01 khoi da dien

CHỦ ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN V THỂ TÍCH CỦA CHNG KHI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN V PHP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN A.TĨM TẮT GIO KHOA I Khối đa diện 1) Khái niệm hình đa diện Hình đa diện ( gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung , có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh hai đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2) Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hainj hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm , ngoài…của khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm , ngồi…của hình đa diện tương ứng 3) Hai đa diện 3.1 Phép dời hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồnkhoảng cách hai điểm tùy ý     Vậy: Nếu F phép dời hình F M  M ', F N  N ' M 'N '  MN 3.2 Một số phép biến hình thường gặp khơng gian r   uuuuur r a) Phép tịnh tiến theo vectơ v ( kí hiệu: Tvr ): T r M  M ' � MM '  v v r v M M' b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến điểm M thuộc (P) thành nó, biến điểm M khơng thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng hình (H) M M1 P M' c) Phép đối xứng tâm O: phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng hình (H) O M d)Phép đối xứng qua đường thẳng  : phép biến hình biến điểm thuộc  thành nó, biến điểm M không thuộc  thành M’ cho  trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua đường thẳng  biến hình (H) thành  gọi trục đối xứng hình (H) M P D M' e) Phép vị tự tâm O tỉ số k: phép biến hình biến điểm điểm M không gian thành điểm M’ uuuuu r uuuu r cho OM '  kOM Nhận xét �Thực liên tiếp phép dời hình ta phép dời hình �Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) biến đỉnh , cạnh, mặt (H) thành đỉnh , cạnh, mặt (H’) tương ứng M' �Hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện thành đa diện 3.3 Phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện (H ) hợp (H 1) (H 2) , cho (H 1) (H 2) khơng có điểm chung ta nói chia (H ) thành hai khối đa diện (H 1) (H 2) , hay lắp ghép hai khối đa diện (H 1) (H 2) thành khối đa diện (H ) II Khối đa diện lồi – Khối đa diện �Khối đa diện (H ) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H ) thuộc (H ) �Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất * Mỗi mặt đa giác p cạnh * Mỗi đỉnh chúng đỉnh chung q mặt   * Khối đa diện gọi khối đa diện loại p,q Gọi D, M , C số đỉnh, số cạnh, số mặt khối đa diện lồi (H ) đặc số Euler (H )  (H )  D  C  M  (định lý Euler) III Thể tích khối đa diện Bh �Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh �Thể tích khối hộp có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh �Thể tích khối hộp chữ nhật : V  abc �Thể tích khối lập phương: V  a3 �Tỉ số thể tích: Nếu A ', B ', C ' thuộc cạnh SA, SB, SC hình chóp �Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là: V  S.ABC : VS A ' B ' C ' VS ABC  SA '.SB '.SC ' SA.SA.SC B.PHƯƠNG PHP GIẢI TỐN Vì phần ny cĩ mục đích giới thiệu cho học sinh cc niệm khối đa diện v số php biến hình khơng gian, đĩ cc dạng tốn đy đề cập vấn đề p dụng php biến hình để giải số dạng tốn hình học khơng gian Vấn đề BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ MẶT HÌNH ĐA DIỆN, CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp: �Dựa vào định nghĩa hình đa diện �Dựa vào định lí Euler mối quan hệ số đỉnh, số cạnh số mặt �Dựa vào giả thiết toán ,chọn phép biến hình thích hợp vận dụng tính chất phép biến hình để giải �Để tìm tập hợp điểm M ,ta tìm phép biến hình f biến M thành điểm N ,trong tập hợp N biết hay dễ tìm Khi tập hợp điểm M ảnh tập hợp điểm N qua phép biến hình f Ví dụ 1.1.1 Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác tổng mặt phải số chẵn Hãy khối đa diện với số mặt 4,6,8,10 Lời giải Gọi số cạnh số mặt đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa diện 3m c � 3m  2c � 3m chia hết cho mà không chia hết m phải chia hết cho , nghĩa m số chẵn *Khối đa diện ABCD có mặt mà mặt tam giác *Xét tam giác BCD hai điểm A ,E hai phía mặt phẳng  BCD  Khi ta có khối lục diện ABCDE có mặt tam giác *Khối bát diện ABCDEF có mặt tam giác *Xét ngũ giác ABCDE hai điểm M ,N hai phía mặt phẳng chứa ngũ giác Khi ta có khối thập diện MABCDEN có 10 mặt tam giác Ví dụ 2.1.1 Chứng minh đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh phải số chẵn Lời giải Gọi k số đỉnh đa diện C số cạnh đa diện Ta có: -Tại đỉnh thứ có  2n1  1 mặt nên có  2n1  1 cạnh qua đỉnh thứ -Tại đỉnh thứ hai có  2n2  1 mặt nên có  2n2  1 cạnh qua đỉnh thứ hai …………………………………………………………………………… -Tại đỉnh thứ k có  2nk  1 mặt nên có  2nk  1 cạnh qua đỉnh thứ k Mặt khác cạnh qua hai đỉnh nên ta có 2C   2n1  1   2n2  1    2nk  1  k  2 n1  n2   nk  � k  2� C   n1  n2   nk  � � � � k số chẵn (đpcm) Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp S.ABCD , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , đáy ABCD hình thoi cạnh a Gọi H ,K hình chiếu vng góc A lên SB SD ; G trọng tâm tam giác SAC Chứng minh ba điểm H ,G,K thẳng hàng Lời giải � SA  AB S SA   ABCD  � � SA  AD � � SAB, SAD vuông A Xét tam giác vng SAB , ta có: SB2  SA  AB2  2a2  a2  3a2 SH SA 2   SB SB2 Chứng minh tương tự ,ta có : SK  SD K SA  SH.SB � G H D A I B C Gọi I giao điểm AC BD I trung điểm AC nên G thuộc SI SG  SI Gọi f phép vị tự tâm S , tỉ số , ta có: f  B  H ,f  I   G,f  D   K Vì B,I,D thẳng hàng nên H ,I,K thẳng hàng Ví dụ 4.1.1 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi  P  mặt trung trực cạnh A B,K điểm tam giác ACD E giao điểm BK  P  ,F điểm đối xứng K qua  P  Chứng minh ba điểm A ,E,F thẳng hàng a EA  EF � Lời giải Tứ diện ABCD tứ diện nên bốn mặt tam giác Gọi I trung điểm AB , ta có DI  AB,CI  AB , suy  CDI  mặt trung trực AB tức  CDI  � P  Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  E�E biến : B � A  K � F B,E,K Vì thẳng hàng nên A ,E,F thẳng hàng B F I E A C K H M D Lại có EA  EB,EF  EK , suy EA  EF  EB  EK  BK Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng  ACD  M trung điểm 2 a a CD H tâm tam giác ACD AH  AM   3 Trong tam giác vuông BHA :  �a � 6a2 a BH  BA – AH  a2  � � BH  � �3 � � � a Lại có BK �BH , suy EA  EF � (đpcm) Ví dụ 5.1.1 Trong mặt phẳng  P  cho tam giác ABC vuông A Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với  P  Gọi S điểm di động d H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  SBC  Chứng minh H trực tậm tam giác SBC Gọi K giao điểm SH với đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Tìm tập hợp điểm K S di động đường thẳng d Lời giải d d S S H H C A E A E B K 1.Chứng minh H trực tâm tam giác SBC Ta có : BC  SA , BC  A H � BC   SA H  � BC  SH  1 � AB  AC � AB   SAC  � AB  SC Lại có � AB  SA � SC  AH � SC   ABH  � SC  BH  2 Từ (1) (2) suy H trực tâm tam giác SBC 2.Tập hợp điểm K Theo tính chất trực tâm , K giao điểm SH với đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC K H đối xứng với qua đường thẳng BC Gọi E giao điểm SH với BC , ta có BC   SAH  , suy BC  AE ; E hình chiếu vng góc A lên BC nên E cố định AH   SBC  � AH  SE Trong mặt phẳng cố định  E,d  , � AHE  900 tập hợp H đường tròn  C  đường kính AE chứa mặt phẳng  E,d  loại bỏ điểm E (do H trùng E ) H K đối xứng với qua đường thẳng BC , suy tập hợp K ảnh tập hợp H qua phép đối xứng trục BC Ví dụ 6.1.1 Trong mặt phẳng  P  cho đường tròn  C  đường kính AB ; M điểm di động  C  , H hình chiếu vng góc M lên AB Gọi I trung điểm MH  d  đường thẳng vng góc với  P  I ;  d  lấy điểm S cho � SHM  600 Dựng hình bình hành SMHN Tìm tập hợp điểm N M di động đường tròn Lời giải � AB  MH (d) Ta có : � AB  SI N � � AB   SMH   �� SHM   SAB , P  S  Mặt phẳng  SAB chứa đường thẳng cố định AB hợp với mặt phẳng cố định  P  góc khơng đổi � SHM  600 nên mặt phẳng  SAB cố định Tam giác SMH có SI  MH trung điểm I MH nên tam giác cân , lại có E 60 B H A I M (C) (P) � SHM  600 nên tam giác SMH tam giác Gọi E giao điểm MN SH , tứ giác SMHN hình bình hành nên E trung điểm MN SH , suy MN  SH Mặt khác MN � SMH  nên MN  AB , suy MN    SAB E E trung điểm MN N M hai điểm đối xứng qua mặt phẳng  SAB Lại có tập hợp điểm M đường tròn  C  , suy tập hợp điểm N đường tròn  C’ đối xứng đường tròn  C  qua mặt phẳng  SAB CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Tìm số đỉnh, số cạnh số mặt nhỏ có hình đa diện Tính số đỉnh, số mặt số cạnh khối đa diện loại  n; p Từ tìm tất đa diện loại  n; p Cho (H ) đa diện có 2q  (q  �, q 2) mặt , mặt đa giác có p cạnh Chứng minh p số chẵn Cho hình đa diện có số cạnh, số mặt số đỉnh c, m, � Chứng minh rằng: a) c  m b) c  � Chứng minh không tồn hình đa diện có cạnh Chứng minh khối đa diện bất kỳ, tồn hai đỉnh mà số cạnh xuất phát từ đỉnh 10 Bi Chứng minh đa diện mà đỉnh đỉnh chung ba cạnh tổng số đỉnh phải số chẵn Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác đỉnh đỉnh chung ba cạnh khối tứ diện Chứng minh hình tứ diện khơng thể có tâm đối xứng Bi Chứng minh khối đa diện có đỉnh Chứng minh hình đa diện có cạnh Chứng minh khối đa diện tồn mặt có số cạnh nhỏ Bi Cho tứ diện ABCD có A B  CD , AC  BD , AD  BC Gọi A ’, B’ hình chiếu vng góc A B lên CD ; C’ D’ hình chiếu vng góc C D lên AB Chứng minh A ’C’  B’D’ A ’D’  B’C’ 2.Trong mặt phẳng , cho tứ giác lồi A BCD có � ABD  1200 , � ABC  750 , � BCD  600 , AB  a , CD  a Dựng hai tia Bx,Cy vng góc với  P  chiều , Bx,Cy lấy hai điểm E,F cho góc EF  P  600 Tính độ dài đoạn EF theo a Cho tứ diện ABCD Gọi E,F,O trung điểm cạnh AB,CD EF Chứng minh với điểm M nằm tứ diện ta có : MA  MB  MC  MD �OA  OB  OC  OD Bi Cho mặt phẳng  P  , A , B hai điểm phía mặt phẳng  P  Tìm điểm M  P  cho MA  MB nhỏ Cho hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với theo giao tuyến c đoạn thẳng AB  P  , song song với c Gọi O hình chiếu vng góc trung điểm I AB lên c ; Oz đường thẳng chứa  Q  quay quanh O Chứng minh � AOz  � BOz không đổi Cho tam giác ABC có trọng tâm G , mặt phẳng  P  không trùng với mặt phẳng  ABC  cắt cạnh CA ,CB Gọi a,b,c,h khoảng cách từ A ,B,C G đến mặt phẳng  P  Chứng minh  a  b  c Cho hình hộp ABCD.A ’B’C’D’ Gọi M ,N ,P,Q,R,S trung h 11 điểm cạnh A ’B’,B’B,BC,CD,DD’,D’A ’ nằm mặt phẳng Bi Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M điểm di động cạnh BC ; H hình chiếu vng góc S lên DM K điểm đối xứng H qua D Tìm tập hợp điểm K Trong mặt phẳng  P  , cho góc � xAx' điểm B không thuộc uuu r  P  Gọi tia By ảnh tia Ax’ qua phép tịnh tiến AB Trên hai tia Ax,By lấy hai điểm di động M ,N cho AM  BN Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN Cho hình chóp S.ABC Gọi M điểm thuộc miền tam giác b) ABC Từ M dựng đường thẳng song song với SA ,SB,SC , đường thẳng cắt mặt SBC,SCA ,SA B điểm A ’,B’,C’ Gọi G trọng tâm tam giác A ’B’C’ a) Hãy nêu cách dựng điểm A ’B’C’ Tìm tập hợp điểm G M di động miền tam giác ABC Bi Cho mặt phẳng  P  tứ diện ABCD Với điểm M thuộc  P  ta xác định uuuu r uuur uuur uuur uuuu r điểm N theo công thức MA  MB  MC  MD  2MN Tìm tập hợp điểm N M di động  P  Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , đáy ABCD hình vng Gọi M điểm di động cạnh SA  P  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  MBC  qua đường thẳng SA , H hình chiếu vng góc S lên  P  Tìm tập hợp H M di động cạnh SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm di động cạnh SA Mặt phẳng  MCD  cắt SB N Gọi M ’,N’ điểm đối xứng M ,N qua mặt phẳng  SCD  Tìm tập hợp giao điểm E hai đường thẳng DM ’ CN ’ M di động cạnh SA Cho mặt phẳng  P  hai đường thẳng d,d’ chéo cắt  P  O O’ Gọi  Q  mặt phẳng xác định d đường thẳng d1 song song với d’ vẽ từ O Một đường thẳng  di động song song với  P  hay chứa  P  , cắt d A , uuuur uuuu r cắt d’ A ’ gọi M điểm  cho MA '  kMA ( k số thực cho trước k �1) Đường thẳng d2 song song với OO’ vẽ từ M , cắt mặt phẳng  Q 12 M ’ Khi A di động d a) Tìm tập hợp điểm M ’ b) Tìm tập hợp điểm M Cho mặt phẳng  P  ba điểm A ,B,C không nằm mặt phẳng song song với  P  bên  P  Ba đường thẳng song song vẽ từ A ,B,C cắt  P  A ’,B’,C’ Giả sử đường thẳng song song di động cho AA ’  BB’  CC’  k , k độ dài khơng đổi a) Tìm tập hợp điểm A ’,B’C’ b) Tìm tập hợp trọng tâm G’ tam giác A ’B’C’ Vấn đề PHN CHIA – LẮP GHP CC KHỐI ĐA DIỆN CHỨNG MINH HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU, CC BI TỐN VỀ ĐA DIỆN ĐỀU Phương pháp: Để chứng minh hai đa diện nhau, ta chứng minh có phép biến hình không gian biến đa diện thành đa diện Ví dụ 1.2.1 Cho khối tứ diện ABCD Chứng minh rằng: Trọng tâm mặt khối mặt tứ diện Các trung điểm cạnh khối đỉnh khối tám mặt Lời giải Gọi Q,M lần A lượt trung điểm G ,G CD,CB ; 2,G3 ,G trọng tâm mặt  ABC  ,  ACD  ,  ABD  N BCD  P Gọi a cạnh tứ diện, ta có 2 aR a G1G2  MQ  G G  32 D Tương tự G1G4  G1G3  G2G3 B S a  G2G  G3G4  nên G1G 2G3G M Q a tứ diện cạnh C Gọi N,P,R,S trung điểm cạnh AD,AB,AC,BD Theo tính chất đường trung bình, ta có: A' B' a E QM  QN  QS  QR  PM  PN  PS  PR  D' C' Ví dụ 2.2.1 Chứng minh tâm mặt hình lập phương đỉnh Q bát diện M P N Lời giải A B F D C 13 Giả sử cạnh hình lập phương cho a Gọi M,N,P Q,E,F tâm mặt hình lập phương (hình vẽ) Ta có MN  AC  a tương tự 2 cho cạnh khác hình gồm tám đỉnh M,N,P,Q,E,F Hay MNPQEF bát diện Ví dụ 3.2.1 Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a, E,F hai đỉnh � � � �lần lượt trung ,B � ,C� ,D� ,A � ,B � ,C� ,D� không nằm cạnh Gọi A � điểm cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD Chứng minh �� A ���� B C D A � B �� C �� D �là hình hộp chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật Lời giải B C D , A� �� Tứ giác ABCD hình vng cạnh a, nên tứ giác A ���� B �� C �� D �là a �� B C D ) (A � B �� C �� D� ) song song hình vng cạnh hai mặt phẳng (A ���� E với Ta có A �� A� //EF nên C' D' �� � A A  (ABCD) � A �� A�  (A ���� B C D ) A' Tương tự suy cạnh bên B' D C A �� A� ,B �� B� ,C�� C� ,D�� D �cùng vng góc O với hai mặt đáy Vậy B �� A ���� B C D A � B �� C �� D �là hình hộp chữ A D'' C'' nhật B'' A'' a Các cạnh đáy hình hộp có độ dài , F cạnh bên hình hộp có độ dài a CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi 1 Hãy phân chia khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' thành ba khối tứ diện Chia khối hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' thành khối tứ diện Cho tứ diện ABCD Chứng minh ta nội tiếp khối tứ diện khối hộp cho cạnh tứ diện đường chéo mặt khối hộp Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Chứng minh hai tứ diện A ' ABD CC ' D ' B ' Cho hình chóp tam giác S.ABC Gọi A ', B ',C ' trung điểm cạnh BC , CA AB Chứng minh hai tứ diện SABA ' SBCB ' 14 Bi Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a, E,F hai đỉnh khơng � � � �lần lượt trung điểm ,B � ,C� ,D� ,A � ,B � ,C� ,D� nằm cạnh Gọi A � cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC, FD Chứng minh �� A ���� B C D A � B �� C �� D �là hình hộp chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật Bi Hãy phân chia khối lăng trụ ABC.A ��� B C thành a) Ba khối tứ diện b) Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác Hãy phân chia khối lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' thành năm khối tứ diện Cho hình chóp tứ giác F ABCD có đáy hình vng Cạnh bên F C vng góc với đáy có độ dài cạnh AB Chứng minh dùng ba hình chóp để ghép lại thàng hình lập phương Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' Chứng minh a) Các hình chóp A.A ' B ' C ' D ' C '.ABCD b) Các lăng trụ ABC.A ' B ' C ' AA ' D '.BB ' C ' Hãy dùng mặt phẳng để chia khối tứ diện cho trước thành khối tứ diện Bi Cho khối bát diện ABCDEF cạnh a , E , F hai đỉnh không nằm cạnh Gọi A ', B ', B ', D ', A ", B ", C ", D " trung điểm cạnh EA, EB, EC, ED, F A, F B, F C, F D Chứng minh rằng: A ' B ' C ' D '.A " B " C " D " hình hộp chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật Cho khối tứ diện Chứng minh rằng: a) Trọng tâm mặt đỉnh tứ diện b) Các trung điểm cạnh đỉnh khối tám mặt Cho khối bát diện ABCDEF Chứng minh rằng: a) Các điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng trung trực EF b)  ABCD    ECF A  Chứng minh tâm mặt hình bát diện đỉnh hình lập phương Chứng minh tâm mặt hình lập phương đỉnh hình bát diện Chứng minh tồn khối đa diện có 20 mặt tam giác khối hai mươi mặt Bi Cho khối tứ diện ABCD Chứng minh a)Trọng tâm mặt khối mặt tứ diện b) Các trung điểm cạnh khối đỉnh khối tám mặt Chứng minh tâm mặt hình bát diện đỉnh hình lập phương 15 16