SỐ học đính lý phần dư trung hoa

TẬP SAN TOÁN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SÔNG HỒNG ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ PHẦN DƯ TRUNG HOA GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN SỐ HỌC Đặng Đình Sơn THPT Chun Lương Văn Tụy – Ninh Bình ĐỊNH LÍ PHẦN DƯ TRUNG HOA Định lí: Cho n số nguyên dương m1 , m2 , , mn số nguyên dương đôi nguyên tố Khi hệ đồng dư tuyến tính  x  (mod mi )  i  1, n có nghiệm mođun M  m1m2 mn Chứng minh: Đặt M i  M  ( M i , mi )  1, i  1, n M i  m j , i  j mi Suy i  1, n , tồn số nguyên yi thoả mãn M i yi  (mod mi ) n  x  (mod mi ) Xét x   M i yi ta có:  i 1 i  1, n  x  (mod mi )  x  x(mod mi ) Do đó:    x  x(mod M ) i  1, n i  1, n Vậy định lí chứng minh Nhận xét: Định lí phần dư Trung Hoa khẳng định tồn lớp thặng dư số nguyên thoả mãn đồng thời nhiều đồng dư tuyến tính Do sử dụng định lí để giải toán tồn đếm số số nguyên thoả mãn hệ điều kiện quan hệ đồng dư, chia hết…, hay đếm số nghiệm phương trình đồng dư Việc sử dụng hợp lí m1 , m2 , , mn a1 , a2 , , an (trong định lí) cho ta nhiều kết thú vị từ đưa nhiều tập hay khó Sau số ứng dụng định lí phần dư Trung Hoa giải tốn số học 12 TẬP SAN TỐN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SƠNG HỒNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bài tốn Cho hai số nguyên dương p, q nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên k cho ( pq  1)n k  hợp số với số nguyên dương n Lời giải: Vì (p,q)=1 nên theo định lí phần dư Trung Hoa, tồn số nguyên k thoả mãn:  k  1(mod p )   k  1(mod q ) Khi đó: + Nếu n chẵn ( pq  1) n  1(mod q )  ( pq  1)n k  1(mod q )  ( pq  1)n k  1 q + Nếu n lẻ ( pq  1)n  1(mod p)  ( pq  1)n k  1(mod p)  ( pq  1)n k  1 p Vậy ( pq  1)n k  hợp số với số nguyên dương n Nhận xét: Chứng minh thật gọn gàng nhờ vào việc sử dụng định lí đồng dư Trung Hoa Mấu chốt vấn đề phải thấy để ( pq  1)n k  hợp số ta cần ( pq  1)n k  chia hết cho p q, phân  k  1(mod p )  k  1(mod q ) tích tính chẵn lẻ n ta dễ dàng thấy xuất hệ  Bài toán Chứng minh tồn số nguyên k cho 2n k  hợp số với số nguyên dương n Lời giải: Nhận xét: Bài tập gần giống với tập số phức tạp tốn nhiều tốn ta khơng thể nhìn thấy để n k  hợp số ta cần chia hết cho số Để ý thấy trằng toán ta xét hai trường hợp n chẵn n lẻ hay tổng quát xét n dạng sau m l với m, l số tự nhiên, l lẻ m m m Khi n k   2 l k  ta có 22 l  1mod(22  1) , để n k  hợp m số ta n k  chia hết cho Fm  2  (Dãy Fermat) Ta trình bày lời giải tốn sau: 13 TẬP SAN TOÁN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SÔNG HỒNG Trước hết ta có F0 , F1 , F2 , F3 , F4 số nguyên tố, F5  641.6700417 ( Fi , F j )  1, i  j Theo định lí phần dư Trung Hoa, tồn số nguyên dương k thoả mãn:  k  1(mod Fm )  m  0,1, 2,3,  (p = 641, q = 6700417, (p,q)=1)   k  1(mod p )  k  1(mod q ) Ta có n  m l , với m, l số tự nhiên, l lẻ m + Nếu m < n  2 l  1(mod Fm )  n k  1(mod Fm )  2n k  1 Fm m + Nếu m = 2n  2 l  1(mod F5 )  n k  1(mod p )  2n k  1 p + Nếu m > n  (2 ) m l  1(mod F5 )  n k  1(mod q )  n k  1 q Do n k  hợp số với số nguyên dương n Bài toán Cho tập S  {p1 ,p2 , p k } gồm k số nguyên tố phân biệt, f ( x) đa thức với hệ số nguyên cho với số nguyên dương n tồn pi S cho pi | f (n) Chứng minh tồn i cho pi | f (n), n  N * Lời giải: Giả sử không tồn i cho pi | f (n), n  N * , suy với i=1;k tồn cho pi | f (ai ) Mặt khác theo định lí Phần dư Trung Hoa tồn số tự  x  (mod pi )  f ( x)  f ( )(mod pi ) nhiên x thỏa mãn  ,  hay pi | f ( x), i  1; k i  1, k i  1, k (Mâu thuẫn) Bài toán Cho n  p1 p2 pk f ( x ) đa thức với hệ số ngun Khi phương trình đồng dư k f ( x )  0(mod n) có nghiệm tất phương trình đồng dư f ( x)  0(mod pi ), i  1; k có nghiệm Nếu gọi số nghiệm i phương trình f ( x)  0(mod pi ) ni , i  1; k phương trình n  p1 p2 pk có i n1.n2…nk nghiệm (mơđun n) 14 k TẬP SAN TỐN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SÔNG HỒNG Lời giải:  Giả sử x nghiệm f ( x)  0(mod n) , hiển nhiên x nghiệm i  f ( x)  0(mod pi ) hệ  i  1; k  Giả sử xi nghiệm f ( x)  0(mod pi ), i  1; k Theo định lí Phần dư i  x  xi (mod pii ) Trung Hoa tồn x nghiệm hệ  (mod n) Mà i  1; k x  xi (mod piai )  f ( x)  f ( xi )(mod piai ) (vì ( f ( x)  f ( xi )) ( x  xi ) ), suy x nghiệm f ( x)  0(mod n) Mỗi ( x1 , x2 , , xk ) với xi nghiệm f ( x)  0(mod pi ), i  1; k cho ta i nghiệm f ( x)  0(mod n) hiển nhiên nghiệm phân biệt (vì hai khác phải tồn cặp xi , xi hai nghiệm khác i f ( x )  0(mod pi i ) , hai nghiệm tương ứng với hai khơng đồng dư theo mod pii ) Do số nghiệm f ( x )  n1.n2…nk Như dựa vào định lí Phần dư Trung Hoa ta đếm số nghiệm phương trình đồng dư Bài toán 5, toán sau ví dụ cụ thể cho tốn Bài toán Cho số nguyên dương n  p1 p2 pk , p1 , p2 , , pk k số nguyên tố đôi khác Tìm số nghiệm phương trình đồng dư x  x  0(mod n) Lời giải:   x  0(mod pii )  x( x  1)  0(mod p )  x  x  0(mod n)      x  1(mod pii ) i  1, k  i  1, k i i  x  (mod pii )  Theo định lí phần dư Trung Hoa hệ phương trình   {1; 0} có  i  1, k nghiệm (thặng dư modn) ta có 2k hệ (bằng số ( a1 , a2 , , ak ), 15 TẬP SAN TOÁN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SÔNG HỒNG  {1;0} ), nghiệm hệ khác Suy phương trình x  x  0(mod n) có 2k nghiệm Bài tốn Cho số ngun dương a  p1 p1 pk , p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi khác số nguyên dương n thoả mãn k < n < p1 , p2 , , pk Chứng minh dãy sau có n k số chia hết cho a u1  1.2 n, u2  2.3 (n  1), u3  3.4 (n  2), , ua  a (a  1) (a  n  1) Lời giải: Nhận xét: Bài tập tư tưởng giống i  (mod pi )  u j  a  ai  {0, 1, 2, , ( n  1)},  i  1, k j  1, a Do ta có n k số chia hết cho a * Cùng với tư tưởng 4, ta chứng minh công thức Phi hàm Ơl cách đưa đếm số nghiệm hệ đồng dư Bài toán Cho số nguyên dương n,  (n) số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Chứng minh với n  p1 p2 pk , k p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi khác nhau, ta có :  ( n)  n(1  1 )(1  ) (1  ) p1 p2 pk (Phi hàm Ơle ) Lời giải Nhận xét: Công thức chứng minh cách sử dụng tính chất  ( n) hàm nhân tính Và để chứng minh tính chất ta phải sử dụng đến tính chất hệ thặng dư Cách phức tạp Bài tốn giải đẹp định lí đồng dư Trung Hoa An  a  N |1  a  n, (a, n)  1 Khi n  p   (n)  p  p 1 Khi n  p1 p2 pk , p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi khác k Với số nguyên dương a thoả mãn  a  n ta có: 16 TẬP SAN TỐN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SÔNG HỒNG a  a (mod pi ) i i  i a  An  (a, pi )  1, i  1, k  ai  Api  i  1, k Mà theo định lí phần dư Trung Hoa, tồn số nguyên dương a, 1 a  n a  a (mod pi ) i i   ai  Api ta có  i  1, k thoả mãn k k  | Apai |   ( pii  pii 1 ) hệ dạng i 1 i i 1 trên, nghiệm hệ khác k Do | An |   ( pi  pi 1 )  n(1  i i i 1 1 )(1  ) (1  ) p1 p2 pk Bài toán Cho An  a  N |1  a  n, (a, n)  (a  1, n)  1 Tìm | An | Lời giải: Nhận xét: Bài tốn giải tương tự cách chứng minh công thức phi hàm Ơle  (n) Giả sử n  p1 p2 pk , p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi khác nhau, ta có | An |  n(1  * k 2 )(1  ) (1  ) p1 p2 pk Sử dụng định lí đồng dư Trung Hoa chứng minh công thức Phi hàm Ơle, cho ta lời giải đẹp, với tư tưởng tính chất hệ thặng dư ta giải tốn mở rộng định lí Wilson Bài tốn Tìm số ngun dương n lẻ cho với hệ thặng dư thu gọn mođun n a1 , a2 , , a ( n )  ta có a1a2 a ( n )  1(mod n) Lời giải:  Theo định lí Wilson ta suy n nguyên tố thoả mãn  Với n  p m với p số nguyên tố lẻ Ta có a1 , a2 , , a ( n )  hệ thặng dư thu gọn mođun n, suy với a  a1 , a2 , , a ( n)  tồn a  a1 , a2 , , a ( n)  thoả mãn aa  1(mod n) a  b  a  b 17 TẬP SAN TOÁN HỌC 2009 – NAM ĐỊNH HỆ THỐNG CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG DUYÊN HẢI SÔNG HỒNG  a  1(mod n) a  (vì (a-1,a+1)1) số nguyên tố lẻ, k phân biệt Tương tự trên: Với a  a1 , a2 , , a ( n)  tồn a  a1 , a2 , , a ( n)  thoả mãn aa  1(mod n) a  b  a  b   a  1(mod pii )  a  a  a  1 n  (a  1)(a  1) n    a  1(mod pii ) (Vì (a-1,a+1)