Tỉ số kép hàng điểm điều hòa

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNGTỔ TOÁN HỌC NGUYỄN HỒNG ĐỨC CTK9 LÝ MINH HOÀNG CTK9 THIỆU HỒNG THÁI CTK9 ỨNG DỤNG TỶ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bình phước, Ngày 27, T

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG

TỔ TOÁN HỌC

NGUYỄN HỒNG ĐỨC (CTK9)

LÝ MINH HOÀNG (CTK9) THIỆU HỒNG THÁI (CTK9)

ỨNG DỤNG

TỶ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Bình phước, Ngày 27, Tháng 7, Năm 2012

1 Hệ Thống Lý Thuyết

1.1 Tỉ Số Kép

Định nghĩa 1.1 • Tỉ số kép của hàng điểm

Bộ bốn điểm đôi một khác nhau, có thể kể đến thứ tự, cùng thuộc một đường thẳng gọi

là hàng hay hàng điểm Tỉ số kép của hàng A, B,C,D là một số, kí hiệu là (ABCD) hay (A, B, C, D) và được xác định

(ABCD) = AC

AD :

BC BD

• Tỉ số kép của chùm đường thẳng

Bộ bốn đường thẳng phân biệt đồng quy tại O, có thể kể đến thứ tự Tỉ số kép của chùm

OA, OB, OC, ODlà một số, kí hiệu O(ABCD) và được xác định

O(ABCD) = sin(

−→

OA,−→OC) sin(−→OA,−−→OD) :

sin(−−→OB,−→OC) sin(−−→OB,−−→OD) Tính chất 1.1 Với hàng điểm gồm A, B, C, D và A0, điểm S bất kỳ nằm ngoài hàng điểm:

• S(ABCD)=(ABCD)=sin(

−→

OA,−→OC) sin(−→OA,−−→OD) :

sin(−−→OB,−→OC) sin(−−→OB,−−→OD)

• (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA)

• (ABCD) = 1 − (ACBD)

• (ABCD) = (A0BCD) ⇔ A ≡ A0

• (ABCD) 6= −1

Hệ quả 1.1 • Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Điểm S ∈ (O) Khi đó S(ABCD) = const

• Cho các đường thẳng a, b, c, d và a0, b0, c0, d0 đồng quy và thỏa mãn các điều kiện sau:

a ⊥ a0, b ⊥ b0, c ⊥ c0, d ⊥ d0 Khi đó (abcd) = (a0b0c0d0)

1.2 Phép chiếu xuyên tâm

Định nghĩa 1.2 Cho đường thẳng d và điểm S không thuộc d ánh xạ biến mỗi điểm M trong mặt phẳng thành điểm M0 là giao điểm của đường thẳng SM với d được gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm chiếu S) lên đường thẳng d

Định lý 1.1 Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng

B0

C0

bB

2

Chứng minh Xét phép chiếu xuyên tâm, tâm chiếu S : A → A0, B → B0, C → C0, D → D0 Ta có:

(ABCD) = AC

AD :

BC

BD =

sin(−→OA,−→OC) sin(−→OA,−−→OD).

sin(−−→OB,−→OC) sin(−−→OB,−−→OD) =

A0C0

A0D0 : B0C0

B0D0

Vậy (ABCD) = (A0B0C0D0)

Hệ quả 1.2 Dưới đây là một số hệ quả quen thuộc và được sử dụng rất nhiều trong giải toán bằng phương pháp tỉ số kép - phép chiếu xuyên tâm, đặc biệt là trong bài toán chứng minh đồng quy và thẳng hàng:

1 Cho bốn đường thẳng đồng quy a, b, c, d và một đường thẳng bất kì cắt 4 đường thẳng đó lần lượt tại A, B, C, D Khi đó (ABCD) không đổi

2 (OABC) = (OA0B0C0) khi và chỉ khi AA0, BB0, CC0 đồng quy hoặc đôi một song song

3 Cho O và O0 nằm trên d Các đường thẳng a, b, c đồng quy tai O, a0,0b, c0 đồng quy tại

O0 Gọi a ∩ a0 = A, b ∩ b0 = B, c ∩ c0 = C, d ∩ d0 = D Khi đó: A, B, C thẳng hàng ⇔ (abcd) = (a0b0c0d0)

4 Cho 2 chùm O(ABCO0) và O0(ABCO) Khi đó: A, B, C thẳng hàng ⇔ O(ABCO0) =

O0(ABCO)

Định lý 1.2 Cho điểm S và hàng điểm A, B, C, D thuộc đường thẳng d Từ điểm C kẻ đường thẳng song song với SD cắt SA, SB tại A0, B0 Khi đó: (ABCD) = CA0

CB0

A

bC bB

b B0

bB0 1

Chứng minh Theo định lý Thales ta có:

CA0

DS =

AC

AD

CB0

DS =

BC BD

⇒ CA0

CB0 = AC

AD :

BC

BD = (ABCD) Vậy (ABCD) =

CA0

CB0

1.3 Hàng điểm điều hòa

Định nghĩa 1.3 Trên đường thẳng ta lấy 4 điểm A, B, C, D Khi đó ta gọi A, B, C, D là hàng điểm điêu hòa khi và chỉ khi (ABCD) = −1 Khi đó, cặp điểm A, B chia điều hòa cặp điểm

C, D hay cặp điểm A, B liên hợp điều hòa với cặp điểm C, D

Tính chất 1.2 Với I là trung điểm AB Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

1 (ABCD) = −1

2 2

AB =

1

AC +

1

AD (Hệ thức Descartes)

3 IA2

= IB2

= IC.ID( hệ thức Newton)

4 CI.CD = CA.CB( Hệ thức Maclauranh)

Ngoài ra còn một hệ thức cơ bản sau:

ID

IC = (

BD

BC)

2

= (AD

AC)

2

Chứng minh Do (ABCD) = −1 và I là trung điểm AB nên theo hệ thức Newton, ta có:

IA2

= IB2

= IC.ID

⇒ IA

ID =

IC

IA =

IC − IA

IA − ID =

AC

DA =

BC BD Mặt khác: (IA

ID)

2

= IC

ID Từ đó ta có: ID

IC = (

BD

BC)

2

= (AD

AC)

2

Hệ thức được chứng minh

Nhận xét 1.1 Các hệ thức trên đây là những kết quả đẹp, là linh hồn của cả một hàng điểm điều hòa, có ứng dụng vô cùng lớn đối với những bài toán mà cần tới sự có mặt của hàng điểm điều hòa

Định lý 1.3 Cho (ABCD) = −1 và điểm O nằm ngoài hàng điểm điều hòa trên Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB, OD lần lượt tại E, I, F Khi đó I là trung điểm EF khi và chỉ khi

EF k OA

Nhận xét 1.2 Đây là kết quả suy ra trực tiếp từ Định lý 2 Định lý này rất quan trọng trong việc chứng minh các yếu tố song song và trung điểm

1.4 Chùm điều hòa

Định lý 1.4 Bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại S Khi đó ta gọi S(ABCD) = −1 Tính chất 1.3 Cho chùm điều hòa S(abcd) = −1, khi đó dcSd = 900 khi và chỉ khi Sc là phân giác trong của góc daSbvà Sd là phần giác ngoài của góc [ASB

Một số lưu ý về tứ giác điều hòa:

1 Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp ABCD được gọi là điều hòa nếu tồn tại điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác sao cho M(ABCD) = −1, cũng tức là (ABCD) = −1

2 Tính chất: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(a) Tứ giác ABCD điều hòa

(b) AC

AD =

BC BD (c) AA, CC, BD hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

(d) BB, DD, AC hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

với quy ước AA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)

2 Hệ thống bài tập vận dụng

2.1 Tỉ số kép

BÀI 1 (Định lý Pappus) Cho 2 đường thẳng a, b Trên a lấy các điểm A, B, C, trên b lấy các điểm X, Y, Z Theo thứ tự đó Gọi M = AY ∩BX, N = AZ ∩CX, P = BZ ∩CY Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

X

Y

Z

M

N b P

I Giải Gọi E = AZ ∩ BY , F = BZ ∩ CX, S = AC ∩ XZ

Ta có: A(BEMX) = A(SZY X) = C(SZY X) = C(BZP F )

⇒ (BEMX) = (BZP F ) ⇔ EZ, MP, F X đồng quy Vậy M, N, P thẳng hàng ♣ BÀI 2 (Định lý Pascal) Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng nàm trên một đường tròn bất kì Gọi G, H, K theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB, DE);(BC, EF );(CD, F A) Khi đó 3 điểm G, H, K thẳng hàng

B

A

D

G

H

bK

N

I Giải Gọi M = AB ∩ EF , N = AF ∩ BC, ta có:

(AMGB) = E(AMGB) = E(AF DB) = C(AF DB) = (AMGB) = (AF KN)

BÀI 3 (Định lý Desargues) Cho 2 ∆ABC và ∆MNP có AM, BN, CP đồng quy tại O Gọi

I, J, K theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB, MN), (BC, NP ), (CA, P M) Khi đó I, J, K thẳng hàng

N

M

P

B

K

X

Z

Y

I Giải Gọi X = BN _ CK, Z = AM _ IK, Y = CP _ IK Xét phép chiếu xuyên tầm I,

ta có: (OBXN) = (OAZM)

Xét phép chiếu xuyên tâm K, ta có: (OAZM) = (OCY P )

⇒ (OBXN) = (OCY P ) ⇔ BC, XY, NP đồng quy Vậy I, J, K thẳng hàng ♣ Nhận xét 2.1 Trên đây là 3 định lý nổi tiếng của Hình học phẳng, nhờ có hệ thống lí thuyết của "Tỉ số kép" ta đã giải quyết triệt để được những vấn đề đặt ra trên Và cũng từ đây, "Tỉ số kép" sẽ cho ta một cái nhìn hoàn toàn mới trong viêc chứng minh các yếu tố đồng quy, thẳng hàng

BÀI 4 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp O Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của

AB, BC, CD, DAđối với (O) Gọi H = DM∩(O), K = BP ∩(O), G = AP ∩(O), J = CM∩(O) Chứng minh rằng AC, BD, MP, NQ, HK, GJ đòng quy tại I

B

C

F

N

M

H

K

I Giải Ta sẽ chứng minh MQ, BD, NP đồng quy

Gọi S = MQ ∩ BD.Theo định lý Menelaus ta có:

SD

SB.

MB

MA.

QA

QD = 1 ⇒

SD

SB.

NB

NC.

P C

P D = 1

⇒ S, P, N thẳng hàng Dẫn đến MQ, BD, ND đồng quy tại S

Gọi I = MP ∩ NQ, ta có:

• Xét cực và đối cực đối với (O): S với I liên hợp (1)

Mà S ∈ MQ ⇒ S với A liên hợp S ∈ NP ⇒ S với C liên hợp

⇒ AC là đường đối cực của S (2)

Từ (1) và (2) ta có: I ∈ AC Tương tự ta có I ∈ BD

Vậy AC, BD, MP, NQ đồng quy tại I

• Ta sẽ chứng minh H, I, K thẳng hàng

Gọi T là giao điểm của MD và BP ta có:

(T DHM) = P (T DHM) = P (KP HM) = M(KP HM) = (KP T B) = (T BKP ) ⇒ (T DHM) = (T BKP )

⇔ BD, HK, MP đồng quy ⇒ H, I, K thẳng hàng

Tương tự ta có : G, I, J thẳng hàng

BÀI 5 Cho ∆ABC nội tiếp (O) E là một điểm trên đường tròn EA cắt các tiếp tuyến tại

B, C của (O) tại M, N BM cắt CN tại F Chứng minh rằng EF luôn đi qua một điểm cố định

B

C

S

I Giải Gọi P = AS ∩ BC, S = MB ∩ NC, T = MN ∩ BC

Ta sẽ chứng minh EF luôn đi qua P cố định ⇔ P E, BN, CM thẳng hàng

⇔ (T MNE) = (T CBP ) ⇔ (T MNE) = (T NMA) (vì S(T CBP ) = S(T NMA))

⇔ T N

T E :

MN

ME =

T M

T A :

NM NA

⇔ NT

NA :

ET

EA =

T M

T A :

EM EA

⇔ (T EMA) = (NET A) ⇔ B(CEBA) = C(CEBA) (đúng)

Nhận xét 2.2 Khá thú vị đúng không? Dường như lời giải trên đã đánh trúng tâm lí của nhiều người mới học "Tỉ số kép" Lời giải này được trình bày đúng theo mạch suy nghĩ của tác giả , cũng phần nào nói lên được tư tưởng của một loạt bài toán đã, đang và sẽ trình bày trong chuyên đề này Có thể bạn sẽ nghĩ bước:

T N

T E :

MN

ME =

T M

T A : NM NA

⇔ NT

NA :

ET

EA =

T M

T A :

EM

EA Là không tự nhiên? Nhưng nếu quan sát một tí, bạn sẽ thấy B(CEBA) = C(CEBA) ⇔ (T EMA) = (NET A) từ đó thì bước trên sẽ là rất tự nhiên thôi BÀI 6 Cho ∆ABC nhọn (không đều), nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, đường cao AD, AO cắt BC tại E Đường thẳng qua D song song với OH lần lượt cắt AB, AC tại M, N I là trung điểm cuae AE, DI lần lượt cắt AB, AC tại P, Q.MQ cắt NP tại T Chứng minh rằng D, O, T thẳng hàng

B

D

M

P

Q

T

J

V

I Giải Gọi F, K lần lượt là trung điểm của BC và AH G = DO ∩ AC, J = OD ∩ AB

Ta có: −−→AH = 2−→OF Từ đó ta có: AKF O, KHF O là các hình bình hành ⇒ KF k AE

Ta có I là trung điểm AE ⇒ DI cũng đi qua trung điểm KF

Mặt khác KHF O là hình bình hành.⇒ KF, HO cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Từ đó ta có DI đi qua trung điểm V của HO

Xét chùm D(HOV N) có: DN k HO DI đi qua trung điểm V của HO

⇔ D(HOV N) = −1 ⇒ (AGQN) = −1 ⇒ (AGNQ) = −1

Xét phép chiếu xuyên tâm D ta có:

(AJMP ) = (AGNQ) = (AGQN) ⇒ (AJMP ) = (AGQN)

Vậy MQ, DO, P N đồng quy Dẫn đến D, O, T thẳng hàng ♣ BÀI 7 Cho ∆ABC không cân Đường tròn (O) đi qua B, C lần lượt cắt đoạn BA, CA tại điểm thứ hai F, E Đường tròn ngoại tiếp ∆ABE cắt đường thẳng CF tại M,N sao cho M nằm giữa C và F Đường tròn ngoại tiếp ∆ACF cắt đường thẳng BE tại P,Q sao cho P nằm giữa

B và E Đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt BE tại R Đường thẳng qua Q vuôn góc với AQ cắt CF tại S SP giao NR tại U RM giao QS tại V Chứng minh rằng NQ, UV, RS đồng quy

b A

B

F

E

N

Q

S

V

U

H

I Giải Gọi H = SQ ∩ RN, K = NS ∩ RQ

Ta có: \ANE = [ABE = \NCE ⇒ \ANE = \NEC

⇒ ∆ANE ∼ ∆ACN ⇒ AN2

= AE.AC

Tương tự ta có: AQ2

= AF.AB, AM2

= AE.AC, AP2

= AF.AB

Mặt khác tứ giác BCEF nội tiếp nên AE.AC = AF.AB từ đó dẫn đến AM = AN = AP = AQ Suy ra tứ giác MP NQ nội tiếp (A)

Từ đó ta có: (MP NQ) = Q(MP NQ) = (MKNS) = R(MKNS) = (V QHS)

(MP NQ) = N(MP NQ) = (KP RQ) = S(KP RQ) = (NRUH) = (UNHR)

⇒ (V QHS) = (UNHR)

Nhận xét 2.3 Trên đây là các ví dụ mà nhóm tác giả đã tích lũy khi học về hình học phẳng,

hi vọng qua đó độc giả sẽ phần nào hiểu được ý tưởng, bản chất của phần "Tỉ số kép" này Thông qua đó, các bạn sẽ có một cái nhìn mới, phương pháp mới về các vấn đè chứng minh đồng quy, thẳng hàng - một đề tài bất tận của Hình Học phẳng

2.2 Hàng điểm điều hòa

Các ứng dụng của hàng điểm diều hòa đã được giới thiệu nhiều và đầy đủ ở trong các tài liệu tham khảo trong và ngoài nước (xem thêm mục Tài liệu tham khảo ở cuối chuyên đề) Vì vậy trong chuyên đề này chúng em không có ý định khái quát lại từ đầu, mà sẽ đi sâu phân tích và trình bày các ứng dụng của hàng điểm điều hòa trong việc giải toán hình học, đặc biệt

là trong một số bài toán, một số kết quả mà chúng em cho là hay và đẹp Một vài trong số ấy thường là ít xuất hiện trong các tài liệu tham khảo khác, mà chính là các kết quả thu lượm

được của chúng em trong quá trình học toán Vì vậy chúng em rất vui lòng được đón nhận các

ý kiến và thảo luận về các bài toán này cũng như tất cả các bài toán khác trong chuyên đề để xây dựng chuyên đề ngày một hoàn thiện hơn! Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài toán quen thuộc sau:

BÀI 8 Cho tam giác ABC và (I) là tâm đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F EF kéo dài cắt BI và

CI lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng: \BP C = \BQC = 900 Tương tự cho các đoạn thẳng

DE, DF và các đỉnh còn lại của tam giác

I Giải Chúng ta sẽ chứng minh rằng \BP C = 90o và tương tự cho các trường hợp còn lại

Ta có: [P IC = [IBC + [ICB = ( bB + bC)/2 = 90o

− ( bA)/2 = [P EC Suy ra tứ giác IEP C nội tiếp

Nhận xét 2.4 Từ bài toán trên ta có thể mở rộng thành bài toán mới lạ như sau

BÀI 9 Cho tam giác ABC và (I) là tâm đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác Gọi X = MP ∩ DE, Y = MN ∩ DF và A0 = AI ∩ BC Chứng minh rằng:

a)X, Y, A, A0 thẳng hàng

b) (AA0XY ) = −1

c) Đường tròn đường kính (XY ) cắt BC tại K, L Chứng minh rằng X, Y lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác AKL

A

D

E

F

M

P

H

J

A0

I Giải

a) Để chứng minh rằng X, Y thuộc AA0 (tức là thuộc đường phân giác trong AI của góc A của tam giác ABC), ta có thể gọi X = AI ∩ DE và chứng minh rằng X ∈ MP , tương tự cho Y

Ta có X = AI ∩ DE nên theo bổ đề (câu b của bài toán trên) thì AX ⊥ BX, nhưng vì P là trung điểm của AB dẫn đến tam giác AXB có XP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

XP = AP ⇔ \AXP = \XAP ⇔ \AXP = \XAC ⇔ XP k AC, nhưng vì MP k AC (đường trung bình) nên X ∈ MP Tương tự, nếu gọi Y = AI ∩ DF , ta cũng có: Y ∈ MN, ta có đpcm

b) Ta sẽ chứng minh AX

AY =

A0X

A0Y

Ta có: 4ABX ∼ 4ACY (g.g) ⇒ AX

AY =

AB

AC Tương tự 4A0BX ∼ 4A0CY (g.g) ⇒ A0X

A0Y =

A0B

A0C =

AB

AC

Từ hai điều trên, ta có ngay đpcm c) Theo câu b) thì (AA0XY ) = −1

Do XY là đường kính của đường tròn nên LX ⊥ LY , từ đó ta có LX, LY tương ứng là các đường phân giác trong và ngoài góc [ALK của 4AKL

Hoàn toàn tương tự cũng có KX, KY tương ứng là các đường phân giác trong và ngoài góc [

AKL của 4AKL

BÀI 10 (Gặp gỡ Toán học lần IV) Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O); P C là tiếp tuyến của (O) kẻ từ P, P AB là cát tuyến, CD là đường kính của (O) Gọi E = P O ∩ BD Chứng minh rằng CE ⊥ CA

bC

D

A

K

bB

E

X

I Giải Kẻ tiếp tuyến thứ hai P K đến (O) Gọi X = DA ∩ P O

Dễ thấy rằng DK k P O (do cùng vuông góc với CK)

Ta có (ACBK) là tứ giác điều hòa nên D(ACBK) = −1

Cắt chùm D(ACBK) trên bởi đường thẳng P O song song với DK, ta được: O là trung điểm của XE

Tứ giác DXCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành, suy ra DX k CE

BÀI 11 (Mathlinks) Trong tam giác nhọn (ABC) sao cho AB > AC Lấy M là trung điểm của BC Tia phân giác ngoài của góc [BAC cắt cạnh BC tại điểm P Các điểm K và F nằm trên P A sao cho MF ⊥ BC và MK ⊥ P A Chứng minh rằng BC2

= 4P K.AK

C

X

M

P

b F

I Giải Ta có BC2

= 4P F.AK ⇔ MC2

= P F.AK

Mặt khác ta lại có P M2

= P F.P K nên điều cần chứng minh tương đương với: (P M − MC)(P M + MC) = P F (P K − AK) ⇔ P B.P C = P F.P A

Tia phân giác trong của tam giác tại đỉnh A cắt cạnh BC tại X

Ta có: AP ⊥ AX, từ đó ta có đồng thời hai kết quả sau: tứ giác AXMF nội tiếp và (P XCB) = −1, suy ra:

P A.P F = P X.P M = P B.P C (theo hệ thức Maclaurin do M là trung điểm của BC)

Nhận xét 2.5 Tư tưởng dùng hàng điểm điều hòa ở hai bài toán trên là tương đối tự nhiên

và có lẽ đó cũng là lối đi duy nhất Tuy nhiên với những bài toán mà hàng điểm không phải là công cụ duy nhất thì sao? Chúng ta hãy xem xét ví dụ sau đây để thấy rằng trong những bài toán có nhiều hướng đi, hàng điểm điều hoàn thể hiện sức mạnh ưu việt của mình như thế nào BÀI 12 (Russia 2008) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với X là trực tâm

AH, BK, CL là ba đường cao của tam giác Gọi Q là trung điểm của AC, P = BO ∩ AC, T =

HL ∩ BK Chứng minh rằng: T P ⊥ XQ

B

H

K

L

b X

Q

O

b P

T

I Giải BO kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai M

Theo một kết quả cơ bản thì AXCM hình bình hành nên X, Q, M thẳng hàng và Q là trung điểm của XM

Đến đây ta có hai hướng tiếp cận để kết thúc bài toán:

• Cách 1 Để chứng minh rằng T P ⊥ XQ, ta sẽ chứng minh T B

T X =

P B

P M.Theo định lý Menelaus vào tam giác ABX với cát tuyến HT L, ta có:

LA T B.HX = 1 ⇔ bcosA.ccosBcotC = T X ⇔ T X = bcosAcotC