Bai giang to hop phan thi ha duong

Bài Giảng Câu Lạc Bộ Toán học Bài Hoán vị: số tính chất song ánh Phan Thị Hà Dương - Viện Toán học 28 tháng 11 năm 2010 Ngày tháng 12 năm 2010 Ghi Bài giảng chuẩn bị nhiều phần (tôi ghi tóm tắt dàn tài liệu này); tơi chọn số phần để giảng Buổi CLB 90’, phần lại bạn nhà đọc thêm Đặc biệt khuyến khích bạn làm tập Trong buổi trình bày ngày 28/11, tơi trình bày Đinh lý dạng tập, chữa chi tiết, số chữa toàn Cụ thể sau: Bài tập phần và Định lý 3.1, 3.3, 4.1, 4.2 Đặc biệt tập số Phần Bài tập 7.2 với việc sử dụng tính chất hoán vị Nguyên lý Bù trừ Hầu hết chứng minh dựa việc xây dựng song ánh tập hợp Phần lý thuyết, tơi trình bày phần 1, 2, 3, 4, Giới thiệu Hoán vị Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 2.1 Một hốn vị tập X song ánh X vào Đặc biệt, hốn vị n với n số nguyên dương song ánh từ [n] = {1, 2, , n} vào Số hốn vị n n! Ví dụ: Một hốn vị f 7, viết dạng 4, f (2) = 2, f (3) = 5, 1234567 4257361 , hiểu f (1) = Biểu diễn hốn vị Số Stirling loại Phân tích hốn vị thành xích: Cho ≤ x ≤ n, ta xét dãy x, f (x), f (f (x)), , tồn số tự nhiên nhỏ l cho f l (x) = x Như số dãy x, f (x), f l−1 (x) đơi khác nhau, gọi xích Bài tập 1: Chứng minh hoán vị n viết dạng hợp rời xích C1 , , Ck , số tự nhiên từ đến n xuất xích Ví dụ: hốn vị 1234567 4257361 viết sau f = (53)(6)(147)(2) Nếu ta quy ước viết cho: xích bắt đầu số lớn xích, xích theo thứ tự tăng dần số lớn xích, cách viết Ánh xạ biến hốn vị thành cách viết xích ký h Ví dụ: hốn vị 1234567 4257361 viết (2)(53)(6)(714) Bài tập 2: Có hốn vị có chẵn xích có độ dài chẵn ? Định lý 3.1 Ánh xạ h song ánh từ Sn vào Định nghĩa 3.2 Số hốn vị n có k xích ký hiệu s(n, k), gọi số Stirling loại Định lý 3.3 Số s(n, k) thỏa mãn công thức truy hồi sau: s(n + 1, k) = s(n, k − 1) + ns(n, k), với n, k nguyên dương, quy ước s(n, k) = n = k = 0, trừ trường hợp s(0, 0) = Định lý 3.4 Với n ngun khơng âm ta có: n x(x + 1) (x + m − 1) = Σm n=1 s(m, n)x Nghịch thế: Cho f hoán vị n Ta gọi cặp (f (i), f (j) nghịch f ≤ i < j ≤ n f (i) > f (j) Bài tập (Bài kỳ thi chọn đội tuyển Đà Nẵng - 2010): Cho n em học sinh đứng thành hàng dọc Cứ lần thầy giáo thổi còi có hai em đổi chỗ cho Hỏi: sau số lẻ lần thầy giáo thổi còi, ta thấy tất em học sinh đứng vị trí ban đầu hay khơng? Hốn vị đa tập Cho tập S = {x1 , , xm } gồm m phần tử Một tổ hợp chập k m tập T gồm k phần tử tập S gồm m phần tử Đa tập: tập hợp mà phần tử giống Số thành phần đa tập gọi số phần tử đa tập Ví dụ: Đa tập M gồm phần tử xi , ký hiệu {xa11 , , xamm } Số phần tử n M tổng Tổ hợp lặp chập k m đa tập k phần tử tập S gồm m phần tử ( phần tử S khác nhau) Bài tập 4: Có tổ hợp lập chập k m ? (ký hiệu ((nk )) Hoán vị đa tập Hoán vị đa tập M cách xếp n phần tử đa tập M Số hoán n vị đa tập M ký hiệu a1 , ,a m Định lý 4.1 Số hoán vị đa tập M = {xa11 , , xamm } n! a1 ! am ! Định lý 4.2 Số hoán vị đa tập M = {xa11 , , xamm } hệ số đơn thức xa11 xamm khai triển hàm mũ (x1 + + xm )n Chú ý: Có thể coi tổ hợp chập k n hệ số xk1 x2n−k khai triển (x1 + x2 )n số hoán vị đa tập M hệ số xa11 xamm khai triển (x1 + + xm )n Bài tập 5: Chứng minh Σr+s+t=n n r, s, t = 3n Một số song ánh 5.1 Giới thiệu Một đồ thị vơ hướng khơng có chu trình liên thông (luôn tồn đường hai đỉnh bất kỳ) Định lý cây: Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) V tập đỉnh E tập cạnh.Các mệnh đề sau tương đương: (a) G cây: G liên thơng khơng có chu trình (b) G liên thông |V | = |E| + (c) G khơng có chu trình |V | = |E| + (d) G liên thông xóa cạnh đồ thị nhận khơng liên thơng (e) G khơng có chu trình thêm vào cạnh đồ thị nhận có chu trình (f) Giữa hai đỉnh G có đường Một có gốc đồ thị có dạng có đỉnh r chọn làm gốc Tại đỉnh u khác r cây, có đường đến r, đỉnh v gần đỉnh đường gọi cha đỉnh u, u của v Một nhị phân mà đỉnh có hoặc Có n đỉnh ? Một nhị phân đầy đủ nhị phân mà đỉnh có hai khơng có Có n đỉnh ? Một đánh số mà đỉnh gán số tự nhiên từ đến n (n số đỉnh cây), số gán lần Có n đỉnh ? Một rừng hợp thành cây, nghĩa đồ thị khơng có chu trình Có rừng n đỉnh đánh số ? 5.2 Song ánh • Song ánh hốn vị n nhị phân tăng n đỉnh (các đỉnh đánh số cho số cha nhỏ số con) • Song ánh hốn vị n đánh số thỏa mãn: số nhỏ cha em nhỏ anh Sinh ngẫu nhiên hoán vị Bảng nghịch đảo: Cho hoán vị (a1 , an ) n Ký hiệu bi số số tự nhiên j nằm bên trái i hoán vị j > i (số nghịch i) Khi bảng (b1 , bn ) gọi Bảng nghịch đảo a Định lý 6.1 Đặt Jn = [0, n − 1] ∗ [0, n − 2] ∗ ∗ [0, 0] Ánh xạ I từ Sn vào Jn biến hoán vị n vào bảng nghịch đảo song ánh Phép sinh ngẫu nhiên với xác xuất Để sinh ngẫu nhiên hoán vị, dùng định nghĩa khó Phương pháp ta sinh ngẫu nhiên bảng nghịch đảo (với xác xuất đều, dễ dàng), sau áp dụng ánh xạ ngược ánh xạ I để tìm hốn vị Bài tập minh họa 7.1 Bài tập lý thuyết Chứng minh định lý giảng 7.2 Bài tập áp dụng Gọi f (n, k) số hốn vị n có k nghịch Chứng minh với k ≤ n, ta có f (n + 1, k) = f (n, k) + f (n + 1, k − 1) Gọi Dn số hốn vị bậc n khơng có điểm cố đinh Khi Dn số nguyên gần với số n!/e Trong buổi hội, có số cặp vợ chồng trẻ tham gia điệu nhảy đôi (mỗi đôi gồm nam nữ) Trong điệu nhảy đơi chơi trò đổi bạn: hai đôi nhảy đổi bạn nhảy cho Chứng minh dù lúc ban đầu đôi nhảy ghép ln có cách chọn để sau số lần đổi bạn, chàng trai nhảy với vợ (nghĩa gái phải nhảy với chồng :-)) Trong một giải thi đấu bóng bàn, có n cán Viện tốn đấu với n học sinh cấp Ở vòng 1, họ thi đấu n trận, trận cán đấu với học sinh Đến vòng đấu 2, trận tổ chức vậy, với điều kiện khơng phải gặp lại đối thủ vòng Tìm số cách tổ chức ghép cặp đấu cho vòng sau vòng kết thúc (có thể sử dụng tính tốn xấp xỉ) Một lớp học có 10 học sinh có điểm tổng kết đôi mội khác Họ định giúo học tập Mỗi bạn có người giúp mơn văn, người giúp mơn tốn, hai người, khơng có giúp Biết người giúp người khác điểm tổng kết họ cao người kia, có bạn thấp điểm khơng giúp đỡ Hỏi có cách phân cơng giúp học tập ? (Shortlist 2002) Cho n số nguyên dương Một dãy S gồm n số gọi đầy đủ thỏa mãn hai điều kiện: với k nguyên lớn 2, k thuộc S k − thuộc S; lần xuất k S trước lần xuất cuối k Hỏi có dãy đầy đủ ? Tìm hiểu thêm • Tổ hợp: Rất nhiều tốn tổ hợp, nhiều đối tượng tổ hợp đưa toán hoán vị Đặc biệt tốn xếp • Đại số: Tập hợp Sn gồm tất hốn vị n có nhiều tính chất, đạc biệt nghiên cứu cấu trúc nhóm Sn đóng vai trò quan trọng Đại số • Xác xuất thuật tốn: Một vấn đề việc sinh ngẫu nhiên phần tử tập hợp để xác xuất sinh phần tử Nhờ có bảng nghịch đảo, ta sinh hoán vị với xac xuất hữu hiệu Tương tự, nhiều toán sinh ngẫu nhiên phần tử tập A phức tạp đơn giản hóa cách tìm song ánh A tập B thuật toán sinh ngẫu nhiên đơn giản B • Khoa học máy tính: Tập hốn vị liên quan mật thiết đến toán xếp - toán điển hình Khoa học máy tính: "Cho dãy số (các số khác nhau), tìm thuật tốn để xếp dãy số theo thứ tự tăng dần" Có nhiều thuật toán đề xuất phương pháp khác nhau, thể chất phương pháp thuật toán Quan trọng hết, người ta chứng minh dù thuật tốn nào, độ phức tạp tính tốn thuật tốn (được tính số phép so sánh hai phần tử với nhau) lớn hay O(nlogn) Tài liệu tham khảo Enumerative Combinatorics Richard Stanley Cambridge University Press 1997 Combinatorics R Merris Wiley-Intersciences 2003 Introduction to algorithm Thomas H Cormen, Dartmouth College Charles E Leiserson, Massachusetts Institute of Technology Ronald L Rivest, Massachusetts Institute of Technology Clifford Stein, Columbia University Shortlist 2002 Đề thị chọn đội tuyển Đà Nẵng 2010 ... (được tính số phép so sánh hai phần tử với nhau) lớn hay O(nlogn) Tài liệu tham khảo Enumerative Combinatorics Richard Stanley Cambridge University Press 1997 Combinatorics R Merris Wiley-Intersciences... nhiều to n sinh ngẫu nhiên phần tử tập A phức tạp đơn giản hóa cách tìm song ánh A tập B thuật tốn sinh ngẫu nhiên đơn giản B • Khoa học máy tính: Tập hốn vị liên quan mật thi t đến to n xếp - to n... tính: "Cho dãy số (các số khác nhau), tìm thuật tốn để xếp dãy số theo thứ tự tăng dần" Có nhiều thuật tốn đề xuất phương pháp khác nhau, thể chất phương pháp thuật to n Quan trọng hết, người ta