Những bài toán hình học chọn lọc có hình minh họa và hướng dẫn đi kèm giúp học sinh có cơ sở học tập rèn luyện tốt, có kiến thức tốt trong việc làm bài tập hình học thi vào lớp 10. Việc giải toán hình học sẽ không còn khó khăn với HS lớp 9. Đây là tài liệu tốt cho giáo viện tham khảo luyện thi.
Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Bài Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F ã cho EAF = 450 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù G, H Chứng minh: a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp b) CGH tứ giác GHFE cã diƯn tÝch b»ng n Bµi Cho ∆ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đờng kính AD đờng tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chøng minh: a) Bèn ®iĨm A,B, H, E nằm đờng tròn tâm N HE// CD b) M tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF A BT : Hai pt đồng dạng vớ i vàchỉkhi Hoặ c nhỏ a b c H c ,= = a b' c' N E B I H J K a) Chøng minh gãc EHM =gãc HCD b) MN// AC, AC ⊥ CD, CD // HE → MN ⊥ HE mµ MN lµ đờng kính vòng tròng ngoại tiếp ABHE MH =ME Từ M kẻ đờng thẳ ng // BE nh hì nh vẽ +PJ đ ờng TB củahthang BECF → PJ ⊥ FE +Tõ ®ã dƠthÊy MF =ME M P C F D Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi H điểm cung AB, gọi M điểm nằm cung AH; N điểm nằm dây cung BM cho BN = AM Chøng minh: ∆AMH = ∆BNH MHN tam giác vuông cân Khi M chuyển động cung AH đờng vuông góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định tiếp tuyến nửa đờng H tròn điểm B M Gợi ý : 3) Gọi đthẳng qua N vuông góc với MB cắt ttuyến B ë Q Q N A O B TuyÓn tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 Chứng minh AMB = ∆ BNQ ⇒ BQ = BA = const Bài 4.Cho (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn (O/) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M kẻ dây cung E DEAB Gọi I giao DC với (O/) a) Chứng minh ADBE hình thoi b) BI// AD c) I,B,E thẳng hàng Gọi ý : c: Chứng minh qua B có đờng thẳng: BEA vµ BI O' C B M Cïng song song víi AD I D y Bài Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By vuông góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI tạiKPC C cắt By =tại a/ Chứng minh =KBC 90K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK t¹i P b/ Chøng minh ∆ AIC ∼ ∆ BCK x 1)Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn 2)Chứng minh AI.BK = AC.CB I 3)Giả sử A,B,I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI max B A C P K Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Bài Từ điểm S đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đờng tròn a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S,A,E,O,B thuộc đờng tròn b) Nếu SA = AO SAOB hình gì? sao? AB.CD c) Chømg minh r»ng: AC.BD = BC DA = A b/ SAOB hình vuông ã ã c/ LÊy E thuéc CD Sao cho CAE = BAD E chøng minh ∆ CAE ∼ ∆ BAD ⇒ AB.CE = AC AD (1) C S O CM AB.DE = AC CB (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ AB.CD = AC BD + AD.BC (3) SA SC AC SA = = (4) , (5) SD SB AD SD BC SC = ∆ SCB ∼ ∆ SBD ⇒ (6) BD SD Cminh ∆ SAC ∼ ∆ SDA ⇒ Tõ 4, 5, ⇒ AC.BD = AD BC (7) Tõ 3, ⇒ Đfải CM B A O C D E B Bài Cho ABC vuông A Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F a) Chứng minh: CDEF tứ giác nội tiếp b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh r»ng r =r12 +r22 D TuyÓn tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 C N Q L F K M C a/ CM gãc C = gãc DEB b/ Chøng minh ∠AQB = ∠QPK( cï ng 1/2 sđBD ) +Từ suy KN ® êng trung trùc cđa PQ, QPlµ ® êng trung trực MN +KL MNPQ hì nh thoi r2 AB r1 AB BO r c/ CM COB ∼ AO2B ⇒ = ⇒ = ; t ¬ng tù tacã = BO2 r2 r BC r BC r21 r22 AB2+AC2 + = =1 ⇒ § pcm ⇒ D D r2 r2 CB2 r1 O1 P E r O O2 r2 A B B A Bµi Cho ∆ABC cã ba gãc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R Hạ đờng cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) ®iĨm thø hai lµ M, N Chøng minh r»ng: M Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng tròn Tìm tâm I đA ờng tròn MN// DE E Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chun trªn cung lín AB Chøng minh r»ng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không ®ỉi H C B D K Tun tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 Y / Dễ chứng minh đợc HC = AK AB2 = 4R2 AB2 = const Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy D cung AB (D khác A,B), lấy điểm C nằm O B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ tia Ax By vuông góc với AB Đờng thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax By lần lợt E F 1) CMR : Gãc DFC b»ng gãc DBC 2) CMR : ECF vuông 3) Giả sử EC cắt AD M, BD cắt CF N CMR : MN//AB 4)CMR: Đờng tròn ngoại tiếp EMD đờng tròn ngo¹i tiÕp ∆ DNF tiÕp xóc t¹i d/ LÊy Q trung điểm MN DQ=QM=QN DEM =∠DAB = ∠DMQ = ∠MDQ ⇒ DQ lµ tiÕp tuyÕn cđa (O') ⇒∠ O'DQ =90° T ¬ng tù ∠ O''DQ =90 Từ đ ó suy điều cần chứng minh Chó ý: MN lµ tiÕp tun chung cđa (O') vµ (O'') F O'' D O' E M A Q N C B Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 a/ Sư dơng tc gãc néi tiÕp b/ Chng minh tỉng gãc cđa ∆ ECF b»ng vu«ng · · · · c/ MCA (cïng phơ víi gãc MDC) = MDE = NDC = NMC Bµi 10 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đòng tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn(M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C, D Chøng minh: a) CD = AC+BD b) AC.BD = R Xác định vị trí ®iĨm M ®Ĩ tø gi¸c ABDC cã diƯn tÝch nhá nhÊt Cho R = cm, diƯn tÝch tø gi¸c ABDC b»ng 32cm2 TÝnh diƯn D tÝch ∆ABM DƠthÊy CD = 16; S COD =16 COD ∼ AMB( theo tØsè CD/ AB = 4) Tõ ® ã rót diƯn tÝch AMB M S∆ABM nhá nhÊt CD nhá nhÊt C CD nhá nhÊt CD song song víi AB Khi M điểm cung AB A O Bài 11 Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Gọi I trung điểm AO Qua I kẻ dây CD vuông góc với AB 1) Chứng minh: a) Tứ giác ACOD h×nh thoi b) 1· · CBD = CAD 2) Chứng minh O trực tâm BCD 3) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng (MB+MC+MD) đạt giá trị lớn B Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Bài 12 Cho ∆ ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiÕp tun víi (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR a/MAOH tứ giác nội tiếp b/ Tia HM phân giác góc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chøng minh r»ng QP // EF Bµi 13 Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iĨm cđa OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giáDễ trị lớn MNB nhấtđềđó thấy u Lấy E NK cho KM=KE +Dễchứng minh đợ c MK+KB = KN (do MEN= MKB) +KN≤ AB; →MK+KN+KB≤ 2AB =4R "DÊu = K điểm cung MB" M K H A Khai thác: 1/ CM AMON hì nh thoi 2/ CM MNB ®Ịu 3/ CM KM+KB= KN C O B E N Bài 14 Từ điểm A đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng tròn Gọi I trung điểm dây MN, H giao điểm AO BC Chứng minh: a) Năm ®iĨm A, B, I, O, C cïng n»m trªn mét đờng tròn b) AB = AM ìAN ãAHM = ãANO Bài 15 Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Hai đờng cao AI BE cắt t¹i H 1/ Chøng minh CHI = CBA Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 2/ Chøng minh 3/ Cho gãc EI ⊥ CO ACB = 600 Chøng minh CH = CO Bµi 16 Cho tø giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vuông góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H đờng tròn Bài 17.Cho nửa đờng tròn tâm O có ®êng kÝnh AB = 2R KỴ hai tia tiÕp tun Ax By nửa đờng tròn (Ax, By nửa đờng tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm tùy ý thuộc nửa đờng tròn (khác A B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt Ax D cắt By E a) Chứng minh rằng: DOE tam giác vuông b) Chứng minh rằng: AD ìBE = R c) Xác định vị trí điểm M nửa đờng tròn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ Bài 18 Cho hai đờng tròn (O1) (O2)có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, cắt hai đờng tròn E F (E (O1); F(O2)) Chøng minh AE = AF VÏ c¸t tuyÕn CBD vuông góc với AB (C (O1); D(O2)).Gọi P giao ®iĨm cđa CE vµ FD Chøng minh r»ng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đợc đờng tròn b Gọi I trung điểm EF Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B th× I di chun đờng ? Bài 19 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB 2R M điểm tuỳ ý nửa đờng tròn (M khác A B) Kẻ hai tiếp tuyến Ax By với nửa đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến Ax By C D a) Chøng minh r»ng: ∆COD vu«ng b) Chøng minh r»ng: AC.BD = R2 c) Gäi E lµ giao cđa OC vµ AM; F lµ giao cđa OD vµ BM Chøng minh r»ng: EF = R Tun tập 102 ôn thi hh9 vao 10 d) Tìm vị trí M để SABCD đạt giá trị bé Bài 20 Cho M điểm tuỳ ý nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R(M không trùng với A B) Vẽ tiếp tuyến Ax, By, Mz nửa đờng tròn Đờng Mz cắt Ax By N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt cắt Ax D CMR: a) Tứ giác AOMN nội tiÕp vµ NP = AN+BP b) N, P lµ trung ®iĨm cđa AD vµ BC c) AD.BC = R2 d) Xác định vị trí điểm M để SABCD có giá trị nhỏ Bài 21 Cho (O;R) dây cung CD cố định có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với (O) Đờng thẳng AB cắt đờng SO; OH lần lợt E, F.Chứng minh rằng: a) SEHF tứ giác nội tiÕp b) OE.OF = R2 c) OH.OF = OE.OS d) AB qua điểm cố định S chạy tia đối tia DC Bài 22 Cho (O;R) có hai đờng kính AB CD vuông góc với M điểm thuộc đờng kính AB (M khác O,A,B) CM cắt (O) N (N khác C) Dựng đờng thẳng d vuông góc với AM M Tiếp tuyến với (O) N cắt d ë E a) CMR: OMEN néi tiÕp b) OCME lµ hình gì? sao? c) CMR: CM.CN không đổi d) CMR: E chạy đờng thẳng cố định M chuyển động đờng kính AB (M khác A,B) Bài 23 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P H M đối xứng Chøng minh r»ng: qua BC Tø gi¸c CEHD, néi tiếp Xác định tâm đờng Bốn điểm B,C,E,F nằm tròn nội tiếp tam giác ®êng trßn DEF AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC Lời giải: Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: ∠CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => CEH + ∠CDH = 1800 Mµ ∠CEH vµ ∠CDH lµ hai gãc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE ®êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900 CF đờng cao => CF AB => BFC = 900 Nh E F nhìn BC díi mét gãc 900 => E vµ F cïng n»m đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ;  góc chung => AEH ∆ADC => AE AH = => AE.AC = AH.AD AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta cã: ∠BEC = ∠ADC = 900 ; ∠C lµ gãc chung => ∆ BEC ∼ ∆ADC => BE BC = => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phơ víi gãc ABC) ∠C2 = A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM) => C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB đơng trung trực HM H M ®èi xøng qua BC Theo chøng minh trªn bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác cđa gãc FED Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF 10 Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Lời giải: Tam giác ABC => ABC = ACB = 600 (1); ∠DOE = 600 (gt) =>∠DOB + ∠EOC = 1200 (2) ∆DBO cã ∠DOB = 600 => ∠BDO + ∠BOD = 1200 (3) Tõ (2) vµ (3) => ∠BDO = ∠COE (4) Tõ (2) vµ (4) => ∆BOD ∼ ∆CEO => BD BO = => CO CE BD.CE = BO.CO mà OB = OC = R không đổi => BD.CE = R2 không đổi Theo BOD ∼ ∆CEO => BD OD = mµ CO = BO => CO OE BD OD BD BO = => = (5) BO OE OD OE L¹i cã ∠DBO = ∠DOE = 600 (6) Tõ (5) vµ (6) => ∆DBO ∼ DOE => BDO = ODE => DO tia phân giác BDE Theo DO tia phân giác BDE => O cách DB DE => O tâm đờng tròn tiếp xúc với DB DE Vậy đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB tiếp xúc với DE Bài 65 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến B C lần lợt cắt AC, AB D E Chøng minh : BD2 = AD.CD => ∠EBD = ∠DCE Tø gi¸c BCDE néi tiÕp => B C nhìn BC song song với DE DE dới Lời giải: Xét hai tam giác BCD ABD ta có CBD = BAD ( Vì góc nội tiếp góc tiếp tuyến với dây chắn cung), lại có D chung => ∆BCD ∼ ∆ABD => BD CD = => AD BD BD2 = AD.CD Theo giả thiết tam giác ABC cân A => ABC = ACB => EBC = DCB mà CBD = BCD (góc tiếp tuyến với dây chắn cung) góc B C nằm cung tròn dựng DE => Tø gi¸c BCDE néi tiÕp 45 Tun tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 Tứ giác BCDE néi tiÕp => ∠BCE = ∠BDE ( néi tiÕp chắn cung BE) mà BCE = CBD (theo ) => CBD = BDE mà hai góc so le nên suy BC // DE Bài 66 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C Gọi E giao điểm AC BM Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp Theo tứ Chứng minh NE AB giác AENF hình Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minhbình hành => FN // AE hay FN // AC FA lµ tiÕp tun cđa (O) Chøng minh FN tiếp tuyến đờng tròn (B; mà AC ⊥ BN => BA) FN ⊥ BN t¹i N N Lời giải: (HS tự làm) (HD) Dễ thấy E trực tâm tam giác NAB => NE F _ / M ⊥ AB C / 3.Theo giả thiết A N đối xứng qua M nên M _ E trung điểm AN; F E xứng qua M nên M B A trung điểm EF => AENF hình bình hµnh => O H FA // NE mµ NE ⊥ AB => FA AB A => FA tiếp tuyến (O) A BAN có BM ®êng cao ®ång thêi lµ ®êng trung tuyÕn ( M trung điểm AN) nên BAN cân B => BA = BN => BN bán kính đờng tròn (B; BA) => FN tiếp tuyến N (B; BA) Bài 67 AB AC hai tiếp tuyến đờng tròn tâm O bán kính R ( B, B D C tiếp điểm ) Vẽ CH vuông góc AB H, cắt (O) E cắt OA H Chứng minh CO = CD I Chøng minh tø gi¸c OBCD hình thoi E O Gọi M trung điểm CE, Bm cắt OH A D M I Chứng minh I trung điểm OH K Tiếp tuyến E với (O) cắt AC K C Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng Lời giải: Theo giả thiết AB AC hai tiếp tuyến đờng tròn tâm O => OA tia phân giác BOC => BOA = ∠COA (1) OB ⊥ AB ( AB lµ tiÕp tuyÕn ); CH ⊥ AB (gt) => OB // CH => ∠BOA = ∠CDO (2) Tõ (1) vµ (2) => ∆COD cân C => CO = CD.(3) 46 Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 theo ta cã CO = CD mµ CO = BO (= R) => CD = BO (4) l¹i cã OB // CH hay OB // CD (5) Tõ (4) vµ (5) => BOCD hình bình hành (6) Từ (6) (3) => BOCD hình thoi M trung ®iĨm cđa CE => OM ⊥ CE ( quan hệ đờng kính dây cung) => OMH = 900 theo trªn ta còng cã ∠OBH =900; ∠BHM =900 => tứ giác OBHM hình chữ nhật => I trung điểm OH M trung điểm CE; KE vµ KC lµ hai tiÕp tuyÕn => O, M, K thẳng hàng Bài 68 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tiếp tuyến đờng tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F Chứng minh BC // AE Chứng minh ABCE hình bình hành Gọi I trung điểm CF G giao điểm BC OI So sánh BAC BGO Lời giải: (HS tự làm) 2).Xét hai tam giác ADE CDB ta có EAD = BCD (v× so le ) AD = CD (gt); ∠ADE = ∠CDB (®èi ®Ønh) => ∆ADE = ∆CDB => AE = CB (1) Theo trªn AE // CB (2) Tõ (1) (2) => AECB hình bình hành 3) I trung điểm CF => OI CF (quan hệ đờng kính dây cung) Theo AECB hình bình hành => AB // EC => OI AB K, => BKG vuông K Ta cung có BHA vuông H => BGK = ∠BAH ( cung phơ víi ∠ABH) mµ ∠BAH = BAC (do ABC cân nên AH phân giác) => ∠BAC = 2∠BGO Bài 69: Cho đường tròn (O) điểm P ngồi đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A; B tiếp điểm) Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) C (C ≠ A) Đoạn PC cắt đường tròn điểm thứ hai D Tia AD cắt PB E a Chứng minh ∆EAB ~ ∆EBD B b Chứng minh AE trung tuyến ∆PAB · E HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vì: BEA chung · · = EBD (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến…) EAB O P EB ED D ⇒ EB = EA.ED (1) ⇒ = C EA EB · · · · * EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến…) A · · · ⇒ EPD ⇒ = EAP ; PEA chung ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) 47 TuyÓn tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 EP ED ⇒ EP2 = EA.ED (2)Từ & ⇒ EB2 = EP2 ⇒ EB = EP ⇒ AE trung = EA EP tuyến ∆ PAB Bài 70: Cho ∆ABC vuông A Lấy cạnh AC điểm D Dựng CE vng góc BD a Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD b Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c Chứng minh FD vng góc BC, F giao điểm BA CE · d Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a Tính AC; đường cao AH ∆ABC bán kính C đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) E b) tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp (Quĩ tích cung chứa góc 900) K c) Chứng minh D trực tâm ∆ CBF D 2a · H d) AC = BC.sin ABC = 2a.sin60 = 2a =a a 600 · AB = BC.cos ABC = 2a.cos60 = 2a = a A B F · · · AH = AB.sin ABC = a.sin600 = a ; ∆ FKB vng K , có ABC = 600 ⇒ BFK = · ⇒ AD = FD.sin BFK ⇒ AD = FD.sin300 ⇒ a = FD.0,5 ⇒ FD = a : 300 0,5 = 2a · Bài 71: Cho ∆ABC vuông ( ABC = 900; BC > BA) nội tiếp đường tròn đưòng kính AC Kẻ dây cung BD vng góc AC H giao điểm AC BD Trên HC lấy điểm E ≠ C) cho E đối xứng với A qua H Đường tròn đường kính EC cắt BC I (IB a Chứng minh CI CE = CB CA b Chứng minh D; E; I thẳng hàng c Chứng minh HI tiếp tuyến đường tròn đường kính EC H HD; a) AB // EI (cùng ⊥ BC) A CI CE ⇒ = (đ/lí Ta-lét) CB CA I O E b) chứng minh ABED hình thoi ⇒ DE // AB mà EI //AB ⇒ D, E, I nằm đường thẳng qua E // AB D ⇒ D, E, I thẳng hàng · · c) EIO' = IEO' ( ∆ EO’I cân ; O’I = O’E = R(O’)) · · · · = HED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH trung tuyến ⇒ ∆HID cân ⇒ HIE = HDI IEO' · · Mà HDI + HED = 900 ⇒ đpcm 48 O’ C TuyÓn tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Bi 72: Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R) Hạ OH ⊥ (d) (H ∈ d) M điểm thay đổi (d) (M ≠ H) Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ (P, Q tiếp điểm) với (O; R) Dây cung PQ cắt OH I; cắt OM K a Chứng minh điểm O, Q, H, M, P nằm đường tròn P b Chứng minh IH.IO = IQ.IP · c Giả sử PMQ = 600 Tính tỉ số diện tích tam giác: ∆MPQvà ∆OPQ HD: a) điểm O, Q, H, M, P nằm đường tròn K O M (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 ) I IO IQ b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) ⇒ = ⇒ IH.IO = IQ.IP IP IH Q PQ PQ · 3= c) ∆v MKQ có : MK = KQ.tg MQK = KQ.tg60 = H 2 ∆v OKQ có: ⇒ · OK = KQ.tg OQK = KQ.tg300 = KQ SMPQ SOPQ = PQ PQ = = 3 PQ PQ : =3 Bài 73: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (E ≠ A) Từ E, A, B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B theo thứ tự C D a Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường tròn Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn b Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ suy DM CM = DE CE c Gọi N giao điểm AD BC Chứng minh MN // BD d Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO · e Đặt AOC = α Tính theo R α đoạn AC BD C Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc giá trị R, không phụ thuộc vào α HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tích cung chứa góc 90 A E ) b) AC // BD (cùng ⊥ EB) ⇒ ∆EAC ~ ∆EBD D M N O B CE AC CE CM = = (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ (2) ⇒ DE BD DE DM DM CM = DE CE NC AC NC CM ⇒ MN // BD = = c) AC // BD (cmt) ⇒ ∆NAC ~ ∆NBD ⇒ (3) Từ 1; 2; ⇒ NB BD NB DM d) ¶O1 = ¶O ; ¶O3 = ¶O mà ¶O1 + ¶O + ¶O3 + ¶O = 1800 ⇒ ¶O + ¶O3 = 900 ; ¶O + ¶D1 = 900 (…) ⇒ 49 Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 OB R ⇒ ¶D1 = ¶O = ¶O1 = α Vậy: DB = = ; Lại có: AC = OA.tgα = R.tgα ⇒ AC.DB = tgα tgα R R.tgα tgα ⇒ AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 74: Cho ∆ABC có góc nhọn Gọi H giao điểm đường cao AA1; BB1; CC1 a Chứng minh tứ giác HA 1BC1 nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn b Chứng minh A1A phân giác ·B1A1C1 c Gọi J trung điểm AC Chứng minh IJ trung trực AA1C1 d Trên đoạn HC lấy điểm M cho MH = MC So sánh diện tích tam giác: ∆HAC ∆HJM HD: a) HA1BC1 nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) Tâm I trung điểm BH b) C/m: ·HA1C1 = ·HBC1 ; ·HA1B1 = ·HCB1 ; ·HBC = ·HCB ⇒ ·HA C = ·HA B ⇒ đpcm 1 1 1 c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 … B ⇒ ỊJ trung trực A1C1 d) S HJM = ⇒ SHAC AC1 B1 C1 J H M I 12 A1 K C 1 HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 HC.AC1 MH HC HM+MC MC AC1 = ⇒ = = 1+ = 1+ = ; = (JK// : S HJM = mà HM.JK MC HM HM HM JK ⇒ SHAC : S HJM = Bài 75: Cho điểm C cố định đường thẳng xy Dựng nửa đường thẳng Cz vng góc với xy lấy điểm cố định A, B (A C B) M điểm di động xy Đường vng góc với AM A với BM B cắt P a Chứng minh tứ giác MABP nội tiếp tâm O đường tròn nằm đường thẳng cố định qua điểm L AB b Kẻ PI ⊥ Cz Chứng minh I điểm cố định c BM AP cắt H; BP AM cắt K Chứng minh KH ⊥ PM d Cho N trung điểm KH Chứng minh điểm N; L; O thẳng hàng z HD: a) MABP nội tiếp đ/tròn đ/k MP.(quĩ tích cung chứa góc 900…) P OA = OB = R(O) ⇒ O thuộc đường trung trực AB qua L I trung điểm AB… B b) IP // CM ( ⊥ Cz) ⇒ MPIC hình thang ⇒ IL = LC khơng đổi H A,B,C cố định ⇒ I cố định O N c) PA ⊥ KM ; PK ⊥ MB ⇒ H trực tâm PKM L 50 Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 ⇒ KH ⊥ PM K d) AHBK nội tiếp đ/tròn đ/k KH (quĩ tích cung chứa góc…) ⇒ N tâm đ/tròn ngoại tiếp … ⇒ NE = NA = R(N) ⇒ N thuộc đường trung trực AB x ⇒ O,L,N thẳng hàng A M C y Bài76: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB K điểm cung AB Trên cung AB lấy điểm M (khác K; B) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Kẻ dây BP song song với KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP, BM a So sánh hai tam giác: ∆AKN ∆BKM b Chứng minh: ∆KMN vng cân c Tứ giác ANKP hình gì? Vì sao? HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c) b) HS tự c/m ∆ KMN vuông cân c) ∆ KMN vuông ⇒ KN ⊥ KM mà KM // BP ⇒ KN ⊥ BP P · = 900 (góc nội tiếp…) ⇒ AP ⊥ BP APB ⇒ KN // AP ( ⊥ BP) · · KM // BP ⇒ KMN = PAT = 450 U ¼ // N PKM · · Mà PAM = PKU = = 450 A 0 · · PKN = 45 ; KNM = 45 ⇒ PK // AN Vậy ANPK hình bình hành K M T O = B Bài 77: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, có hai đường kính AB, CD vng góc với M điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC Nối MB, cắt CD N a Chứng minh: tia MD phân giác góc AMB b Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA Chứng minh: BM.BN không đổi c Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác C ONMA, I di động nào? · · HD: a) AMD = DMB = 450 (chắn cung ¼ đ/tròn) · ⇒ MD tia phân giác AMB M F b) ∆ OMB cân OM = OB = R(O) N I ∆ NAB cân có NO vừa đ/cao vừa đường trung tuyến B A ⇒ ∆ OMB ~ ∆ NAB E O BM BO ⇒ ⇒ BM.BN = BO.BA = 2R không đổi = BA BN c) ONMA nội tiếp đ/tròn đ/k AN Gọi I tâm đ/tròn ngoại tiếp ⇒ I cách A O cố định ⇒ I thuộc đường trung trực OA Gọi E F trung điểm AO; AC Vì M chạy cung nhỏ AC nên tập hợp I đoạn EF 51 D TuyÓn tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 Bi78: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tia BD cắt tiếp tuyến A với đường tròn (O) điểm E; EC cắt (O) F a Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến đường tròn (O) A b Tứ giác ABCE hình gì? Tại sao? · · c Gọi I trung điểm CF G giao điểm tia BC; OI So sánh BGO với BAC A E · d Cho biết DF // BC Tính cos ABC HD:a) Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC (∆ ABC cân A) lập luận AH ⊥ AE ⇒ BC // AE (1) D M N b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) ⇒ AE = BC (2) F Từ ⇒ ABCE hình bình hành O _ I c) Theo c.m.t ⇒ AB // CF ⇒ GO ⊥ AB _ · · · · ⇒ BGO = 90 – ABC = BAH = BAC H C G d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) N.; DF // BC AH B trục đối xứng cuarBC đ/tròn (O) nên F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH 1 BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) ⇒ DF.DN = DA.DC 2 BH · ⇒ 2BH2 = AC2 ⇒ BH = AC ⇒ cos ABC = = AB 4 ⇒ FD = MN = MD = Bài 79: Cho đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường tròn (O) điểm C; D cắt (O’) E; E F a Chứng minh: C; B; F thẳng hàng D b Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp A c Chứng minh: A tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE d Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) O’ · · HD: a) CBA = 900 = FBA (góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn) O · · ⇒ CBA + FBA = 1800 ⇒ C, B, F thẳng hàng · · F ⇒ CDEF nội tiếp (quĩ tích …) b) CDF = 900 = CEF C B · · c) CDEF nội tiếp ⇒ ADE = ECB (cùng chắn cung EF) · · Xét (O) có: ADB = ECB (cùng chắn cung AB) · · · · = ADB Tương tự EA tia phân giác DEB ⇒ ADE ⇒ DA tia phân giác BDE Vậy A tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE · · · · · · d) ODEO’ nội tiếp Thực : DOA = DCA ; EO'A = EFA mà DCA = EFA (góc nội · · · · · · ⇒ tiếp chắn cung DE) ⇒ DOA = EO'A ; mặt khác: DAO = EAO' (đ/đ) ⇒ ODO' = O'EO ODEO’ nội tiếp Nếu DE tiếp xúc với (O) (O’) ODEO’ hình chữ nhật ⇒ AO = AO’ = AB Đảo lại : AO = AO’ = AB kết luận DE tiếp tuyến chung (O) (O’) Kết luận : Điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) : AO = AO’ = AB 52 TuyÓn tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Bi 80: Cho đường tròn (O; R) có đường kính cố định AB ⊥ CD a) Chứng minh: ACBD hình vuông b) Lấy điểm E di chuyển cung nhỏ BC (E ≠ B; E ≠ C) Trên tia đối tia EA lấy · đoạn EM = EB Chứng tỏ: ED tia phân giác AEB ED // MB c) Suy CE đường trung trực BM M di chuyển đường tròn mà ta phải xác định tâm bán kính theo R C HD: a) AB ⊥ CD ; OA = OB = OC = OD = R(O) M ⇒ ACBD hình vng E // · · · · b) AED = AOD = 450 ; DEB = DOB = 450 = 2 · · · ⇒ AED ⇒ = DEB ED tia phân giác AEB A ·AED = 450 ; EMB · = 45 (∆ EMB vuông cân E) · · ⇒ AED = EMB (2 góc đồng vị) ⇒ ED // MB c) ∆ EMB vuông cân E CE ⊥ DE ; ED // BM ⇒ CE ⊥ BM ⇒ CE đường trung trực BM d) Vì CE đường trung trực BM nên CM = CB = R Vậy M chạy đường tròn (C ; R’ = R ) O B D Bài 81: Cho ∆ABC đều, đường cao AH Qua A vẽ đường thẳng phía ngồi tam giác, tạo với cạnh AC góc 400 Đường thẳng cắt cạnh BC kéo dài D Đường tròn tâm O đường kính CD cắt AD E Đường thẳng vng góc với CD O cắt AD M a Chứng minh: AHCE nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b Chứng minh: CA = CM c Đường thẳng HE cắt đường tròn tâm O K, đường thẳng HI cắt đường tròn tâm I N cắt đường thẳng DK P Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp Bài 82: BC dây cung đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm ∆ABC Các đường cao AD; BE; CF đồng quy H a Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC b Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh: AH = 2.A’O c Gọi A1 trung điểm EF Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’ d Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC Suy vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN Bài 83: Cho đường tròn tâm (O; R) có AB đường kính cố định CD đường kính thay đổi Gọi (∆) tiếp tuyến với đường tròn B AD, AC cắt (∆) Q P a Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp b Chứng minh: Trung tuyến AI ∆AQP vng góc vi DC 53 Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 c Tìm tập hợp tâm E đường tròn ngoại tiếp ∆CPD µ < 900), cung tròn BC nằm bên ∆ABC tiếp Bài84: Cho ∆ABC cân (AB = AC; A xúc với AB, AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi Q giao điểm MB, IK a Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp · b Chứng minh: tia đối tia MI phân giác HMK c Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp ⇒ PQ // BC Bài 85: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C trung điểm cung AB; N trung điểm BC Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) M Hạ CI ⊥CAM (I ∈ AM) a Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp đường tròn b Chứng minh: Tứ giác BMCI hình bình hành M = · · c Chứng minh: MOI = CAI N d Chứng minh: MA = 3.MB I = · · HD: a) COA = 900 (…) ; CIA = 900 (…) ⇒ Tứ giác CIOA nội tiếp (quĩ tích cung chứa góc 900) O B A b) MB // CI ( ⊥ BM) (1) · · ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) ¶N1 = ¶N (đ/đ) ; NC = NB ; NCI (slt) = NBM ⇒ CI = BM (2) Từ ⇒ BMCI hình bình hành 1· · · c) ∆ CIM vuông cân ( CIA = 900 ; CMI = COA = 45 ) ⇒ MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC OI chung ; · · · · · · ⇒ MOI IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) ⇒ MOI mà: IOC = IOC = CAI = CAI R AC = (với R = AO) 2 R2 R 10 NC2 R 10 MI AC2 +CN = 2R + =R = = = MN = ; NI = 2 NA 10 d) ∆ ACN vng có : AC = R ; NC = Từ : AN = ⇒ MB = 3R 10 NC − MN = R2 R2 2R R 10 ⇒ AM = AN + MN = R 10 + R 10 = − = = 10 10 10 ⇒ AM = BM µ = 600 nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH cắt đường Bài 85: Cho ∆ABC có A tròn D, đường cao BK cắt AH E · · a Chứng minh: BKH = BCD · b Tính BEC 54 Tun tập 102 ôn thi hh9 vao 10 c Bit cạnh BC cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC Hỏi tâm I đườngtròn nội tiếp ∆ABC chuyển động đường nào? Nêu cách dựng đường (chỉ nêu cách dựng) cách xác định rõ (giới hạn đường đó) d Chứng minh: ∆IOE cân I A · · HD: a) ABHK nội tiếp ⇒ BKH ; = BAH · · · · ( chắn cung BD) ⇒ BCD BCD = BAH = BKH K b) CE cắt AB F ; 0 0 · · AFEK nội tiếp ⇒ FEK = 120 = 180 − ¶A = 180 − 60 = 120 ⇒ BEC F E I ¶B + ¶C 120 · = 1800 − = 1800 − = 1200 c) BIC 2 Vậy I chuyển động cung chứa góc 1200 dựng đoạn BC, cung B H nằm đường tròn tâm (O) C º » IO DS · · D S d) Trong đ/tròn (O) có DAS = sđ ; đ/tròn (S) có ISO = sđ 2 º » IO º = IE · · » = IE º ⇒ IO º ⇒ đpcm DAS = ISO (so le trong) nên: DS = mà DS 2 Bài86: Cho hình vng ABCD, phía hình vng dựng cung phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB nửa đường tròn đường kính AB Lấy điểm P cung AC, vẽ PK ⊥ AD PH ⊥ AB Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB D I PB cắt nửa đườngCtròn M Chứng minh rằng: a I trung điểm AP b Các đường PH, BI AM đồng quy c PM = PK = AH d Tứ giác APMH hình thang cân P K · HD: a) ∆ ABP cân B (AB = PB = R(B)) mà AIB = 900 (góc nội tiếp …) M ⇒ BI ⊥ AP ⇒ BI đường cao đường trung tuyến ⇒ I trung điểm AP I b) HS tự c/m c) ∆ ABP cân B ⇒ AM = PH ; AP chung ⇒ ∆vAHP = ∆v PMA ⇒ AH = PM ; AHPK hình chữ nhật ⇒ AH = KP ⇒ PM = PK = AH d) PMAH nằm đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) B A H » = AH » ⇒ PA // MH ⇒ PM Vậy APMH hình thang cân Bài 87: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M điểm thay đổi Bx; AM cắt (O) N Gọi I trung điểm AN a Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp đường tròn b Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB c Tìm vị trí điểm M tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN H O 55 Tun tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 ã ã A HD: a) BOIM nội tiếp OIM = OBM = 900 · · · · b) INB (2 góc nội tiếp chắn cung BM) = OBM = 900 ; NIB = BOM ⇒ ∆ IBN ~ ∆OMB c) SAIO = B I AO.IH; SAIO lớn ⇔ IH lớn AO = R(O) Khi M chạy tia Bx I chạy nửa đường tròn đ/k AO Do SAIO lớn · Khi IH bán kính, ∆ AIH vng cân, tức HAI = 450 Vây M cách B đoạn BM = AB = 2R(O) SAIO lớn N M Bài 88: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AI đường kính cố định A D điểm di động cung nhỏ AC (D ≠ A D ≠ C) · a Tính cạnh ∆ABC theo R chứng tỏ AI tia phân giác BAC D b Trên tia DB lấy đoạn DE = DC Chứng tỏ ∆CDE DI ⊥ CE c Suy E di động đường tròn mà ta phải xác định tâm giới hạn = d Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D điểm cung nhỏ AC = E O HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp đường tròn (O; R) HS tự c/m : ⇒ AB = AC = BC = R Trong đ/tròn (O; R) có: AB = AC ⇒ Tâm O cách cạnh AB AC C B · ⇒ AO hay AI tia phân giác BAC · · » ) b) Ta có : DE = DC (gt) ⇒ ∆ DEC cân ; BDC = BAC = 600 (cùng chắn BC I º ⇒ BDI » ⇒ IB º = IC · · ⇒ ∆CDE I điểm BC = IDC · ⇒ DI tia phân giác BDC ⇒ ∆CDE có DI tia phân giác nên đường cao ⇒ DI ⊥ CE c) ∆CDE có DI đường cao đường trung trực CE ⇒ IE = IC mà I C cố định ⇒ IC không đổi ⇒ E di động đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC Giới hạn : » (cung nhỏ ) I ∈ AC » nhỏ đ/t (I; R = IC) chứa D → C E → C ; D → A E → B ⇒ E động BC ∆ ABC Bài89: Cho hình vng ABCD cạnh a Trên AD DC, người ta lấy điểm E F cho : a AE = DF = a So sánh ∆ABE ∆DAF Tính cạnh diện tích chúng b Chứng minh AF ⊥ BE c Tính tỉ số diện tích ∆AIE ∆BIA; diện tích ∆AIE ∆BIA diện tích tứ giác IEDF IBCF µ = 450 Vẽ đường cao BD CE Bài90: Cho ∆ABC có góc nhọn; A Gọi H giao điểm BD, CE 56 Tun tËp 102 bµi «n thi hh9 vao 10 a Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn.; b Chứng minh: HD = DC c Tính tỷ số: DE BC d Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh: OA ⊥ DE Bài 91: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường tròn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh: a Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn · · b Khi điểm D di động đường tròn ( BMD + BCD ) không đổi c DB.DC = DN.AC Bài 92: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với đường tròn (O) cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB CD; AD CE Chứng minh: a BC // DE b Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp c Tứ giác BCQP hình gì? Bài 93: Cho đường tròn (O) (O’) cắt A B; tiếp tuyến A đường tròn (O) (O’) cắt đường tròn (O) (O’) theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh: a ∆ABD ~ ∆CBA · · b BQD = APB c Tứ giác APBQ nội tiếp Bài 94: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a Chứng minh: AEMO tứ giác nội tiếp b AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? Tại sao? c Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi K giao điểm MH EB So sánh MK với KH d.Cho AB = 2R gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF Chứng minh: < r < R Bài 95: Từ điểm A ngồi đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD//AC Nối BK cắt AC I a Nêu cách vẽ cát tuyến AKD cho BD//AC b Chứng minh: IC2 = IK.IB · c Cho BAC = 600 Chứng minh: Cát tuyến AKD qua O 57 TuyÓn tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 Bi 96: Cho ∆ABC cân A, góc A nhọn Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN ⊥ AC Gọi M trung điểm BC Hai đ/thẳng AM EN cắt F a Tìm tứ giác nội tiếp đường tròn Giải thích sao? Xác định tâm đường tròn b Chứng minh: EB tia phân giác ∠AEF c Chứng minh: M tâm đường tròn ngoại tiếp VAFN Bài 97: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn Dựng hình vng ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F giao điểm AE nửa đường tròn (O) K giao điểm CF ED a Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm đường tròn b ∆BKC tam giác gì? Vì sao? c Tìm quỹ tích điểm E A di động nửa đường tròn (O) Bài 98: Cho ∆ABC vng C, có BC = AB Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B C) Từ B kẻ đường thẳng d vng góc với AE, gọi giao điểm d với AE, AC kéo dài I, K · a Tính độ lớn góc CIK b Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK c Gọi H giao điểm đường tròn đường kính AK với cạnh AB Chứng minh: H, E, K thẳng hàng d Tìm quỹ tích điểm I E chạy BC Bài 99: Cho ∆ABC vuông A Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F a Chứng minh: CDEF nội tiếp · b Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác CKD cắt EF CD M N Tia phân · giác CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình gì? Tại sao? c Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh: r2 = r12 + r22 Bài 100: Cho đường tròn (O;R) Hai đường kính AB CD vng góc với E điểm cung nhỏ BC; AE cắt CO F, DE cắt AB M a Tam giác CEF EMB tam giác gì? b Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp Tìm tâm đường tròn c Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy 58 TuyÓn tËp 102 ôn thi hh9 vao 10 Bi 101: Cho đường tròn (O; R) Dây BC < 2R cố định A thuộc cung lớn BC (A khác B, C khơng trùng điểm cung) Gọi H hình chiếu A BC; E, F thứ tự hình chiếu B, C đường kính AA’ a Chứng minh: HE ⊥ AC b Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC c Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định Bài 102: Cho ∆ ABC vuông A Kẻ đường cao AH Gọi I, K tương ứng tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABH ∆ ACH 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC M N a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AM = AN c) Chứng minh S’ ≤ S , S, S’ diện tích ∆ ABC ∆ AMN 59 ... BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đờng trung bình hình thang ACDB 12 Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 IO // AC , mµ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB... E M A Q N C B Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 a/ Sư dơng tc gãc néi tiÕp b/ Chng minh tỉng gãc cđa ∆ ECF b»ng vu«ng · · · · c/ MCA (cïng phơ víi gãc MDC) = MDE = NDC = NMC Bài 10 Cho nửa đờng... a) Tứ giác ACOD hình thoi b) 1ã ã CBD = CAD 2) Chứng minh O trực tâm BCD 3) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tổng (MB+MC+MD) đạt giá trị lớn B Tuyển tập 102 ôn thi hh9 vao 10 Bµi 12 Cho ∆