TH2 e4 NamTND ly thuyet tro choi

- Chun đề tốn trò chơi - LÝ THUYẾT TRỊ CHƠI Trần Nguyễn Đình Nam Trường THPT Chuyên Quốc Học – Huế TÓM TẮT Trong viết này, khái niệm tốn trò chơi khơng định nghĩa Ta hiểu tốn trò chơi gồm tập trạng thái chịu tác động người chơi mà bước thay đổi trạng thái theo quy tắc cho trước, ta sử dụng cơng cụ phương pháp tốn học để phân tích cấu trúc, trạng thái quy tắc trò chơi nhằm hoạch định chiến lược kết thúc trò chơi Thường hay gặp loại trò chơi người trò chơi hai người Phần đầu viết tập trung mô tả tốn trò chơi đưa số ví dụ minh họa Phần lại nêu số phương pháp để tiếp cận loại toán GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Trong viết này, khái niệm tốn trò chơi khơng định nghĩa Ta hiểu tốn trò chơi gồm tập trạng thái chịu tác động người chơi mà bước thay đổi trạng thái theo quy tắc cho trước, ta sử dụng cơng cụ phương pháp tốn học để phân tích cấu trúc, trạng thái quy tắc trò chơi nhằm hoạch định chiến lược kết thúc trò chơi * Đối với trò chơi người: - Người chơi phải cố gắng tuân theo quy tắc để đưa từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối nêu đề Đơi loại trò chơi người phát biểu dạng khác * Đối với trò chơi hai người: - Loại thường gặp thường có cấu trúc sau: hai người thay phiên lần lượt, người A trước luật chơi giống cho A B Đương nhiên, trận đấu hòa xảy Ta gọi M tập hợp cách luật, P tập hợp trạng thái Tập P phân thành tập trạng thái thắng W tập trạng thái thua L P = W ∪ L; W ∩ L = ∅ - Một người chơi thuộc trạng thái L thua đối thủ chơi chiến thuật - Một người chơi thuộc trạng thái W thắng (nếu chiến thuật) cho dù đối thủ chơi Để chiến thắng, người chơi phải cố gắng đối thủ vào trạng thái L Ta lấy ví dụ để minh họa rõ điều Ví dụ Ban đầu có n cờ bàn Có hai người chơi, bước lấy số cờ thuộc vào tập M = {1, 2, , k } Người thua người đến lượt khơng cờ để lấy (tức người thắng người lấy cờ cuối cùng) Tìm tập trạng thái thua Giải Tập trạng thái thua: số cờ bàn bội k + Thật vậy, n khơng bội k + n = m ( k + 1) + r 1≤ r ≤ k Từ người trước ln đưa n trạng thái bội k + cách lấy r cờ Nếu bàn bội k + cờ người chơi thứ hai chiến thắng GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - người chơi thứ hai lấy tối đa k cờ, từ đó, người chơi thứ đưa số cờ bàn bội k + Đến bước cuối cùng, người chơi thứ đưa số cờ bàn 0, bội k + giành chiến thắng Khơng phải tốn, ta xác định trạng thái thắng, thua Để giải toán, ta phải ý đến chiến thuật người chơi, tốn sau ví dụ Ví dụ Trên đường tròn, cho 2n + điểm n ≥ , chia đường tròn thành cung Hai người chơi lần lượt, lần xoá điểm Nếu sau lượt người đó, tất tam giác tạo điểm lại tam giác tù người thắng Hỏi người thắng: người bắt đầu người thứ hai Giải Gọi O tâm đường tròn Ta thấy, ba điểm đường tròn tạo thành tam giác không tù tam giác chứa O (tính cạnh) tam giác ABC chứa điểm O, 2∠ABC = ∠AOC Khi dãy gồm n nhiều hơn, điểm liên tục đường tròn bỏ trò chơi kết thúc Thật vậy, nối tất điểm lại để tạo thành m giác, chia thành tam giác Nếu O nằm m giác phải nằm tam giác (nhọn) Nếu ngược lại, tức O nằm m giác tất điểm nằm nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng qua O điều nghĩa tồn dãy gồm n điểm liên tục bị bỏ Ta chứng minh người chơi thứ hai thắng Khi n = có điểm người thứ hai thắng bước cách lấy điểm mà điểm nằm cạnh điểm mà người thứ vừa lấy Nếu n = k > ta đánh số điểm theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự 1, 2, , 2k + Không giảm tổng quát giả sử người thứ xố điểm 1, người thứ hai xoá điểm k + Lưu ý lúc dãy gồm k − điểm liên tiếp phải vượt qua kết thúc điểm k + , đó, xoá dãy gồm k − điểm liên tiếp có nghĩa xố k điểm liên tiếp, tức trò chơi kết thúc Do chiến lược người thứ nhất, người chơi có cách đối phó để thắng có ( k − 1) + điểm (vì vấn đề thứ tự) Do giả thiết quy nạp, người thứ hai ln thắng GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chun Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Ví dụ Có đống nhiều n đá mặt bàn Peter Vasya chơi trò chơi Peter chơi trước Trong bước đi, người chơi lấy số lượng m > đá thoả mãn điều kiện sau: - m số nguyên tố nhỏ n - m bội n - m = Người chơi gọi thua đến phiên khơng viên đá bàn Chứng minh Peter ln có cách để chiến thắng Giải Giả sử số đá có bàn N > n Để tiện, ta gọi người trước người chơi người sau người chơi Giả sử người chơi ln có cách để chiến thắng chiến thuật người chơi Xét chiến thuật người chơi sau Nếu đầu tiên, người chơi lấy l.n viên đá l ≥ , ta suy cách người chơi khơng có lần lấy bội n viên đá Vì người chơi lấy k n viên đá, Khi người chơi người bắt đầu bàn N − ( l + k ) n viên đá người chơi hồn tồn sử dụng chiến thuật người chơi để chiến thắng Vì theo giả sử ta người chơi ln có cách đối phó để chiến thắng chiến thuật người chơi Vì vậy, người chơi lấy ( l + k ) n viên đá người chơi người bắt đầu bàn có N − ( l + k ) n ln có cách đối phó để chiến thắng Như chiến thuật người chơi phải lấy viên lấy số nguyên tố nhỏ n viên Gọi An tập phương án chọn cách người chơi Ta có với n ≥ An < n Trong đó, người chơi có ≥ n phương án chọn cách ( ) k n k = 1, n có nhiền n viên; với n = An = n có nhiều n = cách k n Vậy số phương án chọn cách bội n người chơi nhiều An Giả sử người chơi chọn cách k n , người chơi chọn cách ak ∈ An , k = 1, n để đối phó theo ngun lý Dirichlet, tồn l > k ; l , k ∈ {1, 2, , n} cho ak = al Ta xét trường hợp sau: GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chuyên đề tốn trò chơi - - Nếu lúc đầu người chơi lấy l.n viên người chơi lấy al viên, bàn lại N − l.n − al người chơi người bắt đầu, theo giả sử ta, lúc người chơi có chiến thuật đối phó để chiến thắng người chơi (1) - Nhưng lúc đầu, người chơi lấy k n viên người chơi lấy ak viên, sau người chơi lấy ( l − k ) n viên Trên bàn lúc N − k n − ak − ( l − k ) n = N − l.n − al người chơi người bắt đầu Như thế, theo trên, người chơi hồn tồn sử dụng chiến thuật người chơi để thắng (2) Theo giả sử ta, người chơi có cách đối phó với người chơi để chiến thắng Cho nên từ (1) (2) ta có mâu thuẫn Từ suy người chơi ln có cách đối phó để thắng người chơi Sau ta xét số phương pháp giải tốn trò chơi I Sử dụng bất biến đơn biến Bất biến đại lượng (hay tính chất) khơng thay đổi q trình thực phép biến đổi, đơn biến đại lượng ln thay đổi q trình thực phép biến đổi, theo chiều (tăng lên hay giảm xuống) Ta phải tìm bất biến tốn đơn biến để có kết luận trạng thái cuối Ví dụ Trong bảng gồm × , đánh dấu cộng tất lại đánh dấu trừ Mỗi bước thay đổi dấu ô theo hàng theo cột Chứng minh khơng thể đối dấu tồn bảng trở thành dấu trừ Giải Theo giả thiết, có 63 dấu trừ dấu cộng Giả sử trước bước đổi dấu số dấu cộng số lẻ m Mỗi lần đổi dấu, có đổi dấu Nếu dòng cột có k dấu cộng ta có thêm − k dấu cộng, k dấu cộng Do số dấu cộng có bảng sau đổi dấu m + − 2k Đây số lẻ, bất biến tính lẻ số dấu cộng Nếu tồn bảng dấu trừ có nghĩa số dấu cộng nên thỏa mãn Vậy khơng thể đưa tồn bảng trở thành dấu trừ Ví dụ Ban đầu có đồng xu sấp đồng xu ngửa xếp thành vòng tròn Một bước ta tiến hành thêm đồng xu vào đồng xu ban đầu theo quy luật: có hai đồng xu liên tiếp giống trạng thái, ta thêm đồng xu sấp vào chúng, ngược lại ta thêm GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chuyên đề tốn trò chơi - đồng xu ngửa, bỏ đồng xu cũ Bằng cách thực liên tiếp bước tạo dãy đồng xu ngửa không? Giải Giả sử ta kí hiệu đồng xu sấp số đồng xu ngửa số -1 Xét tích số Ta lưu ý hai số liên tục thay tích chúng Như tích bình phương tích cũ Từ tích Nhưng thu số -1 tích -1 Điều khơng thể Ví dụ Tại đỉnh hình cạnh ta viết số nguyên xi cho tổng S =  xi > i =1 Ta thực thao tác sau: Bắt đầu từ đỉnh đó, x, y, z số đỉnh liên tiếp y < ta thay ( x, y, z ) ( x + y, − y, z + y ) Khi giá trị y < bước lặp lại Chứng minh đến lúc đó, thuật tốn phải dừng lại (tức đến lúc đó, tất số cạnh dương) Giải Thật tốn phải dừng lại, chìa khóa việc giải tốn tìm hàm giá trị nguyên, không âm f ( x1 , , x5 ) số đỉnh mà hàm giảm phép tốn tiến hành, f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) =  ( xi − xi + ) , x6 = x1 , x7 = x2 i =1 Giả sử y = x4 < Khi f new − f old = Sx4 < , S > Nếu thuật tốn khơng kết thúc tìm dãy giảm hàm f > f1 > f dãy số nguyên không âm, dãy vơ hạn khơng tồn dãy bị chặn Ví dụ Cho 2n điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh chia chúng thành n cặp cho n đoạn thẳng nối cặp khơng cắt Giải Ban đầu ta kết cặp cách ngẫu nhiên nối chúng lại với Gọi S tổng độ dài tất đoạn thẳng Lưu ý có hữu hạn cách để nối 2n điểm n đoạn thẳng, nên có hữu hạn giá trị có S Nếu hai đoạn thẳng AB CD cắt O ta thay cặp AB CD AC BD Vì AB + CD = AO + OB + CO + OD > AC + BD , có hai đoạn thẳng cắt nhau, thay làm giảm giá trị S Vì có hữu hạn giá trị S nên cuối khơng có hai đoạn thẳng cắt GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Ví dụ Các số nguyên từ đến viết bảng Có thể khơng phải tất số xuất số xuất lần nhiều lần Ta thực phép biến đổi sau: bước chọn tập hợp gồm nhiều số bảng cho số phân biệt đơi, xố chúng viết vào số nằm phần bù tập tập {1, 2, ,7} Ví dụ cách sau: - Xoá hai số 5, sau viết thêm số 1, 2, 3, 6, - Xoá số 1, số 2, số 3, số 4, số 5, số 6, số không viết thêm số Chứng minh tìm dãy cách đi, cho kết cuối số bảng (và số viết lần), số khơng phụ thuộc vào cách ta Giải Giả sử ban đầu ta viết bảng số số nguyên thoả mãn yêu cầu toán Gọi A tập số xuất số lẻ lần Ví dụ dãy ban đầu bảng 1111222333334555777 A = {2,3, 4,5,7} Bây dãy ta xoá 2, 3, thay 1, 4, 6, ta có dãy 11111223333445567777 Lúc ta thấy A = {1,6} = {1, 2, ,7} \ {2,3, 4,5,7} A lúc phần bù A trước Ta chứng minh phép có tính chất Giả sử trước lúc thực phép biến đổi A = {a1 , , ak } Điều nghĩa số ∈ {1, 2, ,7} mà ∉ A xuất với số lần chẵn không xuất dãy số bảng Nếu số al chọn xố đi, tính chẵn lẻ số lần xuất thay đổi nên ban đầu thuộc A sau khơng thuộc A ngược lại Nếu số a p khơng chọn viết thêm vào, nên tính chẵn lẻ số lần xuất thay đổi ta có điều tương tự, ta chứng minh xong khẳng định GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Bây ta tìm cách cho lại số a bảng đương nhiên, kết thúc ta có A = {a} bước tập A hai tập {a} {1, 2, ,7} \ {a} Vậy nói tóm lại số a không phụ thuộc cách ta II Phương pháp ghép đơi Ví dụ Hai người di chuyển hai xe bàn cờ × , dòng đánh số từ đến cột dán nhãn từ a đến h Người chơi có xe trắng, b2 (xem hình), người thứ hai có xe đen, c4 Trong lần di chuyển, xe đến dòng cột với đứng Tuy nhiên, hai xe khơng hàng cột, ô đến phải chưa bị qua xe khác Người chơi tiếp thua Hỏi người chơi thắng? a b c d e f g h Giải Người chơi thứ hai có chiến thắng Chia dòng thành cặp (1,3) ; ( 2, ) ; ( 5,7 ) ; ( 6,8 ) cột thành cặp ( b, c ) ; ( d , e ) ; ( f , g ) ; ( h, a ) Sau chia 64 thành 32 cặp Hai ô vuông làm thành cặp chúng nằm hai dòng khác thuộc cặp trên, hai cột khác thuộc cặp Các ô mà cờ bắt đầu tạo thành cặp Chiến lược người chơi thứ hai di chuyển cờ đen đến ô thuộc cặp với ô mà cờ trắng vừa đứng Điều ln làm theo cách chia cặp ta Mặt khác, từ việc mà đó, cờ trắng đứng chưa qua trước đó, ô mà cờ đen di chuyển đến phải không bị qua trước Do qua bước di chuyển hai người, số ô bị qua số chẵn số ô chưa bị qua giảm lần Hơn nữa, cờ đen không bị bắt cờ trắng hai cặp khác dòng khác cột Từ đây, người chơi thứ hai ln chờ đến người thứ không di chuyển Ví dụ Trên bàn cờ × , hai người chơi A B đặt cờ thời điểm người đặt cờ vài ô trống hàng cột (chỉ cờ ô trống) Giả sử A trước hai người chơi Một người thắng người đặt tiếp cờ Hỏi người có chiến thuật thắng? GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Giải Ta chứng minh người chơi B có chiến thuật thắng Giả sử bước thứ k, người chơi A đặt m cờ vào m ô trống a1 , a2 , , am hàng cột, người chơi B phải đặt m cờ vào m ô trống b1 , b2 , , bm , bi đối xứng với qua tâm bàn cờ Ví dụ A B chơi trò chơi bàn cờ × ô Trong lượt người chơi phải chọn số hữu tỉ khơng có bàn cờ viết lên trống Hai người chơi ln phiên A trước Khi họ viết tất số lên bàn cờ, hàng, có số lớn hàng tơ màu đen A thắng kẻ đường thẳng từ ô xuống ô cho đường thẳng nằm hồn tồn ô đen, B thắng A làm (Nếu hai ô chung đỉnh, A vẽ đường thẳng từ sang khác mà đường thẳng nằm hai ô) Tìm, chứng minh chiến thuật thắng cho hai người Giải B thắng Sau bước anh ta, B chắn số lớn dòng nằm ô A ∪ B , A = {(1, ) ; (1, ) ; (1,3) , ( 2,1) , ( 2, ) , ( 2,3) , ( 3,1) , ( 3, )} Và B = {( 3,5 ) , ( 4, ) , ( 4,5 ) , ( 4,6 ) , ( 5, ) , ( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6, ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 )} A B Thật vậy, B kết cặp ô A ∪ B với nằm dòng, khơng A ∪ B cho ô bảng nằm xác cặp Khi A ô GV - Trần Nguyễn Đình Nam THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chuyên đề toán trò chơi - cặp, B cặp bước anh Nếu A với số x nằm A ∪ B , B viết số y với y < x , A với số x khơng nằm A ∪ B B viết số z với z > x ô ghép đôi A ∪ B Cho nên sau bước B, số lớn cặp nằm A ∪ B số lớn dòng nằm A ∪ B , nên A kẻ đường thẳng yêu cầu tốn Ví dụ Hai người chơi A B chơi trò chơi, luân phiên A trước Mỗi lượt chơi, người chơi xóa số từ 101 số sau: 1,2,3,…, 101 Sau xóa 11 lần liên tục, lại hai số chưa xóa a b a > b , số điểm A a − b Chứng minh người chơi A ln đạt 55 điểm bất chấp lối chơi người B Giải Đầu tiên, người chơi A xóa số sau: 47, 48,49,….,55 số lại ghép làm 46 cặp {i;55 + i} , i = 1, 46 cho hiệu hai số cặp 55 Khi người chơi B xóa số chiến thuật người A xóa số cho 18 số xóa A B ghép cặp Cuối cùng, hai số lại 46 cặp trên, hiệu hai số 55 Do đó, người chơi A đạt 55 điểm Ví dụ Trên bảng vng kích thước m × n đặt cờ ô Hai người chơi A, B di chuyển cờ cách luân phiên theo luật: người di chuyển cờ từ sang liền kề (nếu hai có chung cạnh gọi ô liền kề), phải đảm bảo ô chưa qua A người chơi trước Người chơi thua tiếp Giả sử vị trí ban đầu cờ thấp bên trái người có chiến thuật thắng? Giả sử vị trí ban đầu cờ ô liền kề ô thấp bên phải, người có chiến thuật thắng Giải Ta ghép hai ô liền thành cặp, tức dùng hình chữ nhật 1× để phủ bảng m.n hình chữ nhật vng Nếu m.n số chẵn bảng vng phủ hồn tồn Người chơi A ln di chuyển cờ bên hình chữ nhật , từ cuối m.n − người chơi A thắng Nếu m.n số lẻ bảng vng phủ hình chữ nhật ngoại trừ ô bên trái Từ đó, người chơi B sử dụng chiến thuật người chơi A trường hợp m.n chẵn giành chiến thắng Ta chứng minh người chơi A ln thắng Nếu m.n chẵn, với lí ta thấy kết GV - Trần Nguyễn Đình Nam 10 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - m.n − hình chữ nhật để phủ bảng vuông ngoại trừ ô thấp bên trái ô tô đen trắng cho hai ô liền kề tô hai màu khác (ta tô màu xen kẻ bàn cờ), vị trí ban đầu cờ tơ màu đen Như lúc, người chơi A di chuyển cờ hình chữ nhật từ ô đen vào ô trắng, người chơi B di chuyển cờ từ trắng qua đen hình chữ nhật liền kề Trong trường hợp này, cờ không vào ô thấp bên trái Do đó, cuối người chơi A thắng Ví dụ Giả sử ta viết số 1, 2, , n theo thứ tự vào n bảng chữ nhật kích thước × n Đặt cờ ô viết số n − 2; n − 1; n cho chứa cờ Hai người chơi A B chơi trò chơi Người chơi A trước Tại bước, người chơi di chuyển ba cờ từ ô sang ô trống khác mà ô viết số bé Nếu di chuyển cờ, người chơi thua Chứng minh A thắng Nếu m.n lẻ ta sử dụng Giải Bắt đầu với nhỏ thứ hai hình chữ nhật × n Ta lập hai vng nhỏ với hai số 2k   n − 1  2k + thành cặp  k = 1, 2, ,       Trong số ba cờ ô chứa số n − 2; n − 1; n , có xác hai cờ cặp Đầu tiên, người chơi A di chuyển cờ thứ ba ô chứa số n (hoặc n − ) vào ô vuông với số 1, n số chẵn (hoặc lẻ), cờ khơng thể di chuyển Sau người chơi B di chuyển cờ số hai cờ lại vào P, người chơi A ln di chuyển cờ vào ô Q cho ( P, Q ) tạo thành cặp Cuối A thắng III Phương pháp sử dụng đồng dư Ví dụ Trên bảng n × n có bóng đèn (gồm n × n bóng) Ban đầu tất bóng đèn tắt Một bước chọn m bóng đèn liền dòng cột thay đổi trạng thái chúng Chứng minh ta mở tất bóng đèn m ước n Giải Trước hết, m ước n dễ thấy ta mở tất bóng đèn Ngược lại, giả sử m không ước n Gọi S tập hợp tất số n đồng dư với theo modulo m Đánh số dòng cột bảng từ đến n gọi T tập hợp tất bóng đèn mà hai tọa độ nằm S Nếu dòng cột khơng nằm S, tập hợp gồm m bóng đèn liền cột dòng khơng nằm T Còn dòng cột nằm S tập hợp gồm m bóng đèn liền dòng cột giao với T hai bóng đèn Suy GV - Trần Nguyễn Đình Nam 11 THPT Chun Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - thay đổi trạng thái m bóng đèn liền khơng thay đổi tính chẵn lẻ số bóng đèn đỏ T Vì ta bắt đầu với bóng đèn tắt, nghĩa số bóng đèn đỏ T số chẵn Sau bước ta phải số chẵn bóng đèn T đỏ Nếu m không ước n số phần tử S số lẻ Vì gọi k số số {1, 2, , n} đồng dư với theo modulo m l số số {1, 2, n} đồng dư với theo modulo m, ta có k − l = Điều suy T = S số lẻ Vì khơng thể làm cho bóng đèn T đỏ Nhận xét: bất biến tính chẵn lẻ bóng đèn T Ví dụ Tại đỉnh hình ngũ giác ta viết số nguyên cho tổng số 2011 Một lượt trò chơi người trừ số nguyên m từ số hai đỉnh liền kề cộng thêm 2m vào đỉnh đối diện, tức đỉnh không liền kề với hai đỉnh (số m đỉnh chọn thay đổi từ lượt sang lượt khác) Trò chơi kết thúc đỉnh sau số lượt đó, đỉnh có số 2011 đỉnh phải chứa số Chứng minh với cách chọn số nguyên để viết hình ngũ giác kia, tồn xác đỉnh mà đỉnh đó, trò chơi kết thúc A2 A1 A3 A5 A4 Lấy ví dụ: trừ số nguyên m từ đỉnh A1 , A2 cộng thêm 2m vào đỉnh A4 Giải Gọi trường số modulo Ta đánh dấu đỉnh ngũ giác theo chiều kim đồng hồ 0, 1, 2, 3, Với i ∈ ri ∈ 5 ta đặt ni số nguyên đỉnh i, gọi số xác định sau: ri ≡ 4ni +1 + 3ni + + 2ni +3 + ni + ≡  ( i − k ) n ( mod 5) k k∈ Đặt s =  ni i∈ GV - Trần Nguyễn Đình Nam 12 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi ri +1 − ri ≡  ( ( i + − k ) n − ( i − k ) n ) ≡  n k k∈ → k k∈ Do ri tạo thành cấp số song ánh từ k 5 ≡ s ( mod ) ≡ 1( mod ) với sai khác 1( mod ) Từ ta có ánh xạ i  ri nên có xác đỉnh thoả mãn ri ≡ ( mod ) Không tổng quát, giả sử r0 = ( mod ) , ta bước để đỉnh chiến thắng Ta thiết lập bước sau: (i, m) = ( 3, n1 ) ( n0 , n1 , n2 , n3 , n4 )  ( n0 − n1 , 0, n2 , n3 + 2n1 , n4 )  ( n0 − n1 − n4 , 0, n2 + 2n4 , n3 + 2n1 , ) ( i, m ) = ( 2, n4 ) ) ( Ta thiết lập trạng thái mới, n0′ , 0, n2′ , n3′ , Từ r0 ≡ ( mod ) bất biến, n1′ = n4′ = , ta có r0 = n3′ − n2′ = p với số nguyên p Các bước ( n '0 ,0, n '2 , n '3 ,0 ) → ( n '0 + p, p, n '2 , n '3 − p,0 ) ( i, m ) = ( 3, − p ) → ( n '0 + p,0, n '2 − p, n '3 − p, p ) ( i, m ) = ( 4, p ) → ( n '0 − p,0, n '2 + p, n '3 − p,0 ) ( i, m ) = ( 2, p ) → ( n '0 + 2n '2 + p,0,0, n '3 − n '2 − p = 0,0 ) ( i, m ) = ( 0, n '2 + p ) Như ta chứng minh tồn đỉnh chiến thắng Bây ta chứng minh theo đề đỉnh chiến thắng phải có ri ≡ ( mod ) , mà ri khơng thay đổi qua bước (có thể tính tốn trực tiếp để thấy điều đó) Cho nên với s = 2011 ≡ 1( mod ) đỉnh chiến thắng tồn tại, phải đỉnh với ri ≡ Ví dụ Ban đầu, bảng có số nguyên dương Nếu bảng có chứa số nguyên dương x, ta viết thêm hai số x + x Nếu thời điểm đó, số 2014 viết x+2 bảng, chứng minh số số lúc đầu Giải GV - Trần Nguyễn Đình Nam 13 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chuyên đề tốn trò chơi - Ta xây dựng nhị phân vô hạn với x + nút bên trái x x nút x+2 bên phải x với nút x Gọi N số Với số hữu tỉ x= p với ( p, q ) = , xét cặp trạng thái chẵn lẻ q o ( x ) = ( p mod 2; q mod ) Nếu o ( x ) = (1,1) số có tính chẵn lẻ (1,1) , 2014 nằm Điều suy N phải số chẵn Nếu o ( x ) = ( 0,1) o ( x + 1) = (1,1) phía bên trái khơng có 2014 điều có nghĩa 2014 nằm bên phải Tương tự, o ( x ) = (1,0 )  x  o  = (1,1) nên 2014 phải nằm bên trái x  x+2 Bây ta chứng minh bất biến: với nút x = p , ( p, q ) = đường từ N đến 2014, p + q = N + q Ta chứng minh quy nạp Rõ ràng điều với N nó, gọi x nút thoả mãn Nếu o ( x ) = (1,0 ) 2p + q 2x + = = q p+ q q Phân số không giản ước tổng tử số mẫu số p + q = N + Mặt khác o ( x ) = ( 0,1) p x p = = x + p + 2q p + q Ta có điều tương tự Điểm kết thúc đường 2014 nên số đầu phải N = 2014 Nhận xét: Chú ý số 2014 thay số chẵn tuỳ ý khẳng định toán GV - Trần Nguyễn Đình Nam 14 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Ví dụ Có 2010 que diêm bàn, A B lấy que diêm khỏi bàn Ở lần chơi họ lấy 1, 3, 4, que diêm Người lấy que diêm cuối thắng Nếu A chơi người thắng? Giải Lưu ý trạng thái thua ≡ ( mod8 ) Nếu người chơi mà bàn bội que diêm họ khơng thể lấy tất que diêm Nếu người lấy a que diêm, đối thủ lấy − a que diêm làm cho trở lại trạng thái thua Vì 2010 chia dư 2, ta có hai trường hợp + Nếu người chơi trước bỏ 1,3,5 que diêm, người chơi đưa vào trạng thái thua + Nếu người chơi trước bỏ que diêm, người chơi bỏ 1,3,5 que lượt tiếp theo, bị đNy vào vào trạng thái thua, muốn thắng, phải tiếp tục với que diêm Khi số que diêm lại bàn ≡ ( mod8 ) , nên lượt tiếp tục lại phải với que diêm muốn thắng N hư chiến thuật mình, hai người phải với que diêm Lúc người chơi thứ hai lấy que diêm cuối Tóm lại, người chơi thứ ln có chiến thuật thắng Ví dụ A B chơi trò chơi với tập hợp gồm 2003 đồng xu cách bước cho phép lấy số đồng xu cho ước đồng xu có Người chơi phải lấy đồng xu cuối thua Nếu A chơi trước, người có chiến thuật thắng? Giải Ta thấy tập trạng thái thua số lẻ Ta biết ước số số lẻ số lẻ Do ta có số lẻ, sau thực bước bỏ lại số chẵn N ếu ta có số chẵn ta bỏ xác đồng xu Theo cách ta bỏ lại số lẻ đồng xu ta thua A trước nên B đối mặt với số chẵn đồng xu Vì B ln làm cho A phải đối mặt với số lẻ đồng xu, B có chiến thuật thắng Ví dụ GV - Trần Nguyễn Đình Nam 15 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - A B chơi trò chơi viết số số hàng, từ trái sang phải Trò chơi kết thúc người viết đến số thứ 2001 Khi trò chơi kết thúc, dãy số viết số dạng nhị phân A thắng số viết dạng tổng hai số hồn hảo bình phương Chứng minh B thắng Giải Ta xét chiến thuật sau B: N ếu thời điểm mà A viết số B bắt chước cách A Theo thuật toán ta kết thúc với số mà có số chẵn chữ số đằng cuối Ta biết 4m viết dạng tổng hai bình phương m viết dạng tổng hai bình phương N hư ta bỏ số phía sau giả sử số kết thúc với hai chữ số 11, điều nghĩa số ≡ ( mod ) Từ điều ta kết luận số khơng thể viết dạng tổng hai bình phương III Một số tốn khác Bài Trên bảng n × n , với n ≥ Ta điền dấu cộng vào ô đường chéo dấu trừ vào lại Mỗi bước thay đổi dấu dòng cột, từ cộng sang trừ trừ sang cộng Chứng minh sau số hữu hạn bước bất kì, ta ln có n nhiều dấu cộng bảng Giải + - + - - - - - - - - - + - + - - - - - + - + - - + + - + + - + - - - - - - - + - + - + Ta xét trình trạng sau kết thúc số hữu hạn phép đổi dấu dòng, cột: Đánh số ô (trên đường chéo ) ( i1; i1 ) ; ; ( ia ; ia ) mà chứa dấu cộng, phải trải qua số chẵn lần phép đổi dấu (cả dòng cột), suy số lần đổi dấu dòng số lần đổi dấu cột có chứa có tính chẵn lẻ Điều có nghĩa với r = 1, a , số lần đổi dấu dòng ir tính chẵn lẻ với số lần đổi dấu cột ir GV - Trần Nguyễn Đình Nam 16 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - Đối với ô lại đường chéo mang dấu trừ, trải qua số lẻ phép tốn đổi dấu, điều có nghĩa số lần đổi dấu theo dòng số lần đổi dấu theo cột có chứa khơng tính chẵn lẻ, nên ta đánh số: - Các ô ( j1; j1 ) ; ; ( jb ; jb ) chứa dấu trừ trải qua số lẻ phép toán đổi dấu theo dòng Điều có nghĩa với s = 1, b ta thực số lẻ lần đổi dấu dòng js số chẵn lần đổi dấu cột js - Các ô ( k1 ; k1 ) ; ; ( kb ; kb ) chứa dấu trừ trải qua số chẵn phép tốn đổi dấu theo dòng Điều có nghĩa với t = 1, c ta thực số chẵn lần đổi dấu dòng kt số lẻ lần đổi dấu cột kt Trường hợp 1: N ếu đường chéo có dấu cộng Với r = 1, a s = 1, b , ta xét ô ( ir ; js ) ( js ; ir ) : theo trên, ta thực số lẻ lần đổi dấu dòng js số chẵn lần đổi dấu cột js + ta thực số lẻ lần đổi dấu cột ir ta thực số lẻ lần đổi dấu dòng ir Suy ( ir ; js ) (là giao dòng ir cột js ) trải qua số lẻ lần đổi dấu dòng số chẵn lần đổi dấu cột, nên ô trải qua số lẻ lần đổi nên dấu dấu cộng, ( js ; ir ) (là giao dòng js cột ir ) trải qua số lẻ lần đổi dấu dòng số lẻ lần dổi dấu cột nên trải qua số chẵn lần đổi dấu nên dấu dấu trừ N ói tóm lại với hai ( ir ; js ) ( js ; ir ) ; r = 1, a s = 1, b có chứa dấu cộng Hồn tồn tương tự, với hai ô ( ir , kt ) ( kt , ir ) với r = 1, a t = 1, c có chứa dấu cộng Vậy số dấu cộng bảng a + ab + ac ≥ a + b + c = n (ở a ≥ theo giả sử ta, có dấu cộng đường chéo) Trường hợp 2: tất ô đường chéo chứa dấu trừ - Xét hai ô ( jr ; js ) ( js ; jr ) với ≤ r < s ≤ b Ta thực số lẻ lần đổi dấu dòng jr , js ; số chẵn lần đổi dấu cột jr , js Do phải trải qua GV - Trần Nguyễn Đình Nam 17 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - số lẻ lần đổi dấu dòng cột, dấu ban đầu dấu trừ nên phải mang dấu cộng - Hồn tồn tương tự hai ô ( kr ; k s ) ( ks ; kr ) với ≤ r < s ≤ c số dấu cộng b − b + c − c = b ( b − 1) + c ( c − 1) ≥ b + c = n với b + c ≥ Bài Peter Alex chơi trò chơi bắt đầu với cặp thứ tự số nguyên ( a, b ) Mỗi lượt đi, người chơi tăng giảm a b: Peter tăng giảm Alex tăng giảm Alex thắng lúc đó, nghiệm phương trình x + a.x + b số nguyên Hỏi cho cặp ( a, b ) có đảm bảo Alex thắng? Giải Ta chứng minh Alex thắng Đầu tiên nhận xét a > b > trước bước Alex giảm a + b lượng bước anh ta: N ếu a > giảm a 3; N ếu b > giảm b Trong lượt kế tiếp, Peter tăng a + b nhiều 1, thực giảm Vì a + b giảm Sử dụng chiến thuật này, cuối Alex đối mặt với −3 ≤ a, b ≤ trước lượt Vào lúc trò chơi, trường hợp sau xảy ra: Một b ∈ {−3, −1,0,1,3} , b sẵn Alex đưa b Khi b = Alex thắng Hai b = −2 a ∈ {−3, −1,1,3} Alex đưa a = để có đa thức x − Peter có khả để đi, kết đa thức sau: x − x − 2; x + x − 2; x − 1; x − Ba đa thức đầu Peter thua N ếu Peter có đa thức cuối Alex đưa b = để thắng Ba b = −2 a = ±2 Khi Alex đưa b = −3 thắng Bốn b = Khi Alex đưa b = −1 N ếu Peter đưa b lại -1 lượt Alex thắng cách đưa b = lượt N ếu không, sau lượt Peter b ∈ {−2,0} a lại [ −3;3] Đưa trường hợp trường hợp hai Do Alex thắng trường hợp Vậy ta có điều cần chứng minh GV - Trần Nguyễn Đình Nam 18 THPT Chuyên Quốc Học - Huế - Chun đề tốn trò chơi - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Amir Hossein Parvardi, June 16, 2011 100 combinatorics problems [2] Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, N ikola Petrovic Springer, 2011 The IMO Compendium: A Collection of Problems Suggested for The International Mathematical Olympiads [3] Laszlo Lovasz, Ams Chelsea Publishing Combinatorial problems and exercises [4] N guyễn Hữu Điển, N hà xuất giáo dục Giải toán phương pháp đại lượng bất biến GV - Trần Nguyễn Đình Nam 19 THPT Chuyên Quốc Học - Huế ... Vladimir Jankovic, Ivan Matic, N ikola Petrovic Springer, 2011 The IMO Compendium: A Collection of Problems Suggested for The International Mathematical Olympiads [3] Laszlo Lovasz, Ams Chelsea... Chun đề tốn trò chơi - Ví dụ Có đống nhiều n đá mặt bàn Peter Vasya chơi trò chơi Peter chơi trước Trong bước đi, người chơi lấy số lượng m > đá thoả mãn điều kiện sau: - m số nguyên tố nhỏ n - m... viên lấy số nguyên tố nhỏ n viên Gọi An tập phương án chọn cách người chơi Ta có với n ≥ An < n Trong đó, người chơi có ≥ n phương án chọn cách ( ) k n k = 1, n có nhiền n viên; với n = An = n