3 Đồ thị hàm số: Điểm uốn: y'' = 12x22, y'' = 12x22 = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm 6 nên đồ thị hàm 1 5 ; U � ; � sè cã hai ®iĨm uèn lµ U1 � � 36 � � 36 Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(; 0), B(1; 0) b Đồ thị y = f(x) gồm: Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y = f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành qua trục hoành Đ7 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ Dạng toán 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc Phơng pháp Với hàm số: (C): y = ta lần lợt có: ax b , víi c 0, D = adbc cx d d a Tập xác định D �\ � � �c b Sù biÕn thiªn hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = a nên y = a ®êng tiÖm cËn ngang x��� c c lim d d y = nên x = đờng tiệm cận đứng x c c Bảng biến thiên: ad bc y' (cx d)2 - NÕu D = adbc > hàm số đồng biến trªn D - NÕu D = adbc < hàm số nghịch biến D 69 Lập bảng biến thiên: Trờng hợp D > x y' y y' + + a c + a c + Trêng hỵp D < x d/c d/c + + a a y c c Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng nghịch biến hàm số hàm số cực trị c Đồ thị: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (nếu có) d a Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I ; hai c c đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Do có hai trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có hai dạng sau đây: Với D > Với D < x=d/ c I x=d/ c y= a/c ThÝ dô Cho hµm sè y I y= a/c x1 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số y x1 x b Chøng minh r»ng giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiệm cận đồ thị tâm đối xứng c Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm A đồ thị với trục tung d Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị cho, biÕt r»ng tiÕp tun ®ã song song víi tiÕp tuyến 70 điểm A Giả sử tiếp tuyến tiÕp xóc víi (H) t¹i A’, chøng tá r»ng A A đối xứng với qua giao điểm I hai đờng tiệm cận Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định D \ Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y nên y = đờng tiệm cËn ngang x �� lim y � nªn x = đờng tiệm cận đứng x Bảng biÕn thiªn: y x = 3 y' víi mäi xD (x 2) hµm số nghịch biến D y=1 I x + O 1 x 1/2 y' + + y = 1 + y Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm: 1� A� 0; �vµ B(1; 0) � 2� x1 x1 Hàm số y đợc viết lại dới dạng y , nên đồ thị x x đợc suy cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox (đờng nét đứt) b Bạn đọc tự thực phép tịnh tiến toạ độ c Phơng trình tiếp tuyến A có d¹ng: (d A ) : y y '(0) x (d A ) : y x d TiÕp tun song song víi (dA) nªn cã hƯ sè góc k Hoành độ tiếp điểm A tiếp tuyến với đồ thị (H) nghiệm phơng trình: x22 x4 3 (x 2)2= � � (x 2) x 2 x lo � i � � 71 � A ' 4; A A đối xứng với qua I Khi đó, phơng trình tiếp tuyến điểm A có dạng: (d A ' ) : y 11 y '(4) (x 4) (d A ' ) : y x Nhận xét: Các em học sinh quan sát hình vẽ rút đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc nhất, cụ thể dạng hàm số đơn điệu miền xác định nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị em häc sinh h·y thùc hiÖn nh sau: a Trong phần (Đồ thị hàm số) lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hoành độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng) b Vẽ hệ toạ độ với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cËn d LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, råi thùc hiƯn vẽ nhánh đồ thị chứa A, B Thí dụ Cho hµm sè (Hm): y = x 4m 2(mx 1) a Khảo sát vẽ đồ thị cđa hµm sè víi m = 1 b Chøng minh r»ng víi mäi m , c¸c ®êng cong (Hm) ®Ịu ®i qua hai ®iĨm cè ®Þnh A B c Chứng minh tích hệ số góc tiếp tuyến với (Hm) hai ®iĨm A vµ B lµ mét h»ng sè m biến thiên Giải a Với m = hàm sè cã d¹ng: x y= 2(x 1) 72 Hàm số xác định D \ Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim x y = nên y = đờng tiƯm cËn ngang lim y = nªn x = đờng tiệm cận đứng x1 Bảng biến thiªn: y' = > víi mäi xD Hàm số đồng biến 2(x 1)2 D x y' y 1/2 + + 1/2 Đồ thị hàm số Bạn đọc tự vẽ hình b Giả sử M(x0; y0) ®iĨm cè ®Þnh cđa hä (Hm) Khi ®ã: x0 4m y0 = , m 2(x0y0 + 2)mx0 2y0 = 0, m 2(mx0 1) �x0y0 �x0 2y0 A(2;1) � � � � (2y0 )y0 B(2; 1) � � x0 2y0 � Vậy, họ (Cm) qua hai điểm cố định A(2; 1) M2(2; 1) c Trớc tiên, ta có: 4m2 y' = 2(mx 1)2 Khi ®ã, tÝch c¸c hƯ sè gãc cđa c¸c tiÕp tun với (H m) hai điểm A B đợc cho bëi: 4m2 4m2 (4m2 1)2 kA.kB = y'(2).y'(2) = = 2(2m 1)2 2(2m 1)2 4(2m 1)2.(2m 1)2 = Dạng toán 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc Phơng pháp Với hàm số: 73 y = chung ta lần lợt cã: ax2 bx c , víi ad 0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm dx e ViÕt lại hàm số dới dạng y = f(x) = x + + dx e � e� a Tập xác định D \ d b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = x��� lim e e y = nªn x = đờng tiệm cận đứng x d d lim [y(x + )] = nªn y = x + đờng tiệm cận x xiên Bảng biÕn thiªn: d (dx e)2 d y' = (dx e)2 = (dx e)2 DÊu đạo hàm dấu tam thức g(x) = (dx + e)2d Vậy phơng trình y' = vô nghiệm có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt Do đó, hàm số cực trị có hai cực trị Lập bảng biến thiên: x + e/d y' y Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số d Đồ thị: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (nếu có) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có bốn dạng I 74 I I I ThÝ dơ Cho hµm sè (H): y x2 x x1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số (H’): y x2 x x1 b Chøng minh r»ng giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiệm cận đồ thị tâm đối xứng c Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị ®· cho, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm A(3; 3) a Giải x1 Hàm số xác định D \ Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: lim y = , lim y = y x Viết lại hàm sè díi d¹ng y x x�� 1 = y=x I O x x�� lim y = nên x = đờng tiệm cận ®øng x�1 lim x) = nªn y = x đờng tiệm cận xiên Bảng biến thiên: y' = + > xD hµm số đồng biến (x 1)2 x + y' + + y Đồ thị hàm số: Lấy thêm hai điểm A(0; 2) vµ B(1; 0) Ta cã: �x x v� i x>1 x2 x � � x 1 y � x1 � x x v� i x Lấy đối xứng phần ®å thÞ (H) víi x < qua trơc Ox b Bạn đọc tự thực phép tịnh tiến toạ độ c Giả sử hoành độ tiếp điểm x = x0, phơng trình tiếp tuyến có d¹ng: � � 1 (d): y = y’(x0)(xx0) + y(x0) (d): y = � (xx0) + 2� � (x0 1) � x0 x0 Điểm A(d) nên: 2 3= � (3x0) + x0 2� x0 � (x0 1) � = x0 + x0 = [2 + (1x0)] + x0 (x0 1) (x0 1)2 x0 x0 = x0 = Khi ®ã, phơng trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x = cã d¹ng: (d): y = y'(2).(x 2) + y(2) (dA): y = 3(x 2) NhËn xÐt: C¸c em häc sinh quan s¸t hình vẽ rút đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc nhất, cụ thể dạng hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị em học sinh thực nh sau: Khả 1: Nếu hàm số có cực trị phần (Đồ thị hàm số) lấy hai ®iĨm A, B ®èi xøng víi qua I, từ đó: a Vẽ hệ toạ độ với hai ®êng tiƯm cËn víi lu ý ®Ĩ t©m ®èi xøng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận c Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận Khả 2: Nếu hàm số cực trị lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có 76 hoành độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng): a Vẽ hệ toạ độ với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tùa theo hai tiƯm cËn c LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, thực vẽ nhánh đồ thị chứa A, B’ ThÝ dơ Cho hµm sè: (Cm): y = x2 2mx x1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm m để hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đờng thẳng x + y + = b»ng Gi¶i y a Víi m = 1, hàm số có dạng: x2 2x =x+1+ x1 x1 Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = \ y= Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn y=x+ vô cực đờng tiệm cận: limy � ; limy � x�� I O x x= x�� lim y = nªn x = 1 đờng tiệm cận đứng lim[y (x 1)] = nên y = x + đờng tiệm cận x Bảng biến thiên: x2 2x y' = 1 = ,y' = x2 + 2x = (x 1)2 (x 1)2 x�1 x 2 y' + 1 xiªn x � � x 2 � + + 77 C§ 2 Đồ thị hàm số y + CT + b Hàm số có đạo hàm: x2 2x 2m y' = , y' = f(x) = x2 + 2x + (x 1)2 2m2 = (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 f(1) �0 2m �0 � � � � m< (*) ' 3 2m Khi đó, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thoả mãn: x1 x2 2 � � x1x2 2m toạ độ hai điểm cực trị A(x1, 2x1 + 2m) vµ B(x2, 2x2 + 2m) Gäi d1, d2 theo thứ tự khoảng cách từ điểm cực trị A B đến đờng thẳng x + y + = 0, ta cã: |3x1 2m 2| |3x2 2m 2| d1 = vµ d2 = 2 Do ®ã: d1 = d2 3x1 + 2m + 2 = 3x2 + 2m + 2 x1 x2 (loai vi x1 �x2) � � 4m2 = m = , tho¶ m·n (*) 3(x x ) 4m � VËy, víi m = thoả mãn điều kiện đầu Đ8 số toán thờng gặp đồ thị Dạng toán 1: (ứng dụng đồ thị giải phơng trình): Biện luận theo m số nghiệm phơng trình F(x, m) = (1) Phơng pháp Giả sử ta có đồ thị (hoặc bảng bến thiên) hàm số (C): y = f(x), ta cã thĨ thùc hiƯn theo bớc sau: Bớc 1: Biến đổi phơng trình ban đầu dạng: f(x) = h(m) 78 (2) Để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang điều kiện là: x1 � x1 x 1 x (x 2)2 = � x x x3 � VËy, hai ®iĨm M1(1; 0) M2(3; 2) thỏa mãn điểu kiện đầu Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đợc cho bởi: x1 1 Csi = x x d = x = x x � x Vậy, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị nhỏ 2, đạt đợc khi: x1 � x (x 2)2 = � x x3 � Vậy, hai điểm M1(1; 0) M2(3; 2) thỏa mãn điểu kiện đầu Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ đợc cho d = | x1 x| + x 1 NhËn xÐt r»ng: víi M0(0; ) d(M0) = , nªn chØ cÇn xÐt 2 khi: x1 1 |x| vµ x x 2 2 x1 �1 � ; 0, ta đợc d = x + Với x D , ta có đạo hàm: x 2 � d' = 1 < 0, xD d nghịch biến D (x 2)2 Vậy, ta đợc Mind = , đạt đợc M �0; � � 2� x VÝ dơ 6: Cho hµm sè (C): y = x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Lựa chọn phép tịnh tiến song song víi Ox ®Ĩ tõ (C) x suy đồ thị hàm số (C1): y = x c Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A(6; 5) 137 d Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Giải a Đề nghị bạn đọc tự làm b Giả sö: 1 � � x x x a = f(x + a) = �0 a a = 2 x x x a �4 a x Vậy, ta đợc = f(x 2) x Do (C1) đợc suy phép tịnh tiến theo Ox đồ thị (C) sang phải đơn vÞ c Ta cã y’ = , tíi ®©y ta cã thĨ lùa chän mét hai (x 2)2 cách: Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm x = x 0, phơng trình tiÕp tuyÕn cã d¹ng (d): y = y’(x0)(xx0) + y(x0) (d): y = (xx0) + (x0 2)2 x0 (1) x0 §iĨm A(d) khi: x0 � x0 5= x20 24x0 = � (6x0) + x0 (x0 2) x0 � Khi ®ã: Víi x0 = thay vào (1) đợc tiếp tuyến (d1): y = x1 Víi x0 = thay vµo (1) ®ỵc tiÕp tun (d2): y = x + Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đồ thị Cách 2: Đờng thẳng (d) qua điểm A có phơng trình: (d): y = k(x + 6) + (2) Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ sau có nghiÖm: 138 � 1 k(x 6) � � x � � k � (x 2)2 � � 1 k(x 2) 8k � � x � � k � (x 2)2 � 4 � �2 1 8k k 1 � � x � x �x 2k � � � � k � k � 2k 1 k � � � � (x 2) Khi ®ã: Với k1 = thay vào (2) đợc tiếp tuyÕn (d1): y = x1 1 Víi k2 = thay vào (2) đợc tiếp tuyến (d2): y = x + 4 VËy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đồ thị Chú ý: Trong lời giải bớc đầu làm quen với phơng pháp lập phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm phân thức không dùng khái niệm nghiệm kép Cách biến đổi có ích với hàm số chứa tham sè, thĨ: ax b , víi bd 0, tư, mÉu kh«ng cã cx d nghiƯm chung Hãy tìm điều kiện để đờng thẳng (d): y = kx + m tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) Phơng pháp Viết lại hàm số díi d¹ng y = + cx d Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hÖ sau cã nghiÖm: γ � α kx m (1) � � cx d � γ.c � k (2) � � (cx d) ViÕt l¹i (1) díi d¹ng: k kd + = (cx + d) + m cx d c c (3) k Thay (2) vµo (3) víi lu ý chØ thay vào biểu thức (cx + c d), đợc: Cho hàm sè (C): y = 139 c kd = (cx + d) +m (cx d)2 cx d c c kd + = +m (cx d)2 cx d c � kd � m � = (4) 2 � c cx d � � Thay (4) vào (2), đợc (k) = Ak2 + Bk + C = (5) Khi yêu cầu cụ thể toán đợc đa việc giải biện luận điều kiện cho phơng trình (5) d Các điểm thuộc Oy có dạng M(0; b) Đờng thẳng (d) qua M(0; b) có phơng trình y = kx + b Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm sè hÖ sau cã nghiÖm: �x � kx b 1 k(x 2) 2k b (3) � � �x � x � � � k � k (4) 2 � � � (x 4) � (x 2) Thay (4) vµo (3), ta đợc: 4 1 2k b 2k b 1 (5) x x x Thay (5) vào (4), ta đợc: + � 4� 2k b 1 � k f(k) = 4k2 + 4k(b + 4) + b 22b + = � � (6) Để từ M kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số điều kiện là: b (1) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt 1 b ®ã cã mét nghiƯm b»ng � ' � f � � � �4(b 4)2 4(b2 2b 1) 1 b � �� � f � � � � � � � � 1 b �0 � b � �� � � � � � 2 � � 'f 4(b 4) 4(b 2b 1) � � b1 � � � � � b �� � b � �f � �� � � � � � 140 Vậy, tồn hai điểm M1 0; M2(0;1) thoả mãn điều kiện đầu (1 m)x m Ví dụ 7: Cho hµm sè (Cm): y = x m Víi m = 1: a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tọa độ Tìm m để: a Đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Hàm số đồng biến khoảng [0; +) Giải 2x x1 a Đề nghị bạn đọc tự làm: ta nhận đợc kết quả: Đạo hàm y' = (x 1)2 TiƯm cËn ®øng x = 1 x + = 0; TiÖm cËn ngang y = y2 = b Ta lần lợt có: � �1 � � A� ; 0� (C) Ox phơng trình tiếp tuyến A cã d¹ng: � �2 � Víi m = 1, hàm số có dạng y = (dA): y = y’(xA)(xxA) + y(xA) (dA ): y 4�x � (dA): y � 2� = 4x + (C)Oy = {B(0; 1)} phơng trình tiếp tuyến t¹i B cã d¹ng: (dB): y = y’(xB)(xxB) + y(xB) (dB): y = 1.x + (dB): y = x + Ta lần lợt: a Với câu hỏi "Đồ thị hàm số có hai tiệm cận" ta viết lại hàm số dới dạng: m2 y m 1 x m Tõ ®ã, suy víi m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Với câu hỏi "Hàm số đồng biến khoảng [0; +)" ta thực hiện: 141 Tập xác định D \ {m}, để hàm số đồng biến khoảng [0; +) trớc tiên cần xác định (0; +) tức là: m[0; +) m < m > Đạo hàm: m2 y' > víi mäi m > Hàm số đồng biến (x m)2 Vậy, với m > thỏa mãn điểu kiện đầu IV Hàm phân thức bậc hai bậc Một số tính chất hàm phân thức bậc hai bậc nhất: Tích chất 1: Hàm số đồng biến D khi: �e �D � �d � y' �0,x �D � TÝch chÊt 2: Hµm sè cã cùc đại, cực tiểu khi: Phơng trình y' = có hai nghiệm phân biệt e khác d Khi đó: 2ax0 b Giá trị cực trị hàm số x0 y(x0) = d Phơng trình đờng thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số có dạng y = (2ax + b) d TÝch chÊt 3: Hµm sè có hai cực trị trái dấu Phơng trình y' = có hai nghiệm phân biệt e khác phơng trình ax2 + bx + c = vô d nghiệm Tích chất 4: Hàm số có hai cùc trÞ cïng dÊu e y' = cã hai nghiệm phân biệt khác d phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm phân biệt Tích chất 5: Đồ thị nhận giao điểm I hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Tích chất 6: M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Ta có: a Tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số b Nếu tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B M trung điểm AB IAB có diện tích không đổi 142 Ví dụ 1: Cho hµm sè (C): y = x2 2x x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) hai trục toạ độ c Đồ thị (C) cắt trục hoành hai điểm A, B Viết phơng trình tiếp tuyến (C) A B, tìm toạ độ giao điểm hai tiếp tuyến Giải a Bạn đọc tự làm b Diện tích S phải tìm ®ỵc cho bëi: �� � � 1 � x dx |01 � � � � S = = + 3ln x 2� � = ( x 3ln|x2|) 1 � (đvdt) c Hoành độ giao điểm A, B nghiệm phơng trình: x x 2x x2 2x � � = �2 x �0 � x A(1; 0) vµ B(3; 0) x Phơng trình tiếp tuyến (C) t¹i A cã d¹ng: (dA): y0 = y'(1)(x + 1) (dA): y = (x + 1) Phơng trình tiếp tuyến (C) B có d¹ng: (dB): y0 = y'(3)(x3) (dA): y = 4(x3) Hoành độ giao điểm K (d A) (dB) nghiệm phơng trình: (x + 1) = 4(x3) x = K(5;8) VÝ dụ 2: (Đề thi đại học khối A 2005): Cho hµm sè: (Cm): y = mx + , m tham số x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 1/4 b Tìm m để hàm số (Cm) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) ®Õn tiƯm cËn xiªn cđa (Cm) b»ng 1/ Giải a Bạn đọc tự làm b Hàm số xác định D = \{0} Đạo hàm: 143 y = m mx = , x2 x2 y’ = f(x) = mx = (1) Tríc hÕt, hµm sè cã cực trị khi: m (1) có nghiệm phân biệt khác m > � f (0) �0 � Khi ®ã, (1) cã hai nghiƯm x1,2 = Ta có bảng biến thiên: x 1/ + CĐ + m m y ’ y 1/ m + CT , m ) m Đồ thị (Cm) có tiệm cận xiên (d): y = mx (d): mx y = Để khoảng cách từ điểm cực tiểu A (C m) đến tiệm cận xiên (Cm) 1/ ®iỊu kiƯn lµ: | m 2 m | = m = 2 m 1 VËy, víi m = thoả mãn điều kiện đầu x2 mx VÝ dơ 3: Cho hµm sè (Cm): y = x m Vậy, hàm số đạt CT điểm A( a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Xác định m để hàm số có cực đại khoảng (0; m) với m > c Xác định m để hàm số đạt cực đại x = Giải a Bạn đọc tự thực b Tập xác định D \ m Đạo hàm: 2x 2m x2 2mx m2 y' = , y'' = (x m)4 (x m) 144 y' = x2 + 2mx + m21 = x1,2 = m Ta thÊy víi mäi m hµm số có cực đại bảng biến thiên: x x1 x2 + m y' + + y + C§ + CT Hàm số có cực đại khoảng (0; m) < m + < m < m < 1 VËy, víi < m < hàm số đạt cực đại khoảng (0; m) c Hàm số đạt cực đại x = khi: � m � 2�D � �2 � �y'(2) �m 4m m =3 �y''(2) �4 2m � � VËy, víi m = 3 hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = VÝ dơ 8: (Đề thi đại học khối B 2005): Cho hàm sè: (Cm): y = x (m 1)x m , víi m lµ tham sè x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 Giải Bạn đọc tự làm Miền xác định D = \{} Đạo hàm: x1 x 2x , y' = x + 2x = � x 2 (x 1) � VËy, víi mäi m ®å thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiĨu lµ y' = 145 A(2, m 3) vµ B(0, m + 1) AB = ( 2) (m m 3)2 = 20 Ví dụ 9: (Đề thi đại học khối D 2003): Cho hµm sè (C): y = x 2x x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để đờng thẳng (dm): y = mx + 2m cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phân biệt Giải a Bạn đọc tự làm b Phơng trình hoành độ giao điểm (d m) với đồ thị hàm số là: x2 2x = mx + 2m (m 1)(x 2)2 = víi x x (1) Để đồ thị hàm số (Cm) cắt (dm) hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác m > m > VËy, m > thoả mãn điều kiện đầu Ví dụ 10: (Đề thi đại học khối A 2003): Cho hµm sè: (Cm): y = mx x m , víi m lµ tham sè x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dơng Giải a Bạn đọc tự làm b Phơng trình hoành độ giao điểm Ox với đồ thị hµm sè lµ: mx x m = f(x) = mx2 + x + m = với x x (1) Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dơng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 khác < x1 < x2 146 a �0 � � f (1) �0 � � � � S v�P � VËy, víi �m �0 �2m �0 � � < m < � 4m � � v�m �m m < m < thoả mãn điều kiện đầu Ví dụ 11: (Đề thi đại học khối A 2004): Cho hµm sè: (C): y = x 3x 2(x 1) a Kh¶o sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để đờng thẳng (d): y = m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B cho AB = Giải a Bạn đọc tự làm b Phơng trình hoành độ giao điểm (d) vµ (C) lµ: x 3x x� = m � f(x) = x2 + (2m3)x2m + = 2(x 1) (1) Tríc hết, để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt khác m 3/ �4m 4m � � � � � f (1) �0 m 1 / � � �1 �0 (*) Khi ®ã, ta cã (d)(C) = {A(xA, m), B(xB, m)}, víi xA, xB lµ nghiƯm cđa (1) thoả mãn: x A x B 2m � �x A x B 2m Để AB = điều kiện AB2 = (xAxB)2 = (xA + xB)24xA.xB = (32m)24(32m) = m2m1 = m = 1� , tho¶ (*) VËy, víi m = VÝ dơ 4: 1� tho¶ mãn điều kiện đầu Cho hàm số (C): y = x2 x x 147 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M đồ thị (C) đến đờng tiệm cận số không phụ thuộc vị trí điểm M c Tìm hai ®iĨm A, B thc hai nh¸nh kh¸c cđa ®å thị để khoảng cách chúng nhỏ Giải a Bạn đọc tự thực x20 x0 b LÊy ®iĨm M(x0; )(C) x0 Đồ thị hàm số có hai đờng tiệm cận: - Tiệm cận đứng x = limy = x�2� (x 3)] = - TiÖm cËn xiên y = x + xlim[y Ta lần lợt có: Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng, đợc cho d1 = x02 Khoảng cách từ M tới tiệm cận xiên, đợc cho bëi d2 = x0 Suy ra: 1 d1.d2 = x02 = số (đpcm) x0 2 c Xét hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thÞ, ta cã: A(2x1; f(2x1)), B(2 + x2; f(2 + x2)) víi x1, x2 > Suy ra: AB2 = [(2x1)(2 + x2)]2 + [ f(2x1) f(2 + x2)]2 � (2 x1)2 (2 x1) (2 x2 )2 (2 x2 ) 5� = (x2 + x1)2 + � � (2 x1) (2 x2 ) � � � � 2 2� = (x2 + x1)2 � � � � x1x2 x1x2 � � � � � 2x x 4x2x1 � = � � � 4(2 + 2) � x x x2x2 � x1x2 � � 2 Vậy, ta đợc (AB)Min = 2( 1) , đạt đợc khi: 148 x1 x2 � x1 = x = � 2x x � xx � VËy, hai ®iĨm A, B cần tìm có hoành độ tơng ứng , 2 + x2 2ax 3a2 VÝ dơ 5: Cho hµm sè y x 2a a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với a = b (Đề 85 Bộ đề 1996): Tìm a để hàm số đồng biến (1; +) Giải a Bạn đọc tự thực b Miền xác định D = \{2a} Trớc hết hàm số cần xác ®Þnh víi mäi x(1; +) 2a a (1) Đạo hàm: x2 4ax a2 y' = (x 2a)2 Hµm sè ®ång biÕn víi x(1; +) y' 0, x(1; + ) f(x) = x24ax + a2 0, x(1; +) (2) Để giải (2) ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: (Phơng ph¸p tam thøc bËc hai): Ta cã ' = 3a2 (do (1)), điều kiện (2) phơng trình f(x) = có nghiệm thoả x x2 �� a �2 f(1) �0 � �� � 4a a � � �S � �� a �2 a 2 (3) 1 2a � � � �2 a 1/2 Kết hợp (1) (3), ta đợc a Vậy, hàm số đồng biến (1; + ) a 2 C¸ch 2: (Phơng pháp hàm số): Ta có: (2) f(x) Bạn đọc tự làm tiếp x1 IV toán khác 149 Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B 2003): Tìm giá trị lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè y = x + x Giải Điều kiện x [2, 2] XÐt hµm sè y = x + y' = x x2 y' = x , trªn [2, 2], ta cã: , x �x �0 x2 = x � 2 x = �4 x x =0 x2 Do đó, giá trị lớn nhỏ hàm số [2, 2] đợc cho bởi: ymax = Max{y(2), y(2), y( )} = Max{2, 2, 2 } = 2 , đạt đợc x = ymin = 2, đạt đợc x = Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D 2004): Chứng minh phơng trình sau có ®óng nghiƯm: x5x22x1 = Gi¶i BiÕn ®ỉi phơng trình dạng: x5 = (x + 1)2 VP 0 �x � x VP x > 1, tức là, phơng trình có nghiệm x > Xét hàm số: y = x5x22x1 miền D = (1, +) Đạo hàm: y' = 5x42x2 = 2x(x31) + 2(x41) + x4 > 0, x D hàm số đồng biến D Ta có: y(1) =3 vµ lim y = +, x �� tøc là, đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phơng trình có nghiệm Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối B 2004): Xác định m để phơng trình sau có nghiệm: 150 m( x x x2 + x Đờng thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = t t t2 + 2) = x Giải Điều kiện |x| Đặt t = x x , suy x = 2t2 Ta cã: t = x x 0, đạt đợc x = t2 = 22 x 2, đạt đợc x = Suy điều kiện cđa Èn t lµ t (*) Khi đó, phơng trình đợc chuyển dạng: (*) t t m(t + 2) = 2t2 + t � = m t2 (1) Khi ®ã, phơng trình ban đầu có nghiệm (1) có nghiệm thoả mãn (*) [0; ] t t Xét hàm số y = D = [0; ] t2 Đạo hàm: t 4t y' = 0, tD hµm sè nghịch biến D (t 2) Vậy, điều kiƯn lµ: y( ) m y(0) 1 m 151 ... ta cã: 4m2 y' = 2( mx 1) 2 Khi đó, tích hệ số góc tiếp tuyến với (H m) hai điểm A B đợc cho bởi: 4m2 4m2 (4m2 1) 2 kA.kB = y'( 2) .y' (2) = = 2( 2m 1) 2 2(2m 1) 2 4(2m 1) 2. (2m 1) 2 = Dạng... 2 � � 1 � 1 2 � 12 = (x2 + x1 )2 + 9� � = (x2 + x1 )2 � � x1x2 � �x1 x2 Vậy, ta đợc ABMin = 12 , đạt đợc khi: �x1 x2 �x1 x2 � � x1 = x = � 1 2 x1x2 � � � x1x2 VËy, hai điểm A,... ra: AB2 = [( 2 x1)( 2 + x2) ]2 + [ f( 2 x1) f( 2 + x2) ]2 b Viết lại hàm số dới dang y 1 � � � �� � 3 = (x2 + x1) + � 1 1 � � � � � � � � 2 x1 � � 2 x2 � 2 � � 1 � 1 2 �