Hsg 11 hình học phẳng loại 1

Loại 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc Câu [Trường THPT Chun Lê Hồng Phong Nam Định- năm 2015- Tỉnh Nam Định] Cho hai đường tròn  O1   O1   O2  Gọi  O2  cắt A, B AX , AY đường kính O trung điểm XY ; I điểm thuộc đường phân giác góc  XAY cho OI khơng vng góc với XY I khơng thuộc hai đường trịn Đường thẳng qua A vng góc với AI cắt đường tròn  O1  ,  O2  điểm E , F khác A IX cắt đường tròn  O1  điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn  O2  điểm thứ hai L 1.Gọi C giao điểm EF với IX Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn  CEK  Chứng minh đường thẳng EK , FL, OI đồng quy Lời giải A E C F D O1 O2 O X B Y K L I S Khơng tính tổng qt giả sử I điểm thuộc đường phân giác góc  XAY Ta có tứ giác AO1OO2 hình bình hành nên suy OO1 || HY Lại có  EA, EO1    AO1 , AE    AF , AO2   mod    EO1 || HY Do O, O1 , E thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có O, O2 , F thẳng hàngMặt khác  CE, CK    AC , AK    AK , CK    AC , AK         O1E , O1 K   EO1 , EK   mod     Do OE tiếp tuyến đường trịn  CEK    Ta có AKI  ALI  90 nên điểm A, I , K , L thuộc đường trịn đường kính AI Mà EF  AI nên suy EF tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Do  AE, AK    LA, LK   mod   (1) Mặt khác  KE, KA   XE, XA   XE, EA   AE, AX        AE , AX   mod     AY , AF    AF , FY    AY , AF    AY , FY    LA, LF  mod   (2) Từ (1) (2) suy  EF , EK    EA, AK    AK , EK    LA, LK    LF , LA   LF , LK   mod   Vậy điểm E, F , L, K thuộc đường tròn Gọi S giao điểm EK FL Vì điểm E, F , L, K thuộc đường tròn nên ta có SE.SK  SF SL  PS /CEK   PS / DFL  Ta có (3) IC.IK  ID.IL  IA2  PI /CEK   PI / DFL  (4) Gọi D giao điểm EF với IY DFL  Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF tiếp tuyến đường trịn  Mặt khác tứ giác EFYX hình thang vng E , F O trung điểm XY nên suy PO/CEK   OE  OF  PO/ DFL  OE  OF Do (5) S , O, I thuộc trục đẳng phương hai đường tròn  CEK  ,  DFL  nên S , O, I thẳng hàng Vậy đường thẳng EK , FL, OI đồng quy S Từ (3), (4), (5) suy *) Chú ý: Nếu HS khơng sử dụng góc định hướng phải xét trường hợp vị trí điểm I ( I nằm đoạn XK , YL I nằm đoạn XK , YL ) Câu [Trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình- Vịng 2] Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H M , N trung điểm AH , BC Các đường phân giác góc ABH , ACH cắt P Chứng minh: a, Góc BPC góc vng b, M , N , P thẳng hàng Câu [SỞ Bình Định- năm học 2012-2013] Trong tam giác ABC , M chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác  N , L chân đường vng góc hạ từ đỉnh A, C xuống đường phân góc BCA giác góc ABC Gọi F giao điểm đường thẳng MN AC , E giao điểm đường thẳng BF CL , D giao điểm đường thẳng BL AC Chứng minh DE  MN Câu [Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - năm 2015- Tỉnh Hịa Bình] Cho  O  hai đường tròn  O1  ,  O2  tiếp xúc với tiếp xúc với  O  Gọi I tiếp điểm  O1   O2  ; M1, M tiếp điểm  O  với  O1  ,  O2  Tiếp tuyến A AM1 cắt  O1  N1 ; AM cắt  O2  chung I  O1  ,  O2  cắt  O  N2 Chứng minh OA  N1N2 N1N cắt  O  B, C ; AI cắt  O  A ' Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' BC Chứng minh N1N2 , O1O2 , M1M đồng quy Lời giải A B N1 H N2 C O D O2 O1 I M2 M1 A' K a) A thuộc trục đẳng phương  O1   O2  N1N2 M M1 tứ giác nội tiếp dẫn đến   Sđ    Sđ  Sđ BM AC Sđ BM AB 1  AN1N   AM M1   2  AC   AB  OA  N N b) Gọi H , K giao điểm AO với BC, (O) nên AN1 AM1  AN2 AM suy Tam giác ABK vuông B có BH đường cao  AB2  AH AK  AM1K  90o  HN1M1K tứ giác nội tiếp  AB  AH AK  AN1 AM1  PA/ O   AI  AB  AC  AI Suy A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC   IAC 1 Dẫn đến IBC A ' AC   A ' BC 2 Suy BI phân giác  A ' BC  Rõ ràng A ' I phân giác BA ' C (do  AB   AC ) Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác A ' BC c)Giả sử O1O2 cắt N1N D , gọi R, R1, R2 bán kính  O  ,  O1  ,  O2  Rõ ràng D tâm vị tự  O1   O2   Suy DO1 R1 M O R ,lại có 2   DO2 R2 M1O1 R1 DO1 M 2O2 M1O 1 DO2 M 2O M1O1 Dẫn đến D, M1, M thẳng hàng (Menelauyt đảo) Vậy N1N2 , O1O2 , M1 M2 đồng quy Câu [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI- CHUYÊN HẠ LONG] Cho hai đường tròn  O; R   O; R  với R  R ' cắt hai điểm phân biệt A, B Một đường thẳng d d tiếp xúc với đường tròn  O   O  P P Gọi Q Q chân đường vng góc hạ từ P P xuống OO Các đường thẳng AQ AQ cắt đường tròn  O  M M  Chứng minh M , M , B thẳng hàng Hướng dẫn giải P' I P A Q J O S B M Q' O' M' Gọi S giao điểm d OO , S tâm vị tự ngồi hai đường tròn  O   O Đặt k R' , ta có: V (S , k ) : (O)  (O '), P  P ', Q  Q ' R Gọi I , J giao điểm AB với PP OO Khi ta có: IP2  IA.IB  IP '  IP  IP ' Mà PQ // IJ // PQ nên JQ  JQ Suy AB trung trực QQ Mà OO trung trực AB Vậy tứ giác AQBQ hình thoi Do QB // AQ hay QM  // QM Giả sử V ( S , k ) biến M thành B QM // QB Mà M thuộc  O  suy B thuộc  O  B  B Vậy V (S , k ) biến M thành B Tương tự ta có V ( S , k ) biến M  thành B Suy M , B, M thẳng hàng Câu Cho ABC đường tròn nội tiếp  I  tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng D, E, F Đường thẳng EF cắt BC G Đường tròn đường kính GD cắt  I  R ( R  D ) Gọi P, Q ( P  R, Q  R ) tương ứng giao  I  với BR, CR Hai đường thẳng BQ CP cắt X Đường tròn  CDE  cắt QR M đường tròn  BDF  cắt PR N Chứng minh PM ,Q N , RX đồng quy Hướng dẫn giải Gọi K trung điểm đoạn GD Ta có  GDBC   1, KD2  KR2  KB.KC, điều suy KR tiếp tuyến  RPC  Do KRB  RCB Mặt khác KD tiếp tuyến  I  , KR tiếp tuyến  I  Vì KRB  RQP  RQP  RCB  RQ ||BC Suy RX qua trung điểm đoạn PQ ( bổ đề quen thuộc hình thang ) Từ suy PM ,Q N , RX đường trung tuyến RQP , suy ĐPCM A E R M F N I Q P X G D B K Câu C H [KZ THI CHỌN HỌC SINH GIỎIKHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘNĂM HỌC 2016 2017] Cho tam giác ABC có AB  AC Đường tròn nội tiếp  I  tiếp xúc với BC CA D, E tương ứng Gọi M trung điểm BC N điểm đối xứng với D qua IM Đường thẳng vuông góc với EN N cắt AI P, Q giao điểm thứ hai AN với  I  Chứng minh DP  EQ Câu [ĐỀ XUẤT ĐỀ THI DUYÊN HẢI BẮC BỘ.Trường THPT Chun Hồng Văn Thụ - Tỉnh Hịa Bình Năm học 2012-2013] Cho tam giác ABC Các phân giác góc Aˆ ; Bˆ ; Cˆ cắt cạnh đối diện tam giác ABC A1 , B , C1 CMR A1 , B , C1 thẳng hàng thuộc đường thẳng vng góc với OI O, I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Qua I kẻ đường thẳng vng góc IA, IB, IC cắt BC, CA, AB A2 , B2 , C2 Có   C C   A2 IB   AIB  90o  90o   90o   ICA 2  IA B chung  A2 BI  A2 IC  A2 B A2 I   A2 B A2C A2 I A2C  PA2 /  I ;O   PA2 / O  CMT : PB2 /  I ;O   PB2 / O  PC2 /  I ;O   PC2 / O   A2 , B2 , C2  trục đt  I ; O   O    A2 B2C2   OI 1 AA1  BB1  F  ABC  C, I , F thẳng hàng  F tâm đường tròn bàng tiếp C Câu C AA1  AI  CA2 CI     A2 I / / AA1   A2 I  AI  CA1 CF  CA2 CB2 1  3  A1 , B1 , C1 thẳng hàng   CA1 CB1 A B C  OI CI CB 2   1 1 CMT : IB2 / / FB2    CF CB1 [Đề xuất lớp  A B / / A B   11 Sở GD- ĐT Quảng Ninh- Trường THPT Chuyên 2 1 Hạ Long] CMT :  B2C2 / / B1C1  3 Giả sử đường tròn  I  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF K Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: IM  DK Hướng dẫn giải Gọi N giao điểm ID EF Qua N N kẻ đường thẳng // BC cắt AB , AC theo thứ tự   IPN  từ P, Q Vì hai tứ giác IFPN IQEN nội tiếp nên IFN A K P F E N Q J I B D H M C   IQN  IEN   IFN   IPN   IQN  Do IPQ cân I Vậy N trung điểm Mặt khác IEN PQ  A, N , M thẳng hàng Lại có IN  AK , KN  AI  N trực tâm AIK  AM  IK Gọi H giao điểm AM IK J giao điểm IA EF   IKD   IH IK  IJ IA  IE  ID2  IHD  IDK (c  g  c)  IDH   IMH   IKD   IMH   IM  DK (Đpcm) Mà IHMD nội tiếp nên IDH Câu 10 [ĐỀ NGHỊ THI CHỌN HSG VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ LP 11 - Tr-ờng T.H.P.T Chuyên Thái Bình.Năm học 2013-2014 ] Cho tam giác ABC vng A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi cho M thuộc AB , N thuộc AC P, Q thuộc BC K  BN  MQ; L  CM  NP; X  MP  NQ; Y  KP  LQ Chứng minh   LAC  1) KAB 2) XY qua điểm cố định Hướng dẫn giải   ACV   90 (h.1) 1) Lấy U,V theo thứ tự thuộc AK,AL cho ABU A M N K B L Q C P V U (h.2.1) Ta có: BU BU NA MA BK BA ML BQ BA MN    CV NA MA CV NK CA CL NM CA CP  BQ CA NP BA CA BA BA   MQ BA CP CA BA CA CA Do tam giác ABU, ACV đồng dạng   LAC  Vậy KAB 2) Đặt Z  ML  NK (h.2.2) Theo định lí Pappus: X,Y,Z thẳng hàng 1 Gọi H hình chiếu A BC ; O, F, E theo thứ tự trung điểm BC , MN,AH Dễ thấy A, Z, O, F thẳng hàng; E, X, O thẳng hàng; FX / / AH Vậy X(AHEF)  1  X(AZOF) X(AZEF) Do X,H,Z thẳng hàng   Từ 1   suy XY qua H (đpcm) A F M E N Z K B X Q L Y H O P C (h.2.2) Câu 11 [ ĐỀ THI ĐỀ XUẤTTRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI-TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG ] Cho tam giác ABC với AB  AC Các đường trung tuyến phân giác góc A cắt BC M N tương ứng Đường thẳng qua N vng góc với AN cắt AB,AM P Q ; đường thẳng qua P vng góc với AB cắt đường thẳng AN R Chứng minh QR vng góc với BC Hướng dẫn giải A P K Q B' B C' M C N R D Gọi D giao điểm thứ hai AN với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dễ thấy DB  DC suy DM vng góc với BC Đặt k  AR xét phép vị tự AD VAk : B  B ', C  C ', D  R Khi B thuộc AB , C  thuộc AC hai tam giác BCD B’C’R có cạnh tương ứng song song Gọi K giao điểm PN với BC , ta có    BAD   90O    C ' B ' R  CBD ARP  RPN   suy tứ giác RKPB nội tiếp Từ B ' KR  B ' PR  900 Như VAk : M  K nên K trung điểm BC , hay K thuộc AM , suy K trùng Q Do BC song song với BC mà QR vng góc với BC nên QR vng góc với BC Câu 12 [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI năm2015.LẦN THỨ XI ] Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC nội tiếp đường trịn  O  Các đường cao BE, CF cắt H  E  AC, F  AB  Đường thẳng EF cắt BC G Lấy điểm T  O  cho  ATH  90o Đường tròn ngoại tiếp tam giác GTO cắt EF K  K  G  Chứng minh a) Ba điểm G, T , A thẳng hàng b) Đường thẳng OK vng góc với đường thẳng AT Câu 13 [Đề 59- TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘLẦN THỨ VIII- NĂM 2015.MƠN TỐN - LỚP 11 ] Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn  O  P điểm nằm tam giác cho AP  BC Đường trịn đường kính AP cắt cạnh AC , AB E , F cắt đường tròn  O  điểm G khác A Chứng minh GP, BE, CF đồng quy Hướng dẫn giải A E G F P O Q L K T C B D Gọi AD đường kính  O  , dễ thấy G, P, D thẳng hàng PE || CD; PF || BD Giả sử PE, PF cắt DB, DC K , L; EF cắt BC T 10 Trục đẳng phương (W) (HNN’) NN’; Trục đẳng phương (W) (HPP’) PP’; Do trục đẳng phương (HNN’) (HPP’) qua H giao NN’ PP’ Nhưng ta biết tâm O (W) nằm đườngthẳng Euler tam giác ABC Do trục đẳng phương (HNN’) (HPP’) đường thẳng Euler tam giác ABC Tương tự, trục đẳng phương (HPP’) (HMM’), trục đẳng phương (HMM’) (HNN’) đường thẳng Euler tam giác ABC Do ba đường trịn  HMM ' ,( HNN '),( HPP ') qua điểm đường thẳng Câu 60 Euler tam giác ABC Từ ta có điểu phải chứng minh (Đề đề nghị chọn HSG khu vực duyên hải đồng Bắc Bộ 2015 – trường THPT chuyên Bắc Ninh) Cho ABC nhọn với AB  AC Giả sử D E điểm cạnh BC cho BD  CE D nằm B E Giả sử P điểm thuộc miền ABC cho   EAC  Chứng minh rằng: PBA   PCA  PD / / AE PAB Hướng dẫn giải: A T O P M B C E D Q Vẽ hình bình hành BPCQ, PQ BC giao trung điểm M đường Do DE PQ giao trung điểm M đường suy PDQE hình bình hành Suy QE / / PD từ A, E, Q thẳng hàng Vẽ hình bình hành BPAT Khi ta suy TACQ hinh bình hành   QAE   EAC   BAP  Ta có TQA APT Do tứ giác TAQB nội tiếp  Ta thấy qua phép tịnh tiến véc tơ BP tam giác BQT biến thành tam giác PCA   TAB  Do  ACB  TQB ABP (đpcm) Câu 61 (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Thái Nguyên, trại hè Hùng Vương lần thứ 10) Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) có AH đường cao P, Q chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC Gọi M giao PQ BC,K giao đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AM, I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC Chứng minh K, H, I thẳng hàng Hướng dẫn giải: 54 A K Q J P O M C B H I Dễ dàng chứng minh PQCB tứ giác nội tiếp Ta có MB.MC = MP.MQ Do hai tam giác MHP MQH đồng dạng nên MH  MP.MQ Vậy có MH  MB.MC  MP.MQ  MK MA suy AKPH tứ giác nội tiếp Vậy HK  AM Ta có năm điểm A, K, P, H, Q thuộc đường tròn tâm J trung điểm AH Bây ta lại có I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQCB nên IJ  PQ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta dễ dàng chứng minh OA  PQ Từ OA // IJ Câu 62 Lạicó OI  BC, AH  BC  OI / / AH Từ AJIO hình bình hành Dễ dàng suy JHIO hình bình hành Mà JO vng góc với AK (do AK trục đẳng phương hai đường tròn (J) (O)) Vậy HI vng góc với AK Lại có KH vng góc với AK nên K, H, I thẳng hàng (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Sơn La, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các cạnh BC, CA, AI tiếp xúc với đường tròn  I  D, E, F Gọi M , K trung điểm cạnh AC AB , P giao điểm đường thẳng MK CI a Chứng minh điểm D, F , P thẳng hàng b Gọi Q điểm thỏa QP  MK QM / / BI Chứng minh QI  AC Hướng dẫn giải: a Kéo dài AP cắt CB S Vì M, K trung điểm AC AB nên P trung điểm AS + Trong tam giác CAS có CP trung tuyến phân giác nên CA  CS +Đặt p  AB  BC  CA Có AF  p  BC (1) + SD  CS  CD  CA   p  AB   AB  AC  p 55  AB  BC  CA  BC  p  p  BC  SD  p  BC (2) Từ (1) (2) suy ra: AF  SD Chú ý: BD  BF , PA  PS Trong tam giác ABS có FA DB PS   P, F , D thẳng hàng FB DS PA b Có CI trung trực ED nên tam giác PDE cân P   PDE   1800   900  C    900  B   B  C  900  A   + PED AEF     2  2 2  + Giả sử Q1 điểm thỏa mãn Q1M  BI , Q1I  AC suy Q, I, E thẳng hàng   1800  PED   DEC   1800   900  A    900  C   A  C  900  B + Có PEA     2  2 2    900  PEA   B ,(3)  PEQ   IBD   B ,(4) Nhưng PM  CB, MQ1  BI  PMQ + Từ (3) (4) suy tứ giác PMEQ1 nội tiếp  QI  AC   Q PM  Q1 EM  90 hay Q1 P  MK + Suy Q1  Q tức QI  AC Suy điều phải chứng minh Câu 63 (Đề thi đề xuất chọn HSG vùng duyên hải đồng Bắc Bộ năm 2015 -trường THPT chuyên Vĩnh Phúc) Cho tam giác ABC nhọn khơng cân, nội tiếp đường trịn  O  P điểm nằm tam giác cho AP  BC Đường trịn đường kính AP cắt cạnh AC, AB E , F cắt đường tròn  O  điểm G khác A Chứng minh GP, BE, CF đồng quy Hướng dẫn giải: 56 A E G P F O Q L K T C B D Câu 64 Gọi AD đường kính (O), dễ thấy G,P,D thẳng hàng PE || CD; PF || BD Giả sử PE,PF cắt DB,DC K,L; EF cắt BC T Theo định lý Desargues để chứng minh BE, CF, GP (hay PD) đồng quy ta cần chứng minh T,K,Lthẳng hàng TB EC FA TB FB AE Áp dụng định lý Menelaus ta được: (1) 1  TC EA FB TC EC AF AE BE Dễ thấy tứ giác EFBC nội tiếp nên (2)  AF CF Cũng từ EFBC nội tiếp suy FCL  FCA  ACL  EBA  900  EBA  ABK  KBE Tứ giác PKDL hình bình hành suy PKB  PLC BE KB Suy EBK  FCL  (3)  CF CL BF PK DL Ta có BF PL  CE.PK  S PKDL  (4)   CE PL DK TB DL KB TB LC KD Thay (2), (3), (4) vào (1) ta    Từ áp dụng định TC DK CL TC LD KB lý menelaus cho tam giác DBC ta suy T,K,L thẳng hàng Bài toán chứng minh (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho tam giác ABC cân A Một đường tròn  tiếp xúc với cạnh AB, AC cắt cạnh BC K L Đoạn AK cắt đường tròn  M Gọi P Q điểm đối xứng K qua B C Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ Chứng minh điểm M , O tâm đường tròn  thẳng hàng Hướng dẫn giải: Gọi I tâm  ; D, E theo thứ tự tiếp điểm  AB, AC; (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ 57 Dễ thấy tứ giác MDKE điều hòa Do D  MKBE   D  MKDE   1 Dễ thấy DE // PK, mà BP  BK nên D  PKBE   1 Vậy D  MKBE   D  PKBE  Từ DM  DP hay M, D, P thẳng hàng Chứng minh tương tự M, E, Q thẳng hàng MP MQ  k MD ME Kết hợp với DE / / PK suy Do qua phép vị tự tâm M tỉ số k điểm M, D, E theo thứ tự biến thành điểm M, P, Q Vậy qua phép vị tự tâm M đường tròn  biến thành đường trịn (O) Do M, I, O thẳng hàng Câu 65 (Đề thi đề xuất trường THPT chuyên Lê Qu{ Đôn, tỉnh Lai Châu, trại hè Hùng Vương lần thứ XII) Cho ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Cho K điểm tùy ý cạnh BC ( K khác B, C ) Kẻ đường kính KM đường trịn ngoại tiếp tam giác BFK đường kính KN đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh M , H , N thẳng hàng Hướng dẫn giải: A N E L F O' H M O B D K C Gọi L giao điểm thứ hai hai đường tròn (BKF) (CKE) Ta có tứ giác BFEC nội tiếp Do AF AB  AE AC  A thuộc trục đẳng phương hai đường tròn (BFK) (CEK) Suy A, L, K thẳng hàng Vì tứ giác BFHD nội tiếp nên AH AD  AF AB  AL AK Do tứ giác DHLK nội tiếp Suy HL  AK Mà ML  AK nên M, H, L thẳng hàng Tương tự N, H, L thẳng hàng Từ suy M, H, N thẳng hàng LOẠI 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc 58 Câu [TRƯỜNG THPT CHUN BẮC GIANG] Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (C1 ) tâm I Đường tròn (C1 ) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi P giao FD CA, Q giao DE AB , K giao EF BC Gọi M , N trung điểm PE QF Chứng minh OI vng góc MN , với O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Xét đường tròn:  M , ME  ( N , NF ) P Ta có PI /( M )  IE  IF  PI /( N ) (1) Gọi R 2 bán kính đường trịn  ABC  Vì D, E, F lần M A lượt tiếp điểm đường tròn nội tiếp (C1) với cạnh ABC nên AD, BE, CF đồng quy E O F I Suy  QFBA   B K  NF  NB.NA  NO  R 2 D C N Ta có ( PEAC )  1 Q  ME  MA.MC  MO2  R2 Khi đó: PO /( M )  MO2  ME  R , PO /( N )  NO2  NF  R2  PO /( M )  PO /( N ) (2) Từ (1) (2) suy OI trục đẳng phương  M   N   OI  MN Câu 2.ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐB&DHBB Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  có AC  BC Giả sử H trực tâm tam giác ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB điểm thứ hai E ( E  B ) Đường thẳng qua D , vng góc với DO cắt BC F cắt đường tròn  O  hai điểm I , J a) Chứng minh tứ giác IHJE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh H , E, F thẳng hàng A Hướng dẫn giải I Giả sử ta có hình vẽ (các trường hợp khác tương tự) Gọi K giao điểm thứ hai CH đường tròn  O  O K D H Ta có D trung điểm KH D trung điểm IJ, suy tứ giác IHJK hình bình hành B 59 F C J E   IHJ  (1) Suy IKJ   CHB   1800 Mà CAB   CHB   1800 Lại có tứ giác BHCE nội tiếp, suy CEB   CAB  , tam giác CEA cân C, CD  AE nên D trung điểm AE Suy CEB   IAJ  (2) Suy tứ giác IAJE hình bình hành IEJ   IAJ   1800 (3) (do tứ giác IAJK nội tiếp) Lại có IKJ   IEJ   1800 , tứ giác IHJE nội tiếp Giả sử  O   O  Từ (1), (2), (3) suy IHJ đường tròn ngoại tiếp tứ giác IHJE BHCE Ta có HE trục đẳng phương  O1   O2  Lại có FI FJ  FB.FC (cùng PF /(O) ) Mà FI FJ  PF /(O1) ; FB.FC  PF /(O2 ) Suy PF /(O1)  PF /(O2 ) Suy F thuộc HE trục đẳng phương  O1   O2  Vậy H, E, F thẳng hàng Câu 3.TRƯỜNG THPT CHUYÊNNGUYỄN TẤT THÀNH Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp tâm I, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Đường thẳng AI cắt đường tròn  I  M, N cho M nằm A N Đường thẳng DM EF cắt K, đường thẳng NK cắt đường tròn tâm  I  điểm thứ hai P khác N Đường thẳng AI EF cắt Q a) Chứng minh rằng: Tứ giác PQID tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: Các điểm A, P, D thẳng hàng Câu 4.HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊNVÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Cho hai đường tròn  O1   O1   O2  Gọi  O2  cắt A, B AX , AY đường kính O trung điểm XY ; I điểm thuộc đường phân giác góc  XAY cho OI khơng vng góc với XY I khơng thuộc hai đường trịn Đường thẳng qua A vng góc với AI cắt đường trịn  O1  ,  O2  điểm E , F khác A IX cắt đường tròn  O1  điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn  O2  điểm thứ hai L Gọi C giao điểm EF với IX Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh ba đường thẳng EK , FL OI đồng quy Hướng dẫn giải 60 A E C F D O1 O2 O X B Y K L I S Khơng tính tổng qt giả sử I điểm thuộc đường phân giác góc  XAY Ta có tứ giác AO1OO2 hình bình hành nên suy OO1 || AY Lại có  EA, EO1    AO1 , AE    AF , AO2   mod    EO1 || AY Do O, O1 , E thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có O, O2 , F thẳng hàngMặt khác  CE, CK    AC , AK    AK , CK    AC , AK           O1 E , O1 K   EO1 , EK   mod   2   AKI   ALI  900 nên điểm Do OE tiếp tuyến đường trịn  CEK  Ta có  A, I , K , L thuộc đường trịn đường kính AI Mà EF  AI nên suy EF tiếp tuyến đường tròn đường kính AI Do  AE, AK    LA, LK   mod   (1) Mặt khác  KE, KA   XE, XA   XE, EA   AE , AX      AE , AX   mod       AY , AF    AF , FY    AY , AF    AY , FY    LA, LF  mod   (2) Từ (1) (2) suy  EF , EK    EA, AK    AK , EK    LA, LK    LF , LA   LF , LK   mod   Vậy điểm E, F , L, K thuộc đường tròn Gọi S giao điểm EK FL 61 Vì điểm E, F , L, K thuộc đường trịn nên ta có SE.SK  SF SL  PS /CEK   PS / DFL  (3)Ta có IC.IK  ID.IL  IA2  PI /CEK   PI / DFL  (4) Gọi D giao điểm EF với IY Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF tiếp tuyến đường tròn  DFL  Mặt khác tứ giác EFYX hình thang vng E , F O trung điểm XY nên suy OE  OF Do PO /CEK   OE  OF  PO / DFL  (5) Từ (3), (4), (5) suy S , O, I 2 thuộc trục đẳng phương hai đường tròn  CEK  ,  DFL  nên S , O, I thẳng hàng Vậy đường thẳng EK , FL, OI đồng quy S *) Chú ý: Nếu HS khơng sử dụng góc định hướng phải xét trường hợp vị trí điểm I ( I nằm đoạn XK , YL I nằm đoạn XK , YL ) II Bài toán vecto quan hệ vng góc Câu 66 (Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2000-2011 toán 10)      a Cho tứ giác lồi ABCD điểm I thỏa mãn hệ thức IA  IB  IC  ID  Có kết luận điểm I , chứng minh điều b Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BI CJ Chứng minh đường cao AH nằm trục đẳng phương hai đường tròn đường kính BI CJ Câu 67 (Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2004-2005) a Cho tứ giác ABCD , với AB  a , BC  b , DA  d Chứng minh rằng:   2AC.DB  a  b2  c2  d b Cho tam giác ABC M , N , P trung điểm cạnh BC , CA , AB Dựng phía ngồi tam giác đoạn thẳng PN , NE cho PD  AB , PD  AB NE  AC , BC NE  AC Từ D dựng đường thẳng DF song song hướng với BC cho DF  Câu 68 Chứng minh EF  AM (THPT Chuyên Bắc Giang – Tỉnh Bắc Giang – Thi Toán Khối 11)   1 Cho tam giác ABC Gọi K điểm thỏa mãn KA  2KB giả sử KCB ACB Gọi H hình chiếu vng góc A CK , M trung điểm đoạn AB Chứng minh MH  BC Lời giải Gọi D điểm đối xứng với B qua CK Khi 62   S   KCD  KCB ACD Do KA  2KB nên ACK  SKCB Vì   SACK ACsinACK   SKCB BCsinKCB   2ACsinACKcosKCB  2ACcosKCB = nên BC  BCsinACK  2ACcosKCB   BC    cosKCB BC AC   DC cosACD AC  ACD   AHD (1) ADC  900 tứ giác CHDA tứ giác nội tiếp KCB   AHD (2) Do AH BD vng góc với CK nên AH // DB HDB Từ (1) (2) suy tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp (DH cắt BC E, CK cắt BC F) suy H trực tâm tam giác BCD  BH  CD BH//AD Vậy tứ giác AHBD hình bình hành, M trung điểm AB nên H, M, D thẳng hang Vậy MH  BC Câu 69 (Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2000-2001 lớp 10) a Cho tam giác ABC có ba điểm A ' , B' , C' trung điểm cạnh BC , CA , AB Tính giá trị       biểu thức s  BC.AA'  CA.BB '  AB.CC ' b Cho tam giác ABC có AB  , BC  ; AC  AD CE phân giác cắt P Tính AP Câu 70 ( Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2005-2006 lớp 12) Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ACM I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI  CM IV Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng tính chất đồng quy Câu 71 (THPT Chuyên Cao Bằng – Thi Olympic 2014 – Toán 11) O  O  AA Cho hai đường tròn Kẻ tiếp tuyến chung , tiếp tuyến chung B1 B2 hai đường tròn ( A1 , B1  (O1 ) , A2 , B2  (O2 )) Chứng minh A1 B1 , A2 B2 , O1O2 đồng quy Câu 72 (THPT Chu Văn An – Hà Nội – Đề xuất đề thi học sinh giỏi Toán 11- 2015) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O  Kẻ đường kính AD M thuộc BC thỏa mãn OM / / AB DM cắt  O  P khác D Chứng minh C , H , P thẳng hàng với H trực tâm tam giác ABC Lời giải 63 DP cắt AB E M trung điểm DE (vì OM đường trung bình) BHCD hình bình hành nên DH cắt DC I trung điểm đường Suy MI đường trung bình ∆DHE → MI // EH → EH // BC Kéo dài CH cắt (O) Q Ta c/m Q ≡ P, cách c/m Q, E, D thẳng hàng Vì BD // CQ nên BDCQ hình thang cân (hình thang nội tiếp) Ta có: 𝐸𝑄𝐻 = 𝐸𝐻𝐾 ∆QBH cân B 𝐷𝑄𝐶 = 𝐵𝐶𝑄 hình thang BDCQ cân Nên 𝐸𝑄𝐻 = 𝐷𝑄𝐶 Mà Q, H, C thẳng hàng, nên E, Q, D thẳng hàng, hay Q≡P (đpcm Câu 73 (THPT Chuyên tỉnh Lào Cai – Trại hè Hùng Vương lần X) Cho đường tròn tâm O hai đường kính AB , CD Tiếp tuyến với đường trịn  O  B cắt AC P , PD cắt đường tròn  O  lần G Gọi W giao điểm AG BC Chứng minh ba điểm O , P , W thẳng hàng Câu 74 ( THPT Chuyên Hưng Yên- Thi Mơn Tốn Khối 11 -2015) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Đường phân giác góc BAC cắt O  D khác A Gọi E điểm đối xứng với B qua AD BE cắt  O  F khác B I điểm thay đổi cạnh AC  I  E  Đường thẳng BI cắt  O  J khác B Từ C kẻ đường thẳng song song với AJ cắt FD P Đường tròn T  ngoại tiếp BIE cắt BC Q  Q  B  cắt  O  K  K  B  Chứng minh E , P , Q thẳng hàng đương thẳng KI qua điểm cố định I thay đổi Lời giải +) 𝐷 điểm cung 𝐵𝐶 (𝑂 ) E đối xứng 𝐵 qua 𝐴𝐷 nên 𝐷𝐵 = 𝐷𝐸 = 𝐷𝐶 0 𝐷𝐸𝐹 = 180 − 𝐷𝐸𝐵 = 180 − 𝐷𝐵𝐸 = 𝐷𝐶𝐹 (vì 𝐵 , 𝐷 , 𝐶 , 𝐹 ∈ (𝑂 )) 𝐵𝐷 = 𝐷𝐶 ⇒ 𝐵𝐹𝐷 = 𝐷𝐹𝐶 ⇒ ∆𝐷𝐸𝐹 = ∆𝐷𝐶𝐹 (g.c.g) ⇒ 𝐷𝐹 trung trực 𝐸𝐶 ⇒ 𝑃𝐸𝐶 = 𝑃𝐶𝐸 = 𝐶𝐴𝐽 (do 𝐶𝑃 //𝐴𝐽 ) Mà 𝐶𝐴𝐽 = 𝐶𝐵𝐽 (do 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐽 ∈ (𝑂 )) Có 𝐵 , 𝑄 , 𝐸 , 𝐼 ∈ (𝑇 ) ⇒ 𝑄𝐸𝐶 = 𝑄𝐵𝐼 = 𝐶𝐵𝐽 ⇒ 𝑃𝐸𝐶 = 𝑄𝐸𝐶 𝑃 , 𝑄 phía 𝐸𝐶 nên 𝑃 , 𝑄 , 𝐸 thẳng hàng +) Đường thẳng 𝐼𝐾 cắt (𝑂 ) 𝑀 khác 𝐾 𝐾𝐵 , 𝐾𝐼 ≡ 𝐸𝐵 , 𝐸𝐼 (𝑚𝑜𝑑𝜋 ) (vì 𝐵 , 𝐾 , 𝐸 , 𝐼 ∈ (𝑇 )) 𝐾𝐷 , 𝐾𝐵 ≡ 𝐴𝐷 , 𝐴𝐵 (𝑚𝑜𝑑𝜋 ) (vì 𝐵 , 𝐷 , 𝐾 , 𝐴 ∈ (𝑂 )) 𝐾𝐷 , 𝐾𝐼 ≡ 𝐾𝐷 , 𝐾𝐵 + (𝐾𝐵 , 𝐾𝐼 )(𝑚𝑜𝑑𝜋 ) ≡ 𝐴𝐷 , 𝐴𝐵 ) + (𝐸𝐵 , 𝐸𝐼 ≡ 𝐴𝐸 , 𝐴𝐷 + (𝐸𝐵 , 𝐸𝐴 ) 𝑚𝑜𝑑𝜋 64 (𝑚𝑜𝑑𝜋 ) ≡ 𝜋 (𝑚𝑜𝑑𝜋 )(do 𝐴𝐷 trung trực 𝐵𝐸 ⟹ 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐷 ) ⇒ 𝐷𝐾𝑀 = 900 ⇒ 𝐷𝑀 đường kính (𝑂 ) Mà 𝐷 điểm cung 𝐵𝐶 chứa 𝐴 𝑀 điểm cung 𝐵𝐶 không chứa 𝐴 nên 𝑀 cố định Vậy đường thẳng 𝐾𝐼 qua điểm 𝑀 cố định 𝐼 thay đổi Câu 75 (THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên – Trại hè Hùng Vương lần X) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  có AH đường cao P , Q chân đường vng góc hạ từ H xuống AB , AC Gọi M giao PQ BC , K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AM , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC Chứng minh K , H , I thẳng hàng Lời giải Dễ dàng chứng minh PQCB tứ giác nội tiếp Ta có MB.MC = MP.MQ Do hai tam giác MHP MQH đồng dạng nên MH  MP.MQ Vậy có MH  MB.MC  MP.MQ  MK MA suy AKPH tứ giác nội tiếp Vậy HK  AM Ta có năm điểm A, K, P, H, Q thuộc đường tròn tâm J trung điểm AH Bây ta lại có I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác PQCB nên IJ  PQ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta dễ dàng chứng minh OA  PQ Từ OA // IJ Lại có OI  BC, AH  BC  OI / / AH Từ AJIO hình bình hành Dễ dàng suy JHIO hình bình hành Mà JO vng góc với AK (do AK trục đẳng phương hai đường trịn (J) (O)) Vậy HI vng góc với AK Lại có KH vng góc với AK nên K, H, I thẳng hàng A K Q J P O M C B H I Câu 76 (THPT Chuyên tỉnh Tuyên Quang – Trại hè Hùng Vương lần X) 65 Cho hai đường tròn  O; R   O' ; R'  tiếp xúc với A ,  O '  nằm  O  , BC dây cung  O  tiếp xúc với  O '  M Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh a Ba điểm A , I , M thẳng hàng b Khi dây BC thay đổi điểm I thuộc đường trịn cố định Lời giải B M' B' M I O O' A C a) Gọi M’ giao điểm thứ hai MA với (O) B’ giao điểm thứ hai BA với (O’) (khác A) R Ta thấy VAk (O ')  O,VAk (M )  M ' , suy O’M // OM’ Vì O’M  BC R'  Vậy AM phân giác nên OM’  BC, M’ điểm cung BC Đặt k   , hay I thuộc đường thẳng AM góc BAC b) Theo tính chất phân giác IA BA  IM BM Mặt khác, theo tính chất phương tích BM  BB '.BA  IA  IM AB  BB ' AB AB BB ' Vì VAk ( B ')  B nên   AB k AB  k AB '  AB  k AB '  AB  k ( AB  BB ')   BB ' k  Do   IA k k   AI  ( AM  AI )  AI  q AM , q  IM k 1 k 1 66 k k 1 k 1 k 1 Vậy VAq ( M )  I Do M  (O ') nên I  (O '')  VAq ((O ')) cố định Câu 77 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Tỉnh Yên Bái – Thi Toán Khối 11) Cho tam giác ABC không cân A Gọi  O   I  theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC  I  tiếp xúc với AC , AB E , F Các điểm M , N thuộc  I  cho EM song song BC FN song song BC Gọi P , Q giao điểm BM , CN với  I  Chứng minh a BC , EP , FQ đồng quy điểm, gọi điểm K b Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPK , CQK tiếp xúc với  I  qua điểm thuộc  O  Lời giải A d P F N L M E I Q O B D C K S a) Gọi S giao điểm BC EF Gọi D tiếp điểm (I) với BC Ta có DMFP tứ giác điều hịa  E  DSPM   E  DFPM   1 Mà EM//DS Do EP qua trung điểm DS Tương tự FQ qua trung điểm DS Vậy BC, EP, FQ đồng quy trung điểm DS Kí hiệu K b) Kí hiệu (XYZ) đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ Gọi d tiếp tuyến vơi (I) P Ta có:  KP, KB    EP, EM  mod     d , PM  mod     d , PB  mod   Suy d tiếp xúc với (BPK) P Vậy (PBK) tiếp xúc với (I) Tương tự (CQK) tiếp xúc với (I) Kí hiệu EE, FF theo thứ tự tiếp tuyến với (I) E, F Gọi L giao điểm khác K (BPK) (CQK) Ta có:  LB, LC    LB, LK    LK , LC  mod   67   PB, PK    QK , QC  mod    P   LBK  ; Q   LKC     PM , PE    QF , QN  mod     EM , EE    FF , FN  mod     AB, AC  mod   FN / / EM ; FF  AB; EE  AC  Suy L thuộc (ABC) Điều có nghĩa đường trịn ngoại tiếp tam giác BPK CQK qua điểm thuộc (O) Câu 78 (Sở GDĐT Nghệ An – Chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia lớp 12- 2006-2007) Cho tam giác ABC Gọi hai điểm B ' , C ' trung điểm cạnh AC , AB H hình chiếu A lên BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C ' , BC ' H , B'CH đồng quy điểm đồng thời đường thẳng qua điểm điểm H qua trung điểm đoạn thẳng B 'C ' 68