HSG 11 HÌNH học PHẲNG LOẠI 3

Loại 3: Tìm quỹ tích Câu [SỞ THỪA THIÊN HUẾ ( Vòng 1)- năm học 2002-2003] a/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) cắt parabol (P): y = x2 bốn điểm, điểm có tọa độ (1;1) ba điểm lại ba đỉnh tam giác Tính bán kính đường tròn (C) b/ Tìm tập hợp tâm tam giác có ba đỉnh thuộc parabol (P): y = x2 Lời giải 2 a/ (C): (x – a) + (y – b) = R (C) qua điểm (1;1) nên: R2= (1 – a)2 + (1 – b)2 Hoành độ x1, x2, x3 ba đỉnh tam giác x = nghiệm phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 = (1 – a)2 + (1 – b)2 Do đó: x3 + x2 + (2 – 2b)x +2 – 2a – 2b ≡ (x – x1)(x – x2)(x – x3) nên: Từ giả thiết tam giác nên: Do đó: a = b/ (1.5 đ) , b = bán kính đường tròn (C) là: R = Thuận: Giả sử I(a;b) tâm tam giác dều ABC có đỉnh (P) Đường tròn (ABC) cắt (P) thêm điểm M(x0;y0) ( trùng A, B, C) xA, xB, xC x0 nghiệm của: (x – a)2 + (y – b)2 = (x0 – a)2 + ( Suy ra: – b)2 Hay: , vậy: b = 9a2 + Nên tâm I đồ thị (G): y = 9x2 + Đảo: Xét I(a; 9a2 + 2) tùy ý (G): y = 9x2 + Ta phải chứng minh đường tròn (C) tâm I bán kính IM với M(-3a; 9a2) cắt (P) thêm điểm đỉnh tam giác Xét phương trình: (x – a)2 + (x2 – 9a2 – 2)2 = (-3a – a)2 + (9a2 – 9a2 – b)2 (2) với f(x) = x3 -3a2x2 - (9a2 + 3)x + 27a3 + 7a (f(x) = phương trình (1) với x0 = - 3a) Nếu a = 0: f(x) = x3 -3x = có nghiệm phân biệt Nếu a ≠ 0: Do f(x) liên tục, nên f(x) = có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f(x) = ln có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 với a y A B I Ta có: C DoMđó: x Do x1, x2, x3 nghiệm phân biệt (2) nên: (C) cắt (P) đỉnh A ,B ,C tam giác ABC Và (3): tam giác ABC có trọng tâm trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I, nên ABC tam giác Kết luận: Tập hợp tâm tam giác có đỉnh thuộc (P): y = x2 parabol: (G): y = 9x2 + Câu [SỞ THỪA THIÊN HUẾ ( Vòng 1)- năm học 2004-2005] Trong mặt phẳng thuộc mặt phẳng , cho tam giác vng cố định có cho Lời giải Ta có: , Tìm tập hợp điểm + + Chọn hệ trục Axy đơn vị trục cho B(3;0),C(0;3) Gọi M(x;y) Vậy hình tròn (T) tâm I(-1;0), bán kính 2, ( kể biên) Tương tự hình tròn (S) tâm J(0;-1), bán kính 2, ( kể biên) Vậy tập hợp điểm M thỏa toán phần giao hai hình tròn (T) (S), ( kể biên) y C x M -5 y I A B 10 J -2 -4 -6 Câu [SỞ THỪA THIÊN HUẾ ( Vòng 1)- năm học 2005-2006] Cho hình vng EFGH Gọi (T) đường tròn qua trung điểm cạnh tam giác EFG Nhận xét: Điểm H thỏa mãn đồng thời hai tính chất sau: a/ Các hình chiếu vng góc đường thẳng: EF, FG, GE nằm đường thẳng d b/ Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (T) Hãy tìm tập hợp tất điểm N mặt phẳng chứa hình vuông EFGH cho N thỏa mãn đồng thời hai tính chất a/ b/ Lời giải + Điểm N thỏa mãn tính chất a/ N đường tròn qua E, F, G + Chứng minh: Chọn hệ trục Oxy với O tâm hình vng EFGH vec tơ đơn vị trục Ta có E(-1;0), F(0;1), G(1;0) 2 Phương trình EF: x –y + = 0; FG: x + y -1 = 0, đường tròn (EFG): x +y =1 Gọi N(X;Y) Tọa độ hình chiếu N lên EG, EF, FG là: N1 (X;0), N2 ( (X+Y-1); (X+Y+1)), N3 ( (X-Y+1); (-X+Y+1)) ; thẳng hàng (-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0 ⇔ X2+Y2=1(1) + Tìm thêm điều kiện để N thỏa mãn tính chất b/ Chỉ cần xét N(X;Y) khác F(0;1) Với điều kiện (1) đường thẳng d có phương trình X(x-X) +(1-Y)(y-0)=0 Tâm (T) I(0; ) Bán kính (T) + d tiếp xúc (T) ⇔ (2) + Giải hệ (1) (2): Rút X từ (1) thay vào (2): 2 (2Y -Y-1) =2(1-Y) ⇔ 2 (Y-1) (2Y+1) =2(1-Y).Đang xét Y nên:(Y-1)(2Y+1) = -2 4Y3-3Y+1= ⇔ (Y+1)(4Y2-4Y+1) = ⇔ Y= -1; Y= y + VớiY=-1 ta cóđiểm N(0;-1),đó H P AVới Y= Q M0 , ta có thêm hai điểm N ( ; ) (- ; ) x D phải tìm ba đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn (EFGH) mà đỉnh Tập hợp B N H Câu C Câu [SỞ THỪA THIÊN HUẾ ( Bảng A- Vòng 1)- năm học 2000-2001] Cho hình vng cố định Tìm tập hợp điểm M hình vng thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh hình vng xuất phát từ đỉnh bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo hình vng khơng qua đỉnh (2.0 điểm) Khơng giảm tính tổng qt, xét hình vng có cạnh Đặt hình vng ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0) Gọi M(x;y) điểm hình vng ABCD, hạ MN, MP, MQ vng góc với BD, DA, AB N, P, Q Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét cạnh hình vng phát xuất từ đỉnh A) AB: x – y + = 0,AD: x + y – = (1) M(x;y) hình vng nên x – y + > 0, x + y – < Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < nên (1) ⇔ x2 – (y– 1)2 =- 2y2 ⇔ x2 + (y+1)2 = Vậy tập hợp điểm M cung BD, cung ¼ đường tròn C, bán kính R = Từ kết ta kết luận: Tập hợp điểm M cung ¼ đường tròn tâm đỉnh hình vng có bán kính cạnh hình vng Câu [Trường THPT DTNT Quế Phong- năm học 2008-2009] Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua P cắt B Tìm quỹ tích điểm M cho (O) hai điểm A LOẠI Tìm quỹ tích: Câu [ HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI ] Cho nhọn không cân, điểm chuyển động đoạn thẳng (nhưng không trùng vào đầu mút) Đường tròn ngoại tiếp tam giác giao Đường tròn ngoại tiếp tam giác giao Z khác Gọi T hình chiếu BC, H trực tâm tam giác Gọi giao xứng với qua khác Gọi điểm đối a) Chứng minh thẳng hàng b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng cố định P thay đổi thuộc đường Hướng dẫn giải Kí hiệu đường tròn qua điểm a) Ta có Suy Suy hay Từ hay thẳng hàng b) Gọi M trung điểm BC, AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác khác phía với Do Suy AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc tròn ngoại tiếp tam giác nên tại khác cho A Lại có Từ đối xứng qua BC nên , Ta thu ( nửa tổng số đo cung A’B KC nên số đo cung A’B số đo cung JC tổng số đo cung Vì Vậy , ln qua giao điểm cố định hay hình thuộc đường thẳng trung trực thay đổi [ Đề ôn thi đội tuyển Festival Đề số ] Cho Đường thẳng đường tròn có tâm Câu nửa ) trung tuyến ứng với đỉnh Do tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Câu Do Do chiếu trực tâm đoạn Cho đường tròn hai điểm cố định nằm qua điểm cắt điểm di động ( khác Các ) Tìm tập hợp điểm đường tròn Xét tất góc vng đỉnh gọi giao điểm hai cạnh góc vng với đường tròn Hướng dẫn giải Ta có Mặt khác , mà Tìm tập hợp trung điểm : A M S A' I B O M' B' Gọi trung điểm , đặt (khơng đổi) nên Vì khơng đổi cố định nên thuộc đường tròn tâm Đảo lại, đường tròn cung tròn bán kính Ta có Xét tam giác Hay tam giác nghĩa Câu 10 lấy cắt tuỳ ý Kéo dài bán kính Lấy làm tâm quay cắt có: vng suy hay tam giác trung điểm vuông [ THI HSG KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2013 SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM -TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHI ÊM] Cho đường tròn điểm vng góc với xứng với tia cố định đường tròn ( cắt đường tròn qua đường thẳng a) Chứng minh đường thẳng ; ), đường thẳng qua điểm nằm đường tròn, tia đối cắt đường tròn Gọi qua điểm cố định trung điểm thay đổi đường tròn b) Gọi giao điểm đường thẳng cắt Chứng minh điểm bàng tiếp tam giác với đường tròn Đường thẳng tâm đường tròn nội tiếp Hướng dẫn giải L B C I D K Q E N M O P A Gọi Ta có Suy ra: = = giao điểm và ; giao điểm IE phân giác góc và , suy ra: (M trung điểm AB, New-tơn) Mà ta lại có: Do đó: Suy ra: Suy ra: Suy Suy b)Trước hết ta chứng minh Gọi giao điểm Vậy L cố định phân giác góc OM với Ta có: Suy ra: Suy ra: Suy ra: Ta có: Do ta suy ra: Suy ra: Theo hệ thức Newton, ta suy ra: Mà nên (1) phân giác góc (2) Theo chứng minh ta có: Suy ra: Suy ra: (3) Từ (1) (3) ta suy ra: Mà góc đồng quy nên tứ giác nội tiếp Suy ra: Suy phân giác góc Từ (2) (4), ta có Ta lại có tâm đường tròn nội tiếp tam giác suy phân giác ngồi góc bàng tiếp tam giác Vậy Câu 11 , Suy tâm đường tròn tâm đường tròn nội tiếp bàng tiếp tam giác Xét điểm ( cạnh không trùng với tam giác cắt tam giác Chứng minh Gọi (4) Gọi ) tương ứng thay đổi đường thẳng chứa cho song song với giao điểm thứ hai (khác điểm đường thẳng ) đường tròn ngoại tiếp nằm đường thẳng cố định điểm đối xứng với minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác qua đường thẳng Chứng nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn giải 1) (2,0 điểm) nằm đường tròn Do nằm đường tròn, nên (2) Từ suy Gọi I J theo thứ tự hình chiếu Q đường thẳng BM CN Khi đó, (2) nên (do ) Từ đó, theo tính chất đường đối trung, Q nằm đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC.2) (2,0 điểm) Gọi Do giao điểm AP với BC Áp dụng định lý Céva cho tam giác ABC ta có nên Do AQ đường đối trung nên suy từ (1) suy hay L trung điểm BC 0,5 kết hợp với tứ giác nội tiếp nên (3) 0,5 Do cách xác định điểm hợp với nên hay tam giác cân , kết đường trung bình tam giác (4) 0,5 Từ (3), (4) suy giác Câu 12 đường trung trực đoạn B’C’ suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam nằm đường thẳng AP hay nằm trung tuyến AL tam giác ABC 0,5 Cho tam giác nhọn không cân chân đường cao hạ từ tam giác tròn ngoại tiếp tam giác a) Chứng minh c) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác tam giác giao điểm hai tiếp tuyến giao điểm b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác trực tâm trung điểm cạnh nằm giao điểm Hướng dẫn giải đường cắt điểm thứ hai nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác tương ứng Chứng minh a) ZT phân giác góc AZC Do góc XAB= goc ACB = góc BFE =góc AFX TA= TF, từ X T nằm trung trực AF, T tâm đường tròn nội tiếp tam giác XYZ b) Giả sử AB < BC, D nằm cung nhỏ AB Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC L trung điểm BH Ta có BD LO vng góc Từ BD DH vng góc, ta LO DH song song OLHT hình bình hành nên OL song song với HT, D, H, T thẳng hàng c) Chứng minh góc ADT = góc AXT TY đường trung trực DC Chứng minh góc CDT = góc CYT nên CTDY tứ giác nội tiếp Do góc XDY + góc XZY= góc XDT+ góc TDY+ góc XZY =góc ZAT + góc ZCT + góc XZY = 1800, DXZY tứ giác nội tiếp Câu 13 (Đề thi đề xuất trường PT vùng cao Việt Bắc – 2015) Từ điểm tuyến đến đường tròn thay đổi tâm a Tìm tập hợp tâm đường tròn b Cho đường tròn có tâm hợp tiếp điểm Hướng dẫn giải: cố định ta vẽ hai tiếp cho hai tiếp tuyến ln vng góc với qua điểm chạy đường thẳng cố định khác với cố định khơng qua nhữn đường tròn với tiếp tuyến vẽ từ Tìm tập T " O D ' A C T' I E a Tứ giác OTCT’ có góc vng kính đường tròn (C), ta có Do đó: nên hình vng Gọi R bán Vậy tâm C đường tròn tâm I tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách tới A O Đường kính DE đường tròn tâm I qua điểm A O tạo nên hàng điểm điều hòa; ta có Ngược lại lấy điểm C’ đường tròn tâm I, ta có Từ O kẻ hai tiếp tuyến OT1 ta có Vậy hình vng Vậy tập hợp điểm C đường tròn tâm I với I trung điểm đoạn DE D, E, O, A hàng điểm điều hòa b , góc quay Vậy T ảnh C phép đồng dạng tâm O tỉ số Điểm C chạy đường thẳng phép đồng dạng nên điểm T chạy đường thẳng Với điểm T’ ta dùng phép đồng dạng tâm O tỉ số tập hợp điểm T’ đường thẳng ảnh ảnh , góc quay ta tìm phép đồng dạng LOẠI 3: Tìm quỹ tích: Câu TRƯỜNG THPT: LÊ Q ĐƠN Trong mặt phẳng cho tam giác phía 1/ Gọi 2/ Gọi Hai điểm trung điểm Góc cạnh , hai tia vng góc với chuyển động và hình chiếu B mặt phẳng Tính độ dài đoạn theo a mặt phẳng qua B vng góc với Chứng minh qua đường thẳng cố định 3/ Gọi O trung điểm Chứng minh , không đổi, kẻ vng góc với chạy đường tròn cố định Câu SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN CẤP TỈNH VÒNG Cho tam giác Gọi động cạnh a) Giả sử b) Giả sử Hướng dẫn giải điểm chuyển động cạnh Chứng minh đường trung trực không đổi.Chứng minh Gọi điểm chuyển qua điểm cố định qua điểm cố định a) Nếu tam giác cân A cân trung trực Gọi E điểm cung qua điểm ;góc hay đường trung trực b) Kẻ đường phân giác =diện tích khơng đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC.E điểm cố địnhvì ra: cố địnhXét tam giác =góc nên Suy ln qua điểm E cố định cắt MN FGọi +diện tích số đo góc BACTa có: diện tích Suy ra: khơng đổi hay F điểm cố định Vậy qua điểm cố đinh Câu SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN (VÒNG 1) a.Cho tam giác vuông cân thỏa , cạnh Trong mặt phẳng chứa tam giác lấy Tìm quĩ tích điểm b.Cho tam giác có hai trung tuyến hợp với góc , , Tính độ dài trung tuyến lại tam giác Hướng dẫn giải  Chọn hệ trục tọa độ , Giả sử vng góc cho tia qua A tia qua Ta có: , a  Chọn hệ trục tọa độ , , vng góc cho tia Giả sử qua A tia qua Ta có:   Phương trình phương trình đường tròn tâm , bán kính kính  Vậy quỹ tích điểm M đường tròn tâm , bán b Gọi G trọng tâm tam giác  Xét trường hợp: Ta có: Vậy AC2 = 112 trung tuyến lại: Vậy AB2 = 52 Vậy độ dài Xét trường hợp: Ta có: Vậy AC2 = 208 Vậy độ dài trung tuyến lại: Vậy AB2 = 148 Câu KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 LONG AN VÒNG 2-NĂM 2013 Trong mặt phẳng cho đường tròn Gọi tiếp tuyến tâm điểm bán kính điểm cố định thuộc đường tròn Tìm quỹ tích điểm M biết khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ độ dài tiếp tuyến MT đường tròn Hướng dẫn giải y H Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ với T tiếp điểm M T x A Khi ta có I Gọi M(x; y) Tam giác MTI vng T Thử lại: Gọi Vậy quỹ tích điểm M parabol Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 LONG AN VÒNG NĂM 2015 Cho tứ giác lồi Gọi có hai đường chéo khơng vng góc với nhau, nội tiếp đường tròn điểm di chuyển cung không chứa Gọi giao điểm với định , giao điểm với cắt giao điểm thứ hai Đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh qua điểm cố Hướng dẫn giải Gọi tiếp tuyến Do Gọi , suy Khi đó: cố định Tương tự cố định cố định Ta có: Khi tam giác cân nên hai đường tròn Vậy qua điểm hay K thuộc trục đẳng phương cố định Câu LONG AN VÒNG - NĂM 2012 Cho đường tròn Gọi có tâm là đường thẳng qua a) Tìm điểm M b) Gọi đối xứng đường kính cắt , cho qua điểm cố định nằm giả sử thay đổi qua Chứng minh: nhận giá trị khơng đổi Hướng dẫn giải a) Ta có: C A E ( O F I trung điểm B ) Th1: O I Khi M nằm Vậy điểm điểm M cần tìm Th2: O I.Khi D cần tìm giao điểm đường thẳng với A với đường thẳng qua vng góc C1 b) B1 Xét ta có: G B Tương tự xét : Mặt khác: A1 Thay đẳng thức vào ta : không đổi C ... kính IM với M(-3a; 9a2) cắt (P) thêm điểm đỉnh tam giác Xét phương trình: (x – a)2 + (x2 – 9a2 – 2)2 = (-3a – a)2 + (9a2 – 9a2 – b)2 (2) với f(x) = x3 -3a2x2 - (9a2 + 3) x + 27a3 + 7a (f(x) =... năm học 2004-2005] Trong mặt phẳng thuộc mặt phẳng , cho tam giác vng cố định có cho Lời giải Ta có: , Tìm tập hợp điểm + + Chọn hệ trục Axy đơn vị trục cho B (3; 0),C(0 ;3) Gọi M(x;y) Vậy hình. .. chéo hình vng khơng qua đỉnh (2.0 điểm) Khơng giảm tính tổng qt, xét hình vng có cạnh Đặt hình vng ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0) Gọi M(x;y) điểm hình