HƯỚNGDẪNGIẢI Vấn đề Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Bài 1: x = tiệm cận đứng đồ thị hàm ( x � 2 x � 2 ) y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số (khi x � � x � �) đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên x tiệm cận đứng đồ thị hàm ( x � x � ) 3 tiệm cận ngang đồ thị hàm (khi x � � x � �) đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên Bài 2: x = tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 5 x � 5 ) đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang y = x+1 tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x � � x � �) y tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � x � ) 3 đồ thị hàm tiệm cận ngang x 20 x tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x � � x � �) Bài 3: x = tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 2 x � 2 ) y= x = - tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 2 x � 2 ) y = tiệm cận ngang đồ thị hàm (khi x � � x � �) đồ thị khơng có tiệm cận xiên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm (khi x � � x � �) đồ thị khơng có tiệm cận xiên Bài 4: x = -1 tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 1 x � 1 ) đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang y = x tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x � � x � �) x = tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 0 x � 0 ) x = tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 2 x � 2 ) đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x � � x � �) Bài 5: x = - tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 2 x � 2 ) 77 x =2 tiệm cận đứng đồ thị hàm (khi x � 2 x � 2 ) đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang y = 2x tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x � � x � �) y tiệm cận ngang đồ thị hàm (khi x � � x � �) đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên Bài 6: D (�;1]U [2; �) Từ tập xác định hàm số suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận đứng Ta xem tiệm cận ngang trường hợp đặc biệt tiệm cận xiên a = ,do ta cần tiệm cận xiên đồ thị hàm ,nếu đường tiệm cận có dạng y = b tiệm cận ngang � 4� � � � 4� y x x2 3x x� 1 � x2 � 1 1 � x 1 � x� x x2 � x� � x x � � x� � 4� x� 1 � x 1 � y x� x x2 2� lim lim � lim � 1 1 � 2 � � x��x x�� x�� x x x � � x �� �� � � � � 3 lim (y 2x) lim � x� 1 1 2� 4� lim � x � 1 1� 4� � � x���� � � x�� x���� x x2 x x2 � � � � �� �� �� � � � � ��1 1 � � � 3 � x x2 � � � � � x lim x lim 4� � � � � � � x�� x�� 3 � � 1 � � 1� 1 1 � � � � � 2 x x x x � � � � � �� � Vậy đường thẳng y = 2x tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x � �) � 4� x� 1 � x 1 � y x� x x2 � lim lim � lim � 1 1 � x��x x�� x��� x x x x2 � � � � � � � 3 �� � � 11 � x lim y lim � x� 1 4� � 4� lim � � � � x�� x��� x�� x x � � �� � � � 1 x � � x � � 11 Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y = đường tiệm cận ngang (khi x � �) Cách khác.Trong toán ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm b b ax2 bx c a x Với a > ,ta có ax bx c a x 2a 2a 78 Đặt (x) ax bx c a x Ta có x2 3x x b 2a (x) ta chứng minh xlim ��� 3 x2 3x x 2 Đặt (x) x 3x x ,ta có: �2 9� x2 3x � x 3x � 4� � lim (x) lim lim x��� x��� x��� 3 x 3x x x2 3x x 2 lim � 3 � Suy y x x (x) x � 1 1 � � x x2 2x � � � Khi x � � y = x x (x) 2x (x) 2 5 Vì lim [y (2x )] lim (x) nên đường thẳng y = 2x tiệm cận x�� x�� 2 xiên đồ thị hàm (khi x � �) x��� Khi x � �thì y = x x 11 (x) (x) 2 11 11 ) lim (x) nên đường thẳng y = tiệm cận ngang x�� x�� đồ thị hàm ( x � �) Vì lim (y Ta có x2 x x2 x Đặt (x) x2 x ,ta có � � x x2 � � � � lim (x) lim � x x � lim lim � � x��� x���� � x���� x2 x � x��� � � � � x � 1 � x � x2 � lim x��� 0 � � x � 1 1� � � x2 � � Suy y 3x x2 3x x (x) Khi x � � y = 3x x (x) 4x (x) (y 4x) lim (x) nên đường thẳng y = 4x tiệm cận xiên Vì xlim �� x�� đồ thị hàm (khi x � �) 79 Khi x � �thì y = 3x x (x) 2x (x) (y 2x) lim (x) nên đường thẳng y = 2x tiệm cận xiên Vì xlim �� x�� đồ thị hàm ( x � �) Đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang 2x lim y lim x��� * x��� x 1 x2 2x lim y lim lim 2 x�� x�� , suy đường thẳng y = tiệm x�� x 1 1 2 x x cận ngang đồ thị hàm 2x lim y lim lim 2 x�� x�� , suy đường thẳng y = - x�� x 1 1 2 x x tiệm cận ngang đồ thị hàm y , suy đồ thị hàm số tiệm cận xiên * lim lim x���x x��� x2 Vấn đề Một số dạng toán khác Bài 1: � 4x0 1� x0; M �(C) � M � � � � � x0 � TCĐ (C) : x – = � d(M ,TCD) x0 TCN (C): y + = � d(M ,TCN) � d(M ,TCD).d(M ,TCN) x0 3 x0 4 13 x0 13 13 (đpcm) x0 T d(M ,TCD) d(M ,TCN) x0 T 13 � x0 4x0 13 Cauchy 13 � x0 13 x0 x0 13 � (x0 3)2 13 � x0 � 13 � x0 � 13 x0 Vậy T đạt giá trị nhỏ 13 M( 13; 13 4) M( 13; 13 4) Bài 2: 80 m2 , suy (C) có tiệm cận xiên (d) � m �0 Khi x1 phương trình (d) : y = mx+3 A(1;4) �(d) � m � m (thõa mãn điều kiện m �0) Giao điểm (d) với hai trục tọa độ M(0;3) M( ;0) m 1 Diện tích tam giác vuông OMN: S = OM.ON 2 m 2m Ta có y = mx Theo giả thiết : S � 1 � m � m � (thỏa mãn điều kiện m 2 2m �0) d(O;(d)) � m 1 � m2 � m2 � m � 2 (m 1)x (2m 1)x (m 1)x m = ,suy (C) có hai x x đường tiệm cận x = - (d1), y = (m+1)x+m (d2) ) M �(C) � M(x0;(m 1)x0 m x0 Bài 3: y = � d(M ,(d1)).d(M ,(d2)) x0 (m 1)x0 m (m 1)x0 m d(M ,(d1)).d(M ,(d2)) � 2 x0 (m 1)2 � (m 1)2 � m 1 (m 1) Giao điểm hai đường tiệm cận I(-1; -1) Vì tọa độ I thỏa mãn phương trình (P) nên I �(P) �۹1 m (C) có tiệm cận xiên �m Đường tròn ( ) có tâm gốc tọa độ O , bán kính R = ,suy m 1 Tiệm cận xiên tiếp xúc đường tròn ( ) � d(O;TCX) � (m 1)2 � 4m2 (m 1)2 � 3m2 2m � m �1) Bài 4: Gọi M(x0;y0) �(C) M cách hai trục tọa độ � x0 y0 1� (thỏa mãn điều kiện m 3x0 x0 81 � 3x0 � 3x0 x0 x0 x0 � x02 5x0 � x0 � 21 x0 � x02 x0 1 � x0 1� �5 � 21 � 21 � �1� 1m � ; ; �,M 3,4 � � Vậy có bốn điểm cần tìm: M 1,2 � � � 2 � � � � � � Gọi M(x0;y0) �(C) Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d x0 y0 x0 Với x0 x0 1 1 � d nên với x0 � d 3 3 Ta xét x0 Mà 3x0 3x x02 x0 1 � d x0 x0 x0 x02 x0 1 3x02 2x0 (3x0 1)(x0 1) với x0 3(x0 2) 3(x0 2) 1 x0 : x0 Suy d 3 � 5� � 5� a;3 � , B� b;3 �(với a,b ) hai điểm nằm hai Ta có A � a b � � � � x0 : x0 �5 � 25 nhánh (C) AB2 (a b)2 � � (a b)2(1 ) �4ab.2 40 2 a b ab � � ab � a b � Đẳng thức xảy � 25 � a b 1 � � a2b2 3m 3m 1 � 3m 1� m 3m2 17m m; �(C) , Ta có M � � d(M , ) � m � 5 m 12 � 3m2 17m 12 m � 26 m 1;m � 3m2 29m 26 � �� �� 11 � � 3m 5m 22 � m 2;m � � �16 15 � � � �11 � ,M � 2; � ,M � ;6� Vậy M 1(1; 2),M � ; � �3 � � � �3 � Suy d(M , ) 82 Bài 6: Với m 2 hàm số cho suy biến thành đường thẳng y 2x nên khơng có tiệm cận Do vậy, m �2 hàm số cho có tiệm cận xiên y 2x 3m � 3m � ;0�và cắt trục tung Giả sử tiệm cận xiên cắt trục hoành A � � � 2 B 0;3m 2 SA OB tức OA.OB hay 3m 2 16 � m m 2 Tiệm cận xiên d O;t 17 � t : m1 4m2 Bài 8: m �0, S � 2mx y m 0, m �0 17 hay 13m2 34m 16 � m m 13 � m �1 m m Bài 7: Với m hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu tiệm cận xiên có phương trình: x 2y Góc tiệm cận xiên dm 450 , ta có cos450 m 2 m 4 thỏa m ) hay m 3 3m 1 tức m 3 m ( không 3 Với m hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu tiệm cận xiên có phương trình: mx y 1 m m �0 , tiệm cận đứng có phương trình x Tiệm cận xiên tiệm cận đứng với Ox tạo thàng tam giác vng có góc 600 tiệm cận xiên hợp với Ox góc �600 �300 Ta tìm m m Bài 8: m �0 , d : mx y 2m thỏa Theo toán, ta có d I;d tức có phương trình 7m2 6m 83