TỔ hợp VMO NGUYỄN VIỆT hải

Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO BÀI GIẢNG TỔ HỢP VMO CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ  Tốn tổ hợp kì thi Olympic Có tất dạng: - Đếm: đếm thủ công liệt kê, đếm đối tượng tổ hợp, đếm công cụ nâng cao như: truy hồi, song ánh, đa thức, - Chứng minh: sử dụng nguyên lí Tổ hợp là: quy nạp, phản chứng, chuồng thỏ (Dirichlet), bù trừ, cực hạn, đếm hai cách (Fubini), bất biến; kèm theo cơng cụ lý thuyết graph, lý thuyết trò chơi, - Cực trị rời rạc: gồm phần đánh giá xây dựng Trong toán thi phần chiếm tỉ lệ 50-50, 20-80 80-20, đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức, dự đốn giải triệt để  Một số khái niệm Ánh xạ Ánh xạ f : X  Y quy tắc cho tương ứng phần tử x  X với phần tử y Y Tập X tập nguồn, tập Y tập đích phần tử y gọi ảnh phần tử x - Đơn ánh ánh xạ mà phần tử khác cho ảnh khác nhau: x1 , x2  X : x1  x2  f  x1   f  x2  hay x1 , x2  X : f  x1   f  x2   x1  x2 - Toàn ánh ánh xạ mà ảnh X toàn tập Y y  Y , x  X : f  x   y - Song ánh ánh xạ vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Tập hợp Một tập hợp A nói hữu hạn có n phần tử tồn song ánh A tập hợp 1, 2, 3, , n  , điều có nghĩa ta đánh số phần tử A tương ứng số có dạng a1 , a2 , a3 , , an Do nhiều tính chất tập hợp có quan hệ song ánh tương đương nên nhiều toán, người ta thường xét tập hợp n số nguyên dương khảo sát tính chất chúng Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO Khi đó, ta viết A  n số phần tử (hay lực lượng) tập hợp A Nếu A không hữu hạn, ta nói A vơ hạn Tập hợp khơng có phần tử tập rỗng  Nếu tồn song ánh f : A  B A  B , ta kí hiệu A  B Theo cách hiểu thông thường, phần tử tập hợp xuất lần Các tập hợp cho phép phần tử xuất nhiều lần gọi multiset 3) Các phép toán tập hợp n - Phép hợp: Hợp n tập hợp A1 , A2 , A3 , , An kí hiệu U i tập hợp gồm tất i 1 phần tử mà phần tử thuộc tập hợp cho n - Phép giao: Giao n tập hợp A1 , A2 , A3 , , An kí hiệu U i tập hợp gồm tất i 1 phần tử mà phần tử thuộc tất tập hợp cho - Hiệu hai tập hợp: Hiệu tập A tập B , kí hiệu A \ B , tập hợp tất phần tử thuộc A mà không thuộc B - Tích Descartes: tích Descartes n tập hợp A1 , A2 , A3 , , An tập hợp gồm tất phần tử a1 , a2 , a3 , , an  với  Ai , i  1, 2,3, , n kí hiệu A1  A2  A3   An  Các đối tượng tổ hợp Hoán vị Có loại hốn vị: + Hốn vị thẳng: số hoán vị thẳng n đối tượng khác đơi n ! + Hốn vị vòng: số hốn vị vòng n đối tượng khác đơi (n1)! + Hốn vị lặp: xét hoán vị k loại đối tượng, đối tượng thứ i có lần xuất tổng số hốn vị (a1  a2   ak )! a1 !a2 ! ak ! Chỉnh hợp Có loại chỉnh hợp: + Chỉnh hợp không lặp: chập k n phần tử tính Ank  + Chỉnh hợp có lặp: chập k n phần tử tính nk Tổ hợp: n! (n  k )! Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO Có loại tổ hợp: + Tổ hợp không lặp: chập k n phần tử tính Cnk  n! k !(n  k )! + Tổ hợp lặp: ta xét toán chia kẹo Euler thay Dạng 1: Số cách chia n viên kẹo cho k em bé mà em phải có kẹo C nk11 Thật vậy, ta xếp n viên kẹo cho lên đường thẳng tính số cách đặt k  ngăn vào n  khoảng trống hai viên kẹo để chia chúng thành k phần Tổng cộng có C nk11 cách Dạng 2: Số cách chia n viên kẹo cho k em bé mà có em khơng có kẹo C nk1k 1 Thật vậy, ta “mượn” thêm k viên kẹo cho trước em bé, sau chia n viên kẹo cho chúng đưa tốn đếm số cách chia n  k viên kẹo cho k em bé mà em phải có kẹo Tổng cộng có C nk1k 1 cách  Giới thiệu số nguyên lí - Quy nạp: chứng minh bước sở bước liền trước bước Nguyên lí giúp ta giảm việc lập luận trường hợp tổng quát mà tập trung vào liên hệ hai bước liên tiếp - Phản chứng: chứng minh điều ngược lại kết luận dẫn đến điều mâu thuẫn vơ lí Ngun lí giúp ta tận dụng kết luận làm giả thiết cho trình lập luận - Bất biến: tìm đối tượng đại lượng có giá trị khơng đổi suốt q trình mà đề mơ tả Những tốn giải ngun lí thường khó giải theo cách khác kết luận ta thu thường bất ngờ, chặt chẽ - Đếm hai cách: ta đếm đại lượng hai nhiều cách chúng phải cho đáp số  n  k  - Chuồng thỏ: đưa n đối tượng vào k tập hợp có tập hợp chứa   đối tượng (trong  x  hàm ceiling số thực x - số nguyên nhỏ không nhỏ x ) Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO - Cực hạn: tập hợp hữu hạn phần tử so sánh với nhau, tồn phần tử nhỏ phần tử lớn Các phần tử có đầy đủ tính chất sẵn có tập hợp chứa có tính chất đặc trưng khác - Bù trừ: trường hợp có tập hợp A, B A  B  A  B  A  B , tổng n quát với n tập hợp A1 , A2 , , An A i i 1   I 1,2,3, , n (1) I 1 A i i I CÁC VÍ DỤ MỞ ĐẦU Quy tắc cộng, quy tắc nhân, nguyên lý thêm bớt Ta bắt đầu với hai tốn từ cấp 1: Ví dụ 1: Một khối lớp trường tiểu học An Bình có lớp học, lớp A có 30 học sinh, lớp B có 25 học sinh, lớp C có 31 học sinh, lớp D có 27 học sinh, lớp E có 29 học sinh Hỏi khối lớp có học sinh? Đáp số: 30+25+31+27+29=142 học sinh Ví dụ 2: Một sân vận động có 100 dãy ghế, dãy ghế có 200 Hỏi sân vận động có ghế? Đáp số: 100.200=20.000 ghế Hai tốn giải cách vơ đơn giản với hai phép toán cộng nhân Tuy nhiên, cơng việc thực tốn đếm lại không đơn giản Chẳng hạn với toán sau: Bài toán: Cho bảng gồm 10 hàng cách cm, hàng có 10 điểm cách cm Có hình vng tạo thành có đỉnh điểm bảng Công việc trở nên phức tạp nhiều hình vng đề cập có nhiều loại, tạo thành theo nhiều cách khác Mặc dù vậy, tốn khó giải dựa vào quy tắc ban đầu đơn giản, tương tự với tốn Đó quy tắc cộng quy tắc nhân Cái khó nhận có mặt quy tắc phần nhỏ tốn, tức nằm việc phân tích tình thành toán nhỏ đơn giản ( xem tập 14) Bây giờ, ta xem xét kỹ hai quy tắc Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO Quy tắc cộng Cách phát biểu 1: Một cơng việc có n phương án thực Phương án thứ k (1  k  n) có ak cách thực Khi có a1  a2    an cách thực công việc Cách phát biểu thứ 2: Cho n tập hợp khác rỗng đôi không giao A1 , A2 ,, An có số phần tử tương ứng a1 , a2 ,, an Khi đó, số phần tử tập A  A1  A2  A3   An a1  a2    an Với tốn 1, cơng việc thực xem là: chọn học sinh khối, ta có phương án thực hiện: Chọn học sinh lớp A,B,C,D,E số 30;25;31;27;29 số cách thực phương án Cũng vậy, xem xét mặt tập hợp, ta có tập tương ứng với lớp A,B,C,D,E, X hợp tập X tập hợp học sinh tồn khối, đương nhiên tập đôi không giao nhau, số phần tử tập X tổng số phần tử tập A,B,C,D,E Ta xét thêm ví dụ sau: Ví dụ 3: Có cặp thứ tự ( x, y ) mà x,y nguyên x  y  Lời giải: Gọi S tập cặp (x,y) Ta có vài cách chia S thành tập rời sau: Cách S  S0  S1  S  S3  S  S5 với Si  {( x, y ), x, y  , x  y  i} Cách S  P0  P1  P4 với Pi  {( x, y), x  i} Theo cách 1, cách liệt kê phần tử tập Si , ta có | S0 | 1,| S1 | 4;| S2 | 4;| S3 | 0;| S | 4,| S5 | , nên | S |       21 Theo cách 2, ( P0  {(0, y ); y  5} nên có y  {0, 1, 2} suy | P0 | P1  {(1, y ), y  4}  {( 1, y ), y  4} nên | P1 | 10 P4  {(2, y ); y  1}  {(2, y ); y  1} nên | P4 | Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO Từ | S |  10   21 Với cách 1, ta phải liệt kê thủ công phần tử tập Si , với cách 2, ta có cách đếm đơn giản Vậy cách chia tập quy tắc cộng định đơn giản lời giải, ta cần phải có lựa chọn sang suốt Quy tắc nhân Cách phát biểu 1: Một công việc thực n công đoạn liên tiếp Công đoạn có a1 cách thực hiện, cách thực cơng đoạn 1, có a2 cách thực cơng đoạn 2, cách thực k cơng đoạn trước đó, có ak 1 cách thực công đoạn thứ k+1 (  k  n  Khi có a1a2  an cách thực cơng việc Cách phát biểu 2: Số phần tử tập S  {( x1 , x2 ,, xn , xi  Si ,1  i  n} (*) a1a2  an số phần tử tập Si Với tốn 2, cơng việc nói đến việc chọn ghế sân vận động Ban đầu, ta phải chọn dãy ghế, sau chọn ghế dãy, ta thực cơng đoạn để hồn thành cơng việc, công đoạn biết số cách thực Nếu xem xét mặt tập hợp, ta gọi (a,b) cặp số thứ tự dãy ghế thứ tự ghế dãy a  S1 , S1 tập số thứ tự dãy ghế, có 100 phần tử, b  S2 tập số thứ tự ghế dãy, có 200 phần tử Vậy ta có kết Ta xét ví dụ khác: Ví dụ 4: Một phòng trang bị 10 bóng đèn, để phòng sáng cần bóng đèn phải bật Hỏi có cách bật bóng đèn mà phòng ln sáng? Lời giải: Một trạng thái bóng đèn ( x1 , x2 , x3 , , x10 ) mà xi trạng thái bóng đèn thứ i, xi nhận hai trạng thái: bật, tắt Theo quy tắc nhân, ta có đáp số 210  , có trạng thái tất bóng đèn tắt không thỏa mãn Đây quy tắc phép đếm Việc áp dụng quy tắc cộng biết rõ đâu phương án thực công việc hay tương ứng rõ cách chia tập A thành tập rời nhau, có hợp A ( ta gọi phân hoạch tập A), áp Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO dụng quy tắc nhân rõ công đoạn thực công việc hay tương ứng rõ tập S dạng (*) điều vô đơn giản, việc lại lúc hai phép tốn cộng nhân Như vậy, khó khăn thực toán đếm dồn hết vào việc cách chia công việc thành phương án thực riêng biệt ( phân hoạch tập), rõ công đoạn cần thực cách khoa học, khơng trùng lặp, khơng chồng chéo Cùng với kết hợp khéo léo quy tắc Ta xem xét số tập sau để vừa thấy rõ điều này, vừa theo dõi đường đến số vấn đề phức tạp Bài tập áp dụng Bài Một trường học có 2014 bàn Họ muốn đánh số tất chúng cách dán miếng đề can đánh số từ đến 2014 cho bàn Biết chữ số dán đề can tiêu tốn 1000 đồng, tính tiền cơng dán Chẳng hạn, dán xong số cho bàn số hết 1000 đồng, với bàn số 100 phải 3000 đồng Hỏi họ phải tốn tiền cho công việc trên? Lời giải: Muốn tính tốn số tiền, ta cần đếm số chữ số phải dùng Có loại cần phải tách riêng Loại 1: Các bàn sử dụng chữ số Có loại này, tổng cộng chữ số Loại 2: Các bàn sử dụng chữ số Có 90 loại này, tổng cộng 180 chữ số Loại 3: Các bàn sử dụng chữ số Có 900 loại này, tổng cộng 2700 chữ số Loại 4: Các bàn sử dụng chữ số Có 1014 loại này, tổng cộng 4056 chữ số Như vậy, tổng cộng 9+180+2700+4056=6945 chữ số, tức 6.945.000 đồng Trong lời giải trên, tập A số tự nhiên từ đến 2014 phân hoạch thành tập riêng biệt, dễ đếm phần tử chung tính chất Ta trình bày lời giải gọn chút sau ( chất không thay đổi) Gọi xi (1  i  4) số lượng số có i chữ số tập {1, 2,, 2014} Khi số chữ số cần dung S  x1  x2  x3  x4 Mà x1  9, x2  90, x3  900, x4  1014 nên S=6945 Từ thu đáp số Nguyễn Việt Hải – THPT chuyên Quang Trung =====================================================TỔ HỢP VMO Cũng hỏi tốn ngược lại sau: Bài 1.1 Một trường học muốn đánh số tất bàn họ việc dán đề can ghi số lên bàn, số 1, số cộng thêm Biết chữ số phải dán tiêu tốn hết 1000, sau dán xong, họ thấy tiêu hết 6.945.000 Hỏi trường học có bàn? Lời giải: Gọi n số bàn cần tìm Gọi xi (1  i  k ) số lượng số có i chữ số tập {1, 2,, n} Khi số chữ số cần dung S  x1  x2  3x3  x4   kxk Mà xi  9.10i 1 ,1  i  k  nên S  9(1  2.10    ( k  1)10k 1 )  kxk S=6945 Nếu k  S>10000 nên k2m  Nếu x  m , ta cần chọn y cho y>2m-x Khi x  y  2m  x Vậy với  x  m , có x-1 giá trị y ( từ k-x+1 đến k-1), nên có tổng cộng: m S1   (x  1) tam giác x 1  Nếu x>m, x+y>2x>2m nên cần chọn y cho y>x Như có 2m-x-1 giá trị y ( từ x+1 đến 2m-1) m 1 Vậy tổng cộng có S   (2m  x  1) x  m 1 Do đó, k chẵn ( k=2m), có | Ak | S1  S2  (m  1) +) Xét k lẻ, k=2m+1  Nếu  x  m , ta cần y>2m+1-x>x nên có x-1 giá trị y  Nếu x  m  , cần chọn y: x