tong hop thi hoc sinh gioi cac cap11 12 cap tinh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 - 2012 THANH HÓA ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Lớp thcs Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng năm 2012 Câu I (4đ) æ x- æ x - +1 x +8 ữ ỗ ỗ ữ + : ỗ ỗ Cho biu thc P = ỗỗ ữ ỗ ữ ỗx - x - - è3 + x - 10 - x ø è x- ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1ø 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P x = 3+ 2 3− 2 −4 3−2 3+ 2 Câu II (4đ) Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB Câu III (4đ)  x2  +x=2  y 1) Giải hệ phương trình  y + y =  x 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng: 1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2) KH ⊥ AM Câu V (2đ) Với ≤ x; y; z ≤ Tìm tất nghiệm phương trình: x y z + + = + y + zx + z + xy + x + yz x + y + z (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh SDB ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02/2012 Câu 1:ĐK < x ¹ 10 1) P= x - +9 é x - +4ù ú :ê ê x- 10 - x x- 1- ú ê ú ë û P= 3( x - + 3) x - x - - 10 - x x - +4 P= x - 1( x - 10)( x - - 2) 3( x - 2) =2(10 - x)( x - 1- 4) 2( x - 5) ( b) x = 3+2 3- 2 ) 3- 2 = (3 + 2) 3+2 (3 - 2) = + 2 - 3- 2 => x= + - ( - 1) = x>1 Vậy P=0 Câu II: 1) Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình x2+x-2=0 => x=1 x=2 Vậy A(1,-1) B(-2;-4) A(-2;-4) vàB(1;-1) 2)Để (d’) cắt (P) điểm phân biệt phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt D > m < Ta có khoảng cách AB2 =18 để CD = AB (x1-x2)2+(y1-y2)2=18 (x1-x2)2=9 (x1+x2)2-4x1x2=9 1-4m-9=0=> m=-2(TM) Vậy C(-1,-3) D(2;0) D(-1;-3) C(2;0 Câu III 1,ĐK x ¹ 0, y ¹ Đặt x=ky ( k ¹ 0) ìï (k + k ) y =  x2 ïï  +x=2  y í  ïï ( +1) y = (1) ïỵ k y + y =  x ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hố Nếu k=-1 hệ phương trình (1) vơ nghiệm nên hệ phương trình cho vơ nghiệm Nếu k ¹ -1 (k + k )k =4 từ (1) => k +1 => k=2 k = -2 3 Nếu k=2 => ( x, y ) = ( ; ) Nếu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, Từ 2x6 + y2 – x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y khơng nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) Câu IV: 1) Ta có Eµ = Fµ = 900 nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm (C1) trung điểm AH ¼ · EAH = sd EH (1) · · mà EAH (2) ( phụ với góc ACD) = CBE · · (3)( đương trung tuyến ứng với cạng huyền) MEB = CBE ¼ · = sd EH Từ (1), (2) (3) ta có MEH => ME tiếp tuyến đường tròn tâm (C1) A F E N B K C D M C ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 2, gọi giao điểm AM với KH N trước tiên chứng minh điểm A,E,H,N,F thuộc đường tròn · E = ACB · · E = AFE · · · ; AN => ANE = ACB Ta thấy AF => nghĩa C,M,N, F thuộc đường tròn chứng minh A,E,N, B nội tiếp · KNM = 900 KH ⊥ AM Câu V:: vai trò x,y,z nên £ x £ y £ z £ y z + = + z + zy y + z y z 1 Nếu x= => => (1 + z - y + z ) + (1 + zy - y + z ) = y + z => ( y - 1)( y +1 + z ) z2 - 1 + = (1 + z )( y + z ) (1 + yz )( y + z ) y + z Ta có VT ³ mà VP < nên trường hợp khơng có nghiệm Nếu x khác mà £ x £ y £ z £ ⇔ ( z − 1)(1 − x ) ≤ + zx ≥ x + z >0 ⇔ x + z − zx − ≤ ⇔ x − zx + z − ≤ với ≤ x; z ≤ Dấu “=” xảy khi: x=z=1 + Ta có: + zx ≥ x + z ⇔ + y + zx ≥ x + y + z x x ≤ + y + zx x + y + z y y ≤ + Tương tự: + z + xy x + y + z z z ≤ + x + yz x + y + z y x+ y+z x z ⇒ VT = + + ≤ = (1) + y + zx + z + xy + x + yz x + y + z + Mặt khác, vì: ≤ x; y; z ≤ ⇒ x + y + z ≤ 3 ⇒ VP = ≥ = Dấu “=” xảy : x=y=z=1 (2) x+ y+z + Từ (1) (2) ⇒ VT = VP khi: VT = VP = Khí x=y=z=1 * Vậy phương trình có nghiệm nhất: ( x; y; z ) = (1; 1; 1) ⇒ ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 23/03/2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Họ tên, chữ ký giảm thị số Bài : (4,0 điểm) Với x ≥ tính A = x+ − 3 + + − x 1+ + 5−2 + x Bài 2.(3,0 điểm) Tìm số thực x, y thỏa mãn : x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 58 = Bài 3(4,0 điểm) Giải hệ phương trình : x2 + y2 –x – y = 12 x + y + xy = Bài 4(6,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp điểm AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E Gọi I trung điểm DE a Chứng minh năm điểm B, O, I, C, A thuộc đường tròn IA tia phân giác góc BIC b Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC H, cắt BE K Chứng minh H trung điểm DK Bài (2,5 điểm) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh : a b c + + >2 b+c c+a a+b - Hết - ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1) Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 − 2013 1007 + 2013 − 2 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( n ∈ Z ) Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x - 2012 So sánh f(1- 2011 ) f(1- 2013 ) Câu 5: (1,5điểm) Cho ∆ABC có trung tuyến AM Chứng minh : AB2 + AC = 2AM + BC2 Câu : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : x + y ≥ xy + x3 y Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = ( x − 3) − 2 x − + µ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh rằng: Câu 9: (1,5điểm) Cho ∆ABC có A BC = 2R.sin A Câu 10:(1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = Câu 11:(1,5im) Cho ABC, đờng thẳng d cắt AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù E ,F,N (E ≠ A,B F ≠ A,C ).Chøng minh : AB AC 2AM + = AE AF AN Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường tròn Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB với OH Chứng minh D điểm cố định HẾT -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TỐN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1) A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ = (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ = (a–b)3+(a–b)2 0,5đ = 33+32=36 0,5đ Câu 2(2,0 điểm) B = 2014 − 2013 2014 + 2013 − 4 0,5đ ( 2013 − 1) ( 2013 + 1) − 4 2013 − 2013 + = − 2 0,5đ = 0,5đ = -1 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( n ∈ Z ) 0,5đ A = n3 – 6n2 – 12n + 18 0,5đ A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ Do n(n – 1)(n+1) tích số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 0,5đ Mặt khác – 6n2 – 12n + 18 nên A 0,5đ Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x- 2012 So sánh f(1- 2011 )và f(1- 2013 ) Biến đổi (4m - m2 - 5) = − ( m − ) + 1 ⇒ − ( m − ) + 1 < ⇒ hàm số y = f(x ) nghịch biến 0,5đ 0,5đ   Lập luận − 2011 > − 2013 ⇒ f (1 − 2011) < f (1 − 2013) 0,5đ 0,5đ A Câu : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh : AB2 + AC2 = 2AM + BC2 Vẽ AH ⊥ BC ,H ∈ BC c/m AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 ST: Phạm Văn VượngB H M NBS-HH-Thanh Hoá C (1) 0,5đ c/m AH2 = AM2 - HM2 BH2 = BM2 -2BM HM+HM2 CH2 = HM2 -2HM CM+CM2 BC Từ (1),(2) ⇒ AB2 + AC = 2AM + (2) 0,5đ 0,5đ Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương Vì a + 13 a – 76 số phương Đặt a + 13 = m , a – 76 = n với m, n ∈ N ⇒ m2 – n2 = 89 ⇔ (m – n)(m + n) = 89 0,25đ 0,25đ m − n =  m = 45 ⇔  m + n = 89  n = 44 Vì 89 số nguyên tố m – n < m + n nên  0,75đ a +13 = 452 ⇒ a = 2012 0,25đ Câu : (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : x + y ≥ xy + x3 y (1) (1) ⇔ x + y ≥ xy + x3 y ⇔ x(x3- y3) – y(x3- y3) ≥ 0,5đ ⇔ (x-y)2(x2 + xy + y2) ≥  y  3y  ⇔ (x-y)2  x + ÷ + ≥0 2   (2) ln ⇒ (1) 0,25đ (2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Dấu “ =” xày x = y Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = ( x − 3) − 2 x − + 2 C= x − − 2 x − + Đặt t = |2x- 3| ≥ ⇒ C = t2 – 2t + C = (t –1)2 + ≥ ⇒ giá trị nhỏ biểu thức C t = ⇔ x = x = 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ µ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có A rằng: BC = 2R sin A A D O B C Vẽ đường kính BD ⇒ ∆BCD vng C ⇒ BC = BD.sinD (1) µ =D µ , BD = 2R (2) Ta có A Từ (1) (2) ⇒ BC = 2R.sinA Câu 10: (1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = x2 – 2y2 = ⇔ (x-1)(x+1) = 2y2 Vì y nguyên tố x+1 > x-1 nên xảy trường hợp: x +1 = y x = 1)  ⇔ x −1 = y y = ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ x = x +1 = y2  ⇔  (loại) 2)  x −1 =  y = x +1 = y2 x = ⇔ 3)  y = x −1 = 0,25đ 0,25đ Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ Câu 11: Cho ∆ABC, đường thẳng d cắt AB AC trung tuyến AM theo thứ tự E , F , N (E ≠ A,B F ≠ A,C )Chøng minh : AB AC 2AM + = AE AF AN (I,S ∈ tia AM) KỴ BI, CS / /EF AB AI AC AS = , = Ta cã: AE AN AF AN AB AC AI AS ⇒ + = + (∗) AE AF AN AN c/m ∆BIM = ∆CSM (cgc) ⇒ IM = MS A E d B F N I C M AI + AS = AI + AI + IM + MS = 2AM S Thay vào (*) ta đợc (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 12: Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường tròn Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) ( A,B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB OH Chứng minh D điểm cố định Gọi C giao điểm AB OM Chứng minh OC.OM = OD.OH Lập luận OC.OM = OA2= R2 ⇒ OD.OH = R2 Chứng minh : OD = 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ R không đổi OH 0,25đ D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định 0,25đ HẾT ST: Phạm Vn Vng- NBS-HH-Thanh Hoỏ 10 Sở Giáo dục Đào t¹o Đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2011-2012 HƯNG N Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I Tính f(x) = (x4 + x-7)2012 x = (4+ 15)( − 3) − 15 Cho (P) y = x2 hai điểm A1, A2 (P) cho góc A1O A2 = 900 Gọi hình chiếu A1, A2 Ox B1, B2 , chứng minh OB1.OB2 = Câu II Cho PT x2 -3mx- m = có hai nghiệm phân biệt m2 x12 + 3mx2 + 3m + Tìm S = x2 + 3mx1 + 3m m2 Giải PT nghiệm nguyên x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – = Câu III xy  2  x + y + x + y = 1(1) Giải hệ   x + y = x − y (2)  2 Giải PT (3x+1) x − = x + x − Câu IV Cho tam giác ABC vuông C có đường cao CD Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD cắt CA, CB E F Gọi M giao điểm BE đường tròn tâm O; AC cắt MF K, EF cắt BK P a) Chứng minh bốn điểm B, M, F, P thuộc đường tròn b) Khi D, M, P thẳng hàng, tính góc tam giác ABC Cho tam giác ABC vuông C có góc A 600 trung tuyến BD = a Tính dịên tích tam giác ABC theo a Câu V Cho sáu đường tròn có bán kính có điểm chung Chứng minh tồn đường tròn chứa tâm đường tròn khác ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 24 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH HƯNG YÊN 2012 Câu I 1.Tính f(x) = (x4 + x-7)2012 x = (4+ 15)( − 3) − 15 2.Cho (P) y = x2 hai điểm A1, A2 (P) cho góc A1O A2 = 900 Gọi hình chiếu A1, A2 Ox B1, B2 , chứng minh OB1.OB2 = Lời giải: HS tự làm 2.Do giả thiết hai điểm A1, A2 (P) nên gọi A1( a;a2) A2( b; b2) B1(a; 0), B2(b; 0) đường thẳng OA1,OA2 có PT y = ax y = bx góc A1O A2 = 900 nên hai đường thẳng vng góc, suy ab = -1 nên OB1.OB2 = a b =1 Câu II Cho PT x2 -3mx- m = có hai nghiệm phân biệt m2 x12 + 3mx2 + 3m + Tìm S = x2 + 3mx1 + 3m m2 Lời giải: -) PT có nghiệm 9m2 + 4m ≥ hay m(9m+4) ≥ 0(*) -) x -3mx- m = ⇔ x2 = 3mx+ m nên S = m2 3mx1 + 3mx2 + 4m + 3mx2 + 3mx1 + 4m m2 3( x1 + x2 ) + m 9m + = + m 9m + m m Để S tồn m khác − từ ĐK ta có > 0nên áp dụng BĐT Cơsi ta có 9m + S ≥ 2, mà thấy m = - thoả mãn (*) S = nên S = 2 m S = 3( x + x ) + + 2.Giải PT nghiệm nguyên x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – = HD: Coi PT bậc hai với ẩn t = x2 ta tính PT có ∆ = 9( y + 2) từ ta có x2 = y2 + 5(1) x2 = - y2 – 1(vô nghiệm) Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy 2k2 + 2k - y2 = y phải chẵn nên đặt y = 2z suy k(k+1) – 2z = (vô nghiệm VT chia hết cho vế phải khơng chia hết cho 2) Câu III xy  2  x + y + x + y = 1(1) 1.Giải hệ   x + y = x − y (2)  Lời giải: ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 25 ĐK x+y > (1) ⇔ (x+y)3 -2xy(x+y) +2xy –(x+y) = ⇔ (x+y -1)[(x+y)(x+y+1) – 2xy] = ⇔ x+y -1= (3) (x+y)(x+y+1) – 2xy = 0(4) • Ta có (4) ⇔ x + y + x+y = 0( vô nghiệm ĐK) • Giải hệ (2), (3) khơng khó 2.Giải PT (3x+1) x − = x + x − Lời giải: ĐK: x − ≥ Đặt t = x − Ta có PT tương đương với 2(3x+1) x − = 4(2 x − 1) + x + x − Nên có 4t2 -2(3x+1)t + 2x +3x – = coi PT bậc hai ẩn t ta có ∆ = ( x − 3)2 , từ tìm nghiệm PT Câu IV Cho tam giác ABC vng C có đường cao CD Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD cắt CA, CB E F Gọi M giao điểm BE đường tròn tâm O; AC cắt MF K, EF cắt BK P c) Chứng minh bốn điểm B, M, F, P thuộc đường tròn d) Khi D, M, P thẳng hàng, tính góc tam giác ABC HD: · · · · » = DE » từ giải tốn b) Ta có DME nên CE = BMP = BFP = CFE Cho tam giác ABC vuông C có góc A 600 trung tuyến BD = a Tính dịên tích tam giác ABC theo a HD: Vì góc A 600 nên BC = AC Xét tam giác BCD tính BC theo a, từ tính SABC theo a Câu V Cho sáu đường tròn có bán kính có điểm chung Chứng minh tồn đường tròn chứa tâm đường tròn khác Lời giải: Giả sử có sáu đường tròn tâm Oi (i = 1->6) có bán kính r M điểm chung đường tròn Để chứng minh toán ta cần chứng minh có hai tâm có khoảng cách khơng lớn r Nối M với tâm Nếu hai đoạn thẳng vừa nối nằm tia có điểm đầu M tốn chứng minh Trong trường hợp ngược lại, xét góc nhỏ góc nhận ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá O4 O5 O6 M O1 O2 O3 26 đượcđỉnh M, giả sử góc O1MO2 Do tổng góc 3600 nên góc O1MO2 ≤ 600 Khi tam giác O1MO2 có góc khơng nhỏ góc O1MO2( ngược lại tổng góc tam giác nhỏ 1800) Từ suy cạnh MO1 MO2 tam giác O1MO2 khơng nhỏ O1O2 tức ta có O1O2 ≤ r MO1 ≤ r, MO2 ≤ r ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 27 Sở Giáo dục Đào tạo kiên giang Đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2011-2012 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(4đ): Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + y = a)   x + y + x − y = ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy b)   x y − + y x − = xy Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P= x y z + + x +1 y +1 z +1 Câu 3(3đ): Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c Chứng minh rằng: abc ≤ Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm), C điểm đường tròn tâm M bán kính MA nằm đường tròn (O) Các tia AC BC cắt đường tròn (O) P Q Chứng minh PQ đường kính đường tròn (O) Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d tiếp tuyến (O) C Gọi AH, BI đường cao tam giác a) Chứng minh HI // d b) Gọi MN EF hình chiếu đoạn thẳng AH BI lên đường thẳng d chứng minh MN = EF Câu 6(2đ): Chứng minh tích số phương số đứng trước chia hết cho 12 Hết ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 28 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Thang điểm  x + y + x + y = 5(1) a)   x + y + x − y = 1(2) Đặt u = 7x + y , v = 2x + y ( u ≥ 0, v ≥ ) u + v = (*) Ta có  v + x − y = Do u2 – v2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x Mà u + v = nên u – v = x Do u = x+5 5− x ,v= 2 Từ phương trình thứ hai (*) ta 5− x x+3 + x −1 = y=v+x–1= 2 x+3 Thay y = vào phương trình (2) ta x+3 x+3 2x + + x− =1 2 x = 5x + − x ⇔ = ⇔ 2  x2 = 19 0.25 0.25 0.25 0.25 Với x = ta y = 2; x = 19 ta y = 11 Thử lại hệ phương trình ta hệ có nghiệm (1;2) 0.25 0.25 0.25 0,25 ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy (1) b)   x y − + y x − = xy (2) Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0.25 Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cơ Si ta có: x( y − + 1) = y ( x − + 1) y x − = y ( x − 1).1 ≤ = Vậy x y − + y x − ≤ xy x y − = x ( y − 1).1 ≤ xy xy (3) (4)  y −1 = x −1 = Dấu “=” xảy ⇔  ⇔x= y=2 Ta thấy x = y =2 củng thỏa mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2) Ta có P = (1 − ST: Phạm Văn Vượng- 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 1 ) + (1 − ) + (1 − ) x +1 y +1 z +1 NBS-HH-Thanh Hoá 29 P = 3−( 1 + + ) x +1 y +1 z +1 Mặt khác, với x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cơ Si ta có 1 + + ≥ x y z xyz 1 ⇒ ( x + y + z )( + + ) ≥ 3xyz =9 x y z xyz x + y + z ≥ 3xyz , Dấu = xảy x = y = z 1 + + ≥ Ta có x + y + z + ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 1 ⇒ + + ≥ x +1 y +1 z +1 Vậy P ≤ − = 4 x +1 = y +1 = z +1 P= ⇔ ⇔x=y=z= x + y + z = Vậy P đạt giá trị lớn P = x = y = z = 1 ≥ (1 − ) + (1 − ) Ta có: 1+ a 1+ b 1+ c b c bc ⇒ ≥ + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c (1 + b)(1 + c) bc ≥2 Vậy 1+ a (1 + b)(1 + c ) Tương tự: ac ≥2 1+ b (1 + a)(1 + c ) ab ≥2 1+ c (1 + a )(1 + b) 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 Nhân ba bất đẳng thức ta được: 0.5 8abc ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ⇒ 8abc ≤ 0.5 ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 30 Q A 0.5 O M C B P Để chứng minh PQ đường kính đường tròn (O), ta cần chứng minh ba điểm P, Q, O thẳng hàng Trong đường tròn tâm M ta có: ·AMC = ·ABC (góc tâm chắn cung AC) Trong đường tròn tâm O ta có: ·AOQ = ·ABQ (góc tâm chắn cung AQ) Suy ·AMC = ·AOQ (1) Chứng minh tương tự ta có · · (2) BMC = BOP µ = 900 Tứ giác MAOB có µA = B ⇒ ·AMB + ·AOB = 1800 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: · · · POQ = POB + BOA + ·AOQ · · = ( BMC + ·AMC ) + BOA = ·AMB + ·AOB = 1800 Suy P, Q, O thẳng hàng Vậy PQ đường kính đường tròn (O) ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 31 A 0.5 B x I H M C E F N d a) Chứng minh HI // d Gọi Cx tiếp tuyến chắn cung AC · · Tứ giác ABHI nội tiếp nên ·ABC = HIC (Cùng bù với góc HIA ) Mà ·ABC = ·ACx (cùng chắn cung AC) · · ⇒ HI // d ⇒ HIC = ICx b) Chứng minh MN = EF d // HI ⇒ IF=HN · · AMCH nội tiếp ⇒ HMN = HAC · · BICE nội tiếp ⇒ IEF = IBC · · · · Mà HAC nên HMN = BIC = IEF ⇒ ∆HMN = ∆IEF ⇒ MN = EF Số phương n2(n Ỵ Z) số đứng trước n2-1 Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1) Tích có số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác (n-1)n hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Và n (n+1) chia hết cho Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho Mà (3;4) = nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12 ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 32 SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC: 2011 – 2012 Mơn: Tốn (Thời gian làm 150’) Ngày thi 16 tháng năm 2012 a2 − a 3a − a a −4 − + Bài (5đ) Cho biểu thức: P = a + a +1 a a −2 a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P Bài (5đ) Giải pt sau: a) 2x − x + 2x − 3x + = 3x + + x + b) x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – = Bài (4đ) Cho (O; R) Đường thẳng d không qua O cắt (O) hai điểm A B từ điểm tùy ý d (O), vẽ hai tiếp tuyến MN MP với (O), (M, N hai tiếp điểm) a) Dựng vị trí điểm M d cho tứ giác MNOP hình vng b) Chứng minh tâm đường tròn qua ba điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động d Bài (4đ) a) Tìm GTLN y = x − x b) Cho số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1;a + b + c = 1;a + b3 + c3 = Chứng minh: a 2009 + b 2009 + c 2009 = Bài (2đ) Cho ∆ABC thay đổi, có AB = CA = 2CB Tìm GTLN diện tích ∆ABC - HẾT - Họ tên:…………………………… SBD…………………………… Chữ kí GT 1:………………… ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 33 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2012 Bài 1: a) ĐK a > a ≠ a2 − a 3a − a a−4 P= − + a + a +1 a a −2 P= a ( a − 1)(a + a + 1) a (3 a − 2) ( a − 2)( a + 2) − + a + a +1 a a −2 P = a −3 a +4 7 b) Ta có P = a − a + = ( a − ) + ≥ với a TMĐK 4 Vậy giỏ trị nhỏ P a= 4 Bài 2: Coi PT bậc hai với ẩn t = x2 ta tính PT có ∆ = 9( y + 2) từ ta có x2 = y2 + 5(1) x2 = - y2 – 1(vô nghiệm) Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy 2k2 + 2k - y2 = y phải chẵn nên đặt y = 2z suy k(k+1) – 2z = (vô nghiệm VT chia hết cho vế phải khơng chia hết cho Bài 3: a)Để MONP hình vng đường chéo OM=ON =R Dựng điểm M: ta dựng hình vng OACD, dựng đường tròn tâm O qua điểm D, cắt (d) M Chứng minh: Từ M vẽ tiếp tuyến MN MP Ta có MN = MO − ON = R nên ta giác ONM vuông cân N Tương tự, tam giác ta giác OPM vuông cân P N A E M L B H F O I Q P MNOP hình vng Bài tốn ln có hai nghiệm hình OM = R >R b)Ta có: MN MP tiếp tuyến (O) nên MNOP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM tâm trung điểm H OM, suy tam giác cân MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM tâm H +) Kẻ OE vng góc AB E trung điểm AB ( cố định) Kẻ HL ⊥ (d) HL//OE nên HL đường trung bình tam giác OEM, suy HL=1/2 OE(khơng đổi) ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 34 +) Do M di động (d) H ln cách (d) đoạn không đổi nên H chạy đường thẳng (d’)//(d) (d’) qua trung điểm đoạn OE · +) Ta có : Om phân giác góc NMP kẻ tia phân giác PNM cắt đường tròn (O) » = FP » => F OM, F tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP điểm F, NF Vậy M di động (d) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy đường tròn (O) Chú ý: hình vẽ phức tạp nên dựng hình vng OACD khơng vẽ trên hình vẽ Bài 4: a + b2 a) áp dụng BĐT ab ≤ ĐK –x2 ≥ ta có y = x − x ≤ Vậy giá trị lớn y 9/2 x= ± 3 2 b) ta có a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) => 1-3abc=1-ab-bc-ca =>ab+bc+ca=3abc mà 12=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) => ab+bc+ca=0 => abc=0 => a=0 b=0 c=0 b + c =  2 Nếu a = => b + c = b3 + c3 =  2 =>b +c +2bc=1 => 2bc=0 =>(a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(0,1,0) Nếu b = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(1,0,0) Nếu c = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) (a,b,c) =(1,0,0) Vậy mội trường hợp ta có P = Bài 5: Đặt BC =x > theo cơng thức He rơng ta có 6+ x S= p( p − a )( p − b)( p − c ) với p = + 3x + x − x 3x − => S2= 2 2 9 (36 − x )( x − 4) =  −( x − 20) + 256  ≤ 256 = 144 16 16 16 Vậy giá trị điện tích lơn 12(đvđt) x= 20 (đvđd) => S2= ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 35 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút Câu (5 điểm): a) Cho a b số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: a + b M7 Chứng minh a b chia hết cho b) Cho A = n2012 + n2011 + Tìm tất số tự nhiên n để A nhận giá trị số nguyên tố Câu (4.5 điểm) a) Giải phương trình: + x − = x + 2x − x x x b) Cho x, y, z số thực khác thỏa mãn: xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: M= yz zx xy + + x2 y z Câu (4.5 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x2 + y + z ≥ b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a3 b3 c3 + + a2 + b2 b2 + c2 c2 + a Câu (6.0 điểm) Cho đường tròn (O;R) dây BC cố định không qua O Từ điểm A tia đối tia BC vẽ tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M N tiếp điểm, M nằm cung nhỏ BC) Gọi I trung điểm dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P a) Chứng minh rằng: NP song song với BC b) Gọi giao điểm đường thẳng MN đường thẳng OI K Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn Hết ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 36 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN 2012 Câu 1:a) Nhận xét: a không chia hết cho a2 chia cho dư 1,2,4 a khơng chi hết cho a có dạng a=7k ± 1,a=7k ± 2,a=7k ± từ nhận xét *) a không chia hết cho b khơng chia hết cho a2+b2 chia cho dư 2,3,4,6 ( 1) *)Nếu aM7 b khơng chia hết cho a2+b2 khơng chia hết cho (2) *)Nếu a không chia hết cho b M7 a2+b2 khơng chia hết cho 7(3) Từ (1), (2) (3) suy a b phải chia hết cho b) A = n2012 + n2011 + Nếu n=0 => A = 1(loại) Nếu n = => A =3( thoả mãn) Nếu n > A> Xét A = n2012 + n2011 + => A=[(n670)3-1]n2 + [(n670)3-1]n +n2 + n + => AM( n2 + n + 1) mà A> n2 + n + nên A hợp sơ Vậy n= A nhận giá trị số nguyên tố Bài 2:a) + x − = x + 2x − x x x − x + x − − 2x − = x x x u = x− ≥0 x 2 Đặt v = 2x − ≥ x => u -v = − x x Thay vào phương trình ban đầu ta có : u2-v2+u-v=0 (u-v)(u+v+1)=0 u-v=0 ( u+v+1>0) =>x=2 x=-2 cách thử trưc tiếp ta thấy x= thoả mãn tốn b)nhận xét a+b+c=0 a3+b3+c3=3abc áp dụng nhận xét vào biểu thức M ta có M= yz zx xy ( yz )3 + ( yx)3 + ( xz )3 3( xyz ) + + = = =3 x2 y z ( xyz )2 ( xyz )2 Bài 3:a) Từ x2+1 ≥ 2x y2+1 ≥ 2y z2+1 ≥ 2z 2(x2+y2+z2) ≥ 2(xy+yz+xz) cộng BĐT ta có 3(x2+y2+z2)+3 ≥ 2(x+y+z+xy+yz+xz) => x + y + z ≥ (ĐPCM) ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 37 a3 ab ab b =a− ≥a− =a− b)Xét 2 a +b a +b 2ab Tương tự: b3 c c3 a ≥b− , ≥c− 2 b +c c +a cộng BĐT ta có P= a3 b3 c3 a +b+c + + ≥ = 2 2 2 a +b b +c c +a 2 giá trị nhỏ P 3/2 a=b=c=1 Câu 4: M I B A C K O P N Câu a) Ta có điểm A,M,I,O,N thuộc đường tròn bán kính OA AM ) (1) => ·AIM = ·AMO ( = sd ¼ · · · Mặt khác NOM (2) = ·AOM mà 2AOM = NPM · từ (1) (2) => ·AIM = NPM => BC//NP Câu b: OK + ON R SOKN=1/2OK.KN ≤ = 2 Vậy điện tích lơn tam giác ONK R2/4 MO = MA ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 38 ... ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2 012 MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 23/03/2 012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có... TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2 012 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2 012 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Câu... (x12 – 9)(x22 – 4) = (x1.x2)2 – 4x12 – 9x22 + 36 = 72 - 4x12 – 9x22 = – (4x12 + 9x22 + 12 x1.x2 ) = – ( 2x1 + 3x2)2 ≤  x1 + 3x2 = ( 1)  ( 2) A = ⇔  x1.x2 = −6   x1 + x2 = − m ( 3) −6 −12