DÃY số cấp số CỘNG – cấp số NHÂN (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng  u1 = a , n∈ N * gọi cấp 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định  u = u + d n  n+1 số cộng; d gọi công sai 2.1 Các tính chất: • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1 + (n − 1)d • Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+ ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk+1 = ( uk + uk+ ) • Tổng n số hạng Sn xác định công thức : n n Sn = u1 + u2 + + un = ( u1 + un ) =  2u1 + ( n − 1) d 2 Cấp số nhân  u1 = a , n∈ N * gọi cấp 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định  un+1 = un q q số cộng; gọi cơng bội 2.2 Các tính chất: • Số hạng thứ n cho công thức: un = u1qn−1 • Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+ ba số hạng liên tiếp cấp số cộng uk2+1 = uk.uk+ • Tổng n số hạng Sn xác định công thức : Sn = u1 + u2 + + un = u1 qn − q− Vấn đề Xác định cấp số xác yếu tố cấp số Phương pháp: • Dãy số (un ) cấp số cộng ⇔ un+1 − un = d không phụ thuộc vào n d cơng sai u • Dãy số (un ) cấp số nhân ⇔ n+1 = q không phụ thuộc vào n q un cơng bội • Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇔ a+ c = 2b • Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇔ ac = b2 • Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu cơng sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 d • Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu công bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết tốn qua u1 q Các ví dụ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 A 1,5,6,8 B 2,4,6,8 C 1,4,6,9 D 1,4,7,8 Lời giải: Giả sử bốn số hạng a− 3x; a− x; a+ x; a+ 3x với công sai d = 2x Khi đó, ta có:  ( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 20  2 2 ( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 120  4a = 20  a= ⇔ ⇔ 4a + 20x = 120  x = ±1 Vậy bốn số cần tìm 2,4,6,8 Chú ý: * Cách gọi số hạng cấp số cộng giúp ta giải toán gọn * Nếu số hạng cấp số cộng lẻ gọi cơng sai d = x , chẵn gọi cơng sai d = 2x viết số hạng cấp số dạng đối xứng  a1 + a2 + + an = p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa:  2 2 thì:  a1 + a2 + + an = s ( ) 12 ns2 − p2 n( n − 1)  1 a1 =  p − d d = ± n  n2 n2 −  ( u2 − u3 + u5 = 10 Ví dụ Cho CSC (un ) thỏa :   u4 + u6 = 26 Xác định công sai và; A d = B d = C d = công thức tổng quát cấp số A un = 3n − B un = 3n − C un = 3n − Tính S = u1 + u4 + u7 + + u2011 A S = 673015 B S = 6734134 Gọi d cơng sai CSC, ta có: C S = 673044 ) D d = D un = 3n − D S = 141 Lời giải: (u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = 10 u1 + 3d = 10 u1 = ⇔ ⇔  (u1 + 3d) + (u1 + 5d) = 26 u1 + 4d = 13 d = Ta có cơng sai d= số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d = 3n − Ta có số hạng u1 ,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC gồm 670 số hạng với 670 công sai d' = 3d , nên ta có: S = ( 2u1 + 669d') = 673015 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word u5 + 3u3 − u2 = −21 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) thỏa:   3u7 − 2u4 = −34 Tính số hạng thứ 100 cấp số ; A u100 = −243 B u100 = −295 C u100 = −231 D u100 = −294 Tính tổng 15 số hạng đầu cấp số ; A S15 = −244 B S15 = −274 C S15 = −253 D S15 = −285 Tính S = u4 + u5 + + u30 A S = −1286 B S = −1276 D S = −1222 C S = −1242 Lời giải: u1 + 4d + 3(u1 + 2d) − (u1 + d) = −21 Từ giả thiết tốn, ta có:   3(u1 + 6d) − 2(u1 + 3d) = −34 u + 3d = −7 u = ⇔ ⇔ u1 + 12d = −34 d = −3 Số hạng thứ 100 cấp số: u100 = u1 + 99d = −295 Tổng 15 số hạng đầu: S15 = 15  2u + 14d = −285 2 27  2u + 26d 2 = 27( u1 + 16d) = −1242 Chú ý: Ta tính S theo cách sau: Ta có: S = u4 + u5 + + u30 = S = S30 − S3 = 15( 2u1 + 29d) − ( 2u + 2d) = −1242 u2 − u3 + u5 = 10 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn   u4 + u6 = 26 Xác định công sai? A.d=3 B d=5 C d=6 D d=4 Tính tổng S = u5 + u7 +…+ u2011 A S = 3028123 B S = 3021233 D S = 3028332 C S = 3028057 Lời giải: u1 + d − (u1 + 2d) + u1 + 4d = 10 u1 + 3d = 10 ⇔ Ta có:  u1 + 3d + u1 + 5d = 26 u1 + 4d = 13 ⇔ u1 = 1,d = 3; u5 = u1 + 4d = 1+ 12 = 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với công sai d = có 1003 số hạng nên 1003 S= ( 2u5 + 1002.6) = 3028057 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) có u1 = tổng 100 số hạng đầu 1 + + + 24850 Tính S = u49u50 u1u2 u2u3 A S = 246 B S = 23 C S = 123 D S = 49 246 Lời giải: d Gọi công sai cấp số cho 497 − 2u1 Ta có: S100 = 50( 2u1 + 99d) = 24850 ⇒ d = =5 99 5 ⇒ 5S = + + + u1u2 u2u3 u49u50 = = = ⇒S= u2 − u1 u3 − u2 u −u + + + 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 − + − + + − + − u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 245 − = − = u1 u50 u1 u1 + 49d 246 49 246 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) có số hạng khác khơng, tìm u1 biết:  u1 + u2 + u3 + u4 = 15  2 2 u1 + u2 + u3 + u4 = 85 A u1 = 1,u1 = B u1 = 1,u1 = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11   82 u1 + u5 =  11 81 81 A u1 = ,u1 = B u1 = ,u1 = 11 11 12 12 C u1 = 1,u1 = C u1 = D u1 = 1,u1 = 81 81 ,u1 = D u1 = ,u1 = 13 13 11 11 Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  q4 − = 15 u1 u1(1+ q+ q2 + q3 ) = 15  q− ⇔ Ta có:  2 u1 1+ q + q + q = 85 u2 q − = 85  q2 −  q =  q4 − 1  q2 − 1 45 (q4 − 1)(q+ 1) 45  ⇒ ⇔ = ⇔ ÷ ÷= q = (q− 1)(q4 + 1) 17  q−   q − 1 17  Từ ta tìm u1 = 1,u1 = ( ) u1 1+ q+ q2 + q3 + q4 = 11 u q(1+ q+ q2 ) = 39   11 ⇔ Ta có:   82 u1(1+ q ) = u (1+ q4 ) = 82  11  11 ( ⇒ ) q4 + 82 = ⇔ q = 3,q = 3 q + q + q 39  u4 = Ví dụ Cho cấp số nhân (un ) thỏa:  27 u3 = 243u8 Viết năm số hạng đầu cấp số; 2 2 2 2 ,u5 = ,u5 = A u1 = 2,u2 = ,u3 = ; u4 = B u1 = 1,u2 = ,u3 = ;u4 = 27 81 27 81 2 2 2 2 ,u5 = ,u5 = C u1 = 2,u2 = ,u3 = ;u4 = D u1 = 2,u2 = ,u3 = ; u4 = 27 64 27 81 Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số; 59048 59123148 1359048 A S10 = B S10 = C S10 = 12383 19683 3319683 Số số hạng thứ cấp số ? 6561 A.41 B.12 C.9 D S10 = D.3 Lời giải: Gọi q cơng bội cấp số Theo giả thiết ta có:    uq = u1q =  q = 27 ⇔ ⇔ 27  u q2 = 243.u q7 q5 = u =   1  243 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 59048 19683 Năm số hạng đầu cấp số là: u1 = 2,u2 = Tổng 10 số hạng đầu cấp số 2 2 ,u3 = ; u4 = ,u5 = 27 81 10  1  3÷ − 10   10  59048 q −1   S10 = u1 = = 31−  ÷  = q−   19683     −1 2 ⇔ 3n−1 = 6561 = 38 ⇒ n = Ta có: un = n−1 ⇒ un = 6561 Vậy số hạng thứ cấp số 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Dãy số (un ) có phải cấp số cộng khơng ? Nếu phải xác định số công sai ? Biết: un = 2n + A d= −2 B d= C d= D d= 2 un = −3n + A d= −2 B d= C d= −3 D d= un = n2 + A d= ∅ un = B d= C d= −3 D d= 1 C d = −3 D d = n A d = ∅ B d= Lời giải: Ta có: un+1 − un = 2(n + 1) + 3− (2n + 3) = số Suy dãy (un ) cấp số cộng với công sai d = Ta có: un+1 − un = −3(n + 1) + 1− (−3n + 1) = −3 số Suy dãy (un ) cấp số cộng với cơng sai d = −3 Ta có: un+1 − un = (n + 1)2 + 1− (n2 + 1) = 2n + phụ thuộc vào n Suy dãy (un ) cấp số cộng 2 −2 − = Ta có: un+1 − un = phụ thuộc vào n n + n n(n + 1) Vậy dãy (un ) cấp số cộng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài Dãy số (un ) có phải cấp số nhân khơng ? Nếu phải xác định số công bội ? Biết: un = 2n A q= B q= C q= D q= ∅ un = 4.3n A q= 3 un = B q= C q= D q= ∅ C q= D q= ∅ n A q= B q= Lời giải: Ta có: un+1 n + = phụ thuộc vào n suy dãy (un ) cấp số un n nhân un+1 4.3n+1 = = không phụ thuộc vào n suy dãy (un ) cấp số Ta có: un 4.3n nhân với cơng bội q= 3 Ta có: un+1 2 n = : = phụ thuộc vào n un n+ n n+ Suy dãy (un ) cấp số nhân Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số cộng hay không? Nếu phải xác định công sai un = 3n + A d = ∅ B d = C d = −3 D d = un = 4− 5n A d= ∅ un = un = B d= C d= −5 D d= 2n + A d= ∅ B d= C d= −3 D d= n+ n A d = ∅ B d = C d = −3 D d = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n 2n A d= ∅ B d= C d= −3 D d= un = n2 + A d = ∅ B d = C d = −3 D d = un = Lời giải: Ta có: un+1 − un = 3(n + 1) + 1− 3n − = Dãy (un ) CSC có cơng sai d = Ta có: un+1 − un = −5 Dãy (un ) CSC có cơng sai d = −5 2 Ta có: un+1 − un = Dãy (un ) CSC có cơng sai d= 5 ⇒ (un ) khơng CSC Ta có: un+1 − un = − n(n + 1) Tương tự ý dãy (un ) không CSC Tương tự ý dãy (un ) không CSC Bài Xét xem dãy số sau có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải xác định công bội un = 2n A q= B q= C q= D q= ∅ 3n−1 A q= B q= C q= D q= ∅ un = 3n − A q= B q= C q= D q= ∅ 2n − un = A q= B q= C q= D q= ∅ un = − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word un = n3 A q= B q= C q= D q= ∅ Lời giải: Ta có: un+1 = ⇒ (un ) CSN với công bội q= un Ta có: un+1 = ⇒ (un ) CSN với cơng bội q= un Ta có: un+1 3n + = ⇒ (un ) CSN un 3n − un+1 2n+1 − = n ⇒ (un ) CSN Ta có: un −1 un+1 (n + 1)3 = ⇒ (un ) khơng phải CSN Ta có: un n3 Bài Tam giác ABC có ba góc A , B,C theo thứ tự lập thành cấp số cộng C = 5A Xác định số đo góc A , B,C  A = 100  A = 150  A = 50  A = 200     0 0 A  B = 120 B  B = 105 C  B = 60 D  B = 60 C = 500 C = 600 C = 250 C = 1000     Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng 3+ tính góc tam giác A 300 ,600 ,900 B 200 ,600 ,1000 C 100 ,500 ,1200 sin A + sin B + sin C = D 400 ,600 ,800 Lời giải: Từ giả thiết tốn ta có hệ phương trình :  A = 200  A + B + C = 1800 C = 5A    ⇔  B = 3A ⇔  B = 600  A + C = 2B C = 5A 9A = 1800 C = 1000    Ba góc tam giác: 300 ,600 ,900 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n Bài Cho dãy số (un ) với u = 32+1 n Tìm cơng bội dãy số (un) A q= B q= 2 Tính tổng S = u2 + u4 + u6 +…+ u20 9 A S = (320 + 1) B S = (320 − 1) 2 C q= C S = (310 − 1) Số 19683 số hạng thứ dãy số A.15 B.16 C.19 D q= D S = (310 − 1) D.17 Lời giải: n+1 +1 un+1 = n = ,∀n∈ N * ⇒ Dãy số cấp số nhân với u1 = 3; q = +1 un 32 Ta có u2 ;u4 ;u6 ;… ;u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2 = 9; q = có 10 số hạng nên 1− 310 310 − 10 S = u2 = = (3 − 1) 1− 2 n +1 n Ta có : un = 19683 ⇔ 32 = 39 ⇔ + 1= ⇔ n = 16 Vậy số 19683 số hạng thứ 16 cấp số Ta có: Bài Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng lại CSN 2 A u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 2 B u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 2 C u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 21;u6 = 54;u7 = 162 2 D u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162 Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng −9 tổng bình phương chúng 29 A 1;2;3 B −4; −3; −2 C −2; −1;0 D −3; −2; −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word i ) a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ⇔ a+ c = 2b ii ) a, b, c theo thứ tự lập thành CSN ⇔ ac = b2 Các ví dụ Ví dụ Chứng minh số: 1, 3,3 thuộc CSC; 2,3,5 thuộc CSN Lời giải: Giả sử 1, 3,3 số hạng thứ m,n, p CSC (un ) Ta có: 3− up − un u1(p − n) p − n p− n 3= = = = vơ lí số vơ tỉ, số hữu n− m − un − um u1(n − m) n − m tỉ Giả sử 2,3,5 ba số hạng thứ m,n, p CSN (vn ) có cơng bội q p− n um = qm−n ; = qp− n , suy  ÷ Ta có: = un  3 ⇒ 2p− n.3m− p.5n− m = vơ lí m− n  5 = ÷  3 = p( p− n)(m−n) Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) là: CSC un = an + b n CSN un = aq Lời giải: Giả sử (un ) CSC công sai d , : un = u1 + (n − 1)d = dn + u1 − d = an + b Giả sử: un = an + b⇒ un+1 − un = a⇒ un+1 = un + a, ∀n Suy (un ) CSC với công sai a Giả sử (un ) CSN với công bội q, đó: un = u1.qn un+1 = q ⇒ un+1 = qu n , ∀n un Suy dãy (un ) CSN với công bội q n , suy Giả sử un = aq Ví dụ Chứng minh : Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = có ba nghiệm lập thành CSC 9ab = 2a3 + 27c Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = có ba nghiệm lập thành CSN c(ca3 − b3 ) = Lời giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSC Suy ra: x1 + x3 = 2x2 (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mặt khác: x3 − ax2 + bx − c = (x − x1)(x − x2 )(x − x3 ) = x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x − x1x2x3 Suy x1 + x2 + x3 = a (2) Từ (1) (2), ta suy 3x2 = a hay x2 = a Dẫn tới phương trình cho có nghiệm x2 = a , tức là:  a  a  a 2a3 ba − a + b − c = ⇔ − + − c = ⇔ 9ab = 2a3 + 27c  3÷  3÷  3÷ 27       Ta có đpcm Giả sử ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSN, suy x1x3 = x22 Theo phân tích trên, ta có: x1x2x3 = c ⇒ x23 = c ⇒ x2 = c Hay phương trình cho có nghiệm x2 = c , tức là: ( c) 3 ( c) −a + b3 c − c = ⇔ b3 c = a3 c2 ⇔ c(ca3 − b3 ) = Bài tốn chứng minh Ví dụ Chứng minh với cách chia tập X = { 1,2,3, ,9} thành hai tập rời ln có tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Lời giải: Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng Giả sử X chia thành hai tập A B đồng thời A B ba số lập thành CSC Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, nằm tập hợp, hai số thuộc A 1,4,7 phải thuộc B, nhiên số 1,4,7 lại lập thành CSC Tương tự cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) ta có hai số 5,7 khơng thể nằm tập Vì cặp (3;5) (5;7) hkoogn thuộc tập nên ta suy (3;7) thuộc A, thuộc B Khi ta xét trường hợp sau • 4∈ A , 3,4∈ A ⇒ 2∉ A ⇒ 2∈ B , 1,4,7 lập thành CSC nên 1∈ B ; 2,5,8 lập thành CSC nên 8∈ A ⇒ 9∈ B Do 1,5,9∈ B lập thành CSC vơ lí • 4∈ B , 4,5∈ B ⇒ 6∈ A mà 6,7∈ A ⇒ 8∈ B 5,8∈ B ⇒ 2∈ A , 2,3∈ A ⇒ 1∈ B , 1,5∈ B ⇒ 9∈ A Do đó: 3,6,9∈ B vơ lí Vậy tốn chứng minh Ví dụ Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: xn+ m − xm − xn < ∀m,n∈ ¥ * m+ n Chứng minh rằng: (xn) cấp số cộng Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đặt an = xn − nx1 , ta có a1 = | am+ n − am − an |< ,∀m,n∈ ¥ Ở ta m+ n chứng minh an = 0,∀n∈ ¥ Thật vậy, ta có: an+1 − an < ,∀n∈ ¥ , nên lim| an+1 − an |= hay lim| an+ k − an |= 0,∀k∈ ¥ n+ 1 an+ k − an − ak |= Mà an+ k − an − ak < nên lim| n n+ k Từ suy ak = 0,∀k∈ ¥ Vậy ta có điều phải chứng minh CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh : a2 + 2bc = c2 + 2ab Cho a, b, c > lập thành cấp sô cộng.Chứng minh : 1 + = a+ b b+ c c+ a Cho (un) cấp số cộng Chứng minh : un = ( un− k + un+ k ) , 1≤ k ≤ n − Lời giải: Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên a+ c = 2b 2 Do : a + 2bc − c − 2ab = ( a− c) ( a+ c) − 2b( a− c) = ( a− c) ( a+ c − 2b) = Suy a2 + 2bc = c2 + 2ab Gọi d công sai cấp số, suy b− a = c − b = d,c − a = 2d Do đó: a+ b + b+ c = b− a c− b c− a + = d d d c− a = = d( c + a) c+ a un− k = u1 + (n − k − 1)d Gọi d công sai cấp số Ta có:  un+ k = u1 + (n + k − 1)d ⇒ un− k + un+ k = 2u1 + ( 2n − 2) d = 2un ⇒ un = un− k + un+ k Bài Cho tam giác ABC Chứng minh tan A B ;tan ; 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C lập thành cấp số cộng ⇔ cos A ;cos B;cosC lập thành cấp số cộng A B C Cho tam giác ABC.Chứng minh cot ;cot ;cot lập thành cấp số 2 cộng ⇔ sin A ;sin B;sin C lập thành cấp số cộng Lời giải: A B C Ta có: tan ;tan ;tan lập thành cấp số cộng 2 A C B sin( + ) sin A C B 2 =2 ⇔ tan + tan = 2tan ⇔ A C B 2 cos cos cos 2 B B A C  A C  ⇔ cos2 = sin cos + ÷+ cos − ÷ 2  2  2  tan 1+ cos B 1− cos B = +  cos A + cosC  2 cos A + cosC ⇔ cos B = ⇔ cos A ,cos B,cosC lập thành CSC A B B C Ta có: cot − cot = cot − cot 2 2 A B B A B C C B cos sin − cos sin cos sin − cos sin 2 2= 2 2 ⇔ A B C B sin sin sin sin 2 2 B− A B+ A C−B C+B ⇔ sin cos = sin cos 2 2 ⇔ sin B − sin A = sin C − sin B ⇔ sin A + sin C = 2sin B ⇔ Bài Cho a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh : 2 ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c ( )( ) a2 + b2 b2 + c2 = ( ab+ bc) ( ab+ bc + ca) = abc( a+ b+ c) ( )( ) n n n n n n 2n 2n 2n * a + b + c a − b + c = a + b + c ; n∈ ¥ Lời giải: Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên ta có b2 = ac Ta có: ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = ( a+ c) − b2 = a2 + 2ac + c2 − b2 = a2 + 2b2 + c2 − b2 = a2 + b2 + c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( )( ) ( )( ) Ta có: a2 + b2 b2 + c2 = a2 + ac ac + c2 = ac( a+ c) = b2 ( a+ c) = ( ab+ bc) b2 = ac ( Ta có: ( ab+ bc + ca) = ab+ bc + b2 ) = b3(a+ b+ c)3 = abc(a+ b+ c)3 Ta có: VT = (an + cn )2 − b2n = a2n + c2n + b2n + 2(ancn − b2n ) = a2n + b2n + c2n Bài Cho (un) cấp số nhân Chứng minh : a1an = ak an− k+1 , k = 1; n Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) Lời giải: Gọi q công bội cấp số Ta có: a1an = a1.a1qn−1 = a12qn−1 ak an− k+1 = a1.qk−1.a1.qn−k = a12.qn−1 Suy : a1an = ak an− k+1 Ta có: Sn ( S3n − S2n ) (S 2n − Sn ) 2n n qn −  q3n − q2n − 1 q (q − 1) = u1 u  − ÷= u q− 1  q− q−  (q− 1)2 2 2n n  q2n − qn − 1 q (q − 1) =  u1 − u1 = u ÷ q− q−  (q− 1)2  Suy Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) Bài Điều cần đủ để ba số khác không a, b, c ba số hạng CSN tồn ba số nguyên khác không p,t,r cho  p + t + r =  p t r  a b c = Cho cấp số cộng (an) với số hạng khác không công sai khác 1 n− + + + = không.Chứng minh rằng: a1a2 a2a3 an−1an a1an http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  1 aa + a a = aa  12 3 Cho bốn số thực a1; a2 ; a3 ; a4 Biết :   + + =  a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 Chứng minh : a1; a2 ; a3 ; a4 lập thành cấp số cộng Cho a, b, c ba số hạng thứ m,n, p cấp số cộng Chứng minh : a.( n − p) + b.( p − m) + c.( m− n) = Chứng minh điều kiện cần đủ để ba số a, b, c ba số hạng  pa+ qb+ rc = CSC tồn ba số nguyên khác không p, q, r thỏa:   p + q+ r = 6.Cho CSC (un ) thỏa Sm = Sn ( m≠ n ) Chứng minh Sm+ n = Chứng minh ba cạnh tam giác lập thành CSN cơng bội  − 1+  ; ÷ CSN nằm khoảng  ÷   Lời giải: • Giải sử a, b, c ba số hạng thứ k + 1; l + 1; m+ cấp số nhân có cơng l−m a b  a bội q, ta có : a = u1.qk ; b = u1.ql ; c = u1.qm ⇒ = qk−l ; = ql −m ⇒  ÷ b c  b l − m m− l − k+1 k−1 ⇒ a b c = Đặt p = l − m;t = m− l − k + 1;r = k − Khi ta có ba số p,t,r thỏa mãn yêu cầu toán p k− l  b = ÷  c r  p + t + r =  a  b • Giả sử ta có  p t r ⇒ ap.cr = bp+r ⇒  ÷ =  ÷ (*)  a b c =  b  c  Do p + t + r = nên tồn số dương số âm b r kết hợp với (*) ta có Giải sử r > 0,t < Đặt = qr ⇒ b = aq a p r  a   aq r = r+ p  r÷  ÷ ⇒ c = aq   c   aq Vậy ba số a, b, c ba số hạng cấp số nhân với a số hạng đầu,b số hạng thứ r + 1;c số hạng thứ r + p + Ta có Suy = akak+1 1 1   − ÷ d  ak ak+1  1 1 1  n − + + + =  − ÷= a1a2 a2a3 an−1an d  a1 an  a1an http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có 1 + = ⇔ a3 + a1 = 2a2 ⇒ a1 − a2 = a2 − a3 = d a1a2 a2a3 a1a3 1 3 + + = ⇔ + = a1a2 a2a3 a3a4 a1a4 a1a3 a3a4 a1a4 ⇔ 2a4 + a1 = 3a3 ⇔ 2a4 = 3(a1 + 2d) − a1 ⇒ a4 = a1 + 3d Ta có: b = a+ (n − m)d; c = a+ (p − m)d Suy VT = a(n − p) +  a+ (n − m)d (p − m) +  a+ (p − m)d (m− n) = d(n − m)(p − m) + (p − m)(m− n) = • Giả sử a, b, c ba số hạng thứ m+ 1, n + 1, k + CSC (un )  a− b  a = u1 + md d = m− n ⇒ Ta có:  b = u1 + nd u = a− m(a− b) = mb− an  m− n m− n Mặt khác: c = u1 + kd ⇒ (m− n)c = mb− na+ k(a− b) ⇒ (k − n)a+ (m− k)b+ (n − m)c =  pa+ qb+ rc = Đặt p = k − n,q = m− k,r = n − m⇒   p + q+ r = • Giả sử tồn ba số nguyên khác không p, q,r cho  pa+ qb+ rc =   p + q+ r = Khơng tính tổng qt ta giả sử a ≥ b≥ c p,q,r > Ta có: p = −q− r nên (−q− r )a+ qb+ rc = ⇔ (a− b)p = (c − a)r a− b ⇒ a = b+ rd,c = a+ pd = b+ (p + r )d r Vậy b, a, c ba số hạng u1 ,ur ,up+r CSC a, b, c Đặt d = Ta có Sm = Sn ⇔ 2u1(m− n) + (m2 − n2 )d− (m− n)d = ⇔ 2u1 + (m+ n − 1)d = n+ m  2u + (m+ n − 1)d =  Giả sử ba cạnh tam giác theo thứ tự lập thành CSN với công bội q  a+ aq > aq2 q2 − q− 1< ⇔ Ta có:   aq + aq > a q + q− 1> Suy Sm+n = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   1− 1+  ; q∈  ÷ ÷  − + 1    ⇔ ⇔ q∈  ; ÷  2 ÷  −1−   −1+     ∪ ; +∞ ÷ q∈  −∞; ÷ ÷  ÷      Bài Chứng minh ba số a, b, c > số hạng liên tiếp cấp số cộng số a2 + ab+ b2 ; c2 + ca+ a2 ; b2 + bc + c2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Cho (un ) cấp số nhân Kí hiệu S = u1 + u2 + + un ; 1 T = + + + ; P = u1u2 un Hãy tính P theo S,T n u1 u2 un Lời giải: Ta có: a + ab+ b + b + bc + c = 2(a + ca+ c2 ) 2 2 2 ⇔ 2b2 + ab+ bc = a2 + 2ac + c2 ⇔ b(a+ b+ c) + b − (a+ c) = ⇔ b(a+ b+ c) + (a+ b+ c)(b− a− c) = ⇔ 2b− a− c = ⇔ 2b = a+ c n  1  ÷ −1 n q q − 1 qn − Ta có: S = u1 ;T=   = q− u1 u1 qn−1(q− 1) −1 q n 1+ 2+ + n−1 P=u q n(n−1) =u q n n  S Suy ra: P =  ÷ T  Bài Cho hai số tự nhiên n, k thỏa k + ≤ n Chứng minh tồn không hai giá trị k cho Cnk , Cnk+1 Cnk+ ba số hạng liên tiếp CSC Chứng minh không tồn k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ Cnk+ bốn số hạng liên tiếp CSC Lời giải: k k+ k+ 1 Ta có: Cn + Cn = 2Cn n! n! n! + =2 k!(n − k)! (k + 2)!(n − k − 2)! (k + 1)!(n − k − 1)! ⇔ (k + 1)(k + 2) + (n − k)(n − k − 1) = 2(k + 2)(n − k) Đây phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều hai nghiệm ⇔ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giả sử tồn k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ Cnk+ bốn số hạng liên tiếp CSC Do Cnk = Cnn− k nên suy ra: Cnn− k ,Cnn− k−1 ,Cnn− k−2 ,Cnn− k−3 tạo thành bốn số hạng liên tiếp CSC Vậy ta có sau ba số hạng liên tiếp CSC: Cnk ,Cnk+1 ,Cnk+ Cnk , Cnk+1 , Cnk+ , Cnk+ Cnn− k−3 ,Cnn− k− ,Cnn−k−1 Cnn− k−2 ,Cnn− k−1 ,Cnn−k Ta chứng minh tập { k, k + 1,n − k − 3,n − k − 2} chứa không hai số khác Thật vậy, giả sử k, k + 1, n − k − ba số khác Khi đó, tồn ba CSC: Cnk ,Cnk+1 ,Cnk+ Cnk+1 , Cnk+ , Cnk+ Cnn− k−3 ,Cnn−k− ,Cnn− k−1 Điều trái với kết câu 1) Do k, k+ k − k − 3,n − k − số tự nhiên liên tiếp nên ta có: k = n − k − ⇒ Cnk+1 = Cnn− k− = Cnk+  k + 1= n − k − Suy Cnk = Cnk+1 = Cnk+ (1) Xét phương trình : Cnk = Cnk+1 (2) n! n! n− = ⇔ k + 1= n − k ⇒ k = k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)! Suy phương trình (2) có khơng q nghiệm k, điều dẫn tới (1) mâu thuẫn Vậy không tồn k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ Cnk+ bốn số hạng liên tiếp CSC ⇔ Bài uk+1 u1 + un+1 n + n+1 2k n+1 ∑ Cho (un ) CSC Chứng minh rằng: ∑ k = 2 k=1 k k= Cn n Cho k số nguyên dương cho trước Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1+ k , ss2 + k , ss3 + k , cấp số cộng Chứng minh s1 , s2 , s3 , cấp số cộng Lời giải: u1 + un+1 = uk+1 + un− k+1 , ∀k = 0,1,2, , n Ta có  k n− k Cn = Cn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word n uk+1 n  uk+1 un− k+1  n uk+1 + un− k+1 = + = = ( u + u )  k ∑ ∑ ∑ n + k n− k ÷ k k Cn ÷ Cn k= Cn k=  Cn k= Cn  k=0 n Nên 2∑ Do đó, để chứng minh đẳng thức cho ta cần chứng minh n n + n+1 2k = n+1 ∑ (1) ∑ k k=1 k k= Cn Ta chứng minh (1) quy nạp 1 • Với n = ta có: VT (1) = + = VP(1) = ( 2+ 2) = C1 C1 Nên (1) với n = n n+1 n + n+1 2k n + n+ 2k • Giả sử ∑ k = n+1 ∑ , ta chứng minh ∑ k = n+ ∑ (2) k=1 k k=1 k k= Cn k= Cn+1 k+1 Mà Cn+1 = n+1 k= k n+1 ∑C Thật vậy: = n n 1 + = + ∑ ∑ k+1 k+1 Cn+1 k= Cn+1 k= Cn+1 (n + 1)! n+ k = C (k + 1)!(n − k)! k + n n  1 n k+ 1 k + n − k + 1 = = Suy ∑ k+1  k + ÷ ∑ ∑ k n + k= Cn 2(n + 1) k=0  Cn Cnn−k ÷ k= Cn+1  n = n+ n n + n + n+1 2k n + n+1 2k = ∑ ∑ = ∑ 2(n + 1) k= Cnk 2(n + 1) 2n+1 k=1 k 2n+ k=1 k n + n+1 2k n + n+ 2k = + ∑ ∑ = ∑ dẫn tới (2) chứng minh k 2n+ k=1 k 2n+ k=1 k k= Cn+1 Gọi p q công sai cấp số cộng ss1 , ss2 , ss3 , n+1 Suy ss1+ k , ss2 + k , ss3 + k , Đặt a = ss1 − p b = ss1+ k − q Theo cơng thức tính số hạng tổng quát cấp số cộng với số nguyên dương n ta có: ssn = ss1 + (n − 1)p = a+ np, ssn + k = ss1+ k + (n − 1)q = b+ nq Từ dãy s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt, nên với số nguyên dương n với ý sn + k ≤ sn+ k ta có ssn + k − 1< ssn + k ≤ ssn+k , từ ta thu a+ np + k − 1< b+ nq ≤ a+ (n + 1)p, điều tương đương với < k − 1+ b− a+ n(q− p) ≤ kp, p ≠ q ta thấy bất đẳng thức mâu thuẫn cho n cằng lớn Nên suy p = q ≤ k − 1+ b− a ≤ kp (1) Đặt m= min{ sn+1 − sn : n = 1,2, } Khi b− a = (ss1+ k − q) − (ss1 − p) = ss1+ k − ss1 ≥ km (2) kp = a+ (s1 + k)p − (a+ s1p) = sss + k − sss = sb+ p − sa+ q ≥ m(b− a) 1 (3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta xét hai trường hợp: • b− a = kp Khi đó, với số nguyên dương n , ssn + k = b+ np = a+ (n + k)p = ssn+k , từ kết hợp với dãy s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt ta có sn+ k = sn + k Mặt khác sn < sn+1 < < sn+ k = sn + k nên sn+1 = sn + s1 , s2 , s3 , cấp số cộng với cơng sai • b− a < kp Chọn số nguyên dương N cho sN +1 − sN = m Khi m(a− b+ p − k) = m((a+ (N + 1)p) − (b+ Np + k)) ≤ sa+(N +1)p − sb+ Np+ k = sss N +1 − sss N +k +k = (a+ sN +1p) − (b+ (sN + k)p) = (sN +1 − sN )p + a− b− kp = mp + a− b− kp, vậy: (b− a− km) + (kp − m(b− a)) ≤ (4) Từ bất đẳng thức (2), (3) (4) ta thu đẳng thức sau: b− a = km kp = m(b− a) Giả sử tồn số nguyên dương n cho sn+1 > sn + m Khi m(m+ 1) ≤ m(sn+1 − sn ) ≤ ssn+1 − ssn = (a+ (n + 1)p) − (a+ np) m(b− a) = m2 , vơ lý k Vì điều giả sử sai nên sn+1 = sn + m với n∈ ¥ hay dãy s1 , s2 , s3 , cấp số cộng có cơng sai m = p= Vấn đề Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số Phương pháp: • a, b, c theo thứ tự lập thành CSC ⇔ a+ c = 2b • a, b, c theo thứ tự lập thành CSN ⇔ ac = b2 Các ví dụ Ví dụ Tìm x biết : x2 + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng ; A x = 4, x = B x = 2, x = C x = 2, x = D x = 2, x = 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân A x = ±1 B x = ± C x = ±2 D x = ± Lời giải: Ta có: x + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng ⇔ x2 + 1+ 1− 3x = 2(x − 2) ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x = 2; x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy x = 2, x = giá trị cần tìm Ta có: 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân ⇔ x4 = 6− x2 ⇔ x = ± Ví dụ Cho số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; số 2 ( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành cấp số nhân.Tính x, y  4  3  A (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷  3   10   11   3  C (x; y) = ( 1;0) ; ; ÷; − ; − ÷  3   10   10   3  B (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷  3   10   10   13 13  D (x; y) = ( 0;1) ; ; ÷;  − ; − ÷  3   10  Lời giải: Ta có số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành CSC nên suy 2( 2x + 3y) = 5x − y + x + 2y hay 2x = 5y (1) Các số ( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành CSN suy ( xy + 1) = ( y + 1) 2 ( x − 1) ⇔ ( + 2y − 2x) ( 4xy + 2x − 2y) = (2) ( ) Thay (1) vào (2) ta : ( + 2y − 5y) 10y + 5y − 2y = ,y = − 10  10   3  Vậy (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷  3   10  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Tìm x để số sau lập thành cấp số cộng 1; x; x3 π  1;sin  − x÷;4sin x 6  ⇔ y ( − 3y) ( 10y + 3) = ⇔ y = 0, y = Bài Tìm x, y biết: Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng số ( y − 1) , xy − 1,( x + 1) lập thành cấp số nhân  3  3 ÷ A (x; y) =  − 3; ÷; 3; 2  ÷    3  3 ; 3; ÷ ÷ C (x; y) =  3; ÷ ÷ 2      3  3 ; − 3; − ÷ ÷ B (x; y) =  3; −  ÷ ÷     3  3 ;  3; ÷ ÷ D (x; y) =  − 3; − ÷ ÷ 2     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các số x + 6y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng số x + y, y − 1,2x − 3y lập thành cấp số nhân  1  1 A (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷ B (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷  8  8  1 C (x; y) = ( 3;1) ; ; ÷  8  12  D (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷  8 Lời giải:  x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y) Ta có hệ:  giải hệ ta tìm 2 (x + 1) (y − 1) = (xy − 1)  3  3 (x; y) =  − 3; − ;  3; ÷ ÷   ÷ ÷      x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)  Ta có hệ:  giải hệ ta tìm (x + y)(2x − 3y) = (y − 1)  1 (x; y) = ( −3; −1) ; ; ÷  8 Bài Xác định a, b để phương trình x3 + ax + b = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A b = 0, a < B b = 0, a = C b = 0, a > D b > 0, a < Lời giải: Đáp số: b = 0, a < Khi phương trình có ba nghiệm lập thành CSC x = 0, x = ± −a Bài Tìm m để phương trình: mx − 2( m− 1) x + m− 1= có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m= − 16 B m= −1 x3 − 3mx2 + 4mx + m− =  m= −  A B 27  m =  C m= − 16 D m= − 12 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân  10  10  m = −1 m= −  m=  C  D 27   m=  m = m =   Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 16 Giả sử phương trình có ba nghiệm a, b, c lập thành CSN  abc = − m ⇒ m= − b3 thay vào phương trình ta có Suy  b = ac   10 b = ⇒ m= −  (3b− 4)(b − 2) = ⇔ 27   b = ⇒ m= Thay ngược lại ta thấy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán Đáp số : m= − Bài Xác định m để: Phương trình x3 − 3x2 − 9x + m= có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A m= 16 B m= 11 C m= 13 D m= 12 2 Phương trình x − 2( m+ 1) x + 2m+ = (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 4 A m= m= − B m= m= − 9 C m= m= −2 D m= m= −1 3 Phương trình x + 2x + ( m+ 1) x + 2( m+ 1) = có ba nghiệm lập thành cấp số nhân A m= −1, m= −3, m= −4 B m= −1, m= 13, m= −4 C m= 1, m= 3, m= D m= −1, m= 3, m= −4 Lời giải: Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Khi đó: x1 + x3 = 2x2 , x1 + x2 + x3 = ⇒ x2 = Thay vào phương trình ta có : m= 11 Với m= 11 ta có phương trình : x3 − 3x2 − 9x + 11= ⇔ ( x − 1) x2 − 2x − 11 = ⇔ x1 = 1− 12, x2 = 1, x3 = 1+ 12 ( ) Ba nghiệm lập thành CSC Vậy m= 11 giá trị cần tìm Đặt t = x2 ,t ≥ Phương trình trở thành: t − 2( m+ 1) t + 2m+ = (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t2 > t1 > http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ∆ ' > ( m+ 1) − ( 2m+ 1) >   ⇔ P > ⇔ 2m+ > ⇔ − < m≠ S>  2( m+ 1) >   Khi PT(2) có bốn nghiệm là: − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng :  − t + t = −2 t 1 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1   − t1 + t2 = t1 t1 + t2 = 2( m+ 1) Theo định lý viet :   t1t2 = 2m+  m= t1 + 9t1 = 2( m+ 1) ⇒ ⇒ 9m − 32m− 16 = ⇔   m= −  t19t1 = 2m+  Vậy m= m= − giá trị cần tìm Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành CSN,khi :  x1x3 = x22  m+ x1 + x2 + x3 = −2 ⇒ x2 = −   x x + x x + x x = m+ 1 2 3  thay vào phương trình ta có : m= −1, m= 3, m= −4 Bằng cách thay giá trị m vào phương trình ta thấy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... a, b, c > số hạng liên tiếp cấp số cộng số a2 + ab+ b2 ; c2 + ca+ a2 ; b2 + bc + c2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Cho (un ) cấp số nhân Kí hiệu S = u1 + u2 + + un ; 1 T = + + + ; P = u1u2... giải: Ta có: a + ab+ b + b + bc + c = 2(a + ca+ c2 ) 2 2 2 ⇔ 2b2 + ab+ bc = a2 + 2ac + c2 ⇔ b(a+ b+ c) + b − (a+ c) = ⇔ b(a+ b+ c) + (a+ b+ c)(b− a− c) = ⇔ 2b− a− c = ⇔ 2b = a+ c n  1  ÷... = n+ ∑ (2) k=1 k k=1 k k= Cn k= Cn+1 k+1 Mà Cn+1 = n+1 k= k n+1 ∑C Thật vậy: = n n 1 + = + ∑ ∑ k+1 k+1 Cn+1 k= Cn+1 k= Cn+1 (n + 1)! n+ k = C (k + 1)!(n − k)! k + n n  1 n k+ 1 k + n − k + 1