Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (01) - 2002 Câu 01: Cho hàm số y x mx m (1) (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y x Câu 02: Giải bất phương trình: log 4 x log 2 x 1 3.2 x 2 Xác định m để phương trình: 2sin x cos x cos x sin x m cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc 0; Câu 03: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vuông góc với mặp phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biÕt r»ng SA a x dx Tinh tÝch ph©n I x Câu 04: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: C : x y 10x & C : x y 4x 2y 20 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C1), (C2) có tâm nằm đường thẳng x y Vết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) Câu 05: Giải phương trình: x x x 12 x 16 §éi tun häc sinh giái cđa mét trêng gåm 18 em, ®ã cã häc sinh khèi 12, häc sinh khèi 11 vµ học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn Câu 06: Gọi x, y, z khoảng cách từ ®iĨm M thc miỊn cđa ABC cã gãc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: x y z a2 b2 c2 víi a,b,c độ dài cạnh tam giác, R 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp Dấu = xảy nào? trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (02) - 2002 Câu 01: Cho hàm số: y x2 m (1) x2 (m lµ tham sè) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến đoạn 1; Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m Tìm a để phương trình sau cã nghiÖm : 1 1 t a 31 1 t a Câu 02: Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: A 3n 2C nn 2 n , ®ã A kn , C kn số chỉnh hợp số tổ hợp chập k n phần tử log 2 Giải phương trình : x 3 log x 18 log 4x C©u 03: sin x cos x 1 cot g2 x sin x sin x Giải phương trình : Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a,CA = b TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, biÕt r»ng: b sin C b cos C c cos B 20 C©u 04: Cho tø diện OABC có ba cạnh OA; OB OC đôi vuông góc Gọi , , góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC);(OCA);(OAB) Chøng minh r»ng: cos cos cos Trong kh«ng gian víi hƯ toạ độ Đềcác vuông góc 0xyz cho mặt phẳng P : x y z hai điểm A 1; 3; , B 5; 7;12 a) Tìm toạ ®é ®iĨm A’ lµ ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm A qua mặt phẳng (P) b) Gtả sử M điểm chạy mặt phẳng (P), tìm GTNN biểu thøc: MA MB C©u 05: TÝnh tÝch ph©n: I ln e x dx e x trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (03) - 2002 Câu 01: y Cho hàm số Cho m x mx x m 3 (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biÕt r»ng tiÕp tun ®ã song song víi ®êng th¼ng d: y x Tìm m thuộc khoảng 0; cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (1) đường x 0, y cã diƯn tÝch b»ng C©u 02: x y Gi¶i hƯ phương trình: log x log y Giải phương trình: sin tg x x sin 3x cos x Câu 03: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) SA = a.Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đương thẳng BE Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đường th¼ng: 2 x y z : x y z mặt phẳng P : x y z Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng mặt phẳng (P) Câu 04: Tìm giới hạn: L lim x0 x 1 x 1 x Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hai đường tròn: C : x y 4y & C : x y 6x 8y 16 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Câu 05: Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoã mãn điều kiện x y thức: S Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu 4 x 4y trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (04) - 2002 Câu 01: x 12 x x Giải bất phương trình : x tgx cos x cos x sin x tgxtg 2 Gi¶i phương trình: Câu 02: Cho hàm số: y x m 3x (m lµ tham sè) Xác định m để hàm số cho đạt cực tiểu điểm có hoành độ x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m x 3x k Tìm k dể hệ phương trinh sau cã nghiÖm: 1 log x log x 1 2 Câu 03: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng(ABC) điểm A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng(ABC) và(SBC) 60 Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng; x az a ax 3y d1: vµ d2: y z x 3z a) Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 cắt b) Với a , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a Câu 04: Giả sử n số nguyên dương x a o a x a x a n x n n Biết tồn số k nguyên k n 1 cho a k 1 a k a k 1 , h·y tÝnh n 24 TÝnh tÝch ph©n: I x e x x dx 1 C©u 05: Gäi A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh để tam giác ABC điều kiện cần đủ là: cos A B C AB BC CA cos cos cos cos cos 2 2 trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (05) - 2002 Câu 01: Cho hàm số y x mx (1) x (m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu Với giá trị m khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 10? Câu 02: Giải phương trình: 16 log 27 x x log x x sin x cos sx a (2) (a lµ tham sè) sin x cos x Cho phương trình: a) Giải phương trình (2) a b) Tìm a để phương (2) có nghiệm Câu 03: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường thẳng d : x y đường tròn C : x y x y Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua ta kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn A B cho gãc AMB b»ng 60 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đường thẳng d: x y z mặt cầu S : x y z x y m Tìm M để đường thẳng d x y z cắt mặt cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm Tính thể tÝch khèi tø diÖn ABCD, biÕt AB = a; AC = b; AD = c góc BAC; CAD; DAB 600 Câu 04: Tính tích phân : I cos x sin x cos xdx Tìm giới hạn: lim x0 3x x 1 cos x Câu 05: Giả sử a, b, c, d bốn số nguyên thay đổi thoả mãn a b c d 50 Chøng minh bÊt ®¼ng a c b b 50 a c thức: tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: S b d b d 50 b trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (06) - 2002 Câu 01: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y x x 3x (1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (1) trục hoành Câu 02: sin x cos x Giải phơng tr×nh: log x x x 3x 5y log y y y 3y 5x Giải hệ phơng trình: Câu 03: Cho hình tứ diện ABCD, cạnh a cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD BC Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vu«ng gãc Oxy, cho elip (E) : x2 y2 đường thẳng d m : mx y a) Chøng minh với giá trị m, đường thẳng dm cắt elip (E) hai điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến qua điểm N(1;-3) Câu 04: Gọi a1, a2 ,, a11 hệ số khai triÓn sau: x 110 x x 11 a x 10 a x a 11 H·y tÝnh hệ số a5 Câu 05: Tìm giới hạn: L lim x 1 x 6x x 12 Cho tam gi¸c ABC cã diƯn tích Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C tam gi¸c Chøng minh 1 1 r»ng: a b c h a h b h c trang dung_toan78@yahoo.com C¸c đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (01) 2003 Câu 01: 2x 4x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 2(x 1) Tìm m để phương trình x x m x có hai nghiệm phân biệt Câu 02: Giải phương tr×nh: tgxtga sin x cos x log xy log x y Giải hệ phương trình: y x y C©u 03: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình y x điểm I(0;2) Tìm toạ độ hai điểm M, N thuéc (P) cho IM IN Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tø diƯn ABCD víi A(2;3;2), B(6;1;-2); C(-1;-4;3); D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam gi¸c ABM cã chu vi nhá nhÊt Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân với AB AC a góc BAC 120 , cạnh bên BB a Gọi I trung điểm CC Chứng minh tam giác AB I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC & AB I C©u 04: Cã số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác nhau? x dx cos x TÝnh tích phân: I Câu 05: Tìm giá trị lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa hµm sè: y sin x cos x trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (02) 2003 Câu 01: x 2 m 1x m m Cho hµm sè y 2x m (1) (m tham số) Tìm m để hàm số (1) có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m C©u 02: cos x cos x 2 tg x 1 Giải phương trình: 15.2 x x x 1 Giải bất phương trình: Câu 03: Cho tứ diƯn ABCD víi AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) (ABC) vuông góc với góc BDC = 90 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a b Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : x y 1 z 3x z vµ d2: 2 x y a) Chứng minh d1, d2 chéo vuông góc với b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 song song với đường thẳng : x4 y7 z3 2 C©u 04: Tõ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3? Tính tích ph©n: I x x dx Câu 05: Tính góc tam giác ABC biÕt r»ng: Trong ®ã AB c, CA b, BC a, p 4p(p a ) bc A B C 3 sin sin sin 2 abc trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (03) 2003 Câu 01: Cho hàm số: y x 1x mx m (1) (m lµ tham số) Tìm m để hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m Câu 02: Giải phương trình: cos x cos x cos x Tìm m để phương trình: log x log x m có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Câu 03: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy ®êng th¼ng d : x 7x 10 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc ®êng th¼ng : x y tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) Cho hình lập phương ABCD.ABCD Tìm điểm M thuộc cạnh AA cho mặt phẳng (BDM) cắt hình lËp ph¬ng theo mét thiÕt diƯn cã diƯn tÝch nhá Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vu«ng gãc Oxyz cho tø diƯn OABC víi A(0;0;a ), B(a;0;0), C(0; a ;0) (a > 0) Gäi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM OM Câu 04: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y x 41 x trªn đoạn 1; Tính tích phân: I ln ln e x dx eẽ Câu 05: Tìm chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên, số có chữ số thoã mãn điều kiện: Sáu chữ số số khác chữ số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị? trang dung_toan78@yahoo.com Các đề tham khảo Nguyễn Văn Dũng - 0912484775 Đề tham khảo (04) 2003 Câu 01: Cho hàm số: y 2x (1) x 1 Kh¶o sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) cđa hµm sè (1) Gäi I lµ giao ®iĨm hai ®êng tiƯm cËn cđa (C) T×m ®iĨm M thc (C) cho tiÕp tun cđa (C) t¹i M vuông góc với đường thẳng IM Câu 02: cos x sin 2x 4 Giải phương trình: cos x Giải bất phương trình: log x log x 1 log C©u 03: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc 0xy cho elip (E): x2 y2 , M(-2; 3), N(5; n) Viết phương trình đường thẳng d1, d2 qua M tiếp xúc với (E) Tìm n để số tiếp tuyến (E) ®i qua N cã mét tiÕp tuyÕn song song với d1 d2 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với ®¸y mét gãc b»ng (0 < < 90) Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm I(0;0;1), K(3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I, K tạo với mặt phẳng (xOy) mét gãc b»ng 30 C©u 04: Tõ mét tỉ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chän nh vËy a bxe x T×m a vµ b biÕt r»ng: f ' ( 0) 22 vµ Cho hµm sè: f ( x ) x 1 f (x)dx C©u 05: Chøng minh r»ng: x2 e cos x x x R x trang 10 dung_toan78@yahoo.com 10 ìbc = ìbc = -9 Từ (1) (2) ta có í hay í ỵ6 b - 3c = ỵ6 b - 3c = -9 ì ï Û b = c = hay íb = - ïỵc = -6 Vậy có mặt phẳng (Q) có phương trình là: x y z + + =1 3 x 2y z - =1 Câu IV: ìy ³ Ta có: y = - x Û í 2 ỵx + y = Là nửa đường tròn tâm O, bán kính R = , có y ³ Phương trình hồnh độ giao điểm đường y = x2 y = - x : x = - x Û x = ±1 ; - x ³ x2 x2 x Ỵ éë -1;1ùû Do ta có 1 S = ũ ổỗ - x - x ửữ dx = ò - x dx - ò x dx ø -1 è -1 -1 I1 = - x dx Đặt: x = ò -1 Þ dx = I1 = p p p costdt x = -1 Þ t = - ; x = Þ t = 4 - sin t cos tdt = ò p I1 = ỉ é p p ùư sint ỗ t ẻ - , ỳ ữ è ë 2 ûø ò cos t cos tdt p p ò - p p p p é ù4 æp ö cos2 tdt = ò (1 + cos 2t ) dt = ờt + sin 2t ỳ = ỗ + ÷ ë û -p è 2ø p - (Nhận xét : I1 = 4 p p p ò (1 + cos 2t ) dt = ò (1 + cos 2t ) dt - Vì f(t) = + cos 2t hàm chẵn) I2 = ò -1 x dx = ò x dx = trang 95 ỉp p p Vy S = ỗ + ữ - = + - = + (đvdt ) 3 è 2ø (Nhận xét : S = 1 ổ ổ 2ử 2ử ũ ỗố - x - x ÷ø dx = ò çè - x - x ÷ø dx -1 - x - x hàm chẵn) Vì g(x) = ì xy = x + y (1) ïx + ï x - 2x + Hệ phương trình í xy ïy + = y + x (2) ï y - 2y + ỵ Từ hệ suy ra: ổ ỗ ữ 1 2 + VT = xy ỗ ữ = x + y = VP 2 ỗ ( x - 1) + ( y - 1) + ÷ è ø 2 Dễ thấy |VT| £ 2|xy| £ x + y = VP ( ( x - 1) + +8 ( y - 1) £ dấu = xảy ) +8 Ta có VT = VP Û x = y = hay x = y = Thử lại, kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = hay x = y = Câu Va: Điều kiện n ³ ( Ta có: x + ) n = n å Cnk x 2k 2n-k k =0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 n- Ta có: An3 - 8Cn2 + Cn1 = 49 Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = Û (n – 7)(n2 + 7) = Û n = Nên hệ số x8 C74 23 = 280 Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ^ IM trung điểm H đoạn AB AB = 2 Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB Gọi H' trung điểm A'B' Ta có AH = BH = trang 96 ỉ 3ư Ta có: IH ' = IH = IA - AH = - ỗ ữ = ỗ ữ è ø Ta có: MI = 2 ( - 1) + (1 + ) MH = MI - HI = - =5 = 2 MH ' = MI + H ' I = + 13 = 2 49 52 + = = 13 4 169 172 R22 = MA '2 = A ' H '2 + MH '2 = + = = 43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Câu Vb: Ta có: R12 = MA2 = AH + MH = Phương trình: ( - log3 x ) log9 x (1) Û ( - log3 x ) Û =1 log3 x - log3 x - log3 x =1 + log3 x - log3 x (1) thành = (1) - log3 x đặt: t = log3x 2-t = Û t - 3t - = + t 1- t (vì t = -2, t = không nghiệm) Û t = -1 hay t = Do đó, (1) Û log3 x = -1 hay x = Û x = hay x = 81 * Chứng minh DAHK vng Ta có: AS ^ CB AC ^ CB (DACB nội tiếp nửa đường tròn) Þ CB ^ (SAC) Þ CB ^ AK mà AK ^ SC Þ AK ^ (SCB) Þ AK ^ HK Þ DAHK vng K * Tính VSABC theo R Kẻ CI ^ AB Do giả thiết ta có AC = R = OA = OC Þ DAOC R Ta có SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC) Þ CI ^ (SAB) Suy hình chiếu vng góc DSCB mặt phẳng (SAB) DSIB Þ IA = IO = trang 97 3 AB Suy SSIB = SSAB = R.SA (*) 4 1 Ta có: SSBC = BC.SC = R SA2 + R 2 Theo định lý diện tích hình chiếu ta có: Vì BI = R SSBC = SA2 + R 2 R Từ (*), (**) ta có: SA = SSIB = SSBC cos 60o = Từ VSABC (**) R3 = SA.dtD ABC = 12 @ - trang 98 Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 Đề I - x +1 (C) 2x + 1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox Câu I: Cho hàm số y = Câu II: pử ổ Gii phng trỡnh: 2 sinỗ x - ÷ cos x = 12 ø è Tìm m để phương trình: x - - x - + x - x - + = m có nghiệm Câu III: Cho đường thẳng d: x - y + z +1 = = mặt phẳng -1 (P): x + y + z + = Tìm giao điểm M d (P) Viết phương trình đường thẳng D nằm (P) cho D ^ d khoảng cách từ M đến D 42 Câu IV: 1 Tính I = x(x - 1) dx -4 òx Cho a, b số dương thỏa mãn ab + a + b = 3a 3b ab Chứng minh: + + £ a2 + b + b +1 a +1 a + b Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban): Chứng minh với n ngun dương ln có nC 0n - (n - 1)C1n + + (- 1)n - Cnn - + (- 1)n -1 C nn -1 = Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox có hồnh độ x ³ điểm C thuộc trục Oy có trung độ y ³ cho DABC vng A Tìm B, C cho diện tích DABC lớn Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): 1 Giải bất phương trình: log 2x - 3x + + log ( x - 1) ³ 2 2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB = AC = a , AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA 1BC1 ================ trang 99 Bài giải Câu I: Khảo sát (Bạn đọc tự làm) ỉ Giao điểm tiệm cận ng vi trc Ox l Aỗ - ,0 ữ ố ø 1ư ỉ Phương trình tiếp tuyến (D) qua A cú dng y = k ỗ x + ữ 2ø è ì -x + 1ư ỉ ïï 2x + = k ỗ x + ữ ố ứ (D) tip xỳc vi (C) / ùổỗ - x + ửữ = k coự nghieọm ùợố 2x + ø ì- x + 1ư ỉ ù 2x + = k ỗ x + ÷ (1) è ø ï Ûí ï -3 = k ( 2) ïỵ (2x + 1)2 Thế (2) vào (1) ta có pt hồnh độ tiếp điểm 1ư ỉ 3ỗ x + ữ -x + 2ứ =- ố 2x + ( 2x + 1) 1 Û (x - 1)(2x + 1) = 3(x + ) x ¹ - Û x - = 2 Û x = Do k = 12 ỉ 1ư Vậy phương trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = - ỗ x + ÷ 12 è 2ø Câu II: pư ỉ Gii phng trỡnh: 2 sinỗ x - ữ cos x = (1) 12 ø è é æ pử pự (1) ờsinỗ x - ữ - sin ú = 12 ø 12 û ë ố pử p ổ sin ỗ 2x - ÷ - sin = 12 ø 12 è pö p p p p ổ sinỗ 2x - ữ = sin + sin = sin cos 12 ø 12 12 è pư p 5p ỉ Û sinỗ 2x - ữ = cos = sin 12 ứ 12 12 è p 5p p 7p = + k2 p hay 2x - = + k2 p 12 12 12 12 p p Û x = + kp hay x = + k p ( k Ỵ Z ) ( k Ỵ Z) Û 2x - P/trình cho Û (x - ) - x - +1 + (x - ) - x - + = m (1) trang 100 ( Û ) x - -1 + ( ) x-4 -3 = m Û x - -1 + x - - = m (1) đặt: t = x - ³ (1) Û t - + t - = m (*) Phương trình cho có nghiệm Û phương trình (*) có nghiệm t ³ Vẽ đồ thị hàm số f (t ) = t - + t - , t ³ ì4 - t neáu £ t £ ï £ t £ Ta có f (t) = í2 ï2t - t ³ î y 2 x Từ đồ thị ta có ycbt Û < m £ Cách khác Û t - + t - = m t ³ { { { Û £ t < hay £ t £ hay t > m = - 2t m=2 m = 2t - ì ì ï0 £ t < ït > ï ï £ £ t Û í2 < m £ hay hay ím > = m ï 4-m ït = + m ïỵt = ïỵ Do đó, ycbt Û < m £ ( < m £ (*) có nghiệm t1, t2 thỏa £ t1 < t2 > ) { Câu III: Tìm giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng (P) ìx = + t ï Phương trình số d: íy = -2 + t có VTCP a = (2,1,-1) ïz = -1 - t ỵ Thế vào phương trình (P): (3 + 2t) + (–2 + t) + (–1 – t) + = Þ t = –1Þ M ( ;- ; 0) [ ] Mặt phẳng (Q) chứa d vng góc (P) có PVT n Q = a, n P = (2,-3,1) Suy phương trình mặt phẳng (Q) chứa d vng góc (P) là: 2(x – 1) – 3(y + 3) + 1(z – 0) = Û 2x – 3y + z – 11 = (Q) Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu d lên mặt phẳng P là: r d': x + y + z + = có VTCP ad ' = ( 4;1; -5 ) 2x - 3y + z - 11 = { Q d M N d' P D trang 101 ìïx = + 4t Þ Phương trình tham số d': íy = -3 + t ïỵz = -5t Trên d' tìm điểm N cho MN = 42 Vỡ N ẻ d' ị N(4t +1, –3 + t, – 5t) MN = ( 4t ) + t + ( -5t ) = 42t = 42 Þ t = Û t = ±1 t = Þ N1(5, –2, –5) r r r Đường thẳng D1 qua N1 nằm (P), vng góc d' có VTCP a D1 = éë n P , a d ' ùû = ( -6;9; -3) = -3 ( 2, -3,1) x -5 y + z+5 Vậy phương trình D1: = = -3 t = –1 Þ N2(–3, –4, 5) ( ) Đường thẳng D2 qua N2 nằm (P), vng góc d' có VTCP aD = n P , ad ' = -3 ( 2, -3,1) Vậy phương trình D2: x +3 y+ z-5 = = -3 Câu IV: 1 x(x - 1) x2 - x Tính I = dx = dx x2 - x2 - ò ò 0 1 x ö d ( x - 4) dx ỉ dx = ò ç1 - + = + ÷ 2 ò ò x -4 x -4 ø x -4 x - 22 0è 1 1 x -2 ù = - ln x - ùû + ln = + ln - ln ú x +2 û0 2 Từ giả thiết a, b > ab + a + b = Suy ra: ab = - (a + b) , (a+1)(b+1) = ab +a +b + = bđt cho tương đương với 3a(a + 1) + 3b(b + 1) a + b2 + ³ + -1 (a + 1)(b + 1) a+b ( ) 3 3 ³ a + b + (a + b ) + -1 4 a+b 12 Û a2 + b2 + ³ a2 + b + 3(a + b ) + -4 a+b 12 Û a + b2 - ( a + b ) + 10 ³ (A) a+b Đặt x = a+b > Þ x = (a + b) ³ 4ab = 4(3 - x) Û a2 + b + ( ) ( ) Þ x + 4x - 12 ³ Þ x £ -6 hay x ³ Þ x ³ ( x > 0) x = a + b + 2ab Þ a + b = x - 2(3 - x) = x + 2x - Thế x , (A) thành 12 x - x - + ³ , với x³ x Û x - x + 4x - 12 ³ , với x³ trang 102 Û ( x - ) ( x + x + ) ³ , với x³ (hiển nhiên đúng) Vậy bđt cho chứng minh Câu Va: Với n Ỵ N ta có (x - 1)n = C0n x n - C1n x n -1 + + (- 1)n -1 Cnn -1x + (- 1)n Cnn Lấy đạo hàm hai vế ta có n(x - 1)n -1 = nC 0n x n -1 - (n - 1)C1n x n - + + (- 1)n -1 C nn -1 Cho x = ta có = nC 0n - (n - 1)C1n + + (- 1)n -1 C nn -1 Ta có A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c ³ Ta có DABC vng A Û AB.AC = Ta có AB = (b - 2,-1) ; AC = (- 2, c - 1) Do DABC vuông A Þ AB.AC = -2(b - ) - (c - 1) = Û c - = -2(b - ) Þ c = -2 b + ³ Þ £ b £ Ta lại có SABC = SABC = 1 AB.AC = 2 (b - )2 + (b - 1)2 + + (c - 1)2 + 4(b - )2 = (b - )2 + nên SABC = (b – 2)2 + lớn Û b = Khi c = Vậy, ycbt Û B(0, 0) C(0, 5) £ b £ Câu Vb: 1 Giải phương trình: log 2x - 3x + + log ( x - 1) ³ (1) 2 ( ) ( ) 1 (1) Û - log 2 x - 3x + + log (x - 1)2 ³ 2 1 Û - log 2 x - 3x + + log (x - 1)2 ³ 2 Û log ( x - 1) ³1Û (x - 1) ³2 (x - 1)(2x - 1) 1ư ỉ ( x - 1) ỗ x - ữ 2ứ ố (x - 1) -3x + 1 Û ³2Û ³0Û £x< (2x - 1) 2x - 2 Chọn hệ trục Oxyz cho A(0,0,0); C(-a,0,0); B(0,a,0), A1(0,0, a ) ỉ ỉ a a a 2ư a 2ử Suy M ỗỗ 0, 0, ữữ C1(-a,0, a ) N ỗỗ - , , ữữ v ø è è 2 ø uuuur uuuur æ a a ö BC1 = -a, -a, a ; MN = ỗ - , , ữ ; AA1 = 0,0, a è 2 ø ( ) ( ) trang 103 Ta có: MN.BC1 = MN.AA1 = Vậy MN đường vng góc chung hai đường thẳng AA1 BC1 uuuuur æ æ ỉ uuur uuuur 2ư Ta có MA1 = a ỗỗ 0, 0, ữữ MB = a çç 0,1, ÷÷ MC1 = a çç -1, 0, ÷ ø ø ÷ø è è è uuuuur uuur ỉ Ta có éë MA1 , MBùû = a ỗỗ , 0, ữữ ố ø [ ] Þ MA1 , MB MC1 = VMA 1BC1 = [ a3 2 ] a3 MA1 , MB MC1 = (đvtt) 12 @ - trang 104 Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 Đề II x (C) x -1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân Câu I: Cho hàm số y = Câu II: Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx ìï2x - y - m = Tìm m để hệ phương trình : í có nghiệm ïỵx + xy = Câu III: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = đường thẳng d1 : x -1 y - z = = 2 -3 x-5 y z+5 = = -5 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q) ^ (P) Tìm điểm M Ỵ d1, N Ỵ d2 cho MN // (P) cách (P) khoảng d2 : Câu IV: p ò Tính I = x cos xdx Giải phương trình: log 2x - = + x - 2x x Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban): Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0, 1) B(2, –1) đường thẳng: d1: (m – 1)x + (m – 2)y + – m =0 d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – = Chứng minh d1 d2 cắt Gọi P = d1 Ç d2 Tìm m cho PA + PB lớn Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): Giải phương trình: 23x +1 - 7.2 x + 7.2 x - = Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ^ B1C tính d(BM, B1C) ============== trang 105 Bài giải Câu I: Khảo sát hàm số (Bạn đọc tự giải) -1 < 0, " x ¹ Ta có y ' = ( x - 1) Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác vuông cân ta phải có hệ số góc tiếp tuyến –1 tức là: -1 = -1 Û (x - 1)2 = Þ x1 = 0, x = 2 (x - 1) Tại x1 = Þ y1 = Þ phương trình tiếp tuyến y = –x Tại x2 = Þ y2 = Þ phương trình tiếp tuyến y = –x + Câu II: Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx (1) 2t Đặt: t = tgx Þ sin x = Pt (1) thành + t2 2t (1 - t ) ổỗ1 + ửữ = + t (1 - t )( t + 1) = (t + 1)(1 + t ) è 1+ t ø Û t + = hay (1 - t )( t + 1) = (1 + t ) Û t = -1 hay t = Do (1) Û tgx = hay tgx = –1 p Û x = kp hay x = - + kp, kỴ ¢ Cách khác (1) Û (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx (hiển nhiên cosx = không nghiệm) Û cosx + sinx = hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = p Û tgx = -1 hay cos2x = 1Û x = - + kp hay x = kp, kẻ  Tỡm m để hệ sau có nghiệm ìï2x - y - m = ìï2 x - y - m = (I) í Ûí ïỵx + xy = ïỵ xy = - x ìxy ³ ta có Với điều kiện: í ỵx £ ì y = 2x - m ì y = 2x - m ï (I) Û í Û í 1- x) ( ( x £ 1) ỵ xy = (1 - x ) ïỵ y = x (1 - x ) Þ = 2x - m Û x + ( - m ) x -1 = (*) x ( hiển nhiên x = không nghiệm (*) ) Đặt f (x) = x + ( - m ) x - , ( a = ) ycbt Û tìm m để phương trình (*) có nghiệm thỏa x £ trang 106 ìïf (1) = ìïD = 0(vn, ac < ) Û af(1) < hay í c hay í b = -1 > 1(VN) - £1 ỵï a ỵï 2a Û 2-m< Û m > Câu III: d1 qua A(1, 3, 0), VTCP a = (2,-3,2 ) Mặt phẳng (P) có PVT n P = (1,-2,2 ) [ ] M/phẳng (Q) chứa d1 ^ (P) nên (Q) có PVT n Q = a, n P = (- 2,-2,-1) Vậy (Q) qua A có PVT n Q = (- 2,-2,-1) nên phương trình (Q): –2(x – 1) – 2(y – 3) – 1(z – 0) = Û 2x + 2y + z – = ìï x = + 2t P/trình tham số d1: í y = - 3t ùợz = 2t M ẻ d1 Þ M (1 + 2t,3 - 3t, 2t ) ìï x = + 6t ' P/trình tham số d2: í y = 4t ' ïỵz = -5 - 5t ' M ẻ d ị N ( + 6t ', 4t ', -5 - 5t ') Vậy MN = (6t '-2 t + 4,4t '+3t - 3,-5t '-2t - 5) Mặt phẳng (P) có PVT n P = (1,-2,2 ) Vì MN // (P) Û MN.n P = Û 1( 6t '- 2t + ) - ( 4t '+ 3t - 3) + ( -5t '- 2t - 5) = Û t = - t ' Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) d(M, P) MN // (P) + 2t - 2(3 - 3t ) + 2(2 t ) - =2 1+ + Û -6 + 12t = Û -6 + 12t = hay - + 12t = - Û t = 1hay t = t = Þ t' = –1 Þ M1(3, 0, 2) N1(–1, –4, 0) t = Þ t' = Þ M2(1, 3, 0) N2(5, 0, –5) Câu IV: p ò Tính I = x cos xdx Đặt: u = x2 Þ du = 2xdx ; dv = cosxdx , chọn v = sinx p Vậy I = ò Ta có x p 2 x cos xdx = x sin x p sin x = p - ò x sin xdx p2 trang 107 p I1 = ò x sin xdx ; Đặt u = x Þ du = dx dv = sinxdx, chọn v = - cosx p I1 = ò x sin xdx p = -x cos x 02 p + ò cos xdx p = [ - x cos x + sin x ] = p Vậy : I = ò x cos xdx = Giải phương trình log2 p2 -2 2x - = + x - x (*) x ìï2x - > ìï2 x > = Điều kiện ớ x>0 ùợx ùợ x (*) Û log2 2x - = - x + x x > x Û log2 (2x - 1) - log2 x = - x + x x > Û (2x - 1) + log2(2x - 1) = x + log2x (**) Xét hàm f(t) = t + log2t đồng biến nghiêm cách t > Do f(u) = f(v) Û u = v, với u > 0, v > Vậy từ (**) Û 2x - = x Û 2x - x -1 = (***) Lại xét hàm g(x) = 2x - x - x > g'(x) = 2xln2 - , g'(x) = Û 2x = = log2 e > ln Û x = log2 (log2 e) > Ta có g//(x) > với x nên g'(x) hàm tăng R Þ g / (x) < 0, "x < log (log e) g / (x) > 0, "x > log (log e) ị g gim nghiờm cỏch trờn ( -Ơ;log (log e)] g tăng nghiêm cách [ log (log e);+Ơ ) ị g(x) = có tối đa nghiệm ( -¥;log (log e)] , có tối đa nghiệm [ log (log e);+¥ ) cách thử nghiệm ta có pt g(x) = (***) có nghiệm x = x = Vì x > nên (*) Û x = Câu Va: 1/ Gọi n = a1a a a số cần tìm Vì n chẵn Þ a4 chẵn * TH1 : a4 = Ta có cách chọn a4 cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 10 trang 108 Vậy ta có 1.6.5.4 = 120 số n * TH2 : a4 ¹ Ta có cách chọn a4 cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a4 Vậy ta có 3.5.5.4 = 300 số n Tổng cộng hai trường hợp ta có : 120 + 300 = 420 số n Tọa độ giao điểm P d1, d2 nghiệm hệ phương trình ì(m - 1)x + (m - 2)y = m - í ỵ(2 - m)x + (m - 1)y = -3m + Ta có D = m -1 m - 3ư ỉ = 2m - 6m + = ỗ m - ÷ + > "m - m m -1 2ø è 3ư ỉ Vì D = ỗ m - ữ + > "m nên d1, d2 luôn cắt 2ø è Ta dễ thấy A(0,1) Ỵ d1 ; B(2,-1) Ỵ d2 d1 ^ d2 Þ D APB vng P Þ P nằm đường tròn đường kính AB Ta có (PA + PB)2 £ 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = (2 2)2 = 16 » Þ PA + PB £ Dấu "=" xảy Û PA = PB Û P trung điểm cung AB » Vậy Max (PA + PB) = P trung điểm cung AB Þ P nằm đường thẳng y = x – qua trung điểm I (1 ;0) AB IP = Þ P (2 ; ) hay P (0 ;- 1) Vậy ycbt Û m = v m = Câu Vb: Giải phương trình : 23x+1 - 7.22x + 7.2x - = Û 2.23x - 7.22x + 7.2x - = Đặt t = 2x > (1) thành 2t3 - 7t2 + 7t - =0 Û (t - 1)(2t2 - 5t + 2) = Û t = hay t = hay t = Do pt cho tương đương 2x = 1hay x = hay x = Û x = hay x = hay x = -1 2 Chọn hệ trục Oxyz cho ỉ a a ỉ a a ỉ ta có A(0 ;0 ;0); A1(0,0,a); C ( - a ;0 ;0 ) Þ B ỗỗ - , , ữữ ; B1 ỗỗ - , ,a ữữ ;M ỗ 0, 0, ữ 2ứ è è 2 ø è 2 ø uuuur uuuur a2 3a2 a2 uuuur æ a a a uuuur ỉ a a Þ BM = çç , Þ BM.CB1 = + = Þ BM ^ B1C , ữữ ;CB1 = ỗỗ , ,a ữữ 4 2 2ø è2 è2 ø uuuur uuuur uuuur [BM.B1C].BB1 a 30 uuuuur Ta có B.B1 = (0, 0,a) Þ d(BM, B1C) = = uuuur uuuur 10 [BM.B1C] @ - 11 trang 109