CHUYÊN ĐỀ : TỔ HỢP – XÁC SUẤT Hoán vị Tổng quát : - Cho tập A gồm n phần tử ( n �1 ) Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập hợp A, ( gọi tắt hoán vị A) - Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn n ! n.(n 1).(n 2) 3.2.1 Chỉnh hợp Tổng quát: - Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, ( �k �n ) Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp n chập k A) n! k - Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử : An (n k )! - n Một số qui ước : 0! 1, An 1, An n ! Tổ hợp Tổng quát: - Cho tập hợp A có n phần tử cho số nguyên k, , ( �k �n ) Mỗi tập hợp A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A Ak n! k n - Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử : Cn (n k )!k ! k ! n! với số nguyên (n k )! k ! - k n Một số quy ước Cn 1, Cn , với qui ước ta có Cn - dương k, thỏa �k �n k nk k k k 1 Tính chất : Cn Cn , (0 �k �n) Cn 1 Cn Cn , (1 �k �n) : gọi đẳng thức Pascal NHỊ THỨC NEWTON Nhị thức Newton n (a b) n �Cnk a n k b k Cn0 a n Cn1a n 1b Cnn 1ab n 1 Cnnb n k 0 Nhận xét - Trong khai triển (a �b) n có n số hạng hệ số cặp số hạng cách số k nk hạng đầu số hạng cuối : Cn Cn - k nk k Số hạng tổng quát dạng : Tn 1 Cn a b số hạng thứ N k N Trong khai triển (a b) n dấu đan nghĩa , , ,… Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a b n Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn : n n n 1 n x 1 n n (1 x) Cn x Cn x Cn ���Cn Cn Cn n n n 1 n n x 1 n n (1 x ) Cn x Cn x (1) Cn ��� Cn Cn (1) Cn Tam giác Pascal Các hệ số khai triển: (a b)0 , (a b)1 , (a b) , , (a b) n xếp thành tam giác gọi tam giác PASCAL n=0: n=1: n=2: n=3: n=4: n=5: n=6: n=7: 1 1 1 1 Hằng đẳng thức PASCAL 10 15 21 10 20 35 15 35 21 Cnk11 Cnk1 � BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ C kn Biến cố a) Phép thử không gian mẫu - Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử ) thí nghiệm hay hành động mà : + Kết khơng đốn trước + Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử - Tập hợp kết phép thử T gọi không gian mẫu T kí hiệu Số phần tử khơng gian mẫu kí hiệu n() b) Biến cố Tổng quát : Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu A Xác suất Tổng qt : Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số , kí hiệu P ( A) , xác định công thức : P ( A) A n( A) n () Số phần tử A Số phần tử Từ định nghĩa, suy �P( A) �1, P() 1, P (�) CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Quy tắc cộng xác suất c) Biến cố hợp Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy “ , kí hiệu A �B gọi hợp hai biến cố A B Khi : A � B � d) Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy ra biến cố khơng xảy Khi A � B �� e) Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc Nếu A b hai biến cố xung khắc xác suất biến cố A �B P( A �B) P( A) P( B) Cho n biến cố A1 , A2 , , An đôi xung khắc với Khi P( A1 �A2 � �An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) f) Biến cố đối Cho A biến cố Khi biến cố “ khơng A’, kí hiệu A , gọi biến cố đối A Ta nói A A hai biến cố đối Khi : A \ A � P( A) P( A) Quy tắc nhân xác suất a) Biến cố giao Chao hai biến cố A b Biến cố “ A B xảy ra’ , kí hiệu A �B ( hay AB ), gọi giao hai biến cố A B b) Hai biến cố độc lập Hai biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng xác suất xảy biến cố Nếu hai biến cố A B độc lập với A B , A B, A B độc lập c) Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập Nếu A B hai biến cố độc lập với ta ln có P ( AB ) P( A).P ( B ) Cho n biến cố A1 , A2 , , An độc lập với đôi : n n 1 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P( A2 ) P( An ) hay P (�Ai ) �P ( Ai )