Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 75 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
75
Dung lượng
11,76 MB
Nội dung
Chủ đề 7.3 KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN ① Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a MH , với H hình chiếu M đường thẳng a Kí hiệu: d ( M ,a) = MH M a H M ② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( a ) MH , với H hình chiếu M mặt phẳng ( a ) ( H ) Kí hiệu: d M , ( a ) = MH ③ Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường d ( a,b) = d ( M ,b) = MH b a M H ( M �a) ④ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( a ) song song với a M khoảng cách từ điểm M thuộc đường a đến mặt phẳng ( a ) : H d� a,( a ) � =d� M ,( a ) � = MH ( M �a) � � � � ⑤ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ A điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d� =d� a,( b) � =d� A, ( b) � = AH a �( a ) , A �a ( a ) , ( b) � � � � � � � ( B a ) H K ⑥ Khoảng cách hai đường thẳng chéo - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a,b IJ gọi đoạn vng góc chung a,b c a I a I J J b - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng b B KỸ NĂNG CƠ BẢN Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước Các bước thực hiện: Bước Trong mặt phẳng ( M ,d) hạ MH ^ d với H �d Bước Thực việc xác định độ dài MH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ giác, đường tròn, … M a M a A d d H A M I K H K Chú ý: Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với d thì: d ( M ,d) = d ( A,d) = AK ( A �d) d ( M ,d) MI = Nếu MA �d = I , thì: AI d ( A,d) b Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( a ) O Các bước thực hiện: O d H Bước Tìm hình chiếu H O lên ( a ) H - Tìm mặt phẳng ( b) qua O vng góc với ( a ) - Tìm D = ( a ) �( b) - Trong mặt phẳng ( b) , kẻ OH ^ D H H hình chiếu vng góc O lên ( a ) A Bước Khi OH khoảng cách từ O đến ( a ) O I Chú ý: Chọn mặt phẳng ( b) cho dễ tìm giao tuyến với ( a ) Nếu có đường thẳng d ^ ( a ) kẻ Ox / / d cắt ( a ) H ( ) ( ) d ( O,( a ) ) OI = Nếu OA cắt ( a ) I thì: AI d ( A,( a ) ) Nếu OA/ / ( a ) thì: d O,( a ) = d A, ( a ) H O A H K Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a,b b Trường hợp a b: - Dựng mặt phẳng ( a ) chứa a vng góc với b B - Trong ( a ) dựng BA a A AB đoạn vng góc chung B a A K Trường hợp a b không vuông góc với Cách 1: (Hình a) - Dựng mp ( a ) chứa a song song với b - Lấy điểm M tùy ý b dựng MM () M - Từ M dựng b// b cắt a A - Từ A dựng AB / / MM �cắt b B AB đoạn vng góc chung Cách 2: (Hình b) b B M A M' a - Dựng mặt phẳng ( a ) ^ a O, ( a ) cắt b I b' (Hình a) - Dựng hình chiếu vng góc b b lên ( a ) - Trong mp ( a ) , vẽ OH b H - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A AB đoạn vng góc chung Khoảng cách hai đường thẳng chéo a,b Cách Dùng đường vng góc chung: - Tìm đoạn vng góc chung AB a,b a A b B b' O H I (Hình b) - d ( a,b) = AB ( ) Dựng mặt phẳng song song chứa a b Khi đó: d ( a,b) = d ( ( a ) , ( b) ) Cách Dựng mặt phẳng ( a ) chứa a song song với b Khi đó: d ( a,b) = d b,( a ) Cách 3 Phương pháp tọa độ khơng gian a) Phương trình mặt phẳng ( MNP ) qua điểm M ( xM ;yM ;zM ) ,N ( xN ;yN ; zN ) ,P ( xP ;yP ; zP ) : u r uuuu r uuur + Mặt phẳng ( MNP ) qua điểm M ( xM ;yM ;zM ) có vtpt n = MN �MP = ( A;B;C) có dạng: A ( x - xM ) + B ( y - yM ) +C ( z - zM ) = � Ax + By +Cz + D = + Khoảng cách từ điểm I ( xI ;yI ;zI ) đến mặt phẳng ( MNP ) : IH = d ( I ,(MNP )) = AxI + ByI + CzI + D uuuu r uuur uuu r MN �MP MI Cơng thức tính nhanh: d ( I ,(MNP )) = uuuu r uuur MN �MP ( A2 + B +C ) uuur uuu r uuur AB �CD AC AB , CD d AB , CD = b) Khoảng cách hai đường chéo là: ( uuur uuu r ) AB �CD ( uuur uuu r AB CD r c) Góc hai đường thẳng AB,CD theo công thức: cos( AB,CD ) = uuur uuu AB CD ) d) Góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( MNP ) : uu r uuur uuur uu r uuuu r uuur ( ABC ) có vecto pháp tuyến n1 = AB �AC ; ( MNP ) có vtpt n2 = MN �MP , đó: uu r uu r n1.n2 A1A2 + B1B2 + C 1C � ( ABC ) ,( MNP ) ; cos ( ABC ) , ( MNP ) = uu r uu r = A12 + B12 +C 12 A22 + B22 + C 22 n1 n2 ( ( ) e) Góc đường thẳng AB mặt phẳng ( MNP ) : u r uuuu r uuur r uuur Tính u = AB ( MNP ) có vtpt n = MN �MP , thì: sin AB,( MNP ) ( ) ) ru r u.n = r u r � AB, ( MNP ) ; u.n ( ) C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn) Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 600 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: a a 3a 3a A B C D 4 Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC SA bằng: a a a a A B C D 5 10 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng: A arctan 85 17 B arctan 10 17 C arcsin 85 17 D arccos 85 17 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: A arccos 330 110 B arccos 33 11 C arccos 11 D arccos 33 22 Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA = a M trung điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng: A arctan 11 110 B arctan 110 11 C arctan 110 33 D arctan 110 11 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB = a, AC = a diện tích tam giác SBC A a 330 33 a2 33 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: B a 330 11 C a 110 33 D 2a 330 33 Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân B, BA = BC = a , góc mp ( SBC ) với mp ( ABC ) 600 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC A a B a C a D a Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300 , góc ABO 600 AC = a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng CM OA A arctan 93 B arctan 31 B arctan 93 D arctan 31 Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300 , góc ABO 600 AC = a Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai mặt phẳng (OCM) (ABC) A arcsin 35 B arcsin 34 35 C arcsin 14 35 D arcsin Câu 10 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) 600 , OB = a , OC = a Gọi M trung điểm cạnh OB Góc đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng: 3 A arcsin B arcsin C arcsin D arcsin 7 7 Câu 11 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC ) 600 , OB a , OC a Gọi M trung điểm cạnh OB Tính góc hai mặt phẳng AMC ABC bằng: A arcsin 32 34 B arcsin C arcsin D arcsin 35 35 35 35 KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI MẶT ĐÁY Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vuông A B Biết AD 2a , AB BC SA a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD A h a B h a C h a D h a Câu 13 Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB a, OC a Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA a , gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h hai đường thẳng AB OM A h a B h a C h a 15 D h a 15 Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD , SA 2a Gọi F trung điểm SC, tính góc hai đường thẳng BF AC A 600 B 900 C 300 D 450 Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy SA 2a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc đường thẳng BM mặt phẳng ABC A cos 21 B cos 10 C cos 14 D cos Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Tính góc hai mặt phẳng SBC SDC A 900 B 600 C 300 D 450 � 1200 Các mặt Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD phẳng SAB SAD vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm SD, thể tích khối chóp S.ABCD A h a 228 38 a3 Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a B h a 228 19 C h 5a D h 5a 19 � 1200 Các mặt Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD 3a phẳng SAB SAD vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a A h 5a B h a C h a D h a Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB a Hai mặt phẳng SAB a SAC vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Tính góc tạo hai đường thẳng SB AC A 450 B 900 C 300 D 600 Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a3 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng SCD A 450 B 600 C 300 D 900 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hai mặt phẳng SAB SAC vng góc với mặt đáy SA a Tính cơsin góc hai mặt phẳng SAB SBC A cos B cos C cos D cos Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 450 , gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo OG AD A h a B h a C h a D h a � 1200 Hai mặt phẳng Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BAD SAB SCD vng góc với mặt đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 450 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng SCD theo a 7a 21a 21a 3a B h C h D h 14 21 KHỐI CHĨP CĨ MẶT BÊN VNG GĨC MẶT ĐÁY – HÌNH CHIẾU VNG GĨC (Cơ Nguyễn Thị Gia Tường) A h Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng SCD A h a 21 B h a C h a D h a Câu 25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng SBC vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách h hai đường thẳng SA, BC A h a B h a C h a D h 3a Câu 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , SA a; SB a mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Tính cơsin góc hai đường thẳng SM , DN A B C a 5 D a Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi H trung điểm AB Tính cơsin góc SC SHD A 15 B C a D Câu 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SBC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ABCD , đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SBC góc 600 Tính góc SBD ABCD A B C D Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SD 3a , hình chiếu vng góc S ABCD trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD A h 2a B h a C h a D h a Câu 30 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC điểm H thuộc cạnh AB cho HA HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng ABC 600 Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A h 42a B h 42a 12 C h 42a 12 D h 42a 12 Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, O giao điểm hai đường chéo AC BD , có AB a; AD a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên ABCD trung điểm H OD , SH 2a Tính cơsin góc AB, SD A 17 B 17 34 C 17 34 D Câu 32 Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , SA SB SC 34 a , BC a Tính cosin góc SA ABC A B C D Câu 33 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh A , cạnh BC a , AC a , a Tính góc tạo mặt bên SAB mặt phẳng đáy ABC B C D arctan 3 CHỦ ĐỀ LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH HỘP CHỮ NHẬT- HÌNH LẬP PHƯƠNG cạnh bên SA SB SC A B C có mặt đáy ABC Câu 34 Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� tam giác vng B có BC ) AB a, AC a 3, A� B 2a Gọi M trung điểm AC Khoảng cách từ M đến ( A� là: A a B a C 3a D 3a B C có mặt đáy tam giác đều, cạnh A� A 3a Biết góc Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� ( A� BC ) đáy 45 Tính khoảng cách hai đường chéo A� B CC �theo a là: A a B 3a C 3a D 3a B C có cạnh bên 2a , góc tạo A� Câu 36 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� B mặt đáy C AM 600 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo đường thẳng A� A B C D A 3a Tính góc tạo B C có AB 5a, AC 6a, BC 7a; A� Câu 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� A) đường thẳng BC �và ( ACC � 51 A arctan 17 51 B arctan 17 51 C arcsin 17 uuur D AA� a;0; a B C với đáy ABC tam giác vuông C có AB 8cm Câu 38 Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� � 600 ,diện tích tam giác A� CC �là 10cm2 Tính tan góc tạo hai mặt phẳng BAC (C � AB) ( ABC ) A B C D B C D có AB 3a, AD 5a , góc tạo D� Câu 39 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� B mặt đáy 450 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD B� M 20a 30a a 661 a 661 A B C D 661 661 20 30 B C D có diện tích tam giác B� Câu 40 Cho hình lập phương ABCD A���� AB 2a tính khoảng BD ) cách điểm B�và mặt phẳng (C � A 2a B 2a C a D a B C D có AB a, AD a , góc tạo đường thẳng A� C Câu 41 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� mặt đáy 600 Gọi I trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng BD�và AI A arccos B arccos C arccos D arccos B C D tích 27cm3 Tính tan góc tạo đường thẳng Câu 42 Cho hình lập phương ABCD A���� D D) A� C mặt phẳng ( BB�� A B C D 2 A 4a Tính góc tạo hai B C D có AB a; AD 2a; A� Câu 43 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� BD) mặt đáy mặt phẳng (C � A arccos 21 22 21 21 C arccos 42 21 LĂNG TRỤ XIÊN - GV NGUYỄN THANH SANG B arccos D arccos 21 12 B C có mặt đáy tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc Câu 44 Cho hình lăng trụ ABC A��� A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên A� theo a là: mặt đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACC � A 39 a 13 B 15 a C 21 a D 15 a B C có mặt đáy tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc Câu 45 Cho hình lăng trụ ABC A��� A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường chéo AC BB�theo a là: A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 B C có mặt đáy tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC A��� A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường chéo BC AA�theo a là: A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 B C có mặt đáy tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc Câu 47 Cho hình lăng trụ ABC A��� A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Gọi góc hai đường thẳng AC BB� Khi cos : A cos B cos C cos D cos B C có mặt đáy tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc Câu 48 Cho hình lăng trụ ABC A��� A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên C ABC là: mặt đáy 600 Tính góc hai đường thẳng A� A B C D arcsin B C có mặt đáy tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu vng góc Câu 49 Cho hình lăng trụ ABC A��� A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên B� ABC là: mặt đáy 600 Tính góc hai mặt phẳng BCC � A arctan B arctan C arctan D arctan B C có mặt đáy đáy ABC tam giác Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC A��� vng A , AB a, AC 2a Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 300 Tính khoảng cách từ điểm C �đến A� ABB� là: A a B a B 85 a 17 D 13 a , ABC AA� , A� H 30 AA� a , BC HK Kẻ HK AA� , ta có: HK AA�nên: HK AA� Suy ra, d AA� Suy ra, A� H AH tan 300 Xét tam giác A� AH vuông H có: HK Vậy d AA� , BC AH A� H AH A� H 2 a a C� A� C� A� z B� B� K A C y A H C H B x B [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A 0; 0; , B a 3;0;0 , C 0; a 3;0 , uuur �a a � �a a � �a a � � H� ; ; , A ; ; a AA� � Ta có: � � � �2 � �2 � � ; ; a� �; 2 � � � � � � uuur uuur uuu r AA� �BC AB uuur uuur BC a 3; a 3; ; AB a 3;0;0 Vậy d AA� , BC a uuur uuur AA� �BC B C có mặt đáy ABC tam giác cạnh AB 2a Hình chiếu Câu 52 Cho hình lăng trụ ABC A��� ABC trùng với trọng tâm A� ABC là: AA� 3a Tính góc hai mặt phẳng ABB� vng góc A�lên mặt phẳng B arccos 3 Hướng dẫn giải Cách 1: [Phương pháp dựng hình] A arccos Tính được: AI a ; AG AI EG C arccos G tam giác ABC , biết D arccos 12 E a Kẻ GE AB Ta có: AB A� 3 69 a ; A� G A� A2 AG a Vậy 3 A� E , EG � A� EG , ABC A� ABB� A� G EG vuông G ta được: tan � Xét tam giác A� A� EG 23 � cos � A� EG EG 12 Vậy ABB� A� , ABC arccos 12 C� A� A� z C� B� B� A C G E x y A C E I G B I B [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: � a � � a 69 � I 0; 0;0 , A 0; a 3;0 , C a;0;0 , B a;0;0 , G � 0; ;0 � , A� 0; ; a � � � � � � � � � � r Mặt phẳng ABC : z có vtpt k 0;0;1 r uuu r uuur � 69 � 23; ; A� có vtpt n AB �AA� a � Mặt phẳng ABB� �nên: � 3 � � � rr n.k 6 cos ABB� A� , ABC r r Vậy ABB� A� , ABC arccos n k 12 12 B C D có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O có AB a, BC 2a Gọi Câu 53 Cho lăng trụ ABCD A���� H , M trung điểm OA, AA� Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng ABCD trùng với điểm H Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách C: từ điểm M đến mặt phẳng CDD�� 29 85 285 B C a a a 13 17 19 Hướng dẫn giải Cách 1: [Phương pháp dựng hình] Do ABCD hình chữ nhật tâm O có AB a, BC 2a nên: A D 21 a a a H ABCD Ta có: A� ; OH Nên AH hình chiếu vng góc AA�lên ABCD , suy ra: , ABCD AA� , AH � A� AH 600 AA� AC a ; OA a 15 // CDD�� C nên: d M , CDD�� C d A, CDD�� C Vì AA� A� H AH tan 600 E ABCD , C � HEC �ta có: C � E A� H Dựng hình bình hành A� d A, CDD�� C d E , CDD�� C AC Suy ra, d A, CDD�� C 4.d E , CDD�� C EC Ta có: KE //AD AC 4CE nên tính được: KE a KE vng E có: IE Xét tam giác C � KE.C � E KE C � E 2 285 a 38 285 a 19 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích Vậy d M , CDD�� C 15 a Ta có: VABCD A���� � B C D S ABCD A H d M , CDD�� C d A, CDD�� C d A, CDC � 3VACDC � VABCD A���� BCD SCDC � SCDC � Xét tam giác CDC �ta có: CD a , CC � AA� A� H AH C� D C� E ED C � E KD KE Vậy d M , CDD�� C 11 19 a Suy ra, SCDC � a 285 a 19 A� D� C� M B� a A� D� B� C� M z A D H A B D H I O y C K E B C x [Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: �a 3a � B 0; 0; , A 0; a;0 , C 2a; 0;0 , D 2a; a;0 , H � ; ; � �2 � r uuur �a 3a 15 � �a a 15 � uuuu �5a a 15 � � � � A� ; ; a , M ; ; a CC AA � C Vì � � � � � �2 4 � �4 8 � �2 ; ; a � �; � � � � � � r �7a a uuuu r �a a 15 � uuuu uuur 15 � � ; ; a MC � Ta có: CD 0; a;0 ; CC � ; � �2 4 � �4 ; ; a � � � � � � uuur uuuu r uuuu r CD �CC �MC 285 C a Vậy d M , CDD�� uuur uuuu r 19 CD �CC � CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP – CÔ KHUYÊN Câu 54 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , đỉnh S cách điểm A, B, C Biết AC 2a, BC a , góc đường thẳng SB mp ABC 600 Tính khoảng cách từ trung điểm M SC đến mp SAB theo a a 39 13 Hướng dẫn giải A B 3a 13 13 C a 39 26 D a 13 26 [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Gọi hình chiếu S xuống mặt phẳng ABC H Suy SH ABC Ta có : S cách điểm A, B, C nên SA SB SC Vì SHA SHB SHC (tam giác vng có cạnh huyền nhau) nên HA HB HC hay H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC vuông B nên H trung điểm AC M trung điểm SC nên d M , SAB d C , SAB d H , SAB Gọi K trung điểm AB � HK AB S Kẻ HI SK I �AB SH �AB HK � � AB SHK Ta có : � HK � SH K � �HK , SH � SHK � Mà HI � SHK nên AB HI M I A C H K �HI SK �HI AB � � HI SAB � d H , SAB HI Lại có : � �SK �AB K �SK , AB � SAB � B � 600 Góc đường thẳng SB mp ABC góc nhọn SBH Ta có HB 1 a AC a ; HK BC 2 Xét SHB : SH tan 600.HB a Xét SHK vuông H suy Vậy d M , SAB HI 1 1 a 39 � HI 2 HI HS HK 3a a 13 a 39 13 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích Ta có : d M , SAB 3VMSAB SSAB Tam giác ABC vuông B � AB AC BC 4a a a Mặt khác : VSAMB 1 � VSAMB VSABC VSABC 2 1 1 a3 a3 Lại có : VSABC SH S ABC SH AB.BC a 3.a 3.a � VSAMB VSABC 3 2 Tam giác SHK vuông H nên SK SH HK 3a Do : SABC a a 13 1 a 13 a 39 SK AB a 2 Vậy : d M , SAB z S 3V a 39 MSAB SSAB 13 M [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ �a � Khi H �O 0;0; , K � ;0; �, S 0;0; a �2 � A �a a � �a a a 3� A� ; ;0 � ; ; � � �, M � � 2 � �2 � �4 � H C K y x B uuu r �a r � r � 3a a a � a � uuuu � uuu ;0; a � , KA � a ; ;0 , KM � ; ; Suy ra: KS � � � � � � � �2 � � � � 4 � uuu r uuu r uuuur � � KS , KA KM a a 39 � � Vậy d M , SAB uuu r uuu r 13 13 � � KS , KA � � Câu 55 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a , � ABC 600 , SA SB SC 2a Tính khoảng cách AB SC a 11 a 11 a 11 B C 12 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình � 600 nên ABC ABC có AB BC , ABC A D 3a 11 Gọi G trọng tâm tam giác ABC , K trung điểm AB Ta có : SA SB SC nên SG ABCD Mặt khác: AB // SCD � d AB, SC d AB, SCD d B, SCD d G , SCD Vì G trọng tâm ABC nên CG AB hay CG CD Kẻ GI SC CD SG � � CD CG � � CD SGC Ta có: � SG � CG G � �SG, CG � SCG � mà GI � SGC nên CD GI GI SC � � GI DC � � GI SCD Lại có � �SC �CD C �SC , CD � SCD � hay d G, SCD GI ABC có cạnh a nên 2a a CG CK 3 Tam giác SGC vuông G suy SG SC GC 4a a a 11 3 1 a 11 � GI 2 GI SG GC Vậy d AB, SC 3 a 11 a 11 d G, SCD 2 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích AB // SCD � d AB, SC d AB, SCD d B, SCD 3VBSCD S SCD Tam giác SGC vuông G suy SG SC GC 4a a a 11 3 a a Tam giác ABC có cạnh a nên: OC , OB 2 z 1 a a2 Tam giác BCO vuông O : SBCD OC.BD a 2 S 1 a 11 a a3 11 Do đó: VSBCD SG.SBCD 3 12 CD SG � � CD CG � � CD SGC � CD SC Ta có: � �SG �CG G �SG , CG � SCG � A K B G x Tam giác SCD vuông C : S SCD Vậy d AB, SC D O 1 SC.CD 2a.a a 2 3VBSCD a 11 SSCD [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ đó: �a � � a 33 � � a a � � 2a � G 0;0; , B � ;0;0 S 0; 0; C ; ;0 D ; 0; , , , � � � � � � � �3 � � � � � � � � � � � � � � � r �a a � uuu v �a a a 33 � uuur � a a � uuu ; ; CD ; ;0 CB � Suy ra: CS � , , � � � �6 � � � � ; ;0� � � � � � � � y C uuur uuu r uuu r � � CD , CS CB a 11 � � Suy ra: d AB, SC d B, SCD uuur uuu r � � CD , CS � � Câu 56 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA OB OC a , I trung điểm BC Tính góc hai đường thẳng AI OB 1 A arctan B arctan C arctan D arctan 5 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Gọi M trung điểm OC Ta có IM //OB Nên góc AI OB góc AI IM góc � AIM OB OC � � OB OAC mà IM //OB nên IM OAC Ta có : � OB OA � Lại có AM � OAC nên IM AM Xét tam giác AIM vuông M nên ta có: a 5a a OB a AM AO OM a � AM 4 IM tan � AIM AM 5�� AIM arctan IM A Vậy góc hai đường thẳng AI OB arctan [Cách 2]: Phương pháp dùng tích vơ hướng uur uuur Ta có: cos AI , OB cos AI , OB M O uur uuur uur uuur AI OB Ta xét: cos AI , OB AI OB C I B Có: uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur a 2 a2 AI OB AO OI OB AO.OB OI OB OI OB OI OB.cos OI , OB a 2 a uur uuu r uur uuu r AI OB 1 � cos AI , OB � tan AI , OB Do đó: cos AI , OB AI OB a 6 a Vậy góc hai đường thẳng AI OB arccos arctan z5 A [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: Ta có: O 0;0; , A 0; 0; a , B a;0; , �a a � C 0; a;0 , I � ; ;0 � �2 � y M O C I x B uuv �a a �2 � uuuv � ; OB a;0;0 Suy ra: AI � ; ; a � uuvuuu v AI OB uuv uuu v cos AI , OB cos AI , OB AI OB uuv uuu v � tan AI , OB Vậy góc hai đường thẳng AI OB arctan Câu 57 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , cạnh bên a Gọi M , N trung điểm SB CD Tính góc MN mặt phẳng SAC B arctan A arctan D arctan C arctan 2 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Gọi E , F trung điểm SO, OC Vì hình chóp SABCD đều, O tâm đáy ABCD nên SO ABCD Lại có ABCD hình vuông nên BD AC �BD AC �BD SO � � BD SAC Ta có � SO � AC O � �SO, AC � SAC � S E M I A �ME / / BD � ME SAC Ta có : � �BD SAC D O B Lại có : NF SAC N F C Do : Hình chiếu MN lên mặt phẳng SAC EF � Nên góc MN mặt phẳng SAC góc MN EF góc NIF Vì ABCD hình vng cạnh a nên BD a NF đường trung bình tam giác ODC � NF Mặt khác EF a a SC 2 Tứ giác MNEF hình bình hành nên hai đường chéo MN , EF cắt trung điểm I z a đường � FI EF S a � FN 2 � NIF � arctan 2 Tam giác NFI vuông F nên tan NIF a FI E M Vậy góc MN mặt phẳng SAC arctan 2 I [Cách 3]: Phương pháp toạ độ A D x B O F N C y Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: � Ta có O 0;0; , S � �0;0; � a 2� �, � � � a � �a � A� 0; ;0 B ;0;0 , � � � � � �2 �, � � � � �a � � a � C� �0; ;0 � �, D � �0; ;0 � �, � � � � �a a � � a a � uuuuv � a a a � M� ; ;0 � � ;0; � �, N � � � � MN � � ; ; � � � � � � � � v v Véctơ pháp tuyến SAC là: n i 1;0;0 sin MN , SAC uuuu vv MN n 2 uuuu vv cos MN , n v � tan MN ; SAC 2 MN n Câu 58 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC cạnh a , cạnh bên 2a A ' A A ' B A ' C Tính giá trị tan với góc hai mặt phẳng A ' BC mặt phẳng ABC B A 11 D 2a C 2a 11 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình A' C' Gọi O tâm đáy ABC Suy A ' O ABC Gọi I trung điểm BC Ta có AI BC ( tam giác ABC ) �BC A ' O �BC AI � A � BC A ' AI � BC A ' I Ta có : � A ' O � AI O � �A ' O, AI � A ' AI � B' O C I B � A ' BC � ABC BC � ABC : AI BC Mặt khác : � � A ' BC : A ' I BC � Nên góc hai mặt phẳng A ' BC mặt phẳng ABC góc � A ' IA Có OI 1a a a 11a 2 2 AI , A ' O AA ' AO 2a 3 3z � tan A 'O 11 OI C' A' [Cách 2]:Phương pháp toạ độ B' Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: A C O x I B y � a � �a a � � a a � O 0;0;0 , A � , B� , C� �0; ;0 � � �2 ; ;0 � � � ; ;0 � � � � � � � � A ' O A ' A2 AO � a 33 � a 33 � A'� �0;0; � � � � uuuuv �a a a 33 �uuuv A' B � ; BC a;0;0 �2 ; ; � � � � uv uuuuv uuuv � a 33 a � ; � � � � Véctơ pháp tuyến A ' BC là: n1 � �A ' B, BC � � � �0; v r Véctơ pháp tuyến ABC là: n k 0;0;1 uv v Ta có: cos cos n1 , n � tan 11 135 Câu 59 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD 2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Gọi M , N trung điểm cạnh bên SA SB Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng DMN a 31 a 31 B 60 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình A Ta có SA cắt DMN M � d S , DMN d A, DMN C a 60 31 D 2a 31 S SM 1 AM M � d S , DMN d A, DMN H N Kẻ AH MD D A �MN //AB � MN SAD �AB SAD Ta có : � Mà AH � SAD � MN AH B C �AH MD �AH MN � � AH DMN hay d A, DMN AH Ta có: � MD �MN M � � MD, MN � DMN � Ta có AC hình chiếu SC lên mặt phẳng ABCD nên góc SC ABCD � 600 góc SCA Tam giác SAC vuông A suy ra: SA tan 600 AC a 15 Xét MAD vuông A nên: 1 31 a 60 � AH 2 2 AH AM AD 15a 4a 60a 31 Vậy d S , DMN a 60 31 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích Ta có: d S , DMN 3VSMND Ta có: SMND Tam giác MND vng M : SMND Mặt khác �MN //AB � MN SAD � MN MD � �AB SAD 1 a a 31 a 31 MN MD 2 2 VSMND SM SN 1 1 11 a 15 � VSMND VSABD VSABD SA AB AD VSABD SA SB 4 83 12 a 60 31 [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Vậy d S , DMN z Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ: S A 0;0; ; S 0;0; a 15 ; D 0; 2a;0 ; � a 15 � �a a 15 � M� 0;0; ; N� ;0; � � � � � � �2 � � � M H N d S ; DMN D A uuuuv � a 15 � uuuv �a a 15 � DM � 0; 2a; ; DN � ; 2a; ; � � � � � � � � �2 � uuur DS 0; 2a; a 15 x uuuur uuur uuur � DM , DN � DS a 60 � � uuuur uuur 31 � � DM , DN � � y C B Câu 60 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Góc SB mặt phẳng SAC 600 Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách AM CD A a B a C a D a Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Hình chóp SABCD đều, O tâm đáy nên SO ABCD �BD AO � BD SAC Vì ABCD hình vng nên AC BD Ta có: � �BD SO � 600 Góc SB SAC góc SB SO góc SOB �CD //AB � CD // SAB Mà AM � SAB �AB � SAB Ta có � nên d AM , CD d CD, SAB 2d O, SAB Gọi I trung điểm AB Kẻ OH SI �AB OI � AB SOI mà OH � SIO � OH AB Ta có: � �AB SO OH SI � � OH SAB � d O, SAB OH Lại có � OH AB � Vì OI đường trung bình tam giác ABD nên OI a AD 2 OB a a tan 60 1 1 10 a 2 � OH 2 2 OH OI SO 10 �a � �a � a �� � � �2 � � � Tam giác SBO vng O nên ta có: SO Vậy d AM , CD d CD, SAB 2d O, SAB 2OH 2a 10 S z S H M M D A I O C B D A O B x C y [Cách 2]:Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ cho: � a � � a � � a � �a � O 0;0;0 ; S � 0;0; ; A 0; ;0 ; C 0; ;0 ; B ;0;0 � � � � � � � � � � � � �2 � � � � � � � � � � uuur �a a � uuur � a a � uuur ; AS � Suy ra: AB � � ; ;0 � � �0; ; � �; AC 0; a 2;0 � � � � � d AM , CD d C , SAB uuur uuu r uuur � � AB , AS AC 2a � � uuur uuu r 10 � AB, AS � � � Câu 61 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , NA 'lần lượt trung điểm D ' AB CD Tính khoảng cách A ' C MN A a B a C a D a 2C ' B' I Hướng dẫn giải A H B D M N C [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Ta có BC //MN � MN // A ' BC � d MN , A ' C d MN , A ' BC d M , A ' BC Gọi I A ' B �AB ' H trung điểm BI �MH //AI � MH A ' B Ta có � �AI A ' B � �MH A ' B � MH A ' BC MH BC BC ABB ' A ' � Lại có : � Do d MN , A ' C d M , A ' BC MH 1 a AI AB ' 4 [Cách 2]: Phương pháp toạ độ �a �2 � � Chọn hệ trục toạ độ cho: A 0;0;0 ; B a;0;0 ; C a; a;0 ; A ' 0;0; a ; M � ;0;0 � uuur uuur uuuur � a �2 � � uuur uuur uuuu r � � BA ', BC BM a � � d MN ; A ' B d MN ; A ' BC d M ; A ' BC uuur uuur 2 � � BA ', BC � � ;0;0 � Suy ra: BA ' a;0; a ; BC 0; a;0 ; BM � Câu 62 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân AD //BC , AD 2a , BC CD a Biết SA ABCD , SA 3a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AD A B C D Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Ta có AD //BC nên góc hai đường thẳng SC AD góc hai đường thẳng SC BC Vì ABCD hình thang cân nên AB CD a Gọi I trung điểm AD � �AI BC AD Ta có: � nên tứ giác AICB hình bình hành S � AI // BC � nên CI AB a Tam giác ACD có CI AD � tam giác ACD vuông C Tam giác ACD vng C nên ta có: AC AD CD 2a a 3a � AC a I A D Tam giác SAC vuông A nên ta có: SC SA2 AC 3a a 12a � SC 2a Tam giác SAB vng A nên ta có: B C SB SA2 AB 3a a 10a � SB a 10 Áp dụng định lí cosin tam giác SBC : SC BC SB � cos SCB 2SC.BC Vậy cosin góc hai đường thẳng SC AD S u ur AA� a;0;a [Cách 2]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ ta có: C 0; 0; ; A a 3; 0; ; D 0; a; ; S 0; 0;3a uuur uuur �a a � Suy ra: SC 0;0; 3a ; AB � � ; ;0 � � � � y x A I uuu r uuu r SC AB uuu r uuur cos SC , AD cos SC , AD SC AB D C B Vậy cosin góc hai đường thẳng SC AD Câu 63 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB CA a , cạnh bên SA ABC , SA a Tính góc SA SBC A arctan 2 B arctan C arctan D arctan Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Gọi I trung điểm cạnh BC Kẻ AH SI Vì tam giác ABC vuông cân A nên �BC AI � BC SAI Mà AH � SAI � BC AH AI BC Ta có: � �BC SA �AH SI � AH SBC Ta có: � �AH BC Suy : góc SA SBC góc SA SH S góc � ASI Tam giác SAI vng A : có SA a, AI AI tan � ASI AS a BC 2 H z S Vậy góc SA SBC arctan C A I [Cách 2]: Gán hệ trục tọa độ Chọn hệ trục toạ độ cho: A 0;0;0 ; B; a;0;0 ; C 0; a;0 ; S 0;0; a uur uuur Ta có : BS a;0; a , BC a; a;0 B C A I B x y uur uuu r 2 2 BS, BC � Suy ra: � � � a ; a ; a a 1;1;1 v Mặt phẳng SBC có véctơ pháp tuyến là: n 1;1;1 r Đường thẳng SA có véctơ phương là: k 0; 0;1 vv � cot SA; SBC Suy ra: sin SA; SBC cos n; k � tan SA, SBC 2 Vậy góc SA SBC arctan 2 ... ÁN 3. 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B 41 42 43 44... a2 33 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: a 33 0 a 33 0 a 110 B C 33 11 33 Hướng dẫn giải [Cách 1] Phương pháp dựng hình Kẻ AH vng góc với BC H, kẻ AK vng góc với SH K A D 2a 33 0... 110 33 D arctan 110 11 Câu Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB = a, AC = a diện tích tam giác SBC A a 33 0 33 a2 33 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: B a 33 0 11