Tỉ số kép hàng điểm điều hòa

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG TỔ TOÁN HỌC NGUYỄN HỒNG ĐỨC (CTK9) LÝ MINH HOÀNG (CTK9) THIỆU HỒNG THÁI (CTK9) ỨNG DỤNG TỶ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bình phước, Ngày 27, Tháng 7, Năm 2012 Hệ Thống Lý Thuyết 1.1 Tỉ Số Kép Định nghĩa 1.1 • Tỉ số kép hàng điểm Bộ bốn điểm đơi khác nhau, kể đến thứ tự, thuộc đường thẳng gọi hàng hay hàng điểm Tỉ số kép hàng A, B,C,D số, kí hiệu (ABCD) hay (A, B, C, D) xác định (ABCD) = AC BC : AD BD • Tỉ số kép chùm đường thẳng Bộ bốn đường thẳng phân biệt đồng quy O, kể đến thứ tự Tỉ số kép chùm OA, OB, OC, OD số, kí hiệu O(ABCD) xác định −−→ −→ −→ −→ sin(OA, OC) sin(OB, OC) O(ABCD) = −→ −−→ : −−→ −−→ sin(OA, OD) sin(OB, OD) Tính chất 1.1 Với hàng điểm gồm A, B, C, D A , điểm S nằm hàng điểm: −→ −→ −−→ −→ sin(OA, OC) sin(OB, OC) • S(ABCD)=(ABCD)= −→ −−→ : −−→ −−→ sin(OA, OD) sin(OB, OD) • (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) • (ABCD) = − (ACBD) • (ABCD) = (A BCD) ⇔ A ≡ A • (ABCD) = −1 Hệ 1.1 • Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Điểm S ∈ (O) Khi S(ABCD) = const • Cho đường thẳng a, b, c, d a , b , c , d đồng quy thỏa mãn điều kiện sau: a ⊥ a , b ⊥ b , c ⊥ c , d ⊥ d Khi (abcd) = (a b c d ) 1.2 Phép chiếu xuyên tâm Định nghĩa 1.2 Cho đường thẳng d điểm S không thuộc d ánh xạ biến điểm M mặt phẳng thành điểm M giao điểm đường thẳng SM với d gọi phép chiếu xuyên tâm (tâm chiếu S) lên đường thẳng d Định lý 1.1 Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép điểm thẳng hàng S CD AB A D B Chứng minh Xét phép chiếu xuyên tâm, tâm chiếu S : A → A , B → B , C → C , D → D Ta có: −−→ −→ −→ −→ AC BC sin(OA, OC) sin(OB, OC) AC BC (ABCD) = : : = −→ −−→ −−→ −−→ = AD BD AD BD sin(OA, OD) sin(OB, OD) Vậy (ABCD) = (A B C D ) Hệ 1.2 Dưới số hệ quen thuộc sử dụng nhiều giải toán phương pháp tỉ số kép - phép chiếu xuyên tâm, đặc biệt toán chứng minh đồng quy thẳng hàng: Cho bốn đường thẳng đồng quy a, b, c, d đường thẳng cắt đường thẳng A, B, C, D Khi (ABCD) khơng đổi (OABC) = (OA B C ) AA , BB , CC đồng quy đôi song song Cho O O nằm d Các đường thẳng a, b, c đồng quy tai O, a , b, c đồng quy O Gọi a ∩ a = A, b ∩ b = B, c ∩ c = C, d ∩ d = D Khi đó: A, B, C thẳng hàng ⇔ (abcd) = (a b c d ) Cho chùm O(ABCO ) O (ABCO) Khi đó: A, B, C thẳng hàng ⇔ O(ABCO ) = O (ABCO) Định lý 1.2 Cho điểm S hàng điểm A, B, C, D thuộc đường thẳng d Từ điểm C kẻ đường CA thẳng song song với SD cắt SA, SB A , B Khi đó: (ABCD) = CB S B A C D B B1 Chứng minh Theo định lý Thales ta có: CA AC CB BC = = DS AD DS BD CA AC BC CA = : = (ABCD) Vậy (ABCD) = ⇒ CB AD BD CB 1.3 Hàng điểm điều hòa Định nghĩa 1.3 Trên đường thẳng ta lấy điểm A, B, C, D Khi ta gọi A, B, C, D hàng điểm điêu hòa (ABCD) = −1 Khi đó, cặp điểm A, B chia điều hòa cặp điểm C, D hay cặp điểm A, B liên hợp điều hòa với cặp điểm C, D Tính chất 1.2 Với I trung điểm AB Khi mệnh đề sau tương đương: (ABCD) = −1 1 = + (Hệ thức Descartes) AB AC AD 3 IA2 = IB = IC.ID( hệ thức Newton) CI.CD = CA.CB( Hệ thức Maclauranh) Ngoài hệ thức sau: ID BD AD =( ) =( ) IC BC AC Chứng minh Do (ABCD) = −1 I trung điểm AB nên theo hệ thức Newton, ta có: IA2 = IB = IC.ID ⇒ IA IC IC − IA AC BC = = = = ID IA IA − ID DA BD IA IC ID BD AD ) = Từ ta có: =( ) =( ) ID ID IC BC AC Hệ thức chứng minh Mặt khác: ( Nhận xét 1.1 Các hệ thức kết đẹp, linh hồn hàng điểm điều hòa, có ứng dụng vơ lớn tốn mà cần tới có mặt hàng điểm điều hòa Định lý 1.3 Cho (ABCD) = −1 điểm O nằm ngồi hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB, OD E, I, F Khi I trung điểm EF EF OA Nhận xét 1.2 Đây kết suy trực tiếp từ Định lý Định lý quan trọng việc chứng minh yếu tố song song trung điểm 1.4 Chùm điều hòa Định lý 1.4 Bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy S Khi ta gọi S(ABCD) = −1 Tính chất 1.3 Cho chùm điều hòa S(abcd) = −1, cSd = 900 Sc phân giác góc aSb Sd phần giác ngồi góc ASB Một số lưu ý tứ giác điều hòa: Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp ABCD gọi điều hòa tồn điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác cho M(ABCD) = −1, tức (ABCD) = −1 Tính chất: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Khi mệnh đề sau tương đương: (a) Tứ giác ABCD điều hòa AC BC (b) = AD BD (c) AA, CC, BD đồng quy đôi song song (d) BB, DD, AC đồng quy đôi song song với quy ước AA tiếp tuyến A đường tròn (O) Hệ thống tập vận dụng 2.1 Tỉ số kép BÀI (Định lý Pappus) Cho đường thẳng a, b Trên a lấy điểm A, B, C, b lấy điểm X, Y, Z Theo thứ tự Gọi M = AY ∩ BX, N = AZ ∩ CX, P = BZ ∩ CY Chứng minh M, N, P thẳng hàng A B C M S N P Z Y X Giải Gọi E = AZ ∩ BY , F = BZ ∩ CX, S = AC ∩ XZ Ta có: A(BEMX) = A(SZY X) = C(SZY X) = C(BZP F ) ⇒ (BEMX) = (BZP F ) ⇔ EZ, MP, F X đồng quy Vậy M, N, P thẳng hàng ♣ BÀI (Định lý Pascal) Cho điểm A, B, C, D, E, F nàm đường tròn Gọi G, H, K theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng (AB, DE);(BC, EF );(CD, F A) Khi điểm G, H, K thẳng hàng C A N A1 E M G K F H B D Giải Gọi M = AB ∩ EF , N = AF ∩ BC, ta có: (AMGB) = E(AMGB) = E(AF DB) = C(AF DB) = (AMGB) = (AF KN) ⇔ MF, GK, BN đồng quy Vậy G, H, K thẳng hàng ♣ BÀI (Định lý Desargues) Cho ∆ABC ∆MNP có AM, BN, CP đồng quy O Gọi I, J, K theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng (AB, MN), (BC, NP ), (CA, P M) Khi I, J, K thẳng hàng O A B C I Y Z X J K P N M Giải Gọi X = BN CK, Z = AM IK, Y = CP IK Xét phép chiếu xuyên tầm I, ta có: (OBXN) = (OAZM) Xét phép chiếu xuyên tâm K, ta có: (OAZM) = (OCY P ) ⇒ (OBXN) = (OCY P ) ⇔ BC, XY, NP đồng quy Vậy I, J, K thẳng hàng ♣ Nhận xét 2.1 Trên định lý tiếng Hình học phẳng, nhờ có hệ thống lí thuyết "Tỉ số kép" ta giải triệt để vấn đề đặt Và từ đây, "Tỉ số kép" cho ta nhìn hồn tồn viêc chứng minh yếu tố đồng quy, thẳng hàng BÀI Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp O Gọi M, N, P, Q tiếp điểm AB, BC, CD, DA (O) Gọi H = DM ∩(O), K = BP ∩(O), G = AP ∩(O), J = CM ∩(O) Chứng minh AC, BD, MP, NQ, HK, GJ đòng quy I A S Q M H D F B K N C Giải Ta chứng minh MQ, BD, NP đồng quy Gọi S = MQ ∩ BD.Theo định lý Menelaus ta có: SD MB QA SD NB P C =1⇒ =1 SB MA QD SB NC P D ⇒ S, P, N thẳng hàng Dẫn đến MQ, BD, ND đồng quy S Gọi I = MP ∩ NQ, ta có: T • Xét cực đối cực (O): S với I liên hợp (1) Mà S ∈ MQ ⇒ S với A liên hợp S ∈ NP ⇒ S với C liên hợp ⇒ AC đường đối cực S (2) Từ (1) (2) ta có: I ∈ AC Tương tự ta có I ∈ BD Vậy AC, BD, MP, NQ đồng quy I • Ta chứng minh H, I, K thẳng hàng Gọi T giao điểm MD BP ta có: (T DHM) = P (T DHM) = P (KP HM) = M(KP HM) = (KP T B) = (T BKP ) ⇒ (T DHM) = (T BKP ) ⇔ BD, HK, MP đồng quy ⇒ H, I, K thẳng hàng Tương tự ta có : G, I, J thẳng hàng Vậy AC, BD, MP, NQ, HK, GJ đồng quy I ♣ BÀI Cho ∆ABC nội tiếp (O) E điểm đường tròn EA cắt tiếp tuyến B, C (O) M, N BM cắt CN F Chứng minh EF qua điểm cố định M E A N F P C B T S Giải Gọi P = AS ∩ BC, S = MB ∩ NC, T = MN ∩ BC Ta chứng minh EF qua P cố định ⇔ P E, BN, CM thẳng hàng ⇔ (T MNE) = (T CBP ) ⇔ (T MNE) = (T NMA) (vì S(T CBP ) = S(T NMA)) T N MN T M NM ⇔ = : : T E ME T A NA NT ET T M EM = : ⇔ : NA EA T A EA ⇔ (T EMA) = (NET A) ⇔ B(CEBA) = C(CEBA) (đúng) Vậy EF qua P cố định ♣ Nhận xét 2.2 Khá thú vị không? Dường lời giải đánh trúng tâm lí nhiều người học "Tỉ số kép" Lời giải trình bày theo mạch suy nghĩ tác giả , phần nói lên tư tưởng loạt tốn đã, trình bày chuyên đề Có thể bạn nghĩ bước: T N MN T M NM : = : T E ME T A NA NT ET T M EM : = : Là không tự nhiên? Nhưng quan sát tí, bạn thấy NA EA TA EA B(CEBA) = C(CEBA) ⇔ (T EMA) = (NET A) từ bước tự nhiên ⇔ BÀI Cho ∆ABC nhọn (không đều), nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, đường cao AD, AO cắt BC E Đường thẳng qua D song song với OH cắt AB, AC M, N I trung điểm cuae AE, DI cắt AB, AC P, Q.MQ cắt NP T Chứng minh D, O, T thẳng hàng A K Q V G I O N H B M F D E C J P T Giải Gọi F, K trung điểm BC AH G = DO ∩ AC, J = OD ∩ AB −−→ −→ Ta có: AH = 2OF Từ ta có: AKF O, KHF O hình bình hành ⇒ KF AE Ta có I trung điểm AE ⇒ DI qua trung điểm KF Mặt khác KHF O hình bình hành.⇒ KF, HO cắt trung điểm đường Từ ta có DI qua trung điểm V HO Xét chùm D(HOV N) có: DN HO DI qua trung điểm V HO ⇔ D(HOV N) = −1 ⇒ (AGQN) = −1 ⇒ (AGNQ) = −1 Xét phép chiếu xuyên tâm D ta có: (AJMP ) = (AGNQ) = (AGQN) ⇒ (AJMP ) = (AGQN) Vậy MQ, DO, P N đồng quy Dẫn đến D, O, T thẳng hàng ♣ BÀI Cho ∆ABC khơng cân Đường tròn (O) qua B, C cắt đoạn BA, CA điểm thứ hai F, E Đường tròn ngoại tiếp ∆ABE cắt đường thẳng CF M,N cho M nằm C F Đường tròn ngoại tiếp ∆ACF cắt đường thẳng BE P,Q cho P nằm B E Đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt BE R Đường thẳng qua Q góc với AQ cắt CF S SP giao NR U RM giao QS V Chứng minh NQ, UV, RS đồng quy H Q V A N E F P U M C B S R Giải Gọi H = SQ ∩ RN, K = NS ∩ RQ Ta có: ANE = ABE = NCE ⇒ ANE = NEC ⇒ ∆ANE ∼ ∆ACN ⇒ AN = AE.AC Tương tự ta có: AQ2 = AF.AB, AM = AE.AC, AP = AF.AB Mặt khác tứ giác BCEF nội tiếp nên AE.AC = AF.AB từ dẫn đến AM = AN = AP = AQ Suy tứ giác MP NQ nội tiếp (A) Từ ta có: (MP NQ) = Q(MP NQ) = (MKNS) = R(MKNS) = (V QHS) (MP NQ) = N(MP NQ) = (KP RQ) = S(KP RQ) = (NRUH) = (UNHR) ⇒ (V QHS) = (UNHR) Vậy V U, QN, SR đồng quy ♣ Nhận xét 2.3 Trên ví dụ mà nhóm tác giả tích lũy học hình học phẳng, hi vọng qua độc giả phần hiểu ý tưởng, chất phần "Tỉ số kép" Thông qua đó, bạn có nhìn mới, phương pháp vấn đè chứng minh đồng quy, thẳng hàng - đề tài bất tận Hình Học phẳng 2.2 Hàng điểm điều hòa Các ứng dụng hàng điểm diều hòa giới thiệu nhiều đầy đủ tài liệu tham khảo nước (xem thêm mục Tài liệu tham khảo cuối chuyên đề) Vì chuyên đề chúng em khơng có ý định khái qt lại từ đầu, mà sâu phân tích trình bày ứng dụng hàng điểm điều hòa việc giải tốn hình học, đặc biệt số toán, số kết mà chúng em cho hay đẹp Một vài số thường xuất tài liệu tham khảo khác, mà kết thu lượm chúng em q trình học tốn Vì chúng em vui lòng đón nhận ý kiến thảo luận toán tất toán khác chuyên đề để xây dựng chuyên đề ngày hoàn thiện hơn! Chúng ta bắt đầu toán quen thuộc sau: BÀI Cho tam giác ABC (I) tâm đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F EF kéo dài cắt BI CI P Q Chứng minh rằng: BP C = BQC = 900 Tương tự cho đoạn thẳng DE, DF đỉnh lại tam giác Giải Chúng ta chứng minh BP C = 90o tương tự cho trường hợp lại Ta có: P IC = IBC + ICB = (B + C)/2 = 90o − (A)/2 = P EC Suy tứ giác IEP C nội tiếp Từ ta có IP C = IEC = 90o , ta có đpcm ♣ Nhận xét 2.4 Từ tốn ta mở rộng thành toán lạ sau BÀI Cho tam giác ABC (I) tâm đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác Gọi X = MP ∩ DE, Y = MN ∩ DF A = AI ∩ BC Chứng minh rằng: a)X, Y, A, A thẳng hàng b) (AA XY ) = −1 c) Đường tròn đường kính (XY ) cắt BC K, L Chứng minh X, Y tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác AKL A E P F B I N H D A M C J Giải a) Để chứng minh X, Y thuộc AA (tức thuộc đường phân giác AI góc A tam giác ABC), ta gọi X = AI ∩ DE chứng minh X ∈ MP , tương tự cho Y Ta có X = AI ∩ DE nên theo bổ đề (câu b tốn trên) AX ⊥ BX, P trung điểm AB dẫn đến tam giác AXB có XP đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: XP = AP ⇔ AXP = XAP ⇔ AXP = XAC ⇔ XP AC, MP AC (đường trung bình) nên X ∈ MP Tương tự, gọi Y = AI ∩ DF , ta có: Y ∈ MN, ta có đpcm 10 AX AX = AY AY AB AX = Ta có: ABX ∼ ACY (g.g) ⇒ AY AC AX AB AB Tương tự A BX ∼ A CY (g.g) ⇒ = = AY AC AC Từ hai điều trên, ta có đpcm c) Theo câu b) (AA XY ) = −1 Do XY đường kính đường tròn nên LX ⊥ LY , từ ta có LX, LY tương ứng đường phân giác ngồi góc ALK AKL Hồn tồn tương tự có KX, KY tương ứng đường phân giác ngồi góc AKL AKL Từ hai điều ta có điều phải chứng minh ♣ b) Ta chứng minh BÀI 10 (Gặp gỡ Toán học lần IV) Cho điểm P nằm ngồi đường tròn (O); P C tiếp tuyến (O) kẻ từ P, P AB cát tuyến, CD đường kính (O) Gọi E = P O ∩ BD Chứng minh CE ⊥ CA P C B E O A K X D Giải Kẻ tiếp tuyến thứ hai P K đến (O) Gọi X = DA ∩ P O Dễ thấy DK P O (do vng góc với CK) Ta có (ACBK) tứ giác điều hòa nên D(ACBK) = −1 Cắt chùm D(ACBK) đường thẳng P O song song với DK, ta được: O trung điểm XE Tứ giác DXCE có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành, suy DX CE Mà DX ⊥ CA, từ suy đpcm ♣ BÀI 11 (Mathlinks) Trong tam giác nhọn (ABC) cho AB > AC Lấy M trung điểm BC Tia phân giác ngồi góc BAC cắt cạnh BC điểm P Các điểm K F nằm P A cho MF ⊥ BC MK ⊥ P A Chứng minh BC = 4P K.AK F A K B C P 11 X M Giải Ta có BC = 4P F.AK ⇔ MC = P F.AK Mặt khác ta lại có P M = P F.P K nên điều cần chứng minh tương đương với: (P M − MC)(P M + MC) = P F (P K − AK) ⇔ P B.P C = P F.P A Tia phân giác tam giác đỉnh A cắt cạnh BC X Ta có: AP ⊥ AX, từ ta có đồng thời hai kết sau: tứ giác AXMF nội tiếp (P XCB) = −1, suy ra: P A.P F = P X.P M = P B.P C (theo hệ thức Maclaurin M trung điểm BC) Vậy, ta có đpcm ♣ Nhận xét 2.5 Tư tưởng dùng hàng điểm điều hòa hai tốn tương đối tự nhiên có lẽ lối Tuy nhiên với tốn mà hàng điểm khơng phải cơng cụ sao? Chúng ta xem xét ví dụ sau để thấy tốn có nhiều hướng đi, hàng điểm điều hồn thể sức mạnh ưu việt BÀI 12 (Russia 2008) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với X trực tâm AH, BK, CL ba đường cao tam giác Gọi Q trung điểm AC, P = BO ∩ AC, T = HL ∩ BK Chứng minh rằng: T P ⊥ XQ A K L X Q T P O C B H Giải BO kéo dài cắt đường tròn điểm thứ hai M Theo kết AXCM hình bình hành nên X, Q, M thẳng hàng Q trung điểm XM Đến ta có hai hướng tiếp cận để kết thúc tốn: • Cách Để chứng minh T P ⊥ XQ, ta chứng minh Menelaus vào tam giác ABX với cát tuyến HT L, ta có: PB TB = Theo định lý TX PM LA T B HX bcosA ccosBcotC TX TX bcosAcotC =1⇔ = ⇔ = LB T X HA acosB csinB TB TB asinB 12 Tương tự, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XBM với cát tuyến P QK để ý QX = QM, ta có: PM ccosAcotC cosAcotC KB QX P M =1⇔ = = KX QM P B PB csinA sinA a b = sinA sinB Từ ba điều ta có T P ⊥ XQ, từ suy đpcm Mặt khác theo định lý sin tam giác thì: • Cách Ta có (BXT K) = −1 (do AH, BK, CL đồng quy) nên P (BXT K) = −1 = P (MXT K) Mặt khác P K qua trung điểm XM Dẫn đến T P ⊥ XQ, ta có đpcm ♣ Nhận xét 2.6 Hàng điểm điều hòa, tốn trên, cho ta lời giải túy hình học Tiếp theo ta đến với kết hữu dụng xem bổ đề hình học BÀI 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) T giao điểm hai tiếp tuyến (O) B, C Đường thẳng vng góc với AT A cắt BC đường tròn (O) P, Q Chứng minh P T song song với tiếp tuyến Q (O) Q A O P B H C M T Giải Gọi M = AT ∩ (O), dễ thấy M, O, Q thẳng hàng Gọi H = OM ∩ BC, ta chứng minh OH ⊥ P T (khi P T OH) 13 QQ vng góc với Dễ thấy: tứ giác ABMC điều hòa nên Q(ABMC) = −1, cắt đường thẳng BC, ta được: (P BHC) = −1, H thuộc đường đối cực P đường tròn (O) Mặt khác H thuộc BC đường đối cực T (O), H cực P T đường tròn (O) Từ OH ⊥ P T hay P T QQ, ta có đpcm ♣ BÀI 14 (USA TST 2007) Tam giác ABC nội tiếp (O) T giao điểm hai tiếp tuyến (O) B, C Điểm S nằm BC cho AS ⊥ AT Điểm B1 C1 nằm tia ST cho T B = T C = T B1 = T C1 B1 nằm S T Chứng minh rằng: ABC ∼ AB1 C1 Dựa vào toán trên, chi tiết chứng minh xin dành cho độc giả! BÀI 15 (Mathley Contest) Cho tam giác ABC không cân A Gọi (O) (I) đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác (I) tiếp xúc với AC, AB E, F Các điểm M, N thuộc (I) cho EM F N BC Gọi P, Q giao điểm BM, CN với (I) Chứng minh rằng: BC, EP, F Q thẳng hàng Giải Gọi S = BC ∩ EF Gọi D tiếp điểm (I) với BC Dễ thấy tứ giác DMF P điều hòa Do E(DSP M) = E(DF P M) = −1 Từ ý EM DS, suy EP qua trung điểm DS Tương tự, F Q qua trung điểm DS, ta có đpcm ♣ BÀI 16 (Virgil Nicula) Cho đường thẳng d bốn điểm A, C, B, D nằm đường thẳng d theo thứ tự cho (ABCD) = −1 Gọi M trung điểm CD Một đường tròn γ cho NP ⊥ AM Các đường thẳng NC, ND, P C, P D cắt lại γ S1 , T1 , S2 , T2 Chứng minh B = S1 T1 ∩ S2 T2 N S2 T1 C A B M D T2 S1 P Giải Để chứng minh B = S1 T1 ∩ S2 T2 , ta chứng minh B ∈ S1 T1 , tương tự cho B ∈ S2 T2 (do vai trò N P AM tương đương) Gọi H = NP ∩ AM Do NP đường kính nên P HD = P T1 D = 900 Vậy, ta có tứ giác P HT1 D nội tiếp nên: NH.NP = NT1 ND Tương tự ta có: Tứ giác HCS1 P nội tiếp nên: NH.NP = NS1 NC Từ hai điều ta có: ND.NT1 = NS1 NC hay tứ giác CT1 DS1 nội tiếp mà (ABCD) = −1 M trung điểm đoạn CD nên: AB.AM = AC.AD = AM − MC Lấy đại lượng AB.(AM + MB) = AM − MB trừ hai vế biểu thức trên, ta có: AB.MB = MC − MB = BC.BD Mặt khác gọi B = CD ∩ S1 T1 ta có: 14 Do tứ giác CT1 DS1 nội tiếp nên: B C.B D = B S1 B T1 = B M.B A (cùng phương tích điểm M đường tròn Γ) Vậy ta có B ≡ B , từ suy đpcm ♣ BÀI 17 (IMO shortlist 2004, G8) Trong tứ giác nội tiếp ABCD, gọi E = AD ∩ BC, F = AC ∩ BD (C nằm B E) Gọi M trung điểm CD M = Q đường tròn AN AM = Chứng minh rằng: E, N, F thẳng hàng ngoại tiếp tam giác ABM cho MB NB H A E L F M P I C B D Giải Gọi G = BA ∩ CD Gọi P = DC ∩ (ABM) Theo phương tích, ta tính được: GC.GD = GA.GB = GJ.GM Vì theo hệ thức Mc Laurint: (GP CD) = −1 Gọi P = EF ∩ CD, K = EF ∩ AB, N = EF ∩ (ABM) (K nằm E, N ) Ta có (GAKP ) = −1, E(GAKP ) = −1 (GDP C) = −1 nên P ≡ P Vì P (GAKB) = −1 Cắt chùm điều hòa đường tròn (ABM), ta có tứ giác điều hòa P nằm đường tròn Nhưng rõ ràng giao điểm cắt điểm M, A, N , P MA MB Suy = Dẫn đến N ≡ N Ta có đpcm NA NB ♣ Nhận xét 2.7 Cuối ta bước sang giai đoạn tìm hiểu chùm tốn có liên quan đến Đường thẳng Gauss BÀI 18 (Đường thẳng Gauss) Cho tứ giác lồi ABCD có E = AD ∩ BC, F = AB ∩ CD, O = AC ∩ BD I, K, H trung điểm BD, AC, EF Chứng minh I, K, H thẳng hàng 15 E B H A I O K C F D Giải Gọi M = AC ∩ EF , G = BD ∩ EF , ta có ngay: (GMF E) = (MOAC) = (GOBD) = −1 Mà H trung điểm EF nên theo kết phần đầu chuyên đề, ta có: FG HG = HM FM IG DG MC KM = = IO OD KO OC F G DG MC HG IG KM =( ) Từ biểu thức trên, ta có: HM IO KO F M OD OC F G DG MC Mặt khác, theo định li Menelaus cho tam giác OMG với cát tuyến F CD, ta có: = F M OD OC HG IG KM Vậy ta có, = hay I, K, H thẳng hàng(đpcm) ♣ HM IO KO Tương tự ta có: BÀI 19 Chúng ta biết ba đường tròn có chung trực đẳng phương suy ba tâm chúng thẳng hàng, điều ngược lại khơng Vì vậy, để kết thúc chuyên đề này, chúng em mạnh dạn đưa mở rộng toán Đường thẳng Gauss xin trình bày lời giải đẹp cho phần mở rộng này! BÀI 20 Cho tứ giác lồi ABCD có E = AB ∩ CD, F = AD ∩ BC Chứng minh (AC), (BD), (EF ) có chung trục đẳng phương (Ta kí hiệu (XY ) đường tròn đường kính XY ) Giải Gọi H, K trực tâm hai tam giác EBC, F CD L, M, N hình chiếu H lên EB, EC, BC P, Q, R hình chiếu K lên DF, CF, DC Theo Phương tích, ta có: HL.HC = HM.HB = HN.HE KP.KC = KQ.KD = KR.KF Hay tương đương: PH /(AC) = PH /(BD) = PH /(EF ) PK /(AC) = PK /(BD) = PK /(EF ) Từ hai điều ta suy HK trục đẳng phương chung ba đường tròn (AC), (BD), (EF ), ta có đpcm ♣ 16 Bài tập đề nghị Dưới tập đề nghị mà nhóm tác giả xếp theo thứ tự từ dễ đến khó Các tập có phần gợi ý giải BÀI Cho tam giác ABC điểm D thuộc mặt phẳng cho DBA = DCA = BAC Chứng minh rằng: D thuộc đường thẳng Euler tam giác ABC Gợi ý Gọi P = CD ∩ AB, Q = BD ∩ AC, M, N trung điểm AB, AC Gọi G, O trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dùng đẳng thức tỉ số kép để chứng minh NP, MQ, GD đồng quy, tức G, O, D thẳng hàng Suy đpcm BÀI (IMO shortlist 1994) Cho tam giác ABC không cân A, có D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác với cạnh BC, CA, AB X điểm bên tam giác ABC cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC D, tiếp xúc với XB, XC Y Z Chứng minh rằng: E, F, Y, Z đồng viên Gợi ý Bài toán cần sử dụng bổ đề quen thuộc: Cho tam giác ABC, M, N, Q tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác với cạnh BC, CA, AB EF ∩ BC = S Khi (SMBC) = −1 BÀI Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác BAC cắt BC D cắt (O) E Đường tròn đường kính DE cắt (O) F Chứng minh AF đường đối trung góc BAC ABC Gợi ý Gọi M trung điểm BC,S = EF ∩ BC Suy M,D,E,F đồng viên Dẫn đến: (DSBC) = E(AF BC) = −1 Tứ giác ABF C tứ giác điều hòa nên AF đường đối trung ABC BÀI (Việt Nam TST 2006) Cho tam giác ABC nhọn, không cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng (d) thay đổi mặt phẳng cho (d) ln vng góc với đường thẳng OA, (d) cắt tia AB, AC M, N.K = BN ∩ CM, AK ∩ BC = P Chứng minh rằng: đường tròn (MNP ) qua điểm cố định Gợi ý Gọi S = BC ∩ MN, D trung điểm BC Suy tứ giác MNCB nội tiếp Dẫn đến M, N, D, P đồng viên hay đường tròn (MNP ) qua điểm D cố định BÀI Cho hình vng ABCD I tùy ý thuộc AB.DI ∩ BC = E, CI ∩ AE = F Chứng minh rằng: BF ⊥ DE Gợi ý Đây tốn lí luận không rõ ràng dễ bị ngộ nhận Gọi T, K giao điểm DE với BF AC Suy (KT IE) = −1 Gọi T giao điểm thứ hai đường tròn (ABCD) với DE Hãy chứng minh T ≡ T BÀI Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng ( ) mặt phẳng theo thứ tự cắt AB, CD, AC, BD, AD, BC M, N, P, Q, R, S cắt (O) U, V Chứng minh rằng, hai ba đoạn MN, P Q, RS có trung điểm bốn đoạn MN, P Q, RS, UV có trung điểm Gợi ý Đây tốn lạ khơng khó Do MN, P Q, RS có vai trò tương đương 17 nên ta cần giả sử MN P Q có trung điểm Gọi H = AD ∩ BC Chứng minh được: (MRP S) = (NSQR) Suy NR = MS RP = SQ tức ba đoạn MN, P Q, RS có trung điểm Mặt khác lại có (MUP V ) = (NV QU) dẫn đến MN, P Q, UV có trung điểm.Kết hợp hai kết ta có đpcm BÀI Cho tam giác ABC, P điểm A1 hình chiếu P theo phương l cố định lên BC A2 trung điểm AA1 A2 P ∩ BC = A3 A4 điểm đối xứng với A1 qua A3 Chứng minh rằng: P A4 qua điểm cố định Gợi ý Gọi D hình chiếu song song với phương l hạ từ A xuống BC A5 trung điểm AD Suy ra: A1 (A4 A2 A5 P ) = A2 (A4 A1 A3 A5 ) Dẫn đến A4 , A5 , P thẳng hàng.Vậy P A4 qua điểm A5 cố định BÀI Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi E, F, G theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng AB CD, BC DA, AC BD Hai đường tròn (DEA) (DCF ) cắt điểm thứ hai H Đường phân giác AHB cắt AB I, đường phân giác DHC cắt CD J Chứng minh: I, G, J thẳng hàng Gợi ý Dễ dàng chứng minh E, H, F thẳng hàng Ap dụng tính chất điểm Miquel tứ giác tồn phần, ta có bốn đường tròn (EDA), (F CD), (F AB), (EBC) qua điểm H Mặt khác, chứng minh được: (DCEJ) = (BAEI) = sin(AD; AB) sin(BC; BA) Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép nên G, I, J thẳng hàng BÀI Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác dựng hình vng CBXY, ACZT, BAUV Về phía ngồi hình vng CBXY dựng KXY cân K.Chứng minh rằng: AK, XT, Y U đồng quy Gợi ý Gọi L = AY ∩ BZ, J = AX ∩ CV Xét phép quay Q(C; 900 ): Z → A, B → Y nên ALZ = 900 Dẫn đến A, L, C, Z, T đồng viên Suy ra: L, T, X thẳng hàng Tương tự: J, U, Y thẳng hàng Gọi I = XT ∩ UV Chứng minh được: X(AIY K) = Y (AIXK) Suy A, I, K thẳng hàng hay AK, XT, UY đồng quy BÀI 10 Cho T điểm Torricelli tam giác ABC nhọn (điểm Torricelli tam giác ABC điểm thỏa mãn tổng T A + T B + T C nhỏ nhất) AT, BT, CT cắt BC, CA, AB theo thứ tự A0 , B0 , C0 , A1 , B1 , C1 theo thứ tự điểm đối xứng với T qua BC, CA, AB Chứng minh rằng: A0 A1 , B0 B1 , C0 C1 đồng quy Gợi ý Đây tốn khó Điểm mấu chốt tốn tìm giao điểm A0 A1 , B0 B1 C0 C1 Đó điểm đẳng giác T ABC Khơng tính tổng quát, ta cần chứng minh A1 , A0 , H thẳng hàng Gọi A điểm đối xứng A qua BC Suy A1 , A0 , A thẳng hàng Ta có A1 , A0 , H thẳng hàng khi: B(HCA1 A ) = C(HBA1 A ) Bằng phép biến đổi tỉ số kép với góc định hướng, ta có đẳng thức tương đương với: 18 −−→ −→ −→ −−→ sin(BT , BC) sin(BH, BA) AC = −→ −−→ −−→ −→ AB sin(CT , CB) sin(CH, CA) Đẳng thức đẳng thức (Bạn đọc tự biến đổi việc áp dụng định lí hàm sin) 19 ... Thống Lý Thuyết 1.1 Tỉ Số Kép Định nghĩa 1.1 • Tỉ số kép hàng điểm Bộ bốn điểm đơi khác nhau, kể đến thứ tự, thuộc đường thẳng gọi hàng hay hàng điểm Tỉ số kép hàng A, B,C,D số, kí hiệu (ABCD)... 1.3 Hàng điểm điều hòa Định nghĩa 1.3 Trên đường thẳng ta lấy điểm A, B, C, D Khi ta gọi A, B, C, D hàng điểm điêu hòa (ABCD) = −1 Khi đó, cặp điểm A, B chia điều hòa cặp điểm C, D hay cặp điểm. .. Các hệ thức kết đẹp, linh hồn hàng điểm điều hòa, có ứng dụng vơ lớn toán mà cần tới có mặt hàng điểm điều hòa Định lý 1.3 Cho (ABCD) = −1 điểm O nằm hàng điểm điều hòa Một đường thẳng d cắt ba