Đại số Giải Tích 11 (Chương 3) Đặng Minh Thế §2 GIỚI HẠN HÀM SỐ Vấn đề 2: Tìm giới hạn dạng A(x) lim x®x0 B (x) Phương pháp: Nếu có dạng ta thường viết dạng: (x - x0)C (x) A(x) C (x) lim = lim = lim x®x0 B (x) x®x0 (x - x )D(x) x® x0 D(x) I Các giới hạn đặc biệt hàm số 1) lim xk = +¥ ; ìï +¥ , k = 2n lim xk = ùớ xđ- Ơ ùù - Ơ , k = 2n + ỵ c lim k = lim = - Ơ lim c = c xđƠ x 2) xđƠ ; ; xđ x 1 = lim = +Ơ lim = +Ơ xlim + đ0 x x® x + 3) x® x ; lim f (x) = L Û lim+ f (x) = lim- f (x) = L x® x0 x®x0 x®x0 4) Định lý 1: lim f (x) = L ¹ lim g(x) = Ơ xđx0 xđx0 Nu v thỡ: lim f (x).g(x) = +Ơ lim g(x) xđx0 nu L v xđx0 dấu lim f (x).g(x) = - ¥ lim g(x) x®x0 L x®x0 trái dấu Định lý 2: lim f (x) = L xđx0 Nu thỡ: f (x) lim =0 lim g(x) = Ơ xđx0 g(x) nu xđx0 xđ+Ơ C (x) xđx0 D(x) v tỡm bng cơng thức giới hạn Áp dụng 2: Tính x2 - 3x + x2 - 2x - lim lim x®1 x + x - 1) x®- x + 2) x4 - lim x®1 x - 2x + 3) Áp dụng 3: Tính giới hạn sau: 4x x +1- lim lim x® + x - 2x 1) x® 2) lim lim 3) 5) II Phương pháp giải toán Vấn đề 1: Hàm số cho xác định thay số vào kết Áp dụng 1: Tính giới hạn sau: x2 + x + lim lim(3 - 4x) x®1 2x5 + 1) x® 2) lim 4) x®1 x4 lim 6) x®2 + x +1 5) x® lim x® +1- 4) x®- - x2 - x + x2 + 3x x + + x + 16 - 3x 1+ x - 1+ x x 6) x® Áp dụng 4: Tính (x2 - x - 6)2 x3 - 4x + lim lim x®- x3 + 2x2 x- 1) 2) x®1 x5 - lim x®1 x - 2x + 3) xm - lim n (m, n Î Z +) x®1 x - 4) Áp dụng 5: Tính x- lim x®1 x + 2x + + 1) f (x) = +¥ lim g(x) = x®x0 g(x) x®x0 L g(x) > f (x) lim =- ¥ lim g(x) = x®x0 g(x) x® x0 L g(x) < lim x® x lim lim lim x2(2x - 1) x +1- 9x2 - x (2x - 1)(x2 + 3) lim x - x +1 2) x2 + 2x x® x2 + x + 3 2x + x - + x2 + ¥ Vấn đề 3: Dạng ¥ (khi x ® ±¥ ) Đại số Giải Tích 11 (Chương 3) Đặng Minh Thế k Phương pháp: Rút x với k số mũ cao tử mẫu Áp dụng 6: Tính giới hạn sau: (x - 1)2(7x + 2)2 lim xđƠ (2x + 1)4 1) 2) lim xđ+Ơ 3) + 3 1) lim 2) 3) xđƠ lim xđƠ 1) (3x2 + 1)(5x + 3) (2x3 - 1)(x + 1) 2) ( a) + b.3 a + b a + b3 − b.3 a + b lim ( x + - xđƠ x + 2) 9x2 - 2x + 5x 2x - 2x2 + ổ lim ỗ ç 4x - 6x + + 2x 3) x®- ¥ è x2 + 2x + 3x 4x2 + - x + 4) + x2 + - x x+3 1÷ ÷ ø lim ( x2 - 5x + + x) xđƠ ổ lim ỗ x - 2x + - x2 - 7x + 3ữ ữ ỗ ứ 5) xđƠ ố ổ lim ỗ2x - - 4x2 - 4x - 3ữ ữ ố ứ xđƠ ỗ 6) 4) p dụng 8: Tính giới hạn sau: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) lim xđƠ (3x - 1)4 1) 2x3 - x - lim x®- ¥ x + x + 2) x®+¥ x®+¥ lim ổ 2x + ữ ỗ ữ lim x ỗ ữ ỗ xđ+Ơ ỗ ữ ỗ3x3 + 2x2 + 2÷ è ø lim ( a) a − b3 Áp dụng 9: Tính giới hạn sau: 8x3 + 5x + - x2 + 4x + lim x+3 4) xđƠ p dng 7: Tớnh cỏc gii hn sau: lim a − b2 a −b a+ b= a −b ; a− b 4x2 + - x + xđƠ a +b = + x2 + 2x + 3x xđƠ a b = + 1+ x - x x +2 lim a +b = æ lim ỗ 4x + x + - 8x3 + 2x2 + x + 5ữ ỗ ữ ứ 7) xđ+Ơ ố p dng 10: Tớnh ổ x3 x2 ữ ữ ỗ lim ỗ ữ ữ xđƠ ç ç3x - 3x + 2ø ÷ è 1) ổ1 ữ ữ limỗ ỗ ữ ữ xđ1ỗ x ố ứ x + x 2) Vấn đề 5: Giới hạn bên hàm số Áp dụng 11: Tính 2x + lim 1) x®2+ x - x2 - 5x + 2 x +1 3) Vấn đề 4: Dạng 0.¥ , ¥ - Ơ (khi x đ Ơ ) Phng phỏp: Nu f (x) biểu thức chứa x k dấu căn, ta rút x với k số mũ cao tử mẫu Nếu gặp dạng 0.¥ ta nhân chia với biểu thức liên hợp biểu thức chứa tiến Ghi chú: a − b2 a −b a− b= a −b = a +b ; a+ b + lim x®2 x2 2x - - 3x + ổ1 ữ limỗ ỗ - 2ữ ữ ữ x đ 0ỗ x x ø è 3) 2) Đại số Giải Tích 11 (Chương 3) Đặng Minh Thế ỉ1 ÷ ữ lim ỗ ỗ ữ - ỗ ữ x ø x®2 è x 4) lim 5) (x + x®(- 1) x - ( ) x2 - ®0 u(x) x®x0 v(x) Vấn đề 6: Giới hạn u(x) v(x) chứa thức khơng có số lim Áp dụng 12: Tính giới hạn sau: 1- x x 1) x® 8- x 3x - - 4x2 - x - lim lim 2) x2 - 3x + x®1 lim 3) - x3 - x2 + x2 - x ®1 lim 4x2 - x - 3x - - x®1 x2 - 3x + 4) Áp dụng 12: Tính giới hạn sau: 1) 2) lim x ®1 lim x® 3) x + - - x2 x- + 3x x - x2 + x3 + 45x - 110 x ®1 (x - 1)2 4) III Luyện tập Bài 1: Tính giới hạn sau: x2 - 9x lim x® x2 - 4x + 1) 5x2 - 8x - lim 2) x®2 - x lim 3) x®- xn - nx + n - x®1 (x - 1)2 2) Bài 6: Tính giới hạn sau: 2x2 - 3x + 3x2 + x + lim lim xđ+Ơ xđ- Ơ x2 + x3 + x 1) 2) (x - 1)2(7x + 2) lim xđ+Ơ (2x + 1)3 4) (3x2 - 2x + 1)8 lim xđ+Ơ (x2 + 5x + 2)5(6x - 7)7 4) Bài 7: Tính giới hạn sau: x® lim lim + 2x - + 7x x + 2x - lim lim xđ+Ơ 1) x +3 3 x3 + 3x2 - x - x®- 2x3 + x2 - 3x - 4) Bài 2: Tính giới hạn: ỉ ữ ữ limỗ ỗ ữ x đ 2ỗ ốx2 - x - 2ữ ứ 1) ổ 1 ữ ữ lim ỗ + ỗ ữ 2 ữ xđ- 1ỗ ố ứ x x + x + x + 2) Bài 3: Tớnh ổ1 ữ ữ lim ỗ - ỗ ữ - ỗ ữ ứ xđ2 ốx - x 1) ỉ ÷ ÷ lim ỗ ỗ ữ +ỗ ữ 2) xđ- èx + x - x + 27ø x3 - 3x2 + lim 3) x®2 x - 6x + 12x - Bài 4: Tính giới hạn sau: xm - am xm - am lim n lim n 1) x®a x - a 2) x®a x - a (1+ ax)n - lim x 3) x® Bài 5: Tính giới hạn sau: xn + xn- + + x - n lim x- 1) x®1 x ) +1 x x3 + HD: lim lim 3- x 2) x®- ¥ 3x2 - x - + - x - x2 + 6x - 4x + - 2x - x + 5x Đại số Giải Tích 11 (Chương 3) Đặng Minh Thế (2x + 1)(x - 3) + x lim (x + 5)5 + 3x - lim x 1) x® + x - 3x 3) Bài 8: Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải x giới hạn (nếu có) hàm số trường hợp sau: ìï x2 - 4x + ïï , x >1 f (x) = ïí x2 - ïï ïïỵ x(x - 2), x £ x =1 1) với ìï ïï , x ïï ïỵ x2 - 4x + 2) x =2 với Bài 9: Tớnh cỏc gii hn sau: xđ- Ơ 1) 2) xđ x®- 1 + x - 1- 6) 7) - 2x 8) 4) + 2x - x x®1 x lim 3) 4x - 4) 4x3 + 6x2 + 12x + xđ+Ơ xđ+Ơ 4x2 - x + - x + - 3x x2 + + x x3 + x - x 4x2 + 2x - xđ- Ơ xđ- Ơ x2 + 4x2 + x 5- x - 2x - x3 lim xđ+Ơ x( x + - x) ổ lim ỗ ỗ x + 3x + xđ- Ơ ố x2 - x + 1ữ ữ ứ ổ lim ỗ x - + x2 - 2x + 5ữ ỗ ữ ứ 5) xđ- ¥ è x2 - 6) + 2x ổ lim ỗ 9x + x + + - 3xữ ữ ỗ ố ứ 2) xđ+Ơ xđ 2x x 8x3 + x - lim x+4 5) xđ+Ơ 4x - Bài 12: Tính giới hạn sau: ỉ lim ỗ 4x - 2x + - 2xữ ỗ ữ ứ 1) xđ+Ơ ố x - 9x + lim 9) + 9x + x lim (x + 5) x2 + 4x - x ®1 lim 3) x +8- x x® lim 2) x2 lim lim 2x + - x® lim 1) x x® x3 Bài 11: Tính giới hạn sau: x2 - 2x x® + 4x - x® 1+ x + x - 9x + 27 x3 + x2 + 4x + - lim x2 x® lim x +x + 4- x +1 lim lim 5) 3) 4) 2x + - x® lim lim 4) 2) 1+ x - x- lim lim 3) lim lim ( 4x2 - 4x + - 2x + 3) xđ+Ơ ổ 3 lim ç x - 3x2 - x2 + 2x ÷ ÷ ỗ ứ 7) xđ+Ơ ố ổ 3 2 lim ỗ ữ ỗ2 4x - 3x + x - x - x + 3ữ ứ xđ+Ơ è 8) + 11 - x +4- x®- 2x2 + 5x - 10) Bài 10: Tính giới hạn sau: Đại số Giải Tích 11 (Chương 3) Đặng Minh Thế ỉ lim x ỗ x + - x3 - 1ữ ỗ ữ ứ 9) xđ+Ơ ố ổ lim x ỗ x + 2x + x + 1- x2 - 4x ữ ữ ỗ ứ 10) xđ+Ơ ố ổ lim x ỗ x + 2x - x2 + x + xữ ữ ỗ ố ứ 11) xđ+Ơ x3 lim 12) xđ+Ơ ( x +2- x +1+ x ) ổ lim ỗ 4x + 4x + - x3 + x2 - x + 2ữ ỗ ữ ứ 13) xđ+Ơ ố Bi 13: Tính giới hạn sau: x- 1- x lim lim x x 1) x®2 2x - 5x + 2) x® 0+ 3) lim x®1+ x® lim 8) 9) 4) x +x 2x + 7) x- lim 5) 1- x x®1- lim + x →−2 x3 - 3x + x2 - 5x + 6) lim x®1+ x2 + x - x- x2 − 3x − x+2 lim+ ( x − 2) x x −4 lim+ (3 − x) x x −9 x →2 x →3 2 − x −1 3− x 10) x →3 Bài 14: Tính giới hạn sau: lim− 1) lim x® lim 2) x® + 2x.3 + 2x - x 1- cosx sin2 x cos3x - cosx 3) x® cos5x - cosx cos(a + x) - cos(a - x) lim sin x 4) x® lim ... x2 - 4x + 1) 5x2 - 8x - lim 2) x 2 - x lim 3) x®- xn - nx + n - x®1 (x - 1 )2 2) Bài 6: Tính giới hạn sau: 2x2 - 3x + 3x2 + x + lim lim xđ+Ơ xđ- Ơ x2 + x3 + x 1) 2) (x - 1 )2( 7x + 2) lim xđ+Ơ (2x... 1 )2( 7x + 2) 2 lim xđƠ (2x + 1)4 1) 2) lim xđ+Ơ 3) + 3 1) lim 2) 3) xđƠ lim xđƠ 1) (3x2 + 1)(5x + 3) (2x3 - 1)(x + 1) 2) ( a) + b.3 a + b a + b3 − b.3 a + b lim ( x + - xđƠ x + 2) 9x2 - 2x + 5x 2x... 2x - 2x2 + ổ lim ỗ ỗ 4x - 6x + + 2x 3) xđ- Ơ ố x2 + 2x + 3x 4x2 + - x + 4) + x2 + - x x+3 ö 1÷ ÷ ø lim ( x2 - 5x + + x) xđƠ ổ lim ỗ x - 2x + - x2 - 7x + 3÷ ữ ỗ ứ 5) xđƠ ố ổ lim ỗ2x - - 4x2 - 4x