ĐỊNH LÍ ERDOS – SZEKERESTRẦNNGỌCTHẮNG, GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Bài (Định lí Erdos - Szekeres) Cho m, n số nguyên dương Khi với dãy gồm mn số thực phân biệt tồn dãy tăng gồm m số hạng dãy giảm gồm n số hạng Lời giải Giả sử dãy gồm mn số thực a1 , a2 , , amn 1 Gọi ik độ dài lớn dãy tăng ak d k độ dài lớn dãy tăng ak Nếu ik m d k n ta kết luận toán Ta xét trường hợp ik m d k n Khi có tối đa mn cặp số ik , d k Bây ta xét mn số hạng dãy cho Theo nguyên tắc Dirichlet tồn hai số as , at s t tương ứng với cặp tối đa mn cặp số ik , d k Do is it , d s dt , ta xét hai trường hợp sau: TH1 Nếu at as is it vơ lí TH2 Nếu at as d s dt vơ lí Cả hai trường hợp không xảy suy toán chứng minh Chú ý Nếu thay giả thiết dãy gồm mn số thực định lí trường hợp ta hiểu dãy tăng theo nghĩa, dãy xn tăng x1 x2 xn ta hiểu dãy giảm nghĩa, dãy xn giảm x1 x2 xn Bài (Baltic Way 2015) Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách hai điểm a, b c, d định nghĩa a c b d Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ cho cho tập hợp khoảng cách hai điểm chứa hai phần tử Tìm max S ? Lời giải Lấy n điểm x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn thuộc S cho x1 x2 xn Khi ta thấy dãy y1 , y2 , , yn tồn dãy đơn điệu có độ dài ta có khoảng cách phân biệt Như để có dãy đơn điệu độ dài ta chọn n dựa theo định lí Erdos – Szekeres: Nếu k , l số nguyên dương dãy gồm kl số thực tồn dãy tăng gồm k số hạng dãy giảm gồm l số hạng Do ta cần lấy n 3.3 theo định lí tồn dãy đơn điệu yi1 , yi2 , yi3 , yi4 i1 i2 i3 i4 Ta xét hai trường hợp sau: TH1 yi1 yi2 yi3 yi4 xi4 xi1 yi4 yi1 xi4 xi1 yi4 yi1 xi4 xi2 yi4 yi2 xi4 xi3 yi4 yi3 Suy có ba khoảng cách T khác nhau, vơ lí TH2 yi1 yi2 yi3 yi4 xi4 xi1 yi4 yi1 xi4 xi1 yi1 yi4 xi4 xi2 yi1 yi2 xi4 xi3 yi1 yi3 Suy có ba khoảng cách T khác nhau, vơ lí Do n Ta lấy điểm thỏa mãn yêu cầu toán là: 0, , 1,1 , 1, 1 , 1,1 , 1, 1 , 2, , 0, , 2, , 0, 2 Vậy max S Bài (Poland 2001) Cho số thực a1 , a2 , , a7 đôi phân biệt b1 , b2 , , b7 đôi phân biệt thỏa mãn điều kiện bi 2, i 1, 2, , Chứng minh tồn hai số phân biệt k , m 1, 2, , 7 cho ak am bk bm Lời giải Giả sử kết luận tốn khơng tức với k , m 1, 2, , 7 phân biệt ak am bk bm Không tính tổng qt ta coi a1 a2 a7 Do 2.3 nên theo định lí Erdos - Szekeres dãy b1 , b2 , , b7 tồn dãy tăng độ dài dãy giảm độ dài Khi ta xét hai trường hợp sau: TH1 Tồn dãy tăng độ dài 3, chẳng hạn bi1 bi2 bi3 i1 i2 i3 Theo giả sử ta có bi bi ai bi bi 1 ai3 ai1 bi3 bi1 ai3 bi3 ai3 ai2 bi3 bi2 ai3 ai2 bi3 bi2 vô lí TH2 Tồn dãy giảm độ dài 4, chẳng hạn bi1 bi2 bi3 bi4 i1 i2 i3 i4 Theo giả sử ta có ai4 ai3 a7 ai4 bi2 bi1 ai2 ai1 bi1 bi2 bi3 bi2 ai3 ai2 bi2 bi3 bi4 bi3 ai4 ai3 bi3 bi4 a a b b i4 b7 bi4 i4 Cộng vế bất đẳng thức ta được: a7 ai1 bi1 bi4 b7 bi4 a7 b7 ai1 bi1 b7 bi4 2ai1 bi4 b7 Kết hợp với giả thiết bi 2, i 1, 2, , suy b7 bi4 2ai1 bi4 b7 b7 bi4 2ai1 bi4 b7 Vơ lí Vậy điều giả sử sai suy kết luận toán .. .Erdos – Szekeres: Nếu k , l số nguyên dương dãy gồm kl số thực tồn dãy tăng gồm k số hạng dãy giảm gồm l số hạng Do ta cần lấy n 3.3 theo định lí tồn dãy đơn điệu... biệt ak am bk bm Khơng tính tổng qt ta coi a1 a2 a7 Do 2.3 nên theo định lí Erdos - Szekeres dãy b1 , b2 , , b7 tồn dãy tăng độ dài dãy giảm độ dài Khi ta xét hai trường hợp