  y  = (y + 1)n thức k x − k2 ky x j k1 ,k2 , ,ky =0 k1 j=1 n Bài toán Chứng minh k=0 k2 = n(n + 1)(2n + 1) Nhận xét Tổng chứng minh phương pháp khác đơn giản hơn, sau xin nêu cách chứng minh sử dụng phương pháp đếm theo cách Giải Ta xét tốn sau Có n + người (khác tuổi) muốn xem buổi biểu diễn Có vé vào nhà hát, gồm vé loại vé loại (phân biệt) Muốn phân phối vé cho người theo qui tắc sau: (1) Vé loại phải cho người lớn tuổi (trong số người phân phối vé) (2) Người nhận vé loại không nhận hai vé loại 2, vé loại phân phối cho người Ta đếm số cách phân phối vé cho người theo cách: Cách Phân vé cho người phân vé cho người 176 - Phân vé cho người: Vì người lớn nhận vé loại 1, vé lại cho người lại (có n+1 cách phân vé loại cho người), nên số cách phân phối trường hợp là: - Phân vé cho người (vé loại cho người lớn tuổi, vé loại cho người lại): Số cách n+1 phân phối trường hợp là: n(n + 1)(2n + 1) n+1 n+1 Vậy tổng số cách phân phối vé thỏa yêu cầu toán là: + = (1) Cách 2: Ta xếp n + người theo thứ tự tăng dần tuổi: a1 , a2 , , an+1 Ta phân phối vé theo cách sau: - Phân vé loại cho a1 , dễ thấy khơng thể làm Vậy có × cách - Phân vé loại cho a2 , có cách phân phối vé loại cho a1 Vậy có × cách - Phân vé loại cho a3 , có A22 + = × cách phân phối vé loại cho a1 , a2 Vậy có × cách - Phân vé loại cho a4 , có A23 + = × cách phân phối vé loại cho a1 , a2 Vậy có × cách - - Phân vé loại cho an+1 , có A2n +n = n×n cách phân phối vé loại cho a1 , , an Vậy có n × n cách Tổng số cách trường hợp là: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n k (2) k=0 Từ (1) (2) ta có: Bài tốn Chứng minh rằng:(n + 1) n k = (k + 1) n+1 k+1 Nhận xét Khác với tốn n , số cách thực thực công việc k n gồm cơng đoạn: cơng đoạn gồm (n + 1)cách thực hiện, công đoạn gồm cách k thực Từ gợi đến suy nghĩ xét cặp (x, A), với x thuộc tập gồm (n + 1)phần tử A tập gồm k phần tử tập có n phần tử trước, vế trái đẳng thức tích (n + 1)và Giải Ta xét tập X = {1, 2, , n + 1}, x phần tử X Ta đếm cặp (x, A)(khơng phân biệt thứ tự), A tập có k phần tử X\ {x} Cách 1: Ta n n có n + cách chọn x cách chọn tập A, có tất (n + 1) cặp (x, A) Cách 2: k k Ta lấy tập A’ X có k + phần tử, sau từ A’ ta chọn phần tử x Khi ta n+1 cặp (x, A) với x ∈ X Ta thấy có cách lấy tập A’ k + cách lấy x Do số cách chọn k+1 n+1 cặp (x, A) (k + 1) k+1 Bài toán (IMO - 1987 ) Gọi pn (k) số hoán vị tập A = {1, 2, , n} , n ≥ 1, có n k điểm bất động (tức pn (i) = i) Chứng minh rằng: k.pn (k) = n! k=0 Nhận xét pn (k) số hoán vị tập A có k điểm bất động, k.pn (k)gợi cho đếm số cặp (x, p) với p hoán vị A x phần tử bất động p 177 Giải Ta đếm số cặp(x, p) với p hoán vị A x phần tử bất động p Cách 1: Với phần tử x ta có (n − 1)! hốn vị A nhận x làm điểm bất động, có tất n(n − 1)! = n! cặp (x, p) Cách 2: Mỗi hốn vị p A có k điểm cố định có k cặp (x, p), tổng số cặp n k.pn (k) (x, p) là: k=0 Trong toán từ đến 5, ta thấy để chứng minh đẳng thức tổ hợp, ta thường dựa vào thông tin đẳng thức cần chứng minh để suy luận ngược, từ xác định mục tiêu phải đếm Sau số tốn tổ hợp dạng đẳng thức tường minh Bài toán Trong câu lạc bộ, thành viên thuộc vào tổ chuyên môn Mỗi tổ chuyên mơn có thành viên Chứng minh số thành viên số tổ chuyên môn Nhận xét Bài tốn ví dụ điển hình cho kĩ thuật dùng ma trận liên thuộc chúng tơi nói phần đầu viết Ta giả sử câu lạc có m thành viên n tổ chuyên môn, ta xếp thành viên theo hàng dọc từ xuống, xếp tổ chuyên môn theo hàng ngang từ trái qua, ta thu bảng hình vng ta gọi ma trận có m dòng n cột Vấn đề kĩ thuật xây dựng ma trận phần tử cho ttheo qui luật Thường toán dạng ta dùng số 0, để mô tả mối quan hệ tốn, để giải tốn ta dựa tính chất phân bố Trong toán 6, ta gọi Cj tổ chuyên môn, Ri thành viên Ta xây dựng ma trận sau: thành viên i thuộc vào tổ chun mơn j ta định nghĩa aij = cho trường hợp ngược lại C1 C2 C3  R1 1 R2  0 1 R3  1 1  Rm 1 Cn  1  0  1 Giải Gọi m, n số thành viên số tổ chuyên môn câu lạc Ta xét bảng (ma trận) m × n, dòng biểu diễn thành viên cột biểu diễn tổ chuyên môn Nếu người thứ i thuộc vào tổ chuyên môn j , ta đặt số 1, khơng đặt số Vì thành viên thuộc tổ chuyên môn nên dòng có số 1, tổ chun mơn có thành viên nên cột có số Từ suy Ri = với i Cj = với j Bài toán Gọi F(S) họ tập tập hữu hạn S, với x ∈ S ta kí hiệu d(x) số tập thuộc F(S)chứa x Chứng minh rằng: d(x) = |A| x∈S A∈F(S) Giải Ta xét ma trận gồm |S| dòng |F(S)| cột, phần tử ma trận cho sau Ta định nghĩa phần tử ma trận sau: • aij = phần tử xi S thuộc vào tập Aj F(S) • aij = phần tử xi S không thuộc vào tập Aj F(S) 178 A1 A2  x1 x2  0  1  xm An  1  0   Ta thấy d(x) số số dòng thứ i, |A| số số cột thứ j Bài tốn 15 học sinh tham gia khóa học mùa hè Mỗi ngày, học sinh phải trực nhật sau học Sau khóa học, cặp học sinh trực nhật lần Hỏi khóa học kéo dài bao nhiều ngày ? Nhận xét Rất tự nhiên, ta gọi số ngày khóa học số k Vì ngày có học sinh trực nên tồn khóa học có k cặp học sinh tham gia trực nhật Mặt khác có tổng 15 cộng 15 học sinh nên có cặp học sinh Từ ta dẫn đến kết tốn Giải Gọi k số ngày khóa học Ta đếm số cặp học sinh theo cách 15 Cách 1: Lớp học có 15 học sinh nên có cặp phải tham gia trực nhật Cách 2: Mỗi ngày có học sinh tham gia trực nhật nên tổng số cặp học sinh tham gia trực nhật khóa 3 15 k Từ cách đếm ta được: k = ⇔ 3k = 105 ⇔ k = 35 2 Bài tốn tổng qt sau: Một khóa học có m học sinh Mỗi ngày có n học sinh tham gia trực nhật n ≤ m Sau khóa học người ta thấy cặp học sinh trực nhật k lần Hỏi khóa học kéo dài bào nhiêu ngày Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp, tìm cực trị tổ hợp Để bắt đầu, xét ví dụ đơn giản sau: Cho A, B tập hợp hữu hạn có số phần tử tương ứng m, n, gọi p số phần tử A ∪ B Nếu chúng rời (hình 1), ta có m + n = p Đẳng thức thu chẳng qua hệ việc đếm số phần tử A ∪ B theo hai cách Ta đặt câu hỏi tự nhiên là: A B khơng rời (hình 2) đẳng thức có khơng? Ta trả lời câu hỏi phương pháp đếm Trước hết ta thấy m + n tổng phần tử A B Mặt khác A ∩ B = ∅ nên chúng có phần tử chung Điều có nghĩa A ∪ Bphải có số phần tử số phần tử A B cộng lại, ta có m + n > p Qua ví dụ ta thấy phương pháp đếm theo hai cách sử dụng vào toán bất đẳng thức tổ hợp, cực trị tổ hợp Rất nhiều toán bất đẳng thức tổ hợp, cực trị tổ hợp giải nhờ vào phương pháp đếm theo hai cách Sau số tập minh họa 179 Bài toán Cho số nguyên dương m,n m ≥ n > Cho F1 , F2 , , Fk tập gồm n phần tử {1, 2, 3, , m} cho Fi ∩ Fj có nhiều phần tử, ≤ i < j ≤ k Chứng minh m(m − 1) rằng: k ≤ n(n − 1) Giải Gọi S tập tất tập có phần tử {1, 2, 3, , m} Khi |S| = m Mỗi m phần tử S tập Fi Vì |Fi ∩ Fj | ≤ nên khơng có phần tử S tập tập Fi Fj Điều có nghĩa n m k ≤ 2 tập Fi gồm có n phần tử nên có Bài tốn 10 (IMO - 1989) Cho n k số nguyên dương, S tập n điểm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện: (1) Khơng có điểm S thẳng hàng (2) Với điểm P S, có k điểm S mà khoảng cách đến P √ Chứng minh rằng: k < + 2n (1) k(k − 1) + Vì n, k số k(k − 1) k ⇔n−1≥ nguyên dương nên bất đẳng thức tương đương với: n − ≥ (2) 2 n Đặt S = {A1 , A2 , , An } Có đoạn thẳng tạo thành từ tập S (3) Mặt khác, điểm S, có k điểm cách Chẳng hạn từ A1 ta vẻ đường tròn có tâm A1 bán kính khoảng cách từ A1 đến k điểm cách Khi có k Giải Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại với n > dây cung (mỗi dây cung đoạn thẳng tạo tành từ tập S) Tiếp tục thực cho điểm lại ta có n k dây cung Nhưng đường tròn có nhiều dây cung chung nên số dây cung k n là: n − (4) Từ (3) (4) ta suy ra: 2 k n n k n − ≤ ⇔ n−1≤ 2 2 Bài tốn 11 Trong kì thi có 11 học sinh tham gia giải toán Hai thí sinh bất kì, có khơng q mà hai người làm Giả sử k số nguyên dương thỏa mãn toán có k thí sinh giải Chứng minh k ≤ Giải Ta kí hiệu S tất cặp thí sinh mà giải tốn Theo 11 giả thiết học sinh làm khơng q tốn Vì |S| ≤ 180 Bây ta đếm theo toán Cố định i ∈ {1, 2, , 9} Ta kí hiệu xi số người giải xi toán thứ i Đối với tốn thứ i có cặp học sinh giải Do đó: xi |S| = i=1 9 xi 11 Do ta có đánh giá: ≤ ⇔ (x2i − xi ) ≤ 110 2 i=1 i=1 Giả sử k số thỏa mãn yêu cầu tốn Khi xi ≥ k Do ta có 9(k − k) ≤ 110và ta suy được: k ≤ Ta k = không thỏa mãn Giả sử k = , tồn i mà xi ≥ thì: (x2i − xi ) ≥ 52 − + × (42 − 4) > 110, mâu thuẫn i=1 11 − Do tồn thí sinh không giải Vậy nên k ≤ Vậy xi = với i Khi |S| = 54 = n − ≤ Bài toán 12 Một thi Olympic Tốn có tổng cộng m tốn, có học sinh tham gia thi Mỗi toán làm học sinh cặp học sinh làm chung số giống Xác định giá trị nhỏ m cặp học sinh tham gia giải giả sử cặp học sinh làm chung k tốn Vì tổng cộng có học sinh nên có tất 8 cặp học sinh Vậy ta có đẳng thức: m =k ⇔ 28k = 6m 2 Từ ta suy 14 ước m hay m ≥ 14 Ta kí hiệu học sinh theo thứ tự từ đến Khi với m = 14, ta có mơ tả sau: Giải Mỗi tốn làm học sinh tốn có {1, 2, 3, 4} , {3, 4, 5, 6} , {5, 6, 7, 8} , {1, 2, 7, 8} , {1, 2, 5, 6} , {2, 3, 6, 7} , {3, 4, 7, 8} {1, 4, 5, 8} , {1, 3, 5, 7} , {2, 4, 6, 8} , {1, 3, 6, 8} , {2, 3, 5, 8} , {2, 4, 5, 7} , {1, 4, 6, 7} Vậy giá trị nhỏ m 14 Chứng minh tồn tại, khơng tồn Ngồi việc sử dụng toán chứng minh đẳng thức tổ hợp, bất đẳng thức tổ hợp, cực trị tổ hợp, Phương pháp đếm theo hai cách sử dụng tốn chứng minh tồn tại, không tồn Sau số tập minh họa Bài toán 13 Cơ sở liệu tạp chí thư viện Quốc Gia có 2016 loại khác Thư viện cho phép 2013 thư viện đại phương kết nối để khai thác sở liệu tạp chí Biết thư viện địa phương phép khai thác 1008 loại tạp chí khác thư viện địa phương có tối đa 504 loại tạp chí mà thư viện địa phương phép khai thác Chứng minh khơng có q loại tạp chí sở liệu thư viện Quốc Gia mà 2013 thư viện địa phương khai thác Giải Ta kí hiệu X1 , X2 , , X2013 đầu tạp chí mà thư viện thứ nhất, thứ hai, , thứ 2013 truy cập vào Đặt X = i = 12013 Xi = {x1 , x2 , , xn } |Xi | ≥ 1008 181 |Xi ∩ Xj | ≤ 504 với i = j Với i = 1, 2, , n ta kí hiệu di số thư viện mua đầu tạp chí xi Đếm số (tạp chí, thư viện địa phương mua tạp chí đó) theo hai cách ta được: 2013 t = d1 + d2 + · · · + dn = |Xi | ≥ 2013 × 1008 Mặt khác ta kí hiệu S họ tạp chí xi i=1 n hai thư viện mua tạp chí Đếm theo tạp chí cho ta: |S| = i=1 di t2 −t ≥ n Đếm 2013 theo cặp thư viện cho ta: |S| = |Xi ∩ Xj | ≤ 504 × Thành ta nhận được: 1≤i,j≤2013 2013 × 1008 2013 × 1008 2013 × 1008 2013 × 2012 ≥ × −1 ⇔n≥ 504 × 2 n 1007 Vậy n > 2014 hay n ≥ 2015 Nhận xét Bài tốn có nguồn gốc từ tốn tập hợp sau n Kí hiệu A1 , A2 , , , , Ak tập tập hợp {1, 2, , n}, tập có phần tử n kn n với tập có chung không phần tử Chứng minh rằng: | i = Ai | ≥ k+1 Bài toán 14 Cho bảng hình vng gồm dòng cột Mỗi ô vuông tô màu đỏ màu xanh Chứng minh tồn dòng (khơng thiến liên tiếp) cột (không thiết liên tiếp) cho chúng giao cho hình vuông màu Giải Ta chứng minh phản chứng tốn Giả sử khơng tồn dòng cột mà hình vng giao khơng màu Kí hiệu I = {ri , rk }là cặp dòng bất kỳ, j cột bảng hình vng Ta kí hiệuX (I, j) tập hình vng tạo thành từ cột j dòng ri , rk Ta đếm số hình vng có màu giống X (I, j) Đếm theo cột: Vì cột có hình vng có màu tơ nên cột có hình vng phỉa màu Vì có cột nên ta suy ra: |X (I, j)| ≥ (1) Đếm theo dòng: Theo giả thiết phản chứng, ta suy cặp dòng có nhiều cặp hình vng (trên cột) màu đỏ nhiều cặp hình vng (trên cột ) có màu xanh Hay ta có khơng q cặp hình vng màu cặp dòng Từ suy ra: |X (I, j)| ≤ × = (2) Từ (1) (2) ta có: |X (I, j)| ≤ < ≤ |X (I, j)|, mâu thuẫn Bài toán 15 17 học sinh tham gia thi giải tốn gồm có tốn Biết tốn có 11 học sinh giải Chứng minh có học sinh giải toán Giải Giả sử không tồn học sinh giải toán Ta xét ma trận gồm 17 dòng cột, cột ma trận P1 , P2 , , P9 tương ứng với tốn, dòng ma trận h1 , h2 , , h17 tương ứng với 17 học sinh Gọi aij phần tử cột i dòng j Ta định nghĩa aij sau: aij = học sinh hi giải toán Pj ; aij = học sinh hi khơng giải tốn Pj Ta đếm số cặp số cột ma trận Cách 1: Vì học sinh giải toán nên cột có số 0, có tất = 135cặp số cột Bài toán 16 (IMC - 2002) 200 học sinh tham dự thi Olympic Tốn Cuộc thi có toán Sau kết thúc thi, người ta thấy tốn có 120 học sinh làm Chứng minh có học sinh cho tốn hai người làm 182 Giải Ta xét ma trận gồm dòng (mỗi dòng xem toán) 200 cột (mỗi cột xem học sinh) Ta định nghĩa phần tử ma trận sau: Với toán thứ j, học sinh thứ i làm phần tử tương ứng với dòng i cột j ta ghi 1, ghi cho trường hợp ngược lại Gọi S tập cặp số dòng Ta đếm số phần tử S theo cách Đếm theo cột: Giả sử không tồn học sinh mà tốn học sinh làm Nghĩa với cặp học sinh có tốn mà khơng làm Do với 200 cặp cột, có cặp số (mỗi số cột), |S| ≥ = 19900 Đếm theo dòng: Mỗi tốn giải 120 học sinh, điều có nghĩa có nhiều 80 số 80 dòng Suy dòng có nhiều cặp số Vì ma trận có dòng nên ta có 80 |S| ≤ = 18960 Từ cách đếm ta suy 19900 ≤ |S| ≤ 18960 Điều vơ lí Vậy phải có học sinh cho toán hai học sinh làm Kết luận Tốn học mn màu mn vẻ, tốn chứa đựng bên hay, khó riêng, người học tốn phải tự tìm cho phương pháp tiếp cận theo cách họ Bài viết thể góc nhìn lớp tốn định Chúng tơi mong nhận góp ý quan tâm đến lĩnh vực Phần cuối viết, xin đưa số tập dành cho muốn tìm hiểu thêm vấn đề 6.1 Một số tập đề nghị Bài tập Chứng minh đẳng thức sau với m, n, k số nguyên dương (bằng phương pháp đếm theo cách) n k−1 k n−1 n m m−k n + k m+k + + + = + 2n−k = 2m+n+1 k−1 k−1 k−1 k k=0 k k k=0 k+1 n n k n+k−1 n 2n i = n = φ(d) = n (φ(d)là hàm Phi Euler) i i − k k n d/n i=1 k=0 n k=1 n+k−1 2k − = F2n (Fk số Fibonaci thứ k) Bài tập Gọi F(S) họ tập tập hữu hạn S, với x ∈ S ta kí hiệu d(x) số tập thuộc F(S)chứa x Chứng minh rằng: (d(x))2 = |A ∩ B| x∈S A∈F(S) B∈F(S) k n Ck Cn+k m+k + Bài tập (VMO - 2004) Cho trước số nguyên dương m, n Tính T = n+k m+k k=0 k=0 m n Bài tập Chứng minh rằng: [(n−k)/2] 2k Cnk Cn−k n = C2n+1 , ∀n ∈ Z + k=0 Bài tập Tại trường học có 2007 học sinh nam 2007 học sinh nữ, học sinh không tham gia nhiều 100 câu lạc trường Biết học sinh khác giới tính tham gia chung câu lạc Chứng minh có câu lạc có 11 học sinh nam 11 học sinh thành viên Bài tập (Bulgari - MO 2006) Một quốc gia có 16 thành phố 36 tuyến bay nối chúng Chứng minh tổ chức chuyến bay vòng quanh thành phố 183 Bài tập (IMO - 1998) Trong thi tốn quốc tế có m thí sinh n vị giám khảo, n số lẻ n ≥ Một giám khảo đánh giá thí sinh thơng qua mức: Đạt Chưa đạt Giả sử k số nguyêm dương thỏa mãn với giám khảo đánh giá họ trùng n−1 k ≥ với nhiều k thí sinh Chứng minh rằng: m 2n Bài tập (IMO Shortlist 1986) Cho số có 100 chữ số tạo thành từ chữ số 1, Ta xếp chữ số thẳng theo hàng đơn vị, chục, trăm, Biết số số có r hàng giống hàng sau xếp có đủ chữ số 1, Chứng minh rằng: 40 ≤ r ≤ 60 Bài tập có xe đặt bàn cờ có kích thước n × n cho xe bị ăn tối đa xe khác Bài tập 10 Giả sử A = [aij ]n×n ma trận cở n × n gồm phần tử số tập {1, 2, 3, , n} Chứng minh cách đổi cột A để lập ma trận B = [bij ]n×n cho K(B) ≤ n , K(B)là số phần tử tập hợp {(i, j) : bij = j} Tài liệu tham khảo [1] Các đề thi vơ địch tốn, olympic nước, olympic quốc tế [2] Yufei Zhao, Counting in two ways, MOP 2007 Black Group [3] Stasys Jukna, Extremal Combinatorics, Springer [4] Một số tài liệu từ diễn đàn toán học internet 184