ĐỀ 3 ÔN KIỂM TRA HK2 - 11NC - 2009

ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009 ĐỀ 3 ( Thời gian làm bài 90 phút ) Câu I ( 1,0 điểm ) Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết 5 9 u 19 u 35 =   =  Câu II ( 3,0 điểm ) a. Tìm giới hạn của dãy số ( n u ) với n 2n sin n u n + = b. Tìm giới hạn sau : 2 x 2 x 2 x lim x 4x 4 → + + − + − c. Cho hàm số 3 2 x f (x) n 1  −  =  − ≥ −   nÕu x < 1 2x 3 Õu x . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) a. Tìm đạo hàm của hàm số y x cos3x= . b. Cho hàm số y sin 2x cos2x= − . Hãy giải phương trình y '' 0= . c. Cho hàm số y 2x 1= + có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : 1 y x 1 3 = + . Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC . a. Chứng minh rằng : AI ⊥ mp(MBC) . b. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) . c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) . . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN Câu I ( 1,0 điểm ) Gọi 1 u là số hạng đầu , d là công sai của cấp số cộng . Áp dụng công thức : n 1 u u (n 1)d= + − , ta có : 1 1 5 9 1 u 4d 19 u 3 u 19 u 35 u 8d 35 d 4 + = =   =  ⇔ ⇔    = + = =    Vậy cấp số cộng này có 1 u 3, d 4= = . Câu II ( 3,0 điểm ) a. ( 1đ ) Ta có : n n n sin n sin n sin n u 2 u 2 lim(u 2) lim n n n = + ⇒ − = ⇒ − = Vì sin n 1 1 sin n | | lim 0 n 0 n n n n ≤ = = , nª lim nên n limu 2= b. (1đ) 2 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x lim lim x 4x 4 (x 2) → → + + + + = = −∞ − + − − − Vì 2 2 x 2 x 2 lim ( x 2 x) 4 lim [ (x 2) ] 0 (x 2) 0 → → + + = − − = − − < , vµ c. (1đ) Tập xác định D = ¡ Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 1 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009 + Nếu x 1< − thì 3 f (x) x= là hàm đa thức nên liên tục trên ( ; 1)−∞ − (1) + Nếu x 1> − thì 2 f (x) 2x 3= − là hàm đa thức nên liên tục trên ( 1; )− +∞ (2) + Tại x 1= − Ta có : f( − 1) = 2( 2 1)− − 3 = − 1 3 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim x 1 − − → − → − = = − 2 2 x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim (2x 3) 2( 1) 3 1 + + → − → − = − = − − = − Vì x ( 1) x ( 1) lim f (x) lim f (x) 1 + − → − → − = = − nên x 1 lim f(x) 1 f ( 1) →− = − = − Vậy hàm số đã cho liên tục tại o x 1= − (3) Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên ¡ . Câu III ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : (cos3x)' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x y' cos3x x. cos3x x. 2 cos3x 2 cos3x 2 cos3x − − = + = + = b. (1đ) Ta có : y' 2cos 2x 2sin 2x y'' 4sin 2x 4cos 2x= + ⇒ = − + Do đó : y'' 0 4sin 2x 4cos 2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k ;k 4 4 8 2 π π π π = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + ∈ ¢ c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là ( ∆ ) . Vì ( ∆ ) // (d) : 1 y x 1 3 = + nên ( ∆ ) có hệ số góc k = 1 3 . Gọi o o M(x ; y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Ta có : 1 y' 2x 1 = + nên o o o o o 1 1 k y'(x ) 2x 1 3 x 4 (y 3) 3 2x 1 = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = = + Suy ra phương trình tiếp tuyến : 1 1 5 y (x 4) 3 y x 3 3 3 = − + ⇔ = + Câu IV ( 3,0 điểm ) a. (1đ) Ta có : MB (ABC) MB AI⊥ ⇒ ⊥ (gØa thiÕt) (1) , do AI ⊂ (ABC) . Mặt khác : AI BC⊥ (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI . Từ (1) , (2) suy ra AI (MBC)⊥ b. (1đ) Ta có : (ABC) (ABC) MB (ABC),B (ABC) B hc M BI hc MI⊥ ∈ ⇒ = ⇒ = Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là · M I B . Vì tam giác MBI vuông góc nên · · MB tan MIB 4 MIB arctan 4 IB = = ⇒ = c. (1đ) Do AI (MBC)⊥ , suy ra : (MIA) (MBC)⊥ . Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI . Từ B kẻ BH ⊥ MI suy ra BH (M IA),H (M IA) d(B;(MIA)) BH⊥ ∈ ⇒ = . Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có : a BI ,MB 2a 2 = = nên : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 17 BH BI MB a 4a 4a 2a 17 4a BH BH 17 17 = + = + = ⇒ = ⇒ = Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 2 - . − (3) Từ (1),(2), (3) suy ra hàm số liên tục trên ¡ . Câu III ( 3, 0 điểm ) a. (1đ) Ta có : (cos3x)' 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x y' cos3x x. cos3x. định D = ¡ Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 1 - ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC : 2008 - 2009 + Nếu x 1< − thì 3 f (x) x= là hàm đa thức nên liên