Chung ng tai

Giới hạn dãy số sinh tổng Nguyễn Tài Chung THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai Giới hạn dãy số sinh tổng 1.1 Một số lưu ý +∞ Định nghĩa Cho dãy số (xn )+∞ n=1 Xét dãy số (Sn )n=1 sau: n xi , tức Sn = x1 + x2 + · · · + xn Sn = i=1 Khi dãy số (Sn )+∞ n=1 gọi dãy tổng Nhận xét Đối với dãy số (xn ) có dạng xn+1 = f (x1 + x2 + · · · + xn ), cách đặt Sn = x1 + x2 + · · · + xn , ta đưa dãy số {Sn }+∞ n=1 sau: S1 = x1 , Sn+1 = Sn + f (Sn ) Chú ý Vấn đề xét hội tụ hay phân kì dãy tổng đề cập nhiều chương trình tốn cao cấp, nhiên ta xét vấn đề sơ cấp tìm giới hạn số dãy tổng thường gặp kỳ thi học sinh giỏi trung học phổ thông 1.2 Phương pháp tìm giới hạn dãy tổng Ta thường dùng phương pháp sau đây: • Rút gọn tìm số hạng tổng quát dãy số (Sn ) (đây dạng toán thường gặp kỳ thi HSG) • So sánh dãy số (sử dụng nguyên lý kẹp) • Sử dụng dãy kề • Chuyển dãy tích Chú ý Nếu dãy (xn ) cho hệ thức truy hồi (chẳng hạn toán trang 47, toán trang 48 ) ta thường làm sau: • Chứng minh lim xn = +∞ lim xn = −∞ cách dãy (xn ) tăng không n→+∞ n→+∞ bị chặn dãy (xn ) giảm khơng bị chặn • Rút gọn tổng Sn , từ tìm lim Sn n→+∞ n Chú ý Để rút gọn tổng Sn = xi , ta thường biến đổi i=1 n Sn = n (αi − αi+1 ) = α1 − αn+1 xi = i=1 i=1 46 1.3 Các toán dãy sinh tổng rút gọn Bài tốn Xét dãy (un ) sau: un = 2n + , ∀n ∈ N∗ Tìm + 1)2 n2 (n lim (u1 + u2 + · · · + un ) n→+∞ Giải Ta có uk = 2k + 1 = 2− , ∀k = 1, 2, + 1) k (k + 1)2 k (k Do 1 + − 2 2 =1− (n + 1)2 u1 + u2 + · · · + un = 1− + ··· + 1 − n (n + 1)2 Bởi lim (u1 + u2 + · · · + un ) = lim n→+∞ n→+∞ Bài toán Xét dãy (xn ) sau: xn = n→+∞ k=2 Bài tốn Tính lim n→+∞ xk biết: xn = ln 1+ = (n + 1)2 n n , ∀n = 1, 2, Tìm lim xk n→+∞ k=1 (2n − 1)2 (2n + 1)2 n Bài tốn Tính lim 1− n3 − , ∀n = 2, 3, n3 + 1 1 + + ··· + 1+2 1+2+3 + + ··· + n Bài toán [Đề nghị Olympic 30/04/2013] Cho a số thực dương dãy (xn ) xác định bởi: xn , ∀n ∈ ∗ x1 = , xn+1 = 2 2a + axn + a xn + 4axn n Đặt Sn = xk Tìm lim Sn k=1 n→+∞ Bài tốn Cho số thực a > Xét dãy số (un ) sau: u1 = a un+1 = u2n − un + 1, ∀n = 1, 2, (1) 1 + + ··· + u1 u2 un Giải Vì a > un+1 = un + (un − 1)2 , ∀n ∈ N∗ nên dễ dàng suy Hãy tìm lim n→+∞ < a = u1 < u2 < · · · < un < un+1 < · · · Từ (1) (2) ta có: un+1 − un (un − 1) 1 1 1 ⇔ = − ⇔ = − un+1 − un − un un un − un+1 − un+1 − = un (un − 1) ⇔ 47 = (2) Từ 1 = − , ∀n = 1, 2, ta có un un − un+1 − 1 1 + + ··· + u1 u2 un 1 1 1 − + − + ··· + − u1 − u2 − u2 − u3 − un − un+1 − 1 1 − = − , ∀n = 1, 2, u1 − un+1 − a − un+1 − = = Trường hợp 1: Dãy (un ) bị chặn Khi dãy (un ) tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Đặt lim un = L Từ (2) suy L > Từ (1) cho n → +∞ ta L = L2 − L + hay n→+∞ L = Điều mâu thuẫn với L > Vậy trường hợp xảy Trường hợp 2: Dãy số (un ) không bị chặn Khi đó: lim un = +∞ ⇒ lim (un+1 − 1) = +∞ n→+∞ Do lim n→+∞ 1 + + ··· + u1 u2 un n→+∞ = lim n→+∞ 1 − a − un+1 − = a−1 n→+∞ a−1 Lưu ý Dãy số (un ) có hệ thức truy hồi un+1 = f (un ), với f (x) = x2 − x + Ta tìm điểm bất động hàm số f cách giải phương trình Vậy lim Sn = f (x) = x ⇔ x2 − x + = x ⇔ x2 − 2x + ⇔ (x − 1)2 ⇔ x = Do vậy, lời giải toán 6, ta xét un+1 − để suy 1 = − , ∀n = 1, 2, un un − un+1 − Từ ta rút gọn tổng cần tính giới hạn Bài tốn [Đề thi thức OLYMPIC 30/04/2006]Cho dãy (xn ) sau: x1 = xn+1 = (x2n − xn + 9), ∀n = 1, 2, (1) n n→+∞ i=1 xi + Tìm lim (xn − 3)2 ≥ 0, ∀n = 1, 2, Suy ra: xn ≥ xn−1 ≥ xn−2 ≥ · · · ≥ x2 ≥ x1 = > Từ (2) (3) suy ra: < = x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 < · · · Ta có: Giải Từ (1) ta có xn+1 − xn = (xn+1 − 3) = x2n − xn − = (xn − 3) (xn + 2) ⇔ = (vì xn ≥ 5) xn+1 − (xn − 3) (xn + 2) 48 (2) (3) (4) Vậy xn+1 − = 1 − , ∀n ∈ N∗ , hay xn − xn + 1 = − , ∀n ∈ N∗ xn + xn − xn+1 − Do n i=1 = = = xi + 1 + + ··· + x1 + x2 + xn + 1 1 1 − + − + ··· + − x1 − x2 − x2 − x3 − xn − xn+1 − 1 1 − = − , ∀n = 1, 2, x1 − xn+1 − xn+1 − Trường hợp 1: Dãy (xn ) bị chặn Khi dãy (xn ) tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Đặt lim un = L Từ n→+∞ = x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < · · · suy L ≥ Từ (1) cho n tiến đến +∞ ta L = (L2 − L + 9) ⇔ L2 − 6L + = ⇔ L = Điều mâu thuẫn với L ≥ Vậy trường hợp xảy Trường hợp 2: Dãy số (xn ) khơng bị chặn Khi (4) nên: lim xn = +∞ ⇒ lim xn+1 = +∞ ⇒ lim n→+∞ n→+∞ Do n lim n→+∞ i=1 n→+∞ = lim xi + n→+∞ 1 − xn+1 − xn+1 − = = 1 − , ∀n ∈ N∗ , sau ta trình bày xn − xn+1 − phương pháp khác so với phương pháp tìm điểm bất động hàm đặc trưng (đã trình bày lưu ý sau tốn trang 47), đưa thêm tham số vào lựa chọn Giả sử Lưu ý Để tìm biểu thức sai phân 1xn + = 1 1 a(xn+1 − xn ) =a − ⇒ = xn + xn + b xn+1 + b xn + (xn + b)(xn+1 + b) ⇒(xn + b)(xn+1 + b) = a(xn + 2)(xn+1 − xn ) ⇒xn xn+1 + bxn + bxn+1 + b2 = a(xn xn+1 − x2n + 2xn+1 − 2xn ) ⇒(2a − b)xn+1 + (a − 1)xn xn+1 = ax2n + (2a + b)xn + b2 (2) So sánh (1) (2), thấy cần phải chọn  a   a − = 0, = a=1 2a − b ⇒ 2a + b b b = −3   =− , = 2a − b 2a − b 1 Như vậy, ta cần chứng minh: 1xn + = − , ∀n ∈ N∗ Qua đây, ta thấy xn − xn+1 − phương pháp sử dụng điểm bất động hàm đặc trưng giúp ta tìm lời giải nhanh so với phương pháp đưa thêm tham số vào lựa chọn 49 Bài toán [Đề thi HSG tỉnh Gia Lai, năm học 2006-2007] Cho dãy {xn }+∞ n=1 xác định sau: x1 = (1) xn+1 = x2n + 3xn + 1, n = 1, 2, 3, n Đặt yn = , ∀n = 1, 2, Tìm lim yn n→+∞ i=1 xi + Bài toán [Đề thi HSG tỉnh Gia Lai-2003]Cho dãy số (un ) sau:   u1 = u2  un+1 = n + un , ∀n = 1, 2, (∗) 2003 Tìm lim n→+∞ un u1 u2 + + ··· + u2 u3 un+1 Bài tốn 10 [Olympic tốn Sinh viên tồn quốc-2010] Cho dãy số {xn } xác định x1 = 1, xn+1 = xn + x2010 , n ≥ n Tìm lim n→+∞ x2010 x2010 x2010 + + ··· + n x2 x3 xn+1 Bài toán 11 Cho số thực a ≥ Xét dãy số {xn } xác định x1 = a xn+1 = xn (1 + x2010 ), n ≥ n Tìm   x2010 x2010 x2010   n lim  √ x2 + √ x3 + · · · + √  x n+1 n→+∞ x2 + √ x3 + √ xn+1 + √ x1 x2 xn Bài toán 12 Xét dãy số {xn }+∞ n=1 sau: x1 = xn+1 = x + , ∀n = 1, 2, n (1) 1 + +···+ Hãy tìm phần ngun S2013 tính giới hạn Sn + x1 + x2 + xn n tăng lên vô hạn Đặt Sn = Bài toán 13 [Đề nghị OLYMPIC 30/04/2004]Từ dãy số (un ) xác định bởi:   u1 = u2 + 2003un  un+1 = n , n ∈ N∗ , 2004 n ta thành lập dãy số (Sn ) với Sn = ui Tìm lim Sn n→+∞ i=1 ui+1 − Bài toán 14 [Đề nghị thi OLYMPIC 30/04/2004] Cho dãy số (Un ) xác định U1 = a (a > cho trước) Un2 − 2004Un+1 + 2003Un = (n = 1, 2, ) n Ui = 2004 n→+∞ i=1 Ui+1 − Tìm a để lim 50 Bài toán 15 Cho dãy số (xn ) (n = 1, 2, ) xác định sau: xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + , ∀n = 1, 2, x1 = 1; xn+1 = n Đặt yn = , ∀n = 1, 2, Tìm lim yn n→+∞ i=1 xi + Bài toán 16 [Đề nghị Olympic 30/04/2011] Dãy số (xn ) xác định sau: x1 = xn+1 = xn (xn + 5) (x2n + 5xn + 8) + 16, ∀n = 1, 2, n Đặt yn = Tìm lim yn n→+∞ i=1 xi + Bài tốn 17 [Đề thi OLYMPIC tốn Sinh Viên tồn quốc năm 2001] Cho hàm số f (x) xác định [1; +∞) thỏa mãn f (1) = a > f (x + 1) = 2001f (x) + f (x), ∀x ∈ [1; +∞) Hãy tính lim n→+∞ f (1) f (2) f (n) + + ··· + f (2) f (3) f (n + 1) Bài toán 18 Cho dãy số (xn ) sau: x1 = a > xn+1 = x2n + xn , ∀n = 1, 2, 1 + + ··· + + x1 + x2 + xn Tìm lim n→+∞ n , biết n→+∞ i=1 xi − Bài tốn 19 Tìm lim x1 = 3; xn+1 = x2n − 3xn + 4, ∀n ∈ N∗ Bài toán 20 [China Girls Math Olympiad-2003]Cho dãy số (an )+∞ n=1 sau: a1 = an+1 = a2n − an + 1, ∀n ∈ N∗ Chứng minh − (1) 2003 1 < < 20032003 i=1 Bài tốn 21 [Olympic Tốn Sinh viên Tồn quốc năm 2007] Cho a, b, c, α số thực thỏa mãn α = c − b Xét dãy số (un ), (vn ) xác định bởi: u1 = a, un+1 = u2n + bun , = c n k=1 uk uk+1 + b − c Biết lim un = α Tìm giới hạn dãy số (vn ) n→+∞ Bài toán 22 Dãy số vô hạn {un }, n = 1, 2, xác định sau: u1 = un+1 = + u1 u2 un , ∀n = 1, 2, n Đặt Sn = Hãy tìm lim Sn n→+∞ k=1 uk 51 Bài toán 23 Cho dãy số (xn )+∞ n=1 sau: x1 = a > xn+1 = x2n − 2, ∀n = 1, 2, 1 1 + + + ··· + x1 x1 x2 x1 x2 x3 x x xn Tìm lim n→+∞ Bài tốn 24 Cho dãy số (xn )+∞ n=1 sau: x1 = a > xn+1 = x2n + 2xn − 2, ∀n ∈ N∗ Tìm 1 + + ··· + + x1 (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + xn ) lim n→+∞ Bài toán 25 Cho m số thực lớn a số thực lớn Xét dãy số (xn ) sau: x1 = a xm+1 + 3xn + 16 xn+1 = n m , ∀n = 1, 2, (1) xn − xn + 11 n , ∀n = 1, 2, Tìm lim yn n→+∞ +7 m+1 x + 3x + 16 Khi Giải Xét hàm số f (x) = m x − x + 11 Đặt yn = m i=1 xi xm+1 + 3x + 16 xm+1 − 4xm + 7x − 28 − = xm − x + 11 xm − x + 11 (x − 4) (xm + 7) xm (x − 4) + (x − 4) = = xm − x + 11 (xm + 7) − (x − 4) f (x) − = Vậy x > (xm + 7) − (x − 4) 1 = = − m m f (x) − (x − 4) (x + 7) x−4 x +7 (2) Từ (2) ta có xn+1 − = 1 1 − m ⇒ m = − xn − xn + xn + xn − xn+1 − Mặt khác với x > xm+1 + 3x + 16 > x ⇔ 3x + 16 > −x2 + 11x xm − x + 11 ⇔ x2 − 8x + 16 > ⇔ (x − 4) > f (x) > x ⇔ Vậy quy nạp theo n ta chứng minh xn > 4, ∀n = 1, 2, a = x1 < x2 < x3 < · · · → +∞ Do n yn = i=1 Suy lim yn = lim n→+∞ n→+∞ = m xi + n i=1 1 − xi − xi+1 − 1 − x1 − xn+1 − = 52 x1 − = 1 − x1 − xn+1 − (3) Bài tốn 26 [Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 403, tháng 1, năm 2011] Xét dãy số (xn ) sau: x1 = x2010 + 3xn + 16 , ∀n = 1, 2, xn+1 = n2009 xn − xn + 11 n Đặt yn = 2009 i=1 xi +7 , ∀n = 1, 2, Tìm lim yn n→+∞ Bài toán 27 [Đề nghị thi Olympic 30/04/2012] Xét dãy số (xn ) sau: x1 = xn+1 = n Đặt yn = 2011 i=1 xi +4 x2012 + 2xn + n , ∀n = 1, 2, 2011 x n − xn + , ∀n = 1, 2, Tìm lim yn n→+∞ Bài tốn 28 [Đề thi thức Olympic 30/04/2012] Cho dãy số (xn ) sau: x1 = xn+1 = x4n + , ∀n = 1, 2, x3n − xn + a) Chứng minh lim xn = +∞ n→+∞ n b) Với số nguyên dương n, đặt yn = k=1 xk Tính lim yn n→+∞ +3 Bài toán 29 Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 3, 01 xn+1 = xn − + x2n + 10xn − , ∀n ∈ N∗ (1) n Với số nguyên dương n, đặt yn = Tìm lim yn n→+∞ i=1 xi+1 − √ x − + x2 + 10x − Giải Xét hàm số f (x) = Ta có f (3) = với x > ta có √ √ x − + x2 + 10x − x − + x2 + 6x + f (x) = > = x 2 Do x1 > nên quy nạp theo n suy xn > 3, ∀n = 1, 2, Từ xn+1 − xn = f (xn ) − xn > xn − xn = Suy 3, 01 = x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < · · · (2) Nếu dãy (xn ) bị chặn từ (2) suy dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn Đặt lim xn = L Từ n→+∞ (2) suy L > 3, 01 Từ (1) cho n → +∞ ta √ √ L − + L2 + 10L − L= ⇔ L + = L2 + 10L − ⇔L2 + 6L + = L2 + 10L − ⇔ L = 53 Đến ta gặp mâu thuẫn Vậy dãy (xn ) không bị chặn Từ (2) suy lim xn = +∞ Từ n→+∞ (1) suy x2n + 10xn − 2xn+1 − xn + = ⇒ (2xn+1 − xn + 3)2 = x2n + 10xn − ⇔4x2n+1 + x2n + − 4xn+1 xn + 12xn+1 − 6xn = x2n + 10xn − ⇔4x2n+1 − 4xn+1 xn + 12xn+1 = 16xn − 12 ⇔x2n+1 − xn+1 xn + 3xn+1 = 4xn − ⇔x2n+1 − = xn+1 xn − 3xn+1 + 4xn − 12 ⇔x2n+1 − = (xn − 3) (xn+1 + 4) xn+1 + xn+1 + + 1 ⇔ = = = + 2 xn − xn+1 − xn+1 − xn+1 − xn+1 − 1 = − ⇔ xn+1 − xn − xn+1 − n ⇒yn = i=1 = xi+1 − i=1 1 − xi − xi+1 − 1 − x1 − xn+1 − ⇒ lim yn = lim n→+∞ n n→+∞ = = 1 − x1 − xn+1 − = 100 x1 − Lưu ý Xét vế phải (1), xây dựng đề toán ta cố tình chọn hệ số xn hệ số x2n cho bước biến đổi rút gọn yn ta giản ước x2n (ở (1) hai hệ số nhau) Bài toán 30 Cho a ∈ R Xét dãy số (un ) sau: u1 = −a4 − 2a2 − un+1 = u2n − 14un + 21 , ∀n ∈ N∗ n = Hãy tính giới hạn i=1 ui+1 − 4ui+1 − un + − Với số nguyên dương n, đặt yn un n→+∞ n (1) lim yn , n→+∞ lim Bài toán 31 Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 2, xn+1 = x2n + 8xn − , ∀n ∈ N∗ xn − + n Với số nguyên dương n, đặt yn = Tìm lim yn n→+∞ −4 i=1 xi+1 Bài toán 32 [HSG Quốc gia-2009]Cho dãy số (xn ) sau: x1 = x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 , ∀n = 2, 3, n có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Chứng minh dãy (yn ), với yn = i=1 xi xn = Bài toán 33 Cho hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (1) = 2011 f (x + 1).f (x) = [f (x)]2 + f (x) − 1, ∀x ∈ R n Đặt S1 = n 1 , S2 = Tìm lim (S1 + S2 ) n→+∞ i=1 f (i) − i=1 f (i) + 54 Bài toán 34 [Đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng A, năm 2004] Xét dãy số {xn }+∞ n=1 sau: x1 = với n = 1, 2, , xn+1 = (2 + cos 2α) xn + cos2 α , (2 − cos 2α) xn + − cos 2α α tham số thực Tìm tất giá trị α để dãy số {yn }, với yn = n , ∀n = 1, 2, có giới hạn hữu hạn n → +∞ Hãy tìm giới hạn dãy số k=1 2xk + {yn } trường hợp Bài toán 35 [Đề nghị Olympic 30/04/2011] Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 2011 xn+1 x2n + (1 − n)xn + n2 + n + , ∀n = 1, 2, = n+1 n Đặt yn = Chứng minh dãy (yn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn k=1 + xk Bài tốn 36 [Đề nghị thi OLYMPIC 30/04/2006] Cho dãy số (an )+∞ n=1 xác định công thức: n an = Cnk −1 , ∀n = 1, 2, Chứng minh lim an = n→+∞ k=0 1.4 Những dãy sinh tổng phải sử dụng đánh giá Bài toán 37 Cho dãy số {un }+∞ n=1 xác định bởi: n un = k=1 (−1)k−1 (∀n = 1, 2, ) k Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n (−1)k−1 1 1 = − + − + · · · + (−1)n−1 Vì Giải Ta có un = k n k=1 2m (−1)k−1 1 1 1 = − + − + − + ··· − k 2m u2m = k=1 1 1 1 + + + + ··· + + 2m − 2m 1 1 + + + ··· + 2m =1+ −2 2m = k=1 m 1 −2 = k 2k k=1 2m k=1 m 2m 1 − = = k k k=m+1 k k=1 m k=1 m+k Ta chứng minh ln(x + 1) < x < − ln(1 − x), ∀x ∈ (0; 1) (*) Xét hàm số: f (x) = x − ln(1 + x), g(x) = x + ln(1 − x) Ta cần chứng minh: với < x < f (x) > g(x) < Ta có f g liên tục [0; 1) x = ≥ 0, ∀x ∈ [0; 1) 1+x 1+x −x g (x) = − = ≤ 0, ∀x ∈ [0; 1) 1−x 1−x f (x) = − 55 Vậy f (x) tăng [0; 1) g(x) giảm [0; 1) Ta có f (0) = g(0) = Do với < x < f (x) > f (0) = g(x) < g(0) = Có nghĩa (∗) chứng minh Do với (k = 1, 2, , m) x= m+k ln m+k+1 m+k−1 < < − ln m+k m+k m+k Vậy ln (m + k + 1) − ln(m + k) < < ln(m + k) − ln (m + k − 1), ∀k = 1, m m+k Do < ln(m + 1) − ln (m), m+1 ln (m + 3) − ln(m + 2) < < ln(m + 2) − ln (m + 1), m+2 < ln(m + 3) − ln (m + 2), ln (m + 4) − ln(m + 3) < m+3 ln (2m + 1) − ln(2m) < < ln(2m) − ln (2m − 1) 2m ln (m + 2) − ln(m + 1) < Cộng lại vế theo vế ta được: m ln(2m + 1) − ln(m + 1) < k=1 ⇔ ln m 2m + < m+1 k=1 ⇔ ln − m+1 Vì lim m→+∞ ln − m+1 = ln 2, < ln(2m) − ln m m+k 2m < ln m+k m m < k=1 < ln m+k lim (ln 2) = ln 2, nên sử dụng nguyên lý kẹp suy m→+∞ m lim m→+∞ k=1 = ln m+k Vậy lim u2m = ln Mặt khác u2m+1 = u2m + m→+∞ nên 2m + 1 = lim u2m m→+∞ 2m + m→+∞ lim u2m+1 = lim u2m + lim m→+∞ m→+∞ Tóm lại lim u2m+1 = lim u2m = ln 2, lim un = ln m→+∞ m→+∞ n→+∞ Bài toán 38 Cho dãy số {un }+∞ n=1 xác định bởi: n (−1)k−1 un = k=1 2k + (∀n = 1, 2, ) k(k + 1) 56 Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 2k + 1 Giải Ta có = + , với n = 1, 2, , ta có: k(k + 1) k k+1 n un = (−1) k−1 k=1 1 + k k+1 n = k=1 n (−1)k−1 (−1)k−1 + k k + k=1 Theo toán 37 trang 55 ta có n lim n→+∞ k=1 (−1)k−1 = ln k Ta có: n k=1 n k=1 Do đó: (−1)k−1 1 1 (−1)n−1 = − + − + ··· + k+1 n+1 (−1)k−1 1 1 (−1)n−1 = − + − + − ··· + k n n lim n→+∞ k=1 n (−1)k−1 (−1)k−1 = lim − n→+∞ k+1 k k=1 Bởi lim un = ln + − ln = n→+∞ 57 = − ln  ... b 1 Như vậy, ta cần ch ng minh: 1xn + = − , ∀n ∈ N∗ Qua đây, ta thấy xn − xn+1 − phư ng pháp sử d ng điểm bất đ ng hàm đặc tr ng giúp ta tìm lời giải nhanh so với phư ng pháp đưa thêm tham số... Bài tốn 36 [Đề nghị thi OLYMPIC 30/04/2006] Cho dãy số (an )+∞ n=1 xác định c ng thức: n an = Cnk −1 , ∀n = 1, 2, Ch ng minh lim an = n→+∞ k=0 1.4 Nh ng dãy sinh t ng phải sử d ng đánh giá Bài... 1 − , ∀n ∈ N∗ , sau ta trình bày xn − xn+1 − phư ng pháp khác so với phư ng pháp tìm điểm bất đ ng hàm đặc tr ng (đã trình bày lưu ý sau tốn trang 47), đưa thêm tham số vào lựa chọn Giả sử Lưu