Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình vô tỷ dành ôn thi trung học phổ thông cho học sinh lop 9........Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình vô tỷ dành ôn thi trung học phổ thông cho học sinh lop 9...Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình vô tỷ dành ôn thi trung học phổ thông cho học sinh lop 9...Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình vô tỷ dành ôn thi trung học phổ thông cho học sinh lop 9........................................
Sáng kiến kinh nghiệm A ĐẶT VẤN ĐỀ: Mục tiêu ngành Giáo dục đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Do người làm công tác giáo dục phải xác định nhiệm vụ mình, đặc biệt quan trọng bồi dưỡng nhân tài Toán học khoa học suy diễn đòi hỏi người học phải có lực tư duy, khả sáng tạo cao Vì để học giỏi mơn tốn người học tốn trước hết phải có say mê, hứng thú có nhiều trước kết bất ngờ nhiều toán Truyền thụ tri thức để học sinh nắm vững kiến thức trở thành niềm đam mê u thích mơn toán nhiệm vụ người thầy giáo Từ trăn trở cho thấy trình giảng dạy người thầy việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ cho học sinh nhiệm vụ khơng phần quan trọng rèn luyện lực tư cho học sinh trình giảng dạy cuả Phương trình vơ tỷ dạng tốn quen thuộc chương trình mơn Tốn Đây toán mà hầu hết học sinh lớp biết giải Tùy vào cấp độ thi mà toán mức độ khác nhau, từ dễ đến khó Để giải tốn có nhiều phương pháp giải: Phương pháp đặt ẩn phụ, Phương pháp nâng lên lũy thừa, Phương pháp tạo lũy thừa dấu căn, Phương pháp nhân liên hợp, Phương pháp bất đẳng thức, Phương pháp phối hợp phương pháp Chính vậy, đứng trước tốn giải phương trình vơ tỷ học sinnh gặp khó khăn lựa chọn phương pháp để giải Trong tất phương pháp Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp hầu hết học sinh đại trà ngại va chạm Tuy nhiên học sinh khá, giỏi công việc va chạm thường xuyên, đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp Huyện, Tỉnh kì thi vào trường chuyên cấp Trung học phổ thơng Khi kĩ giải phương trình vơ tỷ học sinh thành thạo, việc áp dụng bất đẳng thức nhuần nhuyễn, hầu hết em biết chọn phương pháp để giải phương trình vơ tỷ cho tập để có cách giải ngắn gọn, lời giải đẹp Vấn đề đứng trước toán người thầy phải phân tích, dấu hiệu để học sinh biết lựa chọn đường cho hiệu Trăn trở điều tơi mạnh dạn đưa kinh nghiệm định hướng cho học sinh giải số phương trình vô tỷ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm B NỘI DUNG: I Kiến thức: Định nghĩa: Phương trình vơ tỷ phương trình chứa ẩn dấu Các bước giải phương trình vơ tỷ: Tìm điều kiện xác định(nếu có) Hữu tỷ hóa phương trình Giải phương trình hữu tỷ Đối chiếu điều kiện, kết luận Phương pháp Bất đẳng thức để giải phương trình vơ tỷ thể nhiều dạng: 3.1) Chứng tỏ phương trình vơ nghiệm có vế ln nhỏ vế 3.2) Sử dụng tinh đối nghịch vế 3.3) Sử dụng tính đơn điệu hàm số 3.4) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt Một số bất đẳng thức thường sử dụng: a Bất đẳng thức Cô- si: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an n Dấu ‘=’ có ⇔ a1 = a2 = a3 = = an Cho a1 ; a2 ; a3 ; an ≥ Ta có b Bất đẳng thức Bun- nhi- a: Cho số ( a1 ; a2 ; a3 ; an ) ; ( b1 ; b2 ; b3 ; bn ) Ta có: ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + anbn ) a a ≤ ( a12 + a22 + a32 + + an2 ) ( b12 + b22 + b32 + bn2 ) a a n Dấu ‘=’ có ⇔ b = b = b = = b ( bi ≠ 0(i = 1, n ) n c Bất đẳng thức Svac- xơ: Cho số ( a1 ; a2 ; a3 ; an ) ; ( b1 ; b2 ; b3 ; bn ) ( bi > 0(i = 1, n ) Ta có: an2 ( a1 + a2 + a3 + an ) a12 a22 a32 + + + + ≥ b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + + bn an a1 a2 a3 Dấu ‘=’ có ⇔ b = b = b = = b n II Các tốn Bài tốn 1: Giải phương tình sau: 2x + − 3x + = x − Phân tích: Khi nhìn vào tốn này, học sinh dễ dàng phát phương pháp giải nâng lên lũy thừa để khử Tuy nhiên hạn chế cách giải lời Sáng kiến kinh nghiệm giải dài dòng, lần nâng lên lũy thừa Nhân thấy với x ≥ < 2x + < 3x + ⇒ 2x + < 3x + ⇒ 2x + − 3x + < Lại có x − ≥ Vậy phương trình vơ nghiệm Bài tốn 2: Giải phương trình sau: 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x Phân tích:Ở tốn việc tạo bình phương đưới dấu khơng thể, nâng lên lũy thừa khử đưa phương trình bậc 8, nhân liên hợp phải nhẩm nghiệm Quan sát thấy biêủ thức dấu đưa tổng bình phương nên ta giải sau: Đkxđ ∀x ∈ R VT= 3( x + 1)2 + 5( x + 1) ≥ + = VP= − 2x-x = − ( x + 1) ≤ Vậy hai vế phương trình x=-1 Vậy nghiệm phương trình x= -1 Bài tốn 3: Giải phương trình sau: 2x + + x = Phân tích: Ở tốn ta thấy hàm số y= 2x+ y= x hàm đồng biến Do ta nghiệm phương trình ta chứng minh nghiệm Giải: Ta thấy x= nghiệm phương trình Với x > ⇒ x + > 1, x > nên VT>1 Với x < ⇒ x + < 1, x < nên VP x> 1,5 VT> Vậy phương trình có nghiệm x= 1,5 Bài toán 5: Giải phương trình sau: x + 2x + = x + 4x Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích: Ở tốn nhận thấy ta bình phương lên thu phương trình bậc 6, việc giải phương trình với số mũ lớn nên ta nghĩ đến đặt ẩn phụ sử dụng bất đăng thức Cách 1: Đặt ẩn phụ: Đkxđ: x ≥ Dễ thấy x= khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x ta phương trình ⇔ x+2+ 4 = x + (1) x x x ⇔ t + = 3t Đặt x + = t Khi phương trình (1) ⇔ t − 3t + = ⇔ ( t − 1) ( t − ) = t = ⇔ t = x Lần lượt thay t=1; vào phương trình x + = t giải tìm x= Cách 2: Ta có ( x + 2) 1 x + 4x + x + 4x = 4x + 16x = 4x( x + 4) ≤ =3 2 2 3( x + 2) x + 2x + ≤ Do đó: ⇔ 4x + 8x + 16 ≤ 3x + 12x + 12 ⇔ x − 4x + ≤ ⇔ ( x − ) ≤ ⇔ x = 2(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x= *) So sánh cách giải ta thấy cách lời giải không ngắn gọn cách 2, việc đặt ẩn phụ phải qua trình biến đổi khơng thể đặt Bài tốn 6: Giải phương trình sau: x + − + 2x − x = x Phân tích: Ở tốn đầu nghĩ đến nhiều phương pháp nâng lên lũy thừa, nhiên lần nâng lên lũy thừa đưa phương trình hữu tỷ số mũ lớn, hướng giải chưa hay Hướng thứ nhân liên hợp để nhân liên hợp trước hết phải nhẩm nghiệm, nhiên nhân liên hợp đưa nhân tử chung việc chứng minh phương trình lại vơ nghiệm gặp khó khăn Hướng thứ nghĩ đến sử dụng bất đăng thức: Giải: Đkxđ −2 ≤ x ≤ 4 Sáng kiến kinh nghiệm pt ⇔ x + = + 2x − x + x + 2x − x + x = − ( x − 1) + x ≤ + x Lại có: 4( x + 3) − ( + x ) = ( x − 1) ≥ ⇒ 4( x + 3) ≥ ( + x ) 2 x2 + ≥ + x ≥ + x Dấu “=” có − x −1 = ( ) ⇔ x = 1(t / m) x + = x + Vậy phương trình có nghiệm x=1 Bài tốn 7: Giải phương trình sau 16 + x − 1996 = 10 − y − 2008 ( x − 1996 + y − 2008 ) Phân tích: Ở tốn dễ dàng nhìn thấy phương pháp mà ta hướng tới sử dụng bất đẳng thức Cô- si để khử biến Giải: Đkxđ: x>1996, y>2008 Pt ⇔ 16 + x − 1996 + y − 2008 ( ) x − 1996 + y − 2008 = 10 Áp dụng Bất đẳng thức Cơ- si ta có: 16 + x − 1996 ≥ 16 = x − 1996 1 + ≥2 y − 2008 y − 2008 ( ) 16 + + x − 1996 + y − 2008 ≥ 10 x − 1996 y − 2008 Dấu”=” có ⇔ x = 1997, y = 2009(t / m) ⇒ Vậy nghiệm phương trình (x, y)= (1997; 2009) Bài tốn 8: Giải phương trình sau x2 + x −1 + x − x2 + = x2 − x + Phân tích: Bài tốn ta nhận thấy hệ số cao hai biểu thức dấu hai số đối Nếu ta sử dụng bất đẳng thức cô- si Bun- nhi- a Sáng kiến kinh nghiệm khử bậc 2, vế phải sử dụng Bất đẳng Cô si đưa bậc để đánh giá x + x − ≥ Giải: Đkxđ: x − x + ≥ Ápdụng bất đẳng thức Bun- nhi-a ta có: ( + 1) ( x + x − 1) + ( x − x + = VT ≤ 4x = x VP = x − x + = ( x + 1) − x + ≥ 2x − x + ≥ x + ≥ x x2 + x −1 x − x2 + = ⇔ x = 1(t / m) Dấu “=” có ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x=1 Bài tốn 9: Giải phương trình sau 3x − + x − x − x x + = ( 7x 2 − x + 4) Phân tích: tốn có đến biểu thức chứa căn, nghĩ đến nhiều phương pháp nhân liên hợp, nhiển để nhân liên hợp phải nhẩm nghiệm sau liên hợp đặt nhân tử chung lại phải chứng minh phương trình lại vơ nghiệm.Lại thấy VT phương trình sử dụng Bđt Bunnhi- a ta đưa đánh giá qua Bđt bậc Từ ta đến cách giải sau: Giải: Đkxđ: x ≥ x ≤ −1 Áp dụng BĐT Bun nhi a ta có: ( + + x ) ( 3x VT ≤ (x = 2 − + x − x + x + 1) + ) ( 5x − x ) = 2x + ) ( 5x − x ) ( 2 2x + + 5x − x ≤ 7x − x + ) ( ÷ = 2 ≤ ( 7x 2 − x + ) = VP Dấu “=” có x=1( thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình x= Bài tốn 10: Giải phương trình sau: x4 + = x4 + + x4 − Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích: Dễ nhận VT phương trình sử dụng Bđt Cơ-si hạ bậc xuống bậc 2, thê ta sử dụng Bđt Bun- nhi-a Vp bậc 2, vấn đề sau sử dụng Bđt hệ số nào? Giải: Đkxđ: x ≥ Áp dụng Bđt Cô si cho số dương ta có: VT = x + ≥ 4x = 4x Áp dụng Bđt Bun-nhi- a cho số (2; 2);( x + 4; x − 4) , ta có: x4 + + x4 − ≤ (2 + 22 ) ( x + + x − ) ≤ 4x x = Dấu ‘=’ có ⇔ 4 x + = x − Không tồn x thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm Bài tốn 11: Giải phương trình: x = x3 − x + x − x (Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm học 2009- 2010) Phân tích: Dễ thấy x=0 nghiệm phương trình Khi x ≠ từ x − x ≥ 0; x − x ≥ ⇒ x − ≥ Khi ta sử dụng Bât đẳng thức Cơ- si cho số không âm Giải: Đkxđ: x − x ≥ 0; x − x ≥ Pt ⇔ x = x ( x − 1) + (x − x) Dễ thấy x= nghiệm phương trình Khi x ≠ từ x − x ≥ 0; x − x ≥ ⇒ x − ≥ Áp dụng Bất đẳng thức Cô- si cho số dương ta có: x ( x − 1) + (x − x) ≤ x2 + x −1 x2 − x + + = x2 2 Dấu ‘=’ có ⇔ x2 − x −1 = 1+ x = ⇔x− ÷ = ⇔ 2 1− x = 2 Đối chiếu Đkxd ta có phương trình có nghiệm x = 0; 1+ Sáng kiến kinh nghiệm *) Đối với phương trình chứa mẫu nhiều dấu hay bậc cao phương pháp thường suy nghĩ trước hết tính hiệu Bài tốn 12: Giải phương trình: 16x + = 4x + x Phân tích: Nhận thấy 16x + > ⇒ 4x + > ⇒ x > Với x>0 ta thường nghĩ đén Bất đẳng thức Cô si, ta phải nghĩ cách khử mà khơng thể lập phương lên, lí ta nghĩ đến phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Giải: Từ phương tình suy x>0 Dễ thấy x=1 nghiệm phương trình 4x + x = 3 4x ( 4x + 1) ≤ 4x + 4x + ⇒ 16x + ≤ 4x + 4x + ⇒ 16x − 4x − 4x + ≤ ⇔ ( 2x − 1) ( 2x + 2x + 1) ≤ ⇔ ( 2x − 1) ≤ 2 ⇔ ( 2x − 1) = ⇔ x = (t / m) Vậy nghiệm phương trình x = Tương tự với cách suy nghĩ tốn 12 ta có tốn 13 sau: Bài tốn 13: Giải phương trình: 4x + x + 3x + = 3 16x + 12 Có 4x + x + 3x + > ⇒ 3 16x + 12 x > ⇒ x > Lại có: 3 16x + 12x = 3 4x ( 4x + ) = 3 2.2.x ( 4x + 3) ≤ + + x ( 4x + 3) = 4x + 3x + Mặt khác: 4x + x + 3x + − ( 4x + 3x + ) = x (2x − 1) ≥ ⇔ ( 2x-1) = ⇔ x = (t / m) Vậy nghiệm hương trình x = Bài tốn 13: Giải phương trình: 1 +4 = 2x − 4x − x Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích: Nhận thấy x=1 nghiệmcủa phương trình Ở có hướng suy nghĩ, sử dụng phương pháp Bất đẳng thức, nhân liên hợp Đối với nhân liên hợp quan sát thấy biểu thức mẫu 4x − nên không dùng phương pháp nhân liên hợp ta nghĩ đến sử dụng phương pháp Bất đẳng thức Giải: Đkxđ: x> < 2x − = ( 2x − 1) ≤ (2x − 1) + =x 1 ≥ 2x − x ⇒ Mặt khác: 0< ( 4x − 3) 1.1.1 ≤ 4x =x 1 > 4x − x 1 +4 ≥ ⇒ 2x − 4x − x Dấu ‘=’ có ⇔ x = (t/m) ⇒ Vậy nghiệm phương trình x=1 Bài tốn 14: Giải phương trình: + 4x − x + x x(6 − x ) + 3x=12+ − x Phân tích: Nhận thấy x=2 nghiệm cúa phương trình Đk xđ: ≤ x ≤ x ≤ − Lại thấy: VP ≥ 12 ≤ x ≤ biểu thức VT khơng âm, ta sủ dụng Bất đảng thức Cơsi dể đánh giá Còn x ≤ − ta thấy x x(6 − x ) + 3x x >1 Áp dụng Bất đẳng thức Svac- xơ ta có: VT ≥ x − + 2x + + − 4x x − + 2x + + − 4x ≤ ( + + 1) ( − x ) < 12 = (Bất đẳng thức Bun- nhi- a) ⇒ VT > = 3 > Vậy phương trình vơ nghiệm Bài tốn 16: Giải phương trình: 7x + 10x + − x − x − 20 = x + Phân tích: Đối với nhẩm nghiệm khơng có nghiệm hữu tỉ, phương trình có nghiệm vơ tỷ vô nghiệm Nghĩ đên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa khủ dùng Bất đẳng thức Nếu bình phương phải lần cho ta phương trình bậc 4, sử dụng phương pháp hệ số bất định hệ số tự lớn, để phân tích nhiều thời gian Giải: Đkxđ: x ≥ Pt ⇔ Ta thấy 7x + 10x + = x − x − 20 + x + x − x − 20 + 5 ( x + 1) ≤ x ( 6x + ) (Áp dụng Bđt Bun- nhi- a) ⇒ 7x + 10x + ≤ 6x + 9x ⇔ x2 + x + ≤ Điều vơ lí Vậy phương trình vơ nghiệm 10 Sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn 17: Giải phương trình: 27x + 24x + 28 27 x = 1+ +6 Phân tích: Việc khử phương pháp nâng lên lũy thừa phức tạp lên đến phương trình bậc Để ý bậc vế phương trình 28 27x + 24x + ≥ Giải: Đkxđ: 27 x + ≥ Ta có 27 x 27 28 27 x + = + 6.27x + 36 = 27x + 24x + ÷− 27 ÷ 4 28 ⇒ 27x + 24x + = ( 27x + ) + 27 27 x 27x ⇒2 + 6÷ + = 1+ +6 27 2 27x + = a (a ≥ 0) Ta có: a + = + a 27 Đặt 2 a + ÷ 4 a + 3) ( 4a 4a 4a + + +2 ≥ = Lại có 81 81 81 4 a2 + ⇒2 a +4 ≥2 27 Mặt khác: a a a 2 2 + + + 1÷ a a a 3 a +1 + + +1 ≥ = ÷ 9 9 4 ⇒2 a +4 ≥2 27 ⇒ VT ≥ VP ( a + 1) = a +1 Dấu ‘=’ có ⇔ a = ⇔ x = (t / m) Vậy phương trình có nghiệm x= 11 Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 18: Giải phương trình: x − − 2x − 10x + 16 = − x Phân tích: Đối với việc nâng lên lũy thừa khử gặp rắc rối dài Nếu nhân liên hợp không giải Nhẩm nghiệm x=5 x ≥ Giải: Đkxđ: 2x − 10x + ≥ 2x − 10x + 16 = ( x − 1) + ( x − 3) ≥ x − + x − Ta có ⇒ VP ≥ VT Dấu ‘=’ có ⇔ x − = x − ⇔ x − 6x + = x − ⇔ x − 7x + 10 = x = ⇔ (t / m) x = Vậy phương trình có nghiệm x= 5; x= Bài toán 19: Giải phương trình: − x2 + − 1 = 4−x+ ÷ x x Phân tích: Ta thấy: Pt ⇔ x + − x + − x + ( − x2 ) = Và − x 1 + =4 x2 x ÷ ÷ + x2 = Ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bun- nhi- a để đánh giá 2 − x ≥ Giải: Đkxđ: 2 − ≥ x Theo bất đẳng thức Bun- nhi-a ta có: x + − x2 ≤ ( x2 + − x2 ) = 1 1 + ≤ 2 − + ÷ = 2 x x x x ⇒ VT ≤ VP Dấu ‘=’ có ⇔ x = (t/m) 2− Bài tốn 20: Giải phương trình: 25 − x = x + 2− x + 12 Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích: Đây phương trình khơng mẫu mực, ta hướng tới sử dụng bất đẳng thức để đánh giá Giải: Ta có: x.2− x = ⇒ x + − x ≥ 2 x.2 − x = ⇒ VP ≥ ⇒ 25 − x ≥ ⇒ 25 − x ≥ 25 ⇒ x ≤ ⇒ x = 0(t / m) Vậy nghiệm phương trình x= C KẾT LUẬN: 13 Sáng kiến kinh nghiệm Trong trình nghiên cứu, triển khai SKKN, chủ quan tự nhận thấy đề tài đảm bảo yêu cầu SKKN hình thức lẫn nội dung, bật là: 1, Tính sáng tạo: Những vấn đề đặt giải đề tài người đề cập đến Đề tài bổ sung, nêu đưa giải pháp cụ thể 2, Tính khoa học: Đề tài trình bày, lý giải khoa học, rõ ràng, mạch lạc, có hệ thống Vấn đề nghiên cứu phù hợp với mục tiêu giáo dục, với nội dung, phương pháp dạy học tình hình tại, Đảng, nhà nước, giáo dục, giáo viên, phụ huynh, học sinh quan tâm, khuyến khích 3, Tính hiệu quả: SKKN áp dụng đem lại hiệu cao, tiết kiệm thời gian, công sức cho giáo viên, học sinh trình dạy học Giáo viên dùng đề tài để lên lớp học sinh qua rèn luyện nhiều kỹ năng, phát triển nhiều lực Học sinh hứng thú bày tỏ quan điểm, nhận định thân đứng trước toán để đưa giải pháp đắn 4, Tính ứng dụng thực tiễn: Đề tài có khả ứng dụng thực tiễn, dễ hiểu áp dụng dễ dàng cho toàn giáo viên trường công tác Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp trường chất lượng cao Trong điều kiện thời gian lực có hạn, song với mong muốn chân thành viết để sẻ chia, trao đổi, học hỏi, hi vọng góp phần nhỏ bé vào việc đổi phương pháp dạy học, mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm Đề tài chắn tránh khỏi khiếm khuyết, kính mong đồng nghiệp, q hội đồng chun mơn, hội đồng khoa học bổ sung, góp ý Tơi xin trân trọng cảm ơn! 14 ... KẾT LUẬN: 13 Sáng kiến kinh nghiệm Trong trình nghiên cứu, triển khai SKKN, chủ quan tự nhận thấy đề tài đảm bảo yêu cầu SKKN hình thức lẫn nội dung, bật là: 1, Tính sáng tạo: Những vấn đề đặt... phương trình vơ tỷ thể nhiều dạng: 3.1) Chứng tỏ phương trình vơ nghiệm có vế ln nhỏ vế 3.2) Sử dụng tinh đối nghịch vế 3.3) Sử dụng tính đơn điệu hàm số 3.4) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng... Đảng, nhà nước, giáo dục, giáo viên, phụ huynh, học sinh quan tâm, khuyến khích 3, Tính hiệu quả: SKKN áp dụng đem lại hiệu cao, tiết kiệm thời gian, cơng sức cho giáo viên, học sinh q trình dạy