DIỆN TÍCH bài TOÁN ĐỒNG QUY THẲNG HÀNG

Diện tích phơng pháp diện tích với tốn đồng quy thẳng hàng Hạ Vũ Anh − THPT Chuyên Vĩnh Phúc Ngày 24 tháng 11 năm 2011 Mở đầu Trong kỳ thi học sinh giỏi, toán hình học cổ điển thường tốn khó Một lớp toán thường gặp toán đồng quy đường thẳng, thẳng hàng họ điểm Có nhiều cách thức để tiếp cận, giải tốn Nhưng, nhìn chung có bốn phương pháp để giải tốn Đó • Phương pháp quỹ tích • Phương pháp vectơ • Phương pháp toạ độ • Phương pháp biến hình Trong viết này, chúng tơi xin trao đổi với thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp em học sinh yêu toán khía cạnh phương pháp quỹ tích: sử dụng cơng cụ diện tích phục vụ cho việc chứng minh đồng quy, thẳng hàng Hạ Vũ Anh - Tổ Toán - Tin học 1 Định nghĩa diện tích Diện tích hình (H) số, ký hiệu S hay S(H), xác định (i) S ≥ (ii) Hình vng cạnh có diện tích (iii) Hai hình có diện tích (iv) Nếu hình (H) phân hoạch thành hình (Hi ) (tức n Hi (Hi ∩ Hj = ∅) (H) = i=1 n S(H) = S(Hi ) i=1 Đa giác định hướng diện tích đa giác định hướng Đa giác A1 A2 An gọi định hướng dương, từ A1 tới An dọc theo chu tuyến ngược chiều kim đồng hồ Trong trường hợp ngược lại, gọi định hướng âm Ký hiệu S(A1 A2 An ) hay SA1 A2 An để diện tích (hình học) đa giác A1 A2 An , ký hiệu S[A1 A2 An ] hay [A1 A2 An ] để diện tích (đại số) đa giác định hướng A1 A2 An Khi   S (A1 A2 An ) đa giác A1 A2 An định hướng dương S [A1 A2 An ] =  −S (A1 A2 An ) đa giác A1 A2 An định hướng dương Một số kết đáng ý Diện tích tam giác 1 S(ABC) = S = a · = b · hb = c · hc 2 1 = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 = pr = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc = p(p − a)(p − b)(p − c) Từ 1 1 1 + + = = + + hb hc r ra Nếu ABC A1 B1 C1 S(ABC) S(A1 B1 C1 ) = k k = AB A1 B1 Cho góc ∠xOy, lấy A, A ∈ Ox, B, B ∈ Oy Khi OA OB [OAB] = · [OA B ] OA OB x A A O B B y Hình Cho tam giác ABC Khi [ABC] = [M BC]+[M CA]+[M AB] ∀M Mở rộng Cho đa giác A1 A2 An Khi n [M Ai Ai+1 ] [A1 A2 An ] = i=1 ∀M (Quy ước An+k ≡ Ak , k = 1, n) M, N, P thẳng hàng [M N P ] = Cho tam giác ABC điểm M chia đoạn BC theo tỷ số k = Khi [M AB] =k [M AC] Một số tốn Cho hình bình hành ABCD Trên BC, CD lấy M, N cho CN : N D = · BM : M D Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm AM, AN với BD Chứng minh [AM N ] = · [AP Q] Lời giải B Đặt BM : M C = k ⇒ CN : M P N D = 2k Khi [AP Q] AP AM = · [AM N ] AQ AN (1) C Q A Theo định lý Thalès, ta có N D Hình AD AP AD BC AP = ⇒ = = PM BM AP + P M AD + BM BC + BM Mặt khác, BM : M C = k nên k+1 BC k+1 BC = ⇒ = BM k BC + BM 2k + AP k+1 ⇒ = PM 2k + (2) Tương tự AQ ND AB DC 2k + = = = = AN AB AB + DN DC + DN 2k + Từ (1),(2),(3) suy điều phải chứng minh (3) Cho hình thang ABCD (AB CD) Gọi I, J theo thứ tự trung điểm hai đáy AB, CD Chứng minh M ∈ (IJ) ⇐⇒ [M AD] = [M BC] Lời giải Theo giả thiết ta có [AIJD] = [BCJI] (4) [AIJD] = [M AI] + [M IJ] + [M JD] + [M DA] (5) [BCJI] = [M BC] + [M CJ] + [M JI] + [M IB] (6) [M AI] = [M IB] ; [M DJ] = [M JC] (7) Mà A I B M D J C Hình Từ (4),(5),(6),(7) suy M ∈ (IJ) ⇔ [M IJ] = [M JI] = ⇔ [M DA] = [M BC] điều phải chứng minh Nhận xét Cũng với cách giải trên, chứng minh M ∈ (IJ) ⇔ [M AC] = [M DB] Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB, CD cắt E Gọi F, G theo thứ tự trung điểm đường chéo AC, BD tứ giác Chứng minh [EF G] = · [ABCD] Lời giải A C F G E B D Hình Nối AG, CG Ta có [EF G] = [AEG] − [AF G] − [AEF ] = [ABG] + [EGB] − [AF G] − [AEF ] = · ([ABD] + [BDE] − [ACG] − [ACE]) = · ([ADE] − [AGCE]) = · ([ABCD] − [ABCG]) Mặt khác [ABCG] = · [ABG] + [BCG] · [ABD] [BCG] = · [BCD] [ABG] = Từ suy điều phải chúng minh Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB, CD cắt E, đường thẳng BC, DA cắt F Gọi I, J, K theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AC, BD, EF Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải A Theo kết toán 3, ta có [EIJ] = [IJF ] = · [ABCD] I B Kẻ EG, F H⊥IJ Khi 1 · IJ · EG = · IJ · F H 2 E Suy EG = F H, J D C G KH F Hình EGF H hình bình hành Suy GH, EF cắt trung điểm đường, tức GH qua K Từ suy điều phải chứng minh Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh P ∈ (M N )L[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA] Lời giải Ta có ([AN P ] + [CN P ]) = ([ABP ] + [ADP ] + [CDP ] + [P CD]) = ([P AB] + [P CD] − [P BC] − [P DA]) [M N P ] = Do P ∈ (M N )L[M N P ] = 0L[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA] Cho tứ giác lồi ABCD với diện tích S Lấy P1 ∈ (CD) cho S P1 , C nằm nửa mặt phẳng bờ (AB) [ABP1 ] = Tương tự lấy P2 ∈ (BC), P3 ∈ (AB), P4 ∈ (DA) Chứng minh P1 , P2 , P3 , P4 thẳng hàng Lời giải Gọi M, N theo thứ tự trung điểm đường chéo AC, BD không tổng quát, coi tứ giác ABCD định hướng dương Khi [P1 AB] = S ; [P1 CD] = S = [ABCD] = [P1 AB] + [P1 BC] + [P1 CD] + [P1 DA] A B M N P1 C D Hình =⇒ [P1 BC] + [P1 DA] = S = [P1 AB] + [P1 CD] Suy P1 ∈ (M N ) Hoàn toàn tương tự, chứng minh P2 , P3 , P4 ∈ (M N ) Vậy, P1 , P2 , P3 , P4 thẳng hàng Cho ngũ giác lồi ABCDE Gọi F = (BC) ∩ (DE), G = (CD) ∩ (EA), H = (DE) ∩ (AB), I = (EA) ∩ (BC), J = (AB) ∩ (CD) Giả sử tam giác AHI, BIJ, CJF, DF G, EGH có diện tích nhau, chứng minh đường thẳng AF, BG, CH, DI, EJ đồng quy Lời giải Từ giả thiết suy AH = BJ, AI = EG, BI I J = CF, CJ = DG, DF = EH Đặt AH AI = x, = y Áp dụng định AB AE lý Ménélaus cho tam giác AGJ với A E H B C P D F cát tuyến (CBI) ta có BA CJ IG · · =1 BJ CG IA G Hình Suy xy CJ BJ IA = · = CG BA IG + 2y (8) Tương tự, áp dụng định lý Ménélaus cho tam giác GAJ với cát tuyến (DEH), xy DG = + 2x DJ Từ (8) (9), để ý HI DG DJ = CJ , CG (9) suy x = y Điều có nghĩa EB Suy FE FB FE FB = ⇒ = FH FI FD FC hay CD EB Chứng minh hoàn toàn tương tự, IJ AC DE, JF BD EA, F G CE AB, GH AD BC Giả sử (AF ) ∩ (BG) = {P } Khi đó, áp dụng kết tốn cho hình thang ABF G, đường thẳng IP tập hợp điểm M mà S M AG =S S MF B DAG Ta có =S BAG =S ABF =S DBF Suy D ∈ (IP ), hay I, P, D thẳng hàng Tương tự, ba điểm C, P, H E, P, J thẳng hàng Điều phải chứng minh 10 Bài tập Cho tứ giác lồi ABCD M, N theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi P = (AN )∩(M D) , Q = (BN )∩(CM ) Chứng minh [P AD]+ [BQC] = [M P N Q] Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M, N, P.Q, R, S theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AB, DE, BC, EF, CD, F A Chứng minh đoạn M N, P Q, RS chia lục giác thành hai phần tương đương chúng đồng quy Tam giác A1 A2 A3 không cân, khơng vng nội tiếp đường tròn (O) Gọi Bi trung điểm cạnh đối diện đỉnh Ai Trên tia [OBi ) lấy điểm Ci cho OAi Bi OCi Ai Chứng minh đường thẳng Ai Ci , i = 1, 2, qua điểm Cho tứ giác lồi ABCD có AC⊥BD, AB CD Trung trực AB, CD cắt P tứ giác (a) Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu P AC, BD Chứng minh [ABP ] = [CDP ]LAM · BN = CM · DN (b) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp [ABP ] = [CDP ] Gọi F, G, H, I, J theo thứ tự trung điểm cạnh CD, DE, EA, AB, BC ngũ giác lồi ABCDE Biết AF, BG, CH, DI đồng quy, chứng minh P, E, J thẳng hàng 11 Lục giác lồi ABCDEF có cặp cạnh đối diện song song Chứng minh đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện đồng quy Tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm đường chéo AC, BD, chứng minh M, N, O thẳng hàng 12 Đôi điều kết luận Do khuôn khổ viết, báo cáo chúng tơi trình bày số tốn mang tính chất chìa khố, áp dụng cho nhiều toán khác loại Qua tốn trên, thấy việc sử dụng khái niệm hướng diện tích đa giác định hướng làm cho thân lời giải gọn gàng, quan trọng hơn, chúng khơng phụ thuộc vào hình vẽ - điều thật tuyệt 13 ... Biết AF, BG, CH, DI đồng quy, chứng minh P, E, J thẳng hàng 11 Lục giác lồi ABCDEF có cặp cạnh đối diện song song Chứng minh đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối diện đồng quy Tứ giác lồi ABCD...1 Định nghĩa diện tích Diện tích hình (H) số, ký hiệu S hay S(H), xác định (i) S ≥ (ii) Hình vng cạnh có diện tích (iii) Hai hình có diện tích (iv) Nếu hình (H) phân hoạch... đường thẳng IP tập hợp điểm M mà S M AG =S S MF B DAG Ta có =S BAG =S ABF =S DBF Suy D ∈ (IP ), hay I, P, D thẳng hàng Tương tự, ba điểm C, P, H E, P, J thẳng hàng Điều phải chứng minh 10 Bài tập