Trần ngọc thắng, định lý erdos szekeres

ĐỊNH LÍ ERDOS – SZEKERES TRẦN NGỌC THẮNG, GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Bài 1 Định lí Erdos - Szekeres Cho m n, là các số nguyên dương.. 1 Cả hai trường hợp đều không xảy ra suy ra bài toán đ

ĐỊNH LÍ ERDOS – SZEKERES TRẦN NGỌC THẮNG, GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

Bài 1 (Định lí Erdos - Szekeres) Cho m n, là các số nguyên dương Khi đó với mỗi dãy gồm 1

con giảm gồm n  số hạng 1

Lời giải

Giả sử dãy gồm mn  số thực là 1 a a1, 2, ,a mn1

đầu từ a Nếu k i k m hoặc 1 d k   thì ta được kết luận của bài toán Ta xét trường hợp n 1

k

i m và d k  Khi đó có tối đa mn cặp số n i d k, k Bây giờ ta xét mn  số hạng của dãy đã 1 cho Theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại hai số a a s s, t t tương ứng với cùng một cặp trong tối

đa mn cặp số i d k, k

Do đó i s i d t, s d t, tiếp theo ta xét hai trường hợp sau:

TH1 Nếu a t a s thì i s   vô lí i t 1

TH2 Nếu a t a s thì d s d t  vô lí 1

Cả hai trường hợp đều không xảy ra suy ra bài toán được chứng minh

Chú ý Nếu thay giả thiết dãy gồm mn  số thực thì định lí vẫn đúng nhưng trong trường hợp 1 này ta hiểu dãy tăng theo nghĩa, dãy  x n tăng nếu x1x2  x n  và ta hiểu dãy giảm nếu nghĩa, dãy  x n giảm nếu x1x2  x n 

Bài 2 (Baltic Way 2015) Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm và

được định nghĩa là Gọi là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ đã cho sao cho tập hợp các khoảng cách giữa hai điểm bất kì chỉ chứa đúng hai phần tử Tìm ? Lời giải

trong dãy nếu tồn tại dãy con đơn điệu có độ dài bằng 4 thì ta sẽ có ít nhất 3 khoảng cách phân biệt Như vậy để có một dãy con đơn điệu độ dài bằng 4 ta sẽ chọn dựa theo định lí

a b,  c d, 

max S

n x y1, 1 , x y2, 2, ,x y n, n S x1x2  x n

1, 2, , n

n

Erdos – Szekeres: Nếu là các số nguyên dương thì mỗi dãy gồm số thực luôn tồn tại một dãy con tăng gồm số hạng hoặc một dãy con giảm gồm số hạng

Do vậy ta chỉ cần lấy thì theo định lí trên sẽ tồn tại một dãy con đơn điệu

Ta xét hai trường hợp sau:

TH1

Suy ra có ba khoảng cách khác nhau, vô lí

TH2

Suy ra có ba khoảng cách khác nhau, vô lí

Do đó Ta lấy 9 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Vậy max S 9

Bài 3 (Poland 2001) Cho các số thực a a1, 2, ,a  đôi một phân biệt và 7 0 b b1, 2, ,b  cũng 7 0 đôi một phân biệt thỏa mãn điều kiện a ib i 2, i 1, 2, , 7 Chứng minh rằng tồn tại hai số phân biệt k m , 1, 2, , 7 sao cho a ka m  b kb m  1

Lời giải

Giả sử kết luận của bài toán không đúng tức là với mọi k m , 1, 2, , 7 phân biệt thì

2

a a  b b  Không mất tính tổng quát ta có thể coi a1a2  a7 Do 72.3 1 nên theo định lí Erdos - Szekeres dãy b b1, 2, ,b tồn tại hoặc một dãy con tăng độ dài 3 hoặc một 7

dãy con giảm độ dài 4 Khi đó ta xét hai trường hợp sau:

,

1

3.3 1

i i i i

T

T

9

n 

0, 0 , 1,1 , 1, 1 ,      1,1 ,  1, 1 , 2, 0 , 0, 2 ,     2, 0 , 0, 2   

TH1 Tồn tại dãy con tăng độ dài bằng 3, chẳng hạn b i1 b i2 b i i31 i2i3 Theo giả sử ở trên

ta có

1 1



vô lí

TH2 Tồn tại dãy con giảm độ dài bằng 4, chẳng hạn b i1 b i2 b i3 b i4i1i2 i3i4 Theo giả

sử ở trên ta có

1 1

1 1

1 1







 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

7 i i i 7 i 4 7 7 i i 7 i 4 2 i i 7

Kết hợp với giả thiết a ib i 2, i 1, 2, , 7 suy ra

4b b i 4 2 a i b i b  b b i 2a i b i b

Vô lí

Vậy điều giả sử ở trên là sai suy ra kết luận của bài toán