Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHỦ ĐỀ: CỰCTRỊ TRONG KHƠNGGIAN Để tìm cựctrịkhônggian thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Bài toán 1: Trong khônggian Oxyz, cho điểm A (xA ; yA ; zA ), B (xB ; yB ; zB ) mặt phẳng (P ) : ax by cz d Tìm điểm M �(P ) cho MA MB nhỏ MA MB lớn với d( A, (P )) �d(B, (P )) Phương pháp: �Xét vị trí tương đối điểm A, B so với mặt phẳng (P ) �Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) hai điểm A, B phía với mặt phẳng (P ) �Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P ) MA MB nhỏ �Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía so với mặt phẳng (P ) Vì A, B khác phía so với mặt phẳng (P ) nên MA MB nhỏ AB M (P ) � AB �Trường hợp 2: Hai điểm A, B phía so với mặt phẳng (P ) Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P ), A ' B khác phía (P ) MA MA �nên MA MB MA� MB �A � B B �(P ) Vậy MA MB nhỏ A � B M A� MA MB lớn �Trường hợp 1: Hai điểm A, B phía so với mặt phẳng (P ) 184 Vì A, B phía so với mặt phẳng (P ) nên MA MB lớn AB M (P ) � AB �Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía so với mặt phẳng (P ) Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P ) , A ' B phía (P ) MB �A� B MA MA�nên MA MB MA� B �(P ) Vậy MA MB lớn A � B M A� Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P ) biết (P ) qua đường thẳng khoảng cách từ A � đến (P ) lớn (P ) qua tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ (P ) qua tạo với đường thẳng d góc lớn Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số Giả sử đường thẳng : x x1 a y y1 b z z1 c A (x0; y0; z0) Khi phương trình (P ) có dạng: A(x x1) B( y y1) C (z z1) Trong Aa Bb Cc � A Khi d( A,(P )) A (x0 x1) B ( y0 y1) C (z0 z1) Thay (1) vào (2) đặt t Trong f (t) bB cC ( a �0 ) (1) a A2 B2 C B , ta đươc d( A,(P )) C mt2 nt p m ' t2 n ' t p ' (2) f (t) , khảo sát hàm f (t) ta tìm max f (t) Từ suy biểu diễn A, B qua C cho C giá trị ta tìm A, B làm tương tự Cách 2: Dùng hình học 185 Gọi K , H hình chiếu A lên (P ) , ta có: d(A, (P )) AH �AK , mà AK không đổi Do d( A, (P )) lớn H K uuuur Hay (P ) mặt phẳng qua K , nhận AK làm VTPT � Nếu (Q) � (P ), (Q) 900 nên ta xét (Q) khơng vng góc với �Gọi B điểm thuộc , dựng đường thẳng qua B vng góc với (Q) Lấy điểm C cố định đường thẳng Hạ � CH (P ), CK d Góc mặt phẳng (P ) mặt phẳng (Q) BCH � Ta có sin BCH Mà BH BK � BC BC BK � không đổi, nên BCH nhỏ H �K BC �Mặt phẳng (P ) cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng uuu r uur uur uuu r �là VTPT (P ) u , � u , nQ � (BCK ) Suy nP � � � � � Gọi M điểm thuộc , dựng đường thẳng d ' qua M song song với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH (P ), AK d Góc mặt phẳng (P ) đường thẳng d ' HM KM � � � AMH Ta có cos AMH AM AM Mà KM không đổi, nên � AMH lớn H �K AM �Mặt phẳng (P ) cần tìm mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng uuu r uur uur uuur � VTPT (P ) u , � u ,u � (d ', Suy nP � � � d ' � � Ví dụ Trong khônggian với hệ toạ độ đề vng góc Oxyz cho x1 y z A (2;5;3) đường thẳng d : Tìm tọa độ hình chiếu 2 vng góc A lên d viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến (P ) lớn Lời giải 186 uur �Đường thẳng d có ud (2;1;2) VTCP Gọi H hình chiếu A lên d � H (1 2t; t;2 2t) uuuur � AH (2t 1; t 5;2t 1) Do uuuur uur AH d � AH ud � 2(2t 1) t 2(2t 1) � t � H (3;1;4) �Gọi H ' hình chiếu A lên mp(P ) Khi đó, ta có: AH ' �AH � d( A, (P )) lớn �H H' uuuur Suy AH (1; 4;1) VTPT (P ) (P ) qua H (P ) AH Vậy phương trình (P ) : x y z Ví dụ 2.8 Trong khơnggian với hệ toạ độ đề vng góc Oxyz cho bốn điểm A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;0 , D 0;0; m với m �0 tham số Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD m ; Gọi H hình chiếu vng góc O BD Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn Lời giải uuur uuur Ta có: AB (0;1;0), CD (0; 1; m) uuur uuuu r Với m ta có: CD (0; 1;2) AC (1;1;0) uuur uuur uuur uuur uuuu r AB, CD � (2;0;0) � � AB, CD �.AC 2 Do � � � � � uuur uuur uuuu r � AB, CD �.AC uuur uuur � � Vậy d( AB, CD) uuur uuur � AB, CD � � � Đặt x OH � BH OB OH x2 1 1 x x2 x (2 x2) � (x2 x2) 2 Đẳng thức xảy � x � OH � d(O, BD) uuur uuur uuur uuur BD, OB � ( m; m;0) Ta có: BD (1; 1; m), OB (1;1;0) � � � � Suy SOBH 187 uuur uuur � BD, OB � � � Do d(O, BD) uuur BD m 2 m2 � 2m2 m2 � m �2 Vậy m � giá trị cần tìm Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9;4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho: M trực tâm tam giác ABC ; Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) lớn nhất; OA OB OC ; 8OA 12OB 16 37OC xA 0, zC Ví dụ 3.8 Lời giải Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ A (a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c �0 x y z a b c Mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9;4) nên (1) uuuur uuur uuuur a b c uuur Ta có: AM (1 a;9;4), BC (0; b; c), BM (1;9 b;4), CA(a;0; c) Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng �M �( ) � �uuuur uuur Điểm M trực tâm tam giác ABC �AM BC �uuuur uuur �BM CA �1 � 1 a b c � 98 49 � �� 9b 4c � a 98; b ;c �a 4c � � Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm x 9y 4z 98 Cách 1: Ta có: d(O, ( )) 1 a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 188 Bài tốn trở thành, tìm giá trị nhỏ T a2 b2 c2 với số thực a, b, c �0 thỏa mãn (1) a b c Ap dụng bđt Bunhiacopski ta có: �1 � 1 1� 1� � �(12 92 42) � � � b c� � a �a2 b2 c2 � Nên suy T � Dấu đẳng thức xảy 98 � 1 1: 9: : � � a b c � a 9b 4c 98 � � 1 �a b c Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm x 9y 4z 98 Cách 2: Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ( ) Vì mặt phẳng ( ) ln qua điểm cố định M nên d(O, ( )) OH �OM 98 Dấu đẳng thức xảy H �M , ( ) mặt phẳng qua M có uuuur véc tơ pháp tuyến OM(1;9;4) nên phương trình ( ) 1.(x 1) 9( y 9) 4.(z 4) � x 9y 4z 98 Vì OA OB OC nên a b c , xảy bốn trường hợp sau: �Trường hợp 1: a b c Từ (1) suy � a 14, nên phương trình ( ) là: a a x y z 14 a �Trường hợp 2: a b c Từ (1) suy phương trình ( ) x y z �Trường hợp 3: a b c Từ (1) suy phương trình ( ) x y z �Trường hợp 4: a b c Từ (1) có � a 6, nên a a a � a 4, nên a a a � a 12, nên a a a phương trình ( ) x y z 12 Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn x y z 14 0, mặt phẳng 189 x y z 0, x y z 0, x y z 12 Vì xA 0, zC nên a 0, c 0, 8OA 12OB 16 37OC � 8a 12 b 16 37c 2a a, b , a nên từ (1) ta có 37 � a5 27 37 � a2 2a 35 � � a 2a 2a a 7 � �Nếu b � c 40 , phương trình mặt phẳng cần tìm 37 ( ) : 8x 20y 37z 40 Vì a nên a � b 2; c �Nếu b � c 2a a, b , a nên từ (1) ta có 37 27 37 29 �3 109 � a2 29a 35 � a a 2a 2a a Vì nên khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 8x 20y 37z 40 Cho mặt cầu (S) : (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 25 mặt phẳng ( ) có phương trình 2x 2y z Chứng minh mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tâm tìm bán kính đường tròn đó; Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (1; 1;2), B(3;5; 2) (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ Ví dụ 4.8 Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1;1;1) , bán kính R Ta có d(I , ( )) 2 2 1 2 2 1 R , suy ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r R d2 (I , ( )) H hình chiếu I lên mặt phẳng ( ) , suy phương trình HI là: �x 2t � �y 2t �z t � 190 �x 2t � �y 2t � Tọa độ điểm I nghiệm hệ � �z t � 2x 2y z � � 5 1� Vậy tâm H � ; ; � � 3 3� � x y � � � �z � �x t uuur � Ta có AB 2;6; 4 nên phương trình đường thẳng AB : �y 1 3t �y 2t � Vì I A R nên mặt phẳng (P ) qua AB cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r 25 d2 (I , (P )) Do r nhỏ � d(I , (P )) lớn Gọi K , H hình chiếu I lên AB (P ) , ta ln có I H �I K nên suy d(I , (P )) lớn H K uuur Do H �AB � H (1 t; 1 3t;2 2t) � I H (t;3t 2;1 2t) uuur uuur Vì I H AB � I H AB � t 3(3t 2) 2(1 2t) � t uuur �4 � � IH � ; ; � �7 7 � Vậy phương trình ( ) : 4x 2y z Trong khônggian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P ) : 2x y 2z 14 mặt cầu x2 y2 z2 2x y 2z Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính ; Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Ví dụ 5.8 Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 1) bán kính R �y � phương trình (Q): ay bz=0 �z 1.Trục Ox có phương trình: � Mặt cầu (S) cắt (Q) theo đường tròn có bán kính r R � I �(Q) � a 2b , chọn b � a 191 Vậy phương trình mp(Q): 2x y Gọi đường thẳng qua I vng góc với mp(P) Suy phương trình : x1 y z 1 cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B Khi d( A, (P )) d(B, (P )) � d(M , (P )) lớn M A Tọa độ giao điểm mặt cầu (S) nghiệm hệ: �x2 y2 z2 2x y 2z � �x y z � �2 1 Giải hệ ta hai giao điểm A (1; 1; 3), B (3; 3;1) Ta có: d( A, (P )) d(B,(P )) Vậy d(M ,(P )) lớn � M (1; 1; 3) Ví dụ 6.8 Trong khơnggian Oxyz cho mặt phẳng (P ) : 2x y 2z hai điểm A (5; 2;6), B(3; 2;1) Tìm điểm M thuộc (P ) cho: MA MB nhỏ MA MB lớn Lời giải uuu r Mặt phẳng (P ) có nP (2; 1;2) VTPT Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình (P ) ta 18 nên hai điểm A, B nằm phía so với (P ) Gọi A ' điểm đối xứng với A qua (P ) , A ' B khác phía so với (P ) với điểm M �(P ) , ta có MA MA ' Do M �(P ) : MA MB A ' M MB �A ' B , mà A ' B không đổi đẳng thức xảy M A ' B �(P ) , suy MA MB nhỏ � M A ' B �(P ) �x 2t � Ta có: AA ' (P ) � AA ' : �y 2 t �z 2t � Tọa độ giao điểm H AA ' (P ) nghiệm hệ: 192 �x 2t �x � � �y 2 t � �y � H (1; 1;2) � �z 2t � �z � x y z � �xA ' 2xH xA 3 � H trung điểm AA ' � �yA ' 2yH yA � A '(3;2; 2) � �zA ' 2zH zA 2 �x 3 6t uuuuur � Suy A ' B (6; 4;3) , phương trình A ' B : �y 4t , t �� �z 2 3t � � 21 �x �x 3 6t � 11 � y t 14 � � � �y Tọa độ M nghiệm hệ � 11 �z 2 3t � � � 2x y 2z � �z 11 � �21 �11 Vậy M � ; 14 � ; �là điểm cần tìm 1111 � Vì A, B nằm phía so với (P ) nên với M �(P ) ta ln có AM MB �AB , đẳng thức xảy M AB �(P ) �x 2t � Phương trình AB : �y 2 �z 5t � � 17 �x 2t �x � � � 17 3� y � � M : � y Vậy M � ; 2; � Tọa độ � � 7� �7 �z 5t � � 2x y 2z �z � � 193 Ví dụ 8.8 Trong khơnggian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : x y z điểm A (1;2;3) Lập phương trình đường thẳng nằm ( ) qua M (1;1;1) khoảng cách từ A đến lớn nhất, nhỏ nhất; x y z qua M khoảng cách d : lớn 1 Lời giải ur Mặt phẳng ( ) có n (1;1;1) VTPT u r Gọi u (a; b; c) VTCP , �(P ) � a b c � c a b (1) uuuur u r uuuur u, AM � c 2b;2a; a Ta có: AM 0; 1; 2 � � � � u r uuuur � u, AM � � � Do đó: d( A, ) u r u (c 2b)2 5a2 a2 b2 c2 (b a)2 5a2 a2 b2 (a b)2 b2 2ab 6a2 b2 2ab b2 Nếu a � d( A, ) Xét hàm số f (t) , với a �0 đặt t t2 2t t2 t b , t �� a , khảo sát hàm số f (t) ta tìm 2 max f (t) ff( ) 10, (t) f (4) 3 198 �Khoảng cách từ A đến lớn t b � , chọn a b 2 � a 3, c 1 , suy phương trình đường thẳng : x y z : 2 1 �Khoảng cách từ A đến nhỏ t � b , chọn a b � a 1, c 5 , suy phương trình đường thẳng : x y z : 5 uur Đường thẳng d qua N (2;0;0) có u1 (1;2; 1) VTCP uuuur u r uur u r uur uuuur MN 1; 1; 1 , � u, u1 � (2a b; b;2a b) � � u, u1 �.MN 3b � � � � Do u r uur uuuur � u, u1 �.MN � � d(, d) u r uur � u, u1 � � � 3b (2a b)2 b2 (2a b)2 3 b2 4a2 3b2 � u r Đẳng thức xảy a � c b � u b(0;1; 1) �x � Vậy phương trình : �y t �z t � Ví dụ 9.8 Lập phương trình đường thẳng d qua A (0; 1; 2) cắt x1 y z2 cho: 1 Khoảng cách từ B (2; 1;1) đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ nhất; x y z lớn Khoảng cách d : 2 Lời giải Giả sử d cắt d ' điểm M M (1 2t; t; t), t �� uuuur AM (2t 1; t 1; t) VTCP đường thẳng d uuur uuuur uuur AB, AM � (1 t; 1; 2t) Ta có AB (2; 2; 1) nên � � � : đường thẳng d� Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d 199 uuur uuuur � AB, AM � � � d(B, d) uuuur AM Ta có f (t) 5t2 18t 18 6t 2t 5t2 18t 18 6t2 2t (t) nên f � 98t(t 2) (6t2 2t 2)2 f (t) Từ ta tìm max f (t) ff(0) 18, (t) f (2) 11 Do đó: �min d(B, d) uuuur 11 đạt t � AM (3; 3; 2) nên phương x y1 z 3 2 uuuur �max d(B, d) đạt t � AM (1;1; 1) nên phương trình đường thẳng cần tìm d : x y1 z 1 1 uur qua N (5; 0; 0) có véc tơ phương u (2; 2; 1) uur uuuur uuuur � � u , AM ( t 1; t 1; t ), AN (5; 1; 2) Ta có � � trình đường thẳng cần tìm d : Khoảng cách hai đường thẳng là: uur uuuur uuuur � u , AM �.AN � � d(; d) uur uuuur � u , AM � � � (t) Vì f � (2 t)2 53t2 10t 6(t 2)(4 37t) 2 (53t 10t 2) 6 3t (t 1)2 (4t 1)2 (6t)2 f (t), f (t) (2 t)2 53t2 10t (t) � t 2, t nên f � 37 uuuur �4 � Từ ta tìm max f (t) f � �, AM 29; 41; 4 �37 � Vậy đường thẳng d có phương trình d : 37 x y1 z 29 41 200 CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi 1 Trong khônggian Oxyz cho điểm A (1;3; 2), B (3;7; 18) mặt phẳng P : 2x y z a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với (P ) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) cho MA MB nhỏ Trong khônggian với hệ tọa độ Đề Các vng góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A (2;3;2), B(6; 1; 2), C (1; 4;3), D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm tọa độ M CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Trong khơnggian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) có phương trình: x 2y 2z hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 Trong đường thẳng qua A song song với (P ) , viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;4;9) cắt tia Ox,Oy,Oz điểm A,B,C (khác gốc tọa độ) cho a) Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ b) OA OB OC đạt giá trị nhỏ x 1 y z 1 Cho đường thẳng : điểm A(3; 4; 1), B(1; 6; 1), C(1; 10; 3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng cho a) MA MB nhỏ b) MA MC nhỏ Bi Trong khônggian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có A trùng với gốc tọa độ, B a;0;0 , D 0; a;0 , A ' 0;0; b với a 0, b 0 Gọi M trung điểm CC ' a) Tính thể tích khối tứ diện BDA ' M b) Cho a b Tìm max VA ' BDM Cho điểm A(3; 1;0),B(2;1; 1),C(3;2;6) a) Tìm điểm D thuộc mặt phẳng (Oyz) cho ABCD tứ diện có cặp cạnh đối vng góc b) Tìm điểm M trục hồnh cho tam giác ABM có diện tích nhỏ Cho hai điểm A(5;2;3),B(1; 2; 1) a) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) M Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? 201 b) Tìm tọa độ điểm N mặt phẳng (Oxz) cho NA NB có giá trị nhỏ c) Cho điểm K có thành phần tọa độ Xác định K biết 2K A 3K B đạt giá trị lớn Cho A(1; 1; 2), mặt phẳng (P ) : x y z đường thẳng x 1 y z : Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A 3 đồng thời a) d //(P ) khoảng cách d lớn b) d //(P ) góc d lớn nhất, bé �x 1 t � : � y t (t �R) khoảng cách từ điểm c) d vng góc với đường thẳng d� � z 1 t � B(1; 1; 1) đến đường thẳng d lớn nhất, bé Bi Trong khônggian Oxyz cho đường thẳng : x y z1 ba 1 điểm A (3;2; 1), B (1; 2;1), C (2;1;3) Tìm M � cho: MA MC nhỏ MA MB nhỏ Bi Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua M 1;4;9 cho ( ) cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C thỏa: M trọng tâm tam giác ABC ; Tứ diện OABC tích lớn nhất; Khoảng cách từ O đến ( ABC ) lớn nhất; OA OC 4OB OA OB Bi Cho A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c với a, b, c 1 2 a b c Tìm tâm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Tìm giá trị nhỏ bán kính R Gọi r bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Chứng minh rằng: r� 2( 1) Bi Cho điểm A (1; 0; 1), B (2; 2; 1), C (0; 1; 0) 202 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) : x 2y 2z cho : uuuur uuuur uuuur MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tìm M thuộc mặt cầu (S) : (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 uuuur uuuur uuuur 2MA 4MB 3MC đạt giá trị lớn 57 cho : Bi Cho mặt cầu (S1) : x2 y2 z2 6x 12y 12z 72 mặt cầu (S2) : x2 y2 z2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường nối tâm hai mặt cầu (S1) (S2), tiếp xúc với hai mặt cầu có bán kính lớn Lập phương trình đường thẳng qua điểm điểm A(3; 2; 1) x 1 y z 1 cho 1 a) Khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến lớn nhất, bé �x 2t � : � y t (t �R) lớn b) Khoảng cách � � z 1 2t � cắt đường thẳng d : c) Góc mặt phẳng (P ) : 5x 2y 3z lớn x1 y z x y1 z : , Bi Cho d : d� 1 1 (Q) : x 2y 2z Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d Góc mặt phẳng (P ) mặt phẳng (Q) nhỏ Góc mặt phẳng (P ) đường thẳng d�lớn Bi Trong khônggian cho hai điểm A (1;4;2), B (1;2;4) đường thẳng: x y z d: 1 Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P ) lớn Viết phương trình (Q) chứa d vào tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ 203 Viết phương trình mặt phẳng (R ) chứa d tạo với Oy góc lớn Bi 10 Cho điểm A (1; 1; 2), B (2; 1; 0), C (2; 0; 1) mặt phẳng (P ) có phương trình 2x y z Tìm điểm M thuộc (P ) cho MA MB có giá trị nhỏ MA MC có giá trị lớn MA MC có giá trị nhỏ MA MB có giá trị lớn Bi 11 x1 y1 z , đường thẳng Cho O(0; 0; 0) đường thẳng : 2 x y z1 Lập phương trình đường thẳng d qua O, vng 2 1 góc với cách d ' khoảng lớn d� : Cho điểm A(4; 1; 2), B(1; 4; 2), C(1; 1; 5) đường tròn (C) giao mặt phẳng (P ) : x y z mặt cầu (S) có phương trình x2 y2 z2 2x 2y 4z Tìm tọa độ điểm M �(C ) cho MA MB M C đạt giá trị lớn Bi 12 Cho điểm A,B,C nằm trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) biết Điểm G(2;3;1) trọng tâm tam giác ABC Điểm H(5; 3; 2) trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng (ABC) qua M(1; 2;3) d(O,(ABC)) lớn Mặt phẳng (ABC) qua N(1;2;3) OA OB OC Mặt phẳng (ABC) qua P(3;2;1), điểm A có hồnh độ 2 đồng thời OB 2OC Bi 13 Cho mặt phẳng B(0;1;2),C(2;0;1) (P ) :x y z ba điểm A(1;1;1), Tìm tọa độ điểm M có tung độ 1, nằm mặt phẳng (P ) thỏa mãn MA MB 204 Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (P ) cho 2NA NB NC đạt giá trị nhỏ Bi 14 Cho mặt phẳng (P ) : x 2y z điểm A(1; 0;0), B(0; 2; 3) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P ), qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ nhất? Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 1; 2), song song với mặt phẳng (Q) : 2x y z 0, đồng thời d tạo với đường thẳng d� : góc nhỏ nhất, lớn nhất? x 1 y 1 z 2 Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 0; 1) cắt đường thẳng x 1 y z d� : cho góc đường thẳng d đường thẳng 1 x3 y2 z3 : lớn nhất, nhỏ nhất? 1 2 x 1 y z Bi 15 Cho đường thẳng d : điểm A(1; 4; 2), 1 B(1; 2; 4) Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) lớn Góc mặt phẳng (P ) mặt phẳng (xOy) nhỏ Góc mặt phẳng (P ) trục Oy lớn Chú ý: Trong khônggian cho n điểm A1, A2, , An Tìm M cho P 1MA12 2MA22 n MAn2 a) Nhỏ 1 n b) Lớn 1 n uuuuur uuuuur uuuuur Tìm M cho P 1 MA1 2 MA2 n MAn nhỏ lớn n , � i i 1 Phương pháp giải: 205 �0 uuuu r uuuu r uuuur r Gọi I điểm thỏa mãn: 1 I A1 I A2 n I An điểm I tồn n � i �0 Khi : uuuu r uuur uuuu r uuur uuuur 1 MI I A2 1 MI I An i 1 uuur P 1 MI I A1 (1 n )I M n �1I Ai2 i 1 n Do �1I Ai2 không đổi nên: i 1 �Nếu 1 n P nhỏ � MI nhỏ � Nếu 1 n P lớn � MI nhỏ uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuur P 1 MI I A1 MI I A2 n MI I An n � i MI i 1 Do P nhỏ lớn � MI nhỏ lớn �Nếu M thuộc đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P ) ) MI lớn M hình chiếu I lên (hoặc (P ) ) �Nếu M thuộc mặt cầu (S) đường thẳng qua I tâm (S), cắt (S) hai điểm A, B ( I A I B) MI nhỏ (lớn nhất) M B ( M �A ) Ví dụ 10.8 Cho (P ) : x y z ba điểm A (1;1;1), B(0;1;2), C (2;0;1) Tìm tọa độ điểm M �(P ) cho MA MB yM ; Tìm N �(P ) cho S 2NA NB2 NC nhỏ Lời giải Gọi M (x;1; z) �(P ) , ta có: x z � x z Suy MA MB � (x 1)2 (z 1)2 x2 (z 2)2 � 2x 2z 4z 1 1 � z ; x Vậy M ( ;1; ) 2 2uur uur uuu r r Gọi I (x; y; z) điểm thỏa mãn 2I A I B I C (*) 206 Tauucó: r uur uuu r 2I A 2x;2 2y;2 2z , I B x;1 y;2 z , I C 2 x; y;1 z �4x � 5� � Nên (*) � �3 y � x 0, y , z Suy I �0; ; � 4 � 4� � 4z � uuuu r2 uuur uur uuur uur Khi đó: 2NA NI I A 2NI 2I A 4NI I A uuuu r2 uuur uur uuuu r2 uuur uuu r NB NI I B 2NI I B ; NC NI I C 2NI I C Do uuur uur uur uuu r S 4NI 2I A I B I C 2NI 2I A I B I C 4NI 2I A I B I C Do 2I A I B I C không đổi nên S nhỏ NI nhỏ hay N hình chiếu I lên mặt phẳng (P ) uuur � � ur 4� Gọi N (x; y; z) � I N �x; y ; z �, n 1; 1;1 VTPT (P ) � Vì N �(P ) � x y z (1) � �x k � uuur ur � I N kn � I N ( P ) Do nên �y k thay vào (1), ta có được: � � z k � � �3 � �5 � 3 k � k � � k � � k � x , y , z 2 4 �4 � �4 � �3 �2 1� 4� Vậy N � ; ; � Ví dụ 11.8 C (2; 3; 1) Trong khônggian cho ba điểm A (1;2;3), B (1;0; 3), Tìm M thuộc mặt phẳng ( ) : 2x y 2z cho biểu thức sau nhỏ S 3MA 4MB 6MC ; x1 y1 z1 cho biểu thức 1 uuuur uuuur uuuur sau lớn nhất: P MA 7MB 5MC ; Tìm M thuộc đường thẳng 207 Tìm M thuộc mặt cầu (S) : (x 2)2 ( y 2)2 (z 8)2 36 cho biểu thức F MA 4MB 2MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Lời giải Cách 1: uur uur uuu r r uur uuuu r uuur Gọi I (x; y; z) điểm thỏa mãn: 3I A 4I B 6I C � I A 6AC AB (*) uur uuuu r uuur Mà I A (1 x;2 y;3 z), 6AC (6; 30; 24), AB (8; 8; 24) � 1 x 6 � Do (*) � �2 y 30 � � z 24 24 � Khi đó: �x 13 � �y 24 � I (13;24;3) �z � uuuur2 uuuur2 uuuur2 uuur uur uuur uur uuur uuu r S 3MA 4MB 6MC MI I A MI I B MI I C uuur uur uur uuu r I M 2MI 3I A 4I B 6I C 3I A 4I B 6I C I M 3I A2 4I B 6I C Do 3I A 4I B2 6I C không đổi nên S nhỏ � I M nhỏ � M hình �x 13 2t � chiếu I lên ( ) Ta có I M ( ) � I M : �y 24 t �z 2t � �x 13 2t � �y 24 t � Tọa độ M nghiệm hệ: � �z 2t � 2x y 2z � �x 11 � �y 25 �z � Vậy M (11;25;1) điểm cần tìm Cách 2: Gọi M (a; b; c) �( ) � 2a b 2c Suy ra: 3MA 3a2 3b2 3c2 6a 12b 18c 42 4MB 4a2 4b2 4c2 8a 24c 40 208 6MC 6a2 6b2 6c2 24a 36b 12c 84 Suy S a2 b2 c2 26a 48b 6c (a 11)2 (b 25)2 (c 1)2 4a 2b 4c 749 �2(2a b 2c 1) 747 �747 Đẳng thức xảy � a 11, b 25, c hay M (11;25;1) điểm cần tìm Cách 1: Gọi I (x; y; z) điểm thỏa mãn: uur uur uuu r r uur uuur uuuu r I A 7I B 5I C � I A 7AB 5AC (*) uur uuur uuuu r Mà I A x;2 y;3 z , 7 AB (14;14;42), 5AC (5; 25; 20) � x 14 � Nên (*) � �2 y 14 25 � � z 42 20 � uuur uur uuur �x 18 � �y 13 � I (18;13; 19) �z 19 � uur uuur uuu r Khi đó: P MI I A MI I B MI I C MI Do P nhỏ � MI nhỏ � M hình chiếu I lên uuur M � � M 2t; 1 3t;1 t � I M (2t 19;3t 14; t 20) Vì I M � 2(2t 19) 3(3t 14) ( t 20) � t 12 �31 29 � ; �là điểm cần tìm 7� �7 Vậy M � ; Cách 2: Ta có M � � M 2t; 1 3t;1 t uuuur uuuu r Suy MA 2t;3 3t;2 t , 7MB 14 14t; 7 21t;28 7t uuuur 5MC 10t; 10 15t; 10 5t uuuur uuuur uuuur Do MA 7MB 5MC 2t 19;3t 14; t 20 Nên P (2t 19)2 (3t 14)2 (t 20)2 14t2 48t 957 209 � 12 � 6411 6411 14 �t � � 7 � 7� Đẳng thức xảy � t �31 29 � 12 Vậy M � ; ; �là điểm cần tìm 7� �7 Gọi E (x; y; z) điểm thỏa mãn: uuur uuur uuur r uuur uuuu r uuur EA 4EB 2EC � EA 2AC AB Ta tìm E 10; 2;16 Khi F EM EA 4EB 2EC Vì EA 4EB 2EC không đổi nên F lớn nhất, nhỏ EM nhỏ nhất, lớn �x 8t uuu r � Mặt cầu (S) có tâm I (2;2;8) , I E 8; 4;8 � I E : �y 4t �z 8t � Tọa độ giao điểm I E với mặt cầu (S) nghiệm hệ �x 8t � �y 4t � 82 t2 42 t2 82 t2 36 � t � � �z 8t 2 � (x 2) ( y 2) (z 8) 36 � uuur � M 6;0;12 � I M (2; 2;4) � MI uuur �t � N 2;4;4 � I N (4;2;4) � NI �t Do NI MI nên ta có được: � F lớn E �M � E 6;0;12 � F nhỏ E �N � E 2;4;4 CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC 210 Bi Trong khơnggian Oxyz cho ba điểm A (2;3;1), B(1; 2;0), C (1;2; 2) Lập phương trình mặt phẳng ( ABC ) ; Tìm a, b để mặt phẳng ( ) : (2a b)x (3a 2b) y 1z song song với ( ABC ) ; Tìm M �( ) : 3x y z cho S 2MA2 4MB2 3MC nhỏ nhất; uuuu r uuuu r uuuu r P NA NB NA N � ( ) : x y z 29 Tìm cho nhỏ Bi Cho điểm A (2;3;1), B(5; 2;7), C (1;8; 1) Tìm tập hợp điểm M khônggian thỏa mãn uuuur uuur uuuur uuuur AM AB BM CM MA MB MC Bi Trong khônggian Oxyz cho điểm A (1; 4; 5), B (0; 3; 1), C (2; 1; 0) mặt phẳng (P ) : 3x 3y 2z 15 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P ) cho MA MB MC có giá trị nhỏ MA 2MB 4MC có giá trị lớn Bi Cho A (1; 4; 2), B (1; 2; 4) : thuộc đường thẳng cho x1 y z Tìm điểm M 1 MA MB nhỏ uuuur uuuur uuuur 3OM AM 4BM nhỏ Diện tích tam giác MAB nhỏ Bi Cho tam giác ABC có A 3; 2;5 , B 2;1; 3 ,C 5;1; 1 Điểm M có thành phần tọa độ Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn uuuur uuur Tìm tọa độ điểm M cho MA 3BC đạt giá trị nhỏ Tìm điểm M cho 2MA MB 4MC2 đạt giá trị lớn Bi Cho ba điểm (P ) : x y z 211 A(1;2; 3),B(2;4;5),C(3;6;7) mặt phẳng Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G tam giác ABC mặt phẳng (P ) Tìm tọa độ điểm G�đối xứng với điểm G qua mặt phẳng (P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) cho biểu thức T có giá trị nhỏ với T MA MB MC Bi Cho điểm A(1; 0; 1),B(0; 2; 3), C(1; 1; 1) đường thẳng x 1 y 1 z : Tìm điểm M thuộc đường thẳng cho 2 2 a) MA 2MB 4MC2 lớn uuuur uuur b) AM BC nhỏ �x 2t � Bi Cho đường thẳng m : �y (1 m)t (t ��), m tham số � z 2 mt � Tìm giá trị m cho Khoảng cách từ gốc tọa độ đến m lớn nhất, nhỏ m tạo với mặt phẳng (xOy) góc lớn Khoảng cách m trục Oy lớn 212 ... 21 �x �x 3 6t � 11 � y t 14 � � � �y Tọa độ M nghiệm hệ � 11 �z 2 3t � � � 2x y 2z � �z 11 � �21 11 Vậy M � ; 14 � ; �là điểm cần tìm 11 11 � Vì A, B nằm phía... � uuu r uuuuu r uuu r NM , n � 16; 10 ;11 VTPT ( ) Suy n � � � Vậy phương trình ( ) : 16x 10y 11z 15 197 Ví dụ 8.8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : x y z ... b2 c2 26a 48b 6c (a 11) 2 (b 25)2 (c 1)2 4a 2b 4c 749 �2(2a b 2c 1) 747 �747 Đẳng thức xảy � a 11, b 25, c hay M ( 11; 25;1) điểm cần tìm Cách 1: Gọi