phần I: giải tích chơng ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số A Kiến thức cần nhớ I tính đơn điệu hàm số điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng I thì: a Hàm số f(x) đồng biến khoảng I với x tuú ý thuéc I, ta cã: f(x + ∆x) − f(x) > , víi mäi ∆x ≠ vµ x + ∆x ∈ I ∆x b Hµm sè f(x) nghịch biến khoảng I víi x tuú ý thuéc I, ta cã: f(x + ∆x) − f(x) < , víi mäi ∆x ≠ x + x I x Từ đó, ta có kết quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng I f '(x) 0, x I b Nếu hàm số f(x) nghịch biến khoảng I f '(x) 0, x I điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lí (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a; b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho: f(b) − f(a) f(b) − f(a) = f '(c).(b − a) hay f '(c) = b a ý nghĩa định lí Lagrăng: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f(x) víi A(a; f(a)) vµ B(b; f(b)) HƯ sè gãc cát tuyến AB là: f(b) f(a) b a Đẳng thức: f(b) f(a) f '(c) = b a cã nghÜa lµ hƯ sè gãc cđa tiÕp tuyến cung AB điểm (c; f(c)) hệ số góc cát tuyến AB Vậy, giả thiết định lí Lagrăng đợc thoả mãn tồn điểm C cung AB cho tiếp tuyến song song với cát tuyến AB Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) > 0, x I f(x) đồng biến khoảng I b NÕu f '(x) < 0, ∀x ∈ I th× f(x) nghịch biến khoảng I c Nếu f '(x) = 0, x I f(x) không đổi khoảng I Ta có mở rộng định lí nh sau: Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) 0, x I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) 0, x I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: x − ∞ a b + ∞ b + ∞ y' + y x − ∞ a y' − y II Cực trị hàm số khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập hợp D (D ⊂ ¡ ) vµ x0 ∈ D a x0 gäi điểm cực đại hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ∈ D vµ: f(x) < f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0} Khi ®ã f(x0) đợc gọi giá trị cực đại hàm số f(x) b x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ∈ D vµ: f(x) > f(x0) , víi mäi x (a; b)\{x0} Khi f(x0) đợc gọi giá trị cực đại hàm số f(x) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu đợc gọi chung cực trị điều kiện cần để hàm số có cực trị Xét hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a, b) x (a; b) Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f(x) có đạo hàm điểm x0 f'(x0) = điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a ; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0) (x0; b) Khi đó: a Nếu f '(x) < víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) > với x (x0; b) hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0 b Nếu f '(x) > víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) < víi mäi x ∈ (x0; b) hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: x a x0 b + ∞ − y' + y x y' y CT − ∞ a x0 + C§ b + Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh f’(x) Bíc 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) đạo hàm hàm số hàm số liên tục nhng đạo hàm Bíc 3: XÐt dÊu f'(x) NÕu f'(x) ®ỉi dÊu x qua điểm x i hàm số đạt cực trị xi Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0, f '(x0) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a Nếu f''(x0) < hàm số đạt cực đại điểm x0 b Nếu f''(x0) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thực theo bớc: Bớc 1: Tính f(x) Bớc 2: Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) phơng trình f'(x) = Bớc 3: Với i ta tính f"(xi), dó: Nếu f''(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f''(xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi III Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D a Nếu tồn mét ®iĨm x0 ∈ D cho: f(x) ≤ f(x0) víi mäi x ∈ D th× sè M = f(x0) đợc gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiƯu M = maxf(x) xD b Nếu tồn điểm x0 ∈ D cho: f(x) ≥ f(x0) víi mäi x D số m = f(x0) đợc gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiƯu m = minf(x) xD IV đồ thị hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ phép tịnh tiến hệ toạ độ công thức chuyển hệ tọa độ Cho điểm I(x0; y0) điểm M(x; y) hệ toạ ®é Oxy, ®ã hƯ to¹ ®é IXY ®iĨm M(X; Y) có toạ độ: X = x − x0 x = X + x0 ⇔ Y = y − y0 y = Y + y0 10 phơng trình đờng cong hệ tọa độ Phơng trình đờng cong y = f(x) hệ toạ độ IXY có dạng: Y = f(X + x0) y0 V đờng tiệm cận đồ thị hàm số đờng tiệm cận đứng đờng tiệm cận ngang Định nghĩa 1: Đờng thẳng y = y0 đợc gọi đờng tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f(x) = y0 lim f(x) = y0 x x+ Định nghĩa 2: Đờng thẳng x = x0 đợc gọi đờng tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f(x) nếu: limf(x) = ±∞ hc limf(x) = ±∞ x→ x+0 x→ x−0 đờng tiệm cận xiên Định nghĩa 3: Đờng thẳng y = ax + b đợc gọi đờng tiệm cận xiên (gọi tắt tiệm cận xiên) đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim [f(x) (ax + b)] = hc lim [f(x) − (ax + b)] x+ x =0 Quy tắc: Giả sử x → ∞ th× f(x) → ∞ f(x) Ta t×m a = lim (1) x→∞ x NÕu giíi h¹n (1) không tồn đồ thị tiệm cận xiên Trái lại ta tìm tiÕp b = lim[f(x) − ax] x→∞ (2) NÕu giới hạn (2) không tồn đồ thị tiệm cận xiên Trái lại ta kết luận đồ thị nhận đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b làm tiệm cận xiên VI Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Đờng lối tổng quát để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Phơng pháp Ta tiến hành theo bớc sau: 11 Bớc 1: Tìm tập xác định hàm số Bớc 2: Xét biến thiên hàm số: a Tìm giới hạn vô cực giới hạn vô cực (nếu có) hàm số Tìm đờng tiệm cận đồ thị (nếu có) b Lập bảng biến thiên hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có) Điền kết vào bảng biến thiên: x y' y Bớc 3: Vẽ đồ thị hàm số: a Vẽ đờng tiệm cận đồ thị (nếu có) b Xác định số điểm đặc biệt thờng giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) c Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng tâm đối xứng đồ thị (nếu có, không yêu cầu chứng minh) Chú ý: Khi vẽ đồ thị em học sinh cần lu ý "Dáng đồ thị tơng ứng với mũi tên bảng biến thiên" B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 tính đơn điệu hàm số Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu hàm số Phơng pháp Để xét tính đơn điệu hàm số y = f(x), ta thực bớc sau: Bớc 1: Tìm tập xác định hàm số 12 Bớc 2: Tính đạo hàm y', tìm điểm tới hạn (thông thờng việc giải phơng trình y' = 0) Bớc 3: Tính giới hạn (nếu cần) Bớc 4: Lập bảng biến thiên hàm số Từ đó, đa lời kết luận Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình f'(x) = vô nghiêm, tức hàm số đồng biến nghịch biến, ta bỏ qua việc lập bảng biến thiên Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = 2x3 + 3x2 + Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 6x2 + 6x, x = y' = ⇔ 6x2 + 6x = ⇔ x = −1 Giíi h¹n: lim y = −∞ vµ lim y = +∞ x→−∞ x+ Bảng biến thiên: x + ∞ − y' + 0 + + y − ∞ ∞ VËy, ta cã kÕt luËn: Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (0; +) Hàm số nghịch biến khoảng (1; 0) Nhận xét: Qua thí dụ em học sinh biết cách trình bày dạng toán "Khảo sát biến thiên hàm số" Và với dạng toán em cần đặc biệt ý tới tập xác định hàm số chắn nhận đợc bảng biến thiên Nhận xét: Hàm đa thức bậc ba tổng quát có dạng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a ≠ 13 Khi ®ã, nÕu sư dơng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = ⇔ 3ax2 + 2bx + c = Giíi h¹n: b c d limy = lim x3 a + + + ÷ = (±∞)3.a = (±∞).a x→±∞ x→±∞ x x x B¶ng biến thiên: Dấu y' phụ thuộc vào dấu a (a > hay a < 0) vµ dÊu cña ∆' = b2 − 3ac (∆' > hay ' 0), ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x4 2x2 Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 4x3 4x, y' = ⇔ 4x3 − 4x = ⇔ 4x(x2 − 1) = ⇔ x = x = ±1 Giíi h¹n: limy = lim[x4(1 − + ) = + ∞ x→∞ x→∞ x2 x4 B¶ng biÕn thiªn: x −∞ −1 +∞ − − y' + 0 + −5 y +∞ + ∞ −6 −6 VËy, ta cã kÕt luËn: Hµm số nghịch biến khoảng (; 1) (0; 1) Hàm số đồng biến khoảng (1; 0) (1; +) Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng có phơng trình: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, víi a ≠ Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: 14 Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax + b), y' = ⇔ 2x(2ax + b) = Do đó, phơng trình y' = có nghiệm (a.b 0) có ba nghiệm phân biệt , ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Giíi h¹n: +∞ a > lim y = lim ax4(1 + b + c ) = x →∞ x →∞ ax ax a < Bảng biến thiên: Dấu y' phơ thc vµo dÊu cđa a (a > hay a < 0) dấu a.b, ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Và bắt dầu từ đây, việc đa lời kết luận dựa theo bảng biến thiên đợc dành cho bạn đọc Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x+1 x1 Giải Miền xác định D = Ă \{1} Đạo hàm: y'= < x D hàm số nghịch biến D (x 1) Giới hạn: lim y= lim y = vµ lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ x →1 x Bảng biến thiên: x - y' y 1 + +∞ - +∞ -∞ NhËn xét: Hàm phân thức bậc bậc có d¹ng: ax + b , víi c ≠ 0, D = ad − bc ≠ cx + d Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: d Miền xác ®Þnh D = ¡ \{− } c (H): y = 15 Đạo hàm: ad bc , cx + d NÕu D = ad − bc > ⇒ hµm số đồng biến D Nếu D = ad bc < hàm số nghịch biến D y' = Thí dụ Khảo sát biến thiên cđa hµm sè y = x + x Giải Miền xác định D = Ă \{0} Đạo hµm: 3 y' = − , y' = ⇔ − ⇔ x2 − = ⇔ x = ± x x Giíi h¹n: lim y = −∞ , lim y = +∞ ; lim y = − ∞ , lim y = +∞ x→−∞ x→+∞ x→ x→ − B¶ng biÕn thiªn: x −∞ + y' y −∞ − −2 + − − −∞ +∞ +∞ + +∞ NhËn xÐt: Hµm phân thức bậc hai bậc có dạng: (H): y = ax + bx + c , dx + e víi ad ≠ 0, tư, mÉu kh«ng cã nghiệm chung Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta thờng lại hàm số dới dạng: dx + e e Miền xác định D = Ă \{ } d Đạo hàm: d (dx + e) d y' = α − = , (dx + e) (dx + e) y = f(x) = αx + + Dấu đạo hàm dấu tam thøc g(x) = α(dx + e)2 − γ d 16 cận xiên (hoặc tiệm cận ngang) cho đồ thị hàm số Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số y = x3 + x2 2x Giải Miền xác định D = Ă \ {0, 2} Viết lại hàm số dới dạng: 4x + y=x+2+ x − 2x Tõ đó, ta nhận đợc kết luận: Đờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x Đờng thẳng x = tiệm cận đứng lim y = x2 Đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên lim [y (x + 2)] = x Vậy, đồ thị hàm số có ba đờng tiệm cËn Chó ý: ThÝ dơ tiÕp theo sÏ minh hoạ yêu cầu thờng dc đặt với tiệm cận hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số ThÝ dơ Cho hµm sè y = mx + x +1− m a Chøng tá r»ng víi m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ c Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ ®é nhá nhÊt d T×m m ®Ĩ hai ®êng tiƯm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ hình chữ nhật có diện tích Giải a Đồ thị hàm số tiƯm cËn TS vµ MS cã nghiƯm chung, tøc lµ: m ⇔ m(1 − m) = ⇔ m2 − m + = 0, v« nghiƯm = 1 m Vậy, với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: 66 y = Đờng thẳng (d1): x = m tiệm cận đứng xlim m1 = m Đờng thẳng (d2): y = m tiệm cận ngang limy x b Với tâm đối xứng I(m 1; m), ta cã: OI = ⇔ (m − 1)2 + m2 = ⇔ 2m2 − 2m = ⇔ m = hc m = VËy, với m = m = thoả mãn điều kiện đầu c Với tâm đối xứng I(m − 1; m), ta cã: 1 OI2 = (m − 1)2 + m2 = 2m2 − 2m + = m + ÷ + ≥ 2 2 1 suy MinOI = , đạt đợc m = 2 VËy, víi m = hc m = thoả mãn điều kiện đầu d Ta có: (d1) cắt Ox điểm A(m 1; 0) (d2) cắt Oy điểm B(0; m) Khi đó, từ gi¶ thiÕt ta cã: OA.OB = ⇔ m − 1.|m = ⇔ m2 − m = m2 − m = m2 − m − = m = −1 ⇔ ⇔ ⇔ m − m = −2 m − m + = 0, v« nghiƯm m = Vậy, với m = m = thoả mãn điều kiện đầu Thí dụ Cho hàm sè: (Cm): y = x2 + mx− x−1 Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 18 Giải Viết lại hàm số dới dạng: m y=x+m+1+ x1 Trớc tiên, để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên điều kiện m (*) Khi đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên (d): y = x + m + Gäi A, B theo thø tù giao điểm (d) với trục Ox, Oy, ta đợc: A(m 1; 0) B(0; m + 1) Để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 18 điều kiện là: 67 1 OA.OB = −m − 1.m + 1 = (m + 1)2 2 m = ⇔ (m + 1)2 = 36 , thoả mãn điều kiƯn (*) m = −7 VËy, víi m = m = thoả mãn điều kiện đầu S∆OAB = 18 ⇔ 18 = NhËn xÐt: Qua thí dụ trên, em học hinh cần ghi nhận việc xác định điều kiện để đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc có tiệm cận xiên Dạng toán 2: Tiệm cận đồ thị hàm vô tỉ Phơng pháp Sử dụng định nghĩa quy tắc tìm tiệm cận hai phía Với hàm số: (C): y = Ax2 + Bx + C , víi A > B2 4AC để tìm đờng tiệm cận (C) ta thực theo bớc: Bớc 1: Giả sử (d): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: Ax + Bx + C = − A x b = lim Ax + Bx + C + x A x →−∞ Bx + C B = xlim =− →−∞ 2 A Ax + Bx + C x A Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên phải đồ thị (C) là: B (d1): y = − A x − A Gi¶ sư (d): y = ax + b lµ tiƯm cËn xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: a = xlim →−∞ Bíc 2: a = xlim →+∞ Ax + Bx + C = x A b = lim Ax + Bx + C − x A x →+∞ Bx + C B = xlim = →+∞ 2 A Ax + Bx + C + x A Khi ®ã, ta đợc tiệm cận xiên bên trái đồ thị (C) là: 68 B A Phơng pháp đợc mở réng cho líp hµm sè: (d2): y = y = cx + d ± Ax+ Ax + Bx + C ; y = n A n x n + A n −1 x n −1 + + A Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số a y = x2 + x + b y = x2 − 4x + Giải a Miền xác định D = ¡ Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: 1 y lim x2 + x + lim − + + ÷ = − 1, a1 = xlim = = →−∞ x→−∞ x x2 ÷ x x→−∞ x lim lim b1 = [y − ax] = [ x + x + + x] x→−∞ x→−∞ x+1 =− x + x + x Vậy, đờng thẳng (d1): y = x tiệm cận xiên bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta cã: y x2 + x + = lim 1+ + = 1, a2 = xlim = xlim →+∞ →+∞ x→+∞ x x x2 x x2 + x + − x = lim [y − ax] = lim b2 = x→+∞ x→+∞ x+1 lim = x→+∞ x + x + 1+ x Vậy, đờng thẳng (d2): y = x + tiệm cận xiên bên trái (C) b Miền xác định D = (; 1] [3; +∞) Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hµm sè, ta cã: 3 y lim x2 − 4x + lim − − + ÷= −1, a1 = xlim = = →−∞ x→−∞ x x ÷ x x→−∞ x = xlim →−∞ 69 b1 = −4x + x2 − 4x + − x lim [y − a1x] = x→−∞ lim [ x2 − 4x + + x] = x lim x =2 Vậy, đờng thẳng (d1): y = − x + lµ tiƯm cËn xiên bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: y a2 = xlim = xlim →+∞ →+∞ x b2 lim x→+∞ lim [y − a2x] = −4x + x − 4x + + x x2 − 4x + = lim 1− + = 1, x→+∞ x x2 x x→+∞ = lim x2 − 4x + − x = x→+∞ = −2 VËy, đờng thẳng (d2): y = x tiệm cận xiên bên trái (C) Hoạt động: Qua thí dụ trên, em học giải thích cần có điều kiện A > hàm sè y = Ax2 + Bx + C ThÝ dô Tìm đờng tiệm cận đồ thị hµm sè a y = x + x2 + b y = x + x2 − Gi¶i a Miền xác định D = Ă Giả sư (d1): y = a1x + b1 lµ tiƯm cËn xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: y lim 1+ x + ÷ = lim 1− 1+ 12 ÷= a1 = xlim = →−∞ x→−∞ x→−∞ x ÷ x ÷ x −1 x + x2 + = xlim b1 = xlim (y − ax) = xlim =0 →−∞ →−∞ →−∞ x x2 + Vậy, đờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta cã: ( 70 ) 1 x2 + lim y lim ÷= x→+∞ 1+ 1+ ÷ + a2 = xlim = =2 →+∞ x→+∞ ÷ x ÷ x x b2 = xlim (y − ax) = xlim ( →+∞ →+∞ ( ) x2 + − x = xlim →+∞ −1 x + 1+ x = Vậy, đờng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên trái (C) b Điều kiện: x2 ≥ ⇔ x ≥ ⇒ D = (; 1] [1; +) Miền xác định D = (−∞; − 1] ∪ [1; +∞) Gi¶ sư (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: y lim 1+ x − ÷ = lim 1− 1− 12 ÷= a1 = xlim = →−∞ x→−∞ x →−∞ x ÷ x ÷ x x + x2 − = xlim b1 = xlim (y − ax) = xlim =0 →−∞ →−∞ →−∞ x x2 Vậy, đờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải (C) Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta cã: 1 x2 − lim y lim lim ÷= x→+∞ 1+ 1− ÷ + a2 = x→+∞ = x→+∞ =2 x ÷ x ÷ x −1 lim x2 − − x = xlim b2 = xlim = →+∞ (y − ax) = x→+∞ ( →+∞ x2 + x Vậy, đờng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên trái (C) ) ( ( ) Hoạt động: Qua thí dụ trên, em học giải thích hai hàm số lại có tiệm cận Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng khác, để xác định đờng tiệm cận ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm miền xác định D miền giá trị I (nếu có thể) hàm số, D I có chứa thực bớc trái lại kết luận đồ thị hàm số tiệm cận Bớc 2: Dựa vào D I tìm tiệm cận đồ thị hàm số Nếu hàm số chứa bậc chẵn, nói 71 chung ta thờng phải tìm tiệm cận bên trái bên phải Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm sè: a y = − x2 b y = x2 − x + − x Gi¶i a §iỊu kiƯn: − x2 ≥ ⇔ x ≤ ⇒ D = [− ; ] D không chứa Miền giá trị I hàm số đợc xác định nh sau: x2 ≤ ⇒ ≤ − x2 ≤ ⇔ I = [0; ] ⇒ I kh«ng chøa Vậy, đồ thị hàm số tiệm cận b Ta cã ®iỊu kiƯn: x2 − x + − x ≥ ⇔ x − x + ≥ x x ≤ x ≤ x − x + ≥ ⇔ ⇔ ⇒ D = (−∞; 1] x≥0 0 ≤ x ≤ x − x + ≥ x Ta cã: lim y = lim x2 − x + − x = +∞ x x Vậy, đồ thị hàm số tiệm cận Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng phân thức hữu tỉ, đánh giá đợc tồn tiệm cận xiên tiệm cận ngang dựa việc đánh giá bậc tử số mẫu số Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hµm sè: a (C) : y = x x −1 b (C) : y = x x x +1 Giải a Điều kiện: x2 > ⇔ x > ⇒ D = (−∞; 1) (1; +) Ta lần lợt: y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải x Vì xlim = 72 y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên trái x = Vì xlim + Tiệm cận ngang bên phải, ta có: x x x lim lim lim y = lim = x →−∞ = x →−∞ = −1 x →−∞ x →−∞ x 1− −x − x2 x x Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên phải y = Tiệm cận ngang bên trái, ta có: x x x lim lim lim y = lim x →+∞ x →+∞ = = = x →+∞ x →+∞ x 1− x 1− x2 −1 x x VËy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên trái y = x ≥ x b §iỊu kiƯn ≥0 ⇔ ⇒ D = (−∞; −1) ∪ [0; +) x +1 x < Ta lần lợt: y = nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải x Vì xlim = TiƯm cËn xiªn (d): y = ax + b, ta cã: y x a = lim = lim = x →∞ x x →∞ x +1 x b = lim(y − x) = lim x x − x ÷ = lim x − ÷ x →∞ ÷ ÷ x →∞ x →∞ x +1 x +1 −1 x x x − 1÷ x 1 x +1 x +1 lim − lim x + = − =− = lim = = x →∞ x →∞ x →∞ 1+1 x x x +1 +1 +1 x +1 x +1 x +1 Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận xiên (d) : y = x Đ6 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức 73 Dạng toán 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba Phơng pháp Với hàm sè: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a ta lần lợt có: a Tập xác định D = Ă b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: limy = lim x3 a + b + c2 + d3 ÷ = a(±∞)3 = a(±∞) x→±∞ x x x Bảng biến thiên: y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = ⇔ 3ax2 + 2bx + c = Lập bảng biến thiên: x x + y' y Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: Điểm uèn: y'' = 6ax + 2b, y'' = ⇔ 6ax + 2b = ⇔ x b =− 3a b Vì y" đổi dấu x qua điểm nên đồ thị hàm số có 3a b b mét ®iĨm n U − ; f(− ) ữ 3a 3a Giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Víi a > 74 Víi a < Cã hai cực trị Không có cực trị y y U O −b/3a ThÝ dô a b c d O b/3a Không có cực trị y y U U U x Cã hai cùc trÞ x O −b/3a x O −b/3a x Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tuỳ theo giá trị m biện luận số nghiệm phơng trình: x3 3x2 + + m = Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn Chứng minh điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Giải a Ta lần lợt có: y 1 Hàm số xác định D = Ă Sự biến thiên hàm số: O x Giới hạn hàm số vô cực: I limy y = lim [x3(1 + − )] x→±∞ x→±∞ x x +∞ x → +∞ −4 = −∞ x Bảng biến thiên: y' = 3x2 + 6x, y' = ⇔ 3x2 + 6x = ⇔ x = x = −2 x −∞ −2 + ∞ − y' + 0 + +∞ C§ −4 y −∞ CT Tõ bảng biến thiên, ta có: 75 Hàm số đồng biến khoảng (; 2) (0; +) Hàm số đồng biến khoảng (2; 0) Hàm số đạt cực đại điểm (2; 0) cực tiêu điểm (0; 4) Đồ thị hàm sè: §iĨm n: y'' = 6x + 6, y'' = ⇔ 6x + = ⇔ x = Vì y" đổi dấu x qua điểm nên đồ thị hàm số có điểm uốn I(1; 2) Giao đồ thị hàm số với trục tung A(0; 4) Giao đồ thị hàm số với trục hoành: x = x3 + 3x2 − = ⇔ (x − 1)(x2 + 4x + 4) = ⇔ ⇒ x = B(1; 0) b Viết lại phơng trình díi d¹ng: x3 + 3x2 − = m Khi đó, số nghiệm phơng trình số giao điểm đồ thị hàm số với đờng thẳng y = m, ®ã ta cã kÕt ln: Víi m < m > phơng trình có nghiƯm nhÊt Víi m = −4 hc m = phơng trình có hai nghiệm phân biệt Với < m < phơng trình có ba nghiệm phân biệt c Phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn I có dạng: (dI): y + = y'(−1)(x + 1) ⇔ (dI): y = −3x d Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ uur OI là: X = x + x = X − ⇔ Y = y + y = Y − hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình: (C): Y = (X 1)3 + 3(X − 1)2 − ⇔ (H): Y = X3 − 3X NhËn xÐt r»ng, hƯ täa ®é IXY hµm sè Y = X3 − 3X lµ hµm số lẻ dó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng Vậy, điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Thí dụ Cho hàm số: y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) a Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt 76 b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = Giải a Phơng trình hoành độ giao điểm: x + 1= (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) = ⇔ g(x) = x + 2mx + m+ = (1) Để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt điều kiện là: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 'g > m2 − m− > m< −1 ⇔ ⇔ ⇔ (*) g(−1) ≠ 2 < m ≠ 3− m ≠ VËy, víi m tháa mãn (*) đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt b Bạn đọc tự giải Dạng toán 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm trùng phơng Phơng pháp Với hµm sè: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, với a ta lần lợt có: a Tập xác định D = Ă b Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: lim y = lim ax4(1 + x x→±∞ +∞ a > b c + 4)= ax ax −∞ a < Bảng biến thiên: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = ⇔ 2x(2ax + b) = Lập bảng biến thiên: x + y' y Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: Điểm uèn: y'' = 12ax2 + 2b (1) NÕu (1) cã hai nghiệm phân biệt đồ thị hàm số có hai điểm uốn: 77 U1(x1; f(x1)) U2(x2; f(x2)) Giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Với a > Với a < Cã mét cùc Cã ba cùc trÞ Cã mét cùc Cã ba cùc trÞ trÞ trÞ y y y y O O x x x x O O ThÝ dô Cho hµm sè: y = x4 − 2mx2 + 2m a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị haiđiểm uốn b Tìm giá trị m cho hàm số có ba cực trị Giải hàm sè cã d¹ng: y = x4 − x2 + a Với m = Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Ă Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: limy = lim x 1 − + ÷ = ( ±∞ ) = +∞ x→±∞ x →±∞ x x Bảng biến thiên: y' = 4x3 − x, y' = ⇔ 4x3 − 2x = ⇔ x = hc x=± + −1 / x −∞ 1/ ∞ 78 + − + 0 CT C§ CT 3/4 3/4 Bạn đọc tự kết luận dựa theo bảng biến thiên Đồ thị hàm số: §iĨm n: y' y +∞ − y'' = 12x2 − 2, +∞ y'' = ⇔ 12x2 − = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm 6 nên đồ thị hàm 31 31 ; ữ U ; ữ số có hai điểm uốn U1 36 36 Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(1; 1), B(1; 1) Bạn đọc tự vẽ hình Ta lần lợt nhận đợc hai tiếp tuyến là: 13 13 x+ x+ (d1): y = − vµ (d2): y = 12 12 6 b Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 4x3 4mx, y' = ⇔ 4x3 − 4mx = 4x(x2 m) = (1) Để hàm số có ba cực trị điều kiện là: Phơng trình (1) có ba nghiƯm ph©n biƯt ⇔ m > VËy, víi m > thỏa mãn điều kiện đầu ThÝ dơ Cho hµm sè y = x4 − (m + 1)x2 + m a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = b Chứng minh đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định với giá trị m Giải a Bạn đọc tự giải b Giả sử M(x0; y0) điểm cố định họ (Cm) Khi ®ã: y0 = x40 − (m + 1) x20 + m, ∀m ⇔ (1 − x20 )m + x40 − x20 − y0 = 0, ∀m 1− x20 = x0 = ⇒ y0 = ⇔ ⇔ x0 − x0 − y0 = x0 = −1⇒ y0 = 79 Vậy, họ (Cm) qua hai điểm cố định M 1(1; 0) M2(1; 0) Thí dụ Cho hàm số: f(x) = x4 x2 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho b Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy cách vẽ đồ thị hàm số y = f(x) y Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Ă Sự biến thiên hàm số: Giới hạn hàm số vô cực: limy = lim[x4(1 )] = + x x x2 Bảng biến thiên: y' = x − ∞ y' y + ∞ B¹n ®äc 80 − −2 / O − / x = 4x3 − 2x, y' = ⇔ 4x3 − 2x = ⇔ x = ± /2 + − /2 /2 ∞ − − 0 + + CT C§ CT + ∞ −1/4 −1/4 tù kết luận dựa theo bảng biến thiên y = | f ( x y) =| f ( x ) x ... x +1 x1 Giải Miền xác định D = Ă {1} Đạo hàm: y'= < x D hàm số nghịch biến D (x − 1) Giíi h¹n: lim y= lim y = vµ lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ x 1 x 1 Bảng biến thiên: x - y' y 1. .. nội dung câu b), em thấy phơng pháp hàm số thờng đợc u tiên lựa chọn Với nội dung câu c), ta nhớ lại phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) nÕu cã hai nghiƯm x1, x2 th×: | x1 − x2| = ∆ ∆' hc | x1... sè y = x2 − 3x + x1 Giải Miền xác định D = Ă {1} Đạo hàm: 1 y' = y' = ⇔ − = ⇔ x = hc x = 2 , (x − 1) (x − 1) 2 Giíi h¹n: lim y = lim y = −∞ , lim y = lim y = +∞ x x+ x1 x1 Bảng biến thiên: