TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNHTRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Trang 11 BẤT ĐẲNG THỨC
1 Tính ch t ất
a < b a + c < b + c (1)
c > 0 a < b ac < bc (2a)
c < 0 a < b ac > bc (2b)
a < b và c < d a + c < b + d (3)
a > 0, c > 0 a < b và c < d ac < bd (4)
n nguyên dương
a < b a 2n+1 < b 2n+1 (5a)
0 < a < b a 2n < b 2n (5b)
a > 0 a < b a b (6a)
a < b 3a 3b (6b)
2 Bất đẳng thức Cô–si:
Với a, b 0, ta có: a b ab
2
Dấu "=" xảy ra a = b.
Hệ quả:
– Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.
3 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
x 0, x x x , x
a > 0
x a a x a
x a x a
a b a b a b
Bài tập trắc nghiệm Câu 1 Tìm mệnh đề đúng
A a b ac bc B. a b a c b c C. a b ac bd
c d
Câu 2 Tìm mệnh đúng
A
a b
c d ac > bd B
a b
c d ab
a b
a c b d
a b
c d ac > bd Câu 3 Tìm mệnh đề sai
A. a b a2 b2 B a b a3 b3 C 0 a b a b D a b 3 a 3b
Câu 4 Với mọi số x y, dương.Bất đẳng thức nào sau đây sai
A x y 2 xy B.
2
a b
Câu 5 Cho 2 phát biểu
(1) x x
(2) x x
A Chỉ phát biểu (1) đúng B.Chỉ phát biểu (2) đúng
Trang 2C. Cả (1) và (2) đều đúng D.Cả (1) và (2) đều sai
Câu 6 Nếu a b c d ; thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng
A a b
c d B.ac bd C.a c b d D a c b d Câu 7 Giá trị lớn nhất của hàm số : f x x 3 5 x là:
Câu 8 Với x, y là hai số thực, mệnh đề nào sau đây đúng?
1
x xy
y
y 1
1
x
x y y
1
x
x y y
Câu 9 Cho x 0;y 0 và xy 6 Giá trị nhỏ nhất cuả x2 y2 là :
Câu 10 Tìm mệnh đề sai
A a b a b, a b, B.a b a b, a b,
2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
I- KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1 Bất phương trình một ẩn:
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) hoặc f (x) g(x) (1) trong
đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x.
Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) hoặc g(x)
f(x)
2 Điều kiện của một bất phương trình:
Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều
kiện) của bất phương trình (1)
3 Bất phương trình chứa tham số:
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số
II- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1 Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó
Trang 3Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó
2 Phép biến đổi tương đương:
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương
3 Cộng (trừ):
P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
4 Nhân (chia):
P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, x P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, x
5 Bình phương:
P(x) < Q(x) [P(x)]2 < [Q(x)]2
Bài tập tự luận Câu 1 Tìm điều kiện của bất phương trình sau:
a/ 4 x x1 0 b/ 1 2 21
9
x
x
c/ 2 1 0
2
x
2 2
1
x
Câu 2 Giải bất phương trình :
2
x
c/3 1 2 1 2
Câu 3 Giải hệ bất phương trình :
a/
15 8
8 5
2 3 2(2 3) 5
4
x x
b/
5
7
8 3 2 25 2
c/
5
x x
d/
3 5 0
2 3 0
1 0
x x x
Câu 4 Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m :
3m
c/ (m + 1)x + m < 3x + 4
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Mệnh đề nào sau đây là bất phương trình một ẩn x
A 2x + =1 0 B 2x y+ < 3 C. x2 + 2x³ 0 D.y= 2x+ 1
Câu 2 Điều kiện của bất phương trình 1 0
3
x x
x
- + <
+ là:
A x ³ 1 và x ³ - 3 B x ³ - 1 và x ³ - 3 C 1 - x³ 0 và x ¹ - 3D. 1 - x³ 0 và x + ³3 0
Câu 3 Điều kiện của bất phương trình 2 3 2 1
1
x
- > +
+ là:
A x ³ 3 B x ³ - 1 C x £ 3 D x ¹ - 1
Câu 4 Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x - 3 0 >
A. ( ) (2 )
Trang 4C. (x- 3) x- 3 > 0 D x x -( 3) > 0
Câu 5 Bất phương trình 2 5 3
x- >x- có nghiệm là
A. 1; B 2; C ;1 2; D 1;
4
Câu 6 Cặp bất phương trình tương đương là:
x
và 3x 3 B. 1 x x và 1 x x 2
C. x 1x và 2x 1 x 1 x x2 1 D.3x 1 1 x và 3x 12 x 32
Bài 7 Tập nghiệm của bất phương trình 3 3 2 7
2
x
10
10
10
10
Bài 8 Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 1 3
là
A 1;
2
28
3
3
Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình x 2 1 0
Câu 10 Tập nghiệm của bất phương trình 43x x3 21 2 x x197
Câu 11 Tập nghiệm của bất phương trình 5x x 3 4 23 4 x x1
A ; 1 B 4; 1 C ;2 D. 1;2
Câu 12 Số 2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình
A 2x 1 1 x x2 B.2x 1 1 x C. 1 2 0
1 x D 2 x x 22 0
Câu 13 Hệ bất phương trình 22x x10x 2
A ; 3 B. 3;2 C.2; D. 3; Câu 14 Hệ bất phương trình 3x 1 0x0
có tập nghiệm là:
Câu 15 Cho bất phương trình : mx 2m2 2x 8
Xét các mệnh đề sau
I Bất phương trình tương đương với x 2 2 m
II Một điều kiện để mọi x 12 là nghiệm của bất phương trình là m 2
III Giá trị của m để thỏa x 12 là m 2 m 4
Trang 5Mệnh đề nào đúng?
A Chỉ I B.Chỉ II C II và III D I , II vàIII
3 DẤU CỦA NHỊ THỨC
I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1 Nhị thức bậc nhất:
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hai số đã cho,
a ≠ 0
Nghiệm của nhị thức: f(x) = ax + b là x0 =
a
b
(nghiệm của phương trình ax + b = 0)
2 Dấu của nhị thức bậc nhất:
Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong
khoảng ( a b; +) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-; a b)
x
-a
b
+
ax + b trái dấu a 0 cùng dấu a
Bài tập tự luận Câu 1 Xét dấu biểu thức sau :
c/ f(x) = (2x + 1)(x – 5) d/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x)
e/ f x ( )(x x5 103)2
x
; g/ f x 2x12 3x
x
Câu 2 Giải các bất phương trình
a/ (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b/ (2x – 7)(5 – x) ≥ 0
c/ x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0 d/ x³ + 8x² + 17x + 10 < 0
Câu 3 Giải bất phương trình :
3x 1 2x 1
1 2 1
2
x x
2
x x
e/ ( 1)( 2) 0
3
x
2 x
+ x ≥ 0 h/ 2x 3
x 1
≤ x + 1 h/ 2x2 x
1 2x
≥ 1 – x
Câu 4 Giải các bất phương trình
a/ |5x – 12| < 3 b/ |3x + 15| ≥ 3 c/ |x – 2| > x + 1 d/ |2x – 5| ≤ x + 1
Câu 5 Giải và biện luận các bất phương trình
a/2x m 1 0
x 1
x 1
c/ x 1(x m 2) 0
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Nhị thức f x( ) = 2x- 4 luôn âm trong khoảng nào sau đây:
Trang 6A (- ¥ ;0) B.(- 2; +¥ ) C.(- ¥ ;2) D.(0;+¥ )
Câu 2 Cho biểu thức f x( ) (= - +x 1)(x- 2) Khẳng định nào sau đây đúng:
A f x( ) < " Î 0, x (1; +¥ ) B f x( ) < " Î - ¥ 0, x ( ;2)
C f x( ) > " Î ¡ 0, x C f x( ) > " Î 0, x ( )1;2
Câu 3 Nhị thức nào sau đây dương với mọi x >3
A f x( ) = - 3 x B f x( ) = 2x- 6 C f x( ) = 3x+ 9 D f x( ) = +x 3
Câu 4 Bất phương trình (m- 1)x+ > 1 0 có nghiệm với mọi x khi
A m >1 B m =1 C.m = - 1 D.m < - 1
Câu 1 Cho bảng xét dấu:
x 2
f x 0
Hàm số có bảng xét dấu như trên là:
A f x x 2 B f x x 2 C. f x 16 8 x D f x 2 4x
Câu 2 Tập nghiệm của bất phương trình x 3 2 x 6 0 là :
A 3;3 B. ; 3 3; C 3;3
D. ¡ \ (- 3;3)
Câu 3 Tập nghiệm của bất phương trình 3 2 x 2x 7 0
A. 7 3;
2 2
2 3
D. 2 7;
3 2
Câu 4 Hàm số có kết quả xét dấu
x -1 2
f x 0 P
là hàm số
A f x x 1 x 2 B. f x x 21
x
C f x x 12
x
D f x x 1 x 2
Câu 5 Hàm số có kết quả xét dấu
x 1
f x
là hàm số
A f x x 1 B
2
1 1
x
f x
x
C.f x 101
x
D f x x 1
Câu 6. Hàm số có kết quả xét dấu
x 0 2
f x 0 0
là hàm số
A f x x x 2 B f x x 2 C f x x2
x
D. f x x2 x
Câu 7 Tập nghiệm của bất phương trình 1 0
2
x x
A 1;2 B 1;2 C. ; 1 2; D. 1;2
Trang 7Câu 8 Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 0
3 6
x x
A 2;1
2
2
2
2
Câu 9 Điều kiện m đê bất phương trình m 1x m 2 0 vô nghiệm là
A m Î ¡ B m C m 1; D m 2;
Câu 10 Điều kiện m đê bất phương trình m2 1x m 2 0 vô nghiệm là
A m Î ¡ B. m C m 1; D m 2;
Câu 11 Tập nghiệm của bất phương trình 1 1
1
A 1;2
B. 1;2 C ;1 D. ;1
Câu 12 Cho 0 a b , Tập nghiệm của bất phương trình x a ax b 0 là:
A ;a b; B ; b a;
a
C ; b a; D. ;a b;
a
Câu 13 Tim m để bất phương trình x m 1 có tập nghiệm S 3;
Câu 14 Tìm m để bất phương trình 3x m 5x 1 có tập nghiệm S 2; là
Câu 15 Hệ bất phương trình
1
15 2 2
3
3 14 2( 4)
2
x x
có tập nghiệm nguyên là:
Câu 16 Cho hệ bất phương trình 2mx m x 4 0 2 0
Giá trị của m để hệ bất phương trình vô nghiệm là:
3
m
3
Câu 17 Với giá trị nào của m thì hệ bất phương trình 2
1
x m
Câu 18 Tập nghiệm của bất phương trình 4 3 x 8 là
A 4;
3
3
3
Câu 19 Tập nghiệm của bất phương trình 2x- 3 £ +x 12
A
;15 B
3;15 C ; 3 D.
; 3 15;
Câu 20 Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 2
1
x x
- >
- là
Trang 8A (1;+¥ ) B ;3 (1; )
4
æ ö÷
ç- ¥ ÷È +¥
çè ø C. 3;
4
æ ö÷
ç +¥ ÷
4
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
Câu 21 Tập nghiệm của bất phương trình x - 15 ³ 3 là
Câu 22 Tập nghiệm của bất phương trình x- 2 > +x 1
2
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
1
; 2
æ ö÷
ç- ¥ ÷
2
æ ö÷
ç +¥ ÷
çè ø
4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by c (1) (hoặc ax + by < c,
ax + by c, ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng
0, x và y là các ẩn số
II- BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó
Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm(hay miền nghiệm) của bất phương trình ax + by c (1):
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng
: ax + by = c
Bước 2: Xét một điểm M(x0;y0) không nằm trên (thường lấy O(0;0) nếu O )
Bước 3: Thay x0 và yo vào biểu thức ax + by
Bước 4: Kết luận:
Nếu ax0+by0 c là mệnh đề đúng thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c 0
Nếu ax0+by0 c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) không chứa điểm M
là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c 0
* Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là
miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c
III- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Miền nghiệm của hệ bất phương trình :
3 4 12 0
5 0
1 0
x y x
Là miền chứa điểm nào trong các điểm sau?
A. M1; 3 B N 4;3 C P 1;5 D Q 2; 3
Câu 2 Cặp số 1; 1 là nghiệm của bất phương trình
A x y 2 0 B.x y 0 C.x 4y 1 D.x 3y 1 0
Trang 9Câu 3.M00; 3 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình:
A.22x y x 5y312x 8
B.22x y x 5y 312x 8
C.22x y x 5y 312x 8
D.22x y x 5y 312x 8
5 DẤU CỦA TAM THỨC
I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1 Tam thức bậc hai:
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c trong đó a, b, c là những số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠ 0
Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0
2 Dấu của tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), = b2 - 4ac
Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x R
Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -a b
Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm x 1,x 2(x1 < x2) Khi đó f(x) trái dấu với hế số a với mọi x nằm trong khoảng (x1; x2) và f(x) cùng dấu với hế số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x1; x2]
* Chú ý: Khi hệ số b chẵn ta có thể thay bằng ' = b'2 - ac
Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai:
f(x) = ax2 + bx + c (a≠0)
Tính = b2 - 4ac
Nếu < 0 thì f(x) vô nghiệm và
x - +
ax2 + bx +c
cùng dấu với a
Nếu = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = -a bvà
x
-a
b
+
ax2 + bx+
c
cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
Nếu > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) và
x - x1 x2 +
ax2 +bx + c
cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
II- ÁP DỤNG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Bất phương trình bậc hai:
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx +
c 0 hoặc ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho với a ≠ 0
2 Giải bất phương trình bậc hai:
Giải bất phương trình bậc hai là tìm các giá trị x để ax2 + bx + c âm (dương, không âm, không dương) tương ứng với < 0 (> 0, 0, 0) của bất phương trình
Bài tập tự luận
Trang 10Câu 1 Xét dấu các biểu thức sau
a/ 3x² – 2x + 1 b/ (x² – 4x + 3)(x – 5) c/ 2x² – 7x + 5 d/ (3x2 2x)(3 x )2
4x x 3
Câu 2 Giải các bất phương trình
a/ –2x² + 5x < 2 b/ 5x² – 4x < 12 c/ –2x² + 3x ≥ 7 d/ x² – x – 6 ≤ 0
e/ 3x2 2 x 4 0
x 3x 5
f/ 4x22 3x 1 0
x 5x 7
Câu 3 Giải các hệ bất phương trình sau
a/
2
2
x 6x 5 0
x x 6 0
2
2
2x x 6 0 3x 3 10x
2
2
2x 5x 4
x 3x 10
2
2
4x 7 x
x 2x 1 0
e/ –4 ≤ x2 22x 7
x 1
≤ 1 f/ 1/13 ≤ x22 2x 2
x 5x 7
≤ 1
Câu 4 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0 b x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0 d (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
e |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0
Câu 5 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a/ (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0 b/ (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c/ mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0 d/ (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Câu 6 Giải các bất phương trình
a 2x² < |5x – 3| b x – 8 > |x² + 3x – 4|
c |x – 3| – |x + 1| < 2 d |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5|
e |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0 f 2x 2
x 5x 6
≥ 3
g
2
2
x 4x
x x 2
x 3
Câu 7 Giải các bất phương trình sau
a x 2 x 12 8 x b x 2 x 12 7 x
c 2
x 4x 21 x 3
d x 2 3x 10 x 2
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Hàm số có kết quả xét dấu
x 1 2
f x 0 0
là hàm số
A f x x2 3x 2 B f x x2 3x 2
Câu 2 Hàm số có kết quả xét dấu
x 1 2 3
f x 0 0 0
là hàm số
A f x x 3x2 3x 2 B f x 1 x x 2 5x 6