Hsg 11 hình học phẳng loại 1

Loại 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc Câu [Trường THPT Chun Lê Hồng Phong Nam Định- năm 2015- Tỉnh Nam Định] Cho hai đường tròn  O1   O1   O2  Gọi  O2  cắt A, B AX , AY đường kính O trung điểm XY ; I điểm thuộc đường phân giác góc XAY cho OI khơng vng góc với XY I khơng thuộc hai đường trịn Đường thẳng  O1   O2  E, F A AI qua vng góc với cắt đường trịn , điểm O O khác A IX cắt đường tròn   điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn   điểm thứ hai L Gọi C giao điểm EF với IX Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn  CEK  Chứng minh đường thẳng EK , FL, OI đồng quy Lời giải A E C F D O1 O2 O X B Y K L I S Khơng tính tổng qt giả sử I điểm thuộc đường phân giác góc XAY Ta có tứ giác AO1OO2 hình bình hành nên suy OO1 || HY Lại có  EA, EO1   AO1 , AE   AF , AO2   mod    EO1 || HY Do O, O1 , E thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có O, O2 , F thẳng hàng Mặt khác  CE , CK   AC , AK    AK , CK   AC , AK         O1 E , O1 K  EO1 , EK   mod   2   Do OE tiếp tuyến đường tròn  CEK    Ta có AKI  ALI 90 nên điểm A, I , K , L thuộc đường trịn đường kính AI Mà EF  AI nên suy EF tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Do  AE , AK   LA, LK   mod   (1) Mặt khác  KE , KA  XE , XA  XE , EA    AE, AX      AE , AX   mod       AY , AF   AF , FY    AY , AF   AY , FY   LA, LF   mod   (2) Từ (1) (2) suy  EF , EK   EA, AK    AK , EK   LA, LK    LF , LA   LF , LK   mod   Vậy điểm E , F , L, K thuộc đường tròn Gọi S giao điểm EK FL Vì điểm E , F , L, K thuộc đường trịn nên ta có SE.SK SF SL  PS / CEK  PS /  DFL  Ta có Gọi (3) IC IK ID.IL IA2  PI /  CEK  PI / DFL  (4) D giao điểm EF với IY DFL  Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF tiếp tuyến đường tròn  Mặt khác tứ giác EFYX hình thang vng E , F O trung điểm XY nên suy 2 P  OE  OF PO / DFL  O / CEK   OE OF Do (5) Từ (3), (4), (5) suy S , O, I thuộc trục đẳng phương hai đường tròn  CEK  ,  DFL  nên S , O, I thẳng hàng Vậy đường thẳng EK , FL, OI đồng quy S *) Chú ý: Nếu HS khơng sử dụng góc định hướng phải xét trường hợp vị trí điểm I ( I nằm đoạn XK , YL I nằm đoạn XK , YL ) Câu [Trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình- Vịng 2] Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H M , N trung điểm AH , BC Các đường phân giác góc ABH , ACH cắt P Chứng minh: a, Góc BPC góc vuông Câu b, M , N , P thẳng hàng [SỞ Bình Định- năm học 2012-2013] Trong tam giác ABC , M chân đường vng góc hạ từ A xuống đường phân giác  góc BCA N , L chân đường vng góc hạ từ đỉnh A, C xuống đường phân giác góc ABC Gọi F giao điểm đường thẳng MN AC , E BF CL , D giao điểm đường thẳng BL AC Chứng minh DE  MN giao điểm đường thẳng Câu [Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - năm 2015- Tỉnh Hịa Bình] Cho  O hai đường trịn  O1  ,  O2  tiếp xúc với tiếp xúc với  O  Gọi I tiếp điểm  O1   O2  ; M1, M tiếp điểm  O  với  O1  ,  O2  Tiếp tuyến  O  ,  O2  cắt  O  chung I N2 O   O2  A AM1 cắt N1 ; AM cắt Chứng minh OA  N1N N1 N cắt  O  B, C ; AI cắt  O  A ' Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' BC Chứng minh N1 N , O1O2 , M1M đồng quy Lời giải A B N1 H N2 C O D O2 O1 I M2 M1 K A' a) A thuộc trục đẳng phương N1N M M1 tứ giác nội tiếp dẫn đến  O1   O2  nên AN1 AM1  AN AM suy     AN N  AM M  Sđ BM1  Sđ AC  Sđ BM1  Sđ AB 2 2  AC  AB  OA  N N b) Gọi H , K giao điểm AO với BC , (O) Tam giác ABK vng B có BH đường cao  AB  AH AK AM K 90o  HN M K 1 tứ giác nội tiếp  AB  AH AK  AN1 AM1 PA/ O   AI  AB  AC  AI Suy A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC 1 1  IBC  IAC  A ' AC  A ' BC 2 Dẫn đến  Suy BI phân giác A ' BC    Rõ ràng A ' I phân giác BA ' C (do AB  AC ) Vì I tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' BC  O  ,  O1  ,  O2  c)Giả sử O1O2 cắt N1 N D , gọi R, R1 , R2 bán kính O  O  Rõ ràng D tâm vị tự  DO1 R1 M 2O2 R2   DO2 R2 ,lại có M1O1 R1 DO1 M 2O2 M1O 1 DO M O M O 2 1 Suy Dẫn đến D, M1, M thẳng hàng (Menelauyt đảo) Vậy N1N , O1O2 , M1M đồng quy Câu [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI- CHUYÊN HẠ LONG]  O; R   O; R với R R ' cắt hai điểm phân biệt A, B Một Cho hai đường tròn  O   O P P Gọi Q Q lần đường thẳng d d tiếp xúc với đường tròn lượt chân đường vng góc hạ từ P P xuống OO Các đường thẳng AQ AQ cắt đường tròn  O Hướng dẫn giải M M  Chứng minh M , M , B thẳng hàng P' I P A Q O J Q' O' S M B M'  O  Gọi S giao điểm d OO , S tâm vị tự ngồi hai đường tròn  O Đặt k R' R , ta có: V ( S , k ) : (O)  (O '), P  P ', Q  Q ' Gọi I , J giao điểm AB với PP OO Khi ta có: IP IA.IB IP '  IP IP ' Mà PQ // IJ // PQ nên JQ JQ Suy AB trung trực QQ Mà OO trung trực AB Vậy tứ giác AQBQ hình thoi Do QB // AQ hay QM  // QM Giả sử V ( S , k ) biến M thành B QM // QB  O  suy Bthuộc  O B B Mà M thuộc Vậy V ( S , k ) biến M thành B Tương tự ta có V ( S , k ) biến M  thành B Suy M , B, M thẳng hàng Câu  I  tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB tương ứng D, E , F Cho ABC đường tròn nội tiếp  I  R ( R D ) Gọi Đường thẳng EF cắt BC G Đường trịn đường kính GD cắt P, Q ( P  R, Q R ) tương ứng giao  I  với BR, CR Hai đường thẳng BQ CP cắt  CDE  cắt QR M đường tròn  BDF  cắt PR N Chứng X Đường tròn minh PM , Q N , RX đồng quy Hướng dẫn giải  GDBC   , KD KR KB.KC , điều Gọi K trung điểm đoạn GD Ta có  RPC  Do KRB RCB suy KR tiếp tuyến  I  , KR tiếp tuyến  I  Mặt khác KD tiếp tuyến Vì KRB RQP  RQP RCB  RQ || BC Suy RX qua trung điểm đoạn PQ ( bổ đề quen thuộc hình thang ) Từ suy PM , Q N , RX đường trung tuyến RQP , suy ĐPCM A E R M F N I Q P X G B K Câu D C H [KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2016 - 2017 ]  I  tiếp xúc với BC CA D, E Cho tam giác ABC có AB  AC Đường trịn nội tiếp tương ứng Gọi M trung điểm BC N điểm đối xứng với D qua IM Đường  I  Chứng thẳng vuông góc với EN N cắt AI P, Q giao điểm thứ hai AN với minh DP  EQ Câu [ĐỀ XUẤT ĐỀ THI DUYÊN HẢI BẮC BỘ.Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - Tỉnh Hịa Bình Năm học 2012-2013] ^ ^ ^ Cho tam giác ABC Các phân giác góc A ; B; C cắt cạnh đối diện tam giác ABC A1 , B , C1 CMR A1 , B , C1 thẳng hàng thuộc đường thẳng vng góc với OI O, I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Qua I kẻ đường thẳng vuông góc IA, IB, IC cắt BC , CA, AB A2 , B2 , C2 Có   A IB  AIB  90o 90o  C  90o  C ICA  2 2  B IA chung  A2 BI A2 IC  A2 B A2 I   A2 B A2C A2 I A2C  PA2 /  I ;O  PA2 /  O  CMT : PB2 /  I ;O  PB2 /  O  PC2 /  I ;O  PC2 /  O   A2 , B2 , C2  trục đt  I ; O   O    A2 B2C2   OI  1 AA1 BB1  F    F tâm đường tròn bàng tiếp C ABC  C , I , F thẳng hàng C hàng Câu AA1  AI  CA2 CI     A2 I / / AA1   A2 I  AI  CA1 CF  CA2 CB2  1    3  A1 , B1 , C1 thẳng   CA1 CB1 CI CB 2  CMT : IB2 / / FB2    A1B1C1   OI  CF CB1 [Đề xuất CMT : NinhLong]  A2 B2 / / A1B1  B2C2 / / B1C1  2  3 lớp 11 Sở GD- ĐT Quảng Trường THPT Chuyên Hạ  I  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA, AB theo thứ tự Giả sử đường tròn D, E , F Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF K Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: IM  DK Hướng dẫn giải Gọi N giao điểm ID EF Qua N N kẻ đường thẳng // BC cắt AB , AC theo thứ tự   từ P, Q Vì hai tứ giác IFPN IQEN nội tiếp nên IFN IPN A K P F E N Q J I B D H M C   IEN IQN     Mặt khác IEN IFN  IPN IQN Do IPQ cân I Vậy N trung điểm PQ  A, N , M thẳng hàng Lại có IN  AK , KN  AI  N trực tâm AIK  AM  IK Gọi H giao điểm AM IK J giao điểm IA EF    IH IK IJ IA IE ID  IHD IDK (c  g  c)  IDH IKD     Mà IHMD nội tiếp nên IDH IMH  IKD IMH  IM  DK (Đpcm) Câu 10 [ĐỀ NGHỊ THI CHỌN HSG VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ LỚP 11 - Trờng T.H.P.T Chuyên Thái Bình.Năm học 2013-2014 ] Cho tam giác ABC vng A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi cho M thuộc AB , N thuộc AC P, Q thuộc BC K  BN  MQ; L  CM  NP; X MP  NQ; Y KP  LQ Chứng minh   1) KAB LAC 2) XY qua điểm cố định Hướng dẫn giải   1) Lấy U,V theo thứ tự thuộc AK, AL cho ABU ACV 90 (h.1) A M N K B L Q C P V U (h.2.1) BU BU NA MA BK BA ML BQ BA MN    Ta có: CV NA MA CV NK CA CL NM CA CP  BQ CA NP BA CA BA BA   MQ BA CP CA BA CA CA Do tam giác ABU, ACV đồng dạng   Vậy KAB LAC 2) Đặt Z  ML  NK (h.2.2)  1 Theo định lí Pappus: X, Y, Z thẳng hàng Gọi H hình chiếu A BC ; O, F, E theo thứ tự trung điểm BC , MN, AH Dễ thấy A, Z, O, F thẳng hàng; E, X, O thẳng hàng; FX / / AH Vậy X(AHEF)  X(AZOF) X(AZEF)  2 Do X, H,Z thẳng hàng Từ  1   suy XY qua H (đpcm) A F M E N Z K B X Q O L Y H P C (h.2.2) Câu 11 [ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI-TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG ] Cho tam giác ABC với AB  AC Các đường trung tuyến phân giác góc A cắt BC M N tương ứng Đường thẳng qua N vng góc với AN cắt AB, AM P Q ; đường thẳng qua P vuông góc với AB cắt đường thẳng AN R Chứng minh QR vng góc với BC Hướng dẫn giải A P K Q B' B C' M C N R D Gọi D giao điểm thứ hai AN với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dễ thấy DB DC suy DM vng góc với BC Đặt k AR AD xét phép vị tự VAk : B  B ', C  C ', D  R Khi B thuộc AB , C  thuộc AC hai tam giác BCD B’C’R có cạnh tương ứng song song Gọi K giao điểm PN với BC  , ta có  ' B ' R CBD     C BAD 90O  ARP RPN   suy tứ giác RKPB nội tiếp Từ B ' KR  B ' PR 90 k Như VA : M  K nên K trung điểm BC  , hay K thuộc AM , suy K trùng Q Do BC  song song với BC mà QR vng góc với BC  nên QR vng góc với BC Câu 12 [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI năm 2015.LẦN THỨ XI ]  O  Các đường cao Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC nội tiếp đường tròn BE , CF cắt H  E  AC , F  AB  Đường thẳng EF cắt BC G Lấy điểm T