THPT THUAN THANH 1 BAC NINH DE CHON HSG TOAN 11

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2016-2017 Mơn: Tốn lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: 4sin x 3  cos x   2cos ( x  ) Câu 2(3,0 điểm) 1.Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho 2.Một người có số tiền 100 triệu đồng định gửi ngân hàng với lãi suất 6% năm Hỏi sau 30 năm sơ tiền người thu bao nhiêu, biết năm người khơng rút tiền lãi số tiền lãi lại cồng vào vốn năm sau Câu (1,5 điểm) Cho đường tròn ( C) có bán kính R Tính theo R diện tích tam giác nội tiếp đường tròn ( C) Kí hiệu Sn diện tích n giác nội tiếp ( C), ( n  ) Tính Sn theo R,n sin x 1 x 0 x tìm limSn biết lim Câu (2,5 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất mặt hình vng cạnh a Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng  A ' BD  đường thẳng AC ' qua trọng tâm tam giác A ' BD Hãy xác định điểm M, N nằm cạnh A’D, CD’ cho MN vng góc với mặt phẳng (CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a Câu ( 1,0 điểm)   x  x    x 2000  Cho hàm số f ( x)    b, x    2017    ax  x  x    x 2017 x2 Tìm a b để hàm số liên tục R -Hết -  2000 , x  Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Đáp án gồm trang Câu I điểm Nội dung Phương trình cho tương đương với 2(1  cos x )  cos x    cos(2 x  Điểm 3 )  2cos x  cos x   sin x 0,5  sin x  cos x  cos x 2 0.5   sin(2 x  )  cos x    sin(2 x  )  sin(  x)   5 2   x    x  k  x   k   18   (k  )     x    x  k 2 x   k 2   II 3,0điểm 0,25 1.(1,5 điểm) +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có chín chữ số đơi khác 0,5 chữ số có cách chọn có A98 cho vị trí lại Vậy n  A  A98 +) Giả sử B  0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 nên số có chín 1,0 chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số tập B \ 0 ; B \ 3 ; B \ 6 ; B \ 9 nên số số loại A99  3.8 A88 Vậy xác suất cần tìm A99  3.8 A88 11  27 A98 2.(1,5 điểm) Kí hiệu An số tiền thu sau n năm Bằng chứng minh quy nạp An = 100(1+0,06)n ( triệu đồng) A30 = 574347117 ( đồng) III 0,5 0,25 1,0 0,5 (2,5 điểm) 1.(0,5 điểm) Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( 2C) tâm I Khi SABC = 3SAIB Mà SAIB = IAIBsin1200 = R2 nên SABC = 3R 2.(1,0 điểm) Giả sử đa giác A1A2…An nội tiếp đường tròn ( C) tâm I SA1A2 An = nSA1IA2 0,5 2 2 2 n mà góc A1IA2 = n  S A1IA2  R sin n  S A1A2 An  R sin n n sin x n    x  sử dung kết lim  ta có: x 0 2 x s inx   R lim   R2 x 0 x 0,5 Bằng cách đặt x= lim S A1 A2 An n  IV (3 điểm) 0,5 0,25 Ta có BD  AC BD  AA ' nên BD   ACC ' A '  AC '  BD Tương tự ta chứng minh AC '  A ' D Từ ta suy AC '   A ' BD  Gọi I giao điểm AC BD Khi G  AC ' A ' I giao điểm 0,5 AC ' mặt phẳng  A ' BD  Do AC // A ' C '  GI AI   suy G trọng tâm GA ' A ' C ' tam giác A ' BD                  (1,5 điểm) Đặt A ' A  m, A ' D '  n, A ' B '  p  m  n  p  a; m.n  n p  p.m      A ' M  x A ' D; D ' N  y.D ' C           Ta có A ' M  x.m  x.n; D ' N  y.m  y p  MN  MA '  A ' D '  D ' N      y  x  m  1  x  n  y p Do đường thẳng MN vng góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có        y  x  m  1  x  n  y p MN B ' C           y  x  m  1  x  n  y p MN D ' C       m  n    1  y  x    x      y  x   m  p  y         Vậy M, N điểm cho A ' M  A ' D; D ' N  D ' C 3     a a Do ta có MN   m  n  p  MN   MN  3 3 0,25 A B 0,5 I G D C M A' B' N D' V C' Nhận thấy hàm số liên tục điểm x khác Vậy hàm số liên tục R hàm số liên tục x = 0,5 Ta có : 2000 2017   a1 x  a2 x   a4017 x 4017 2017 2000   b1 x  b2 x   b4017 x 4017 1  x   x    x  1  ax   x    x  Nếu a1 – b1  khơng tồn giới hạn f(x) x tiến tới Vậy a1 = b1 2017 2017 Ta lại có: 1  x    x 2000    1  x   x h( x)   a1  C2017 1  ax  x  x3   x 2017  2000   1  ax   x h( x)  2000  b1  aC2000 C2017 2017 Do a1=b1 nên ta có a =  C2000 2000 Xét 1  x  x lim    x 2000  2017    ax+x    x 2017  (1  x  x )  x p( x)   lim 2017   (1  ax+x )  x3 q( x ) 1  x  x   lim 2017  2000 x2 x0 x0 2000 x2 x0  a2  b2     ax+x x2  2000     2  C2017  C2017  a 2C2000  C2000  2557225  b ... 2 017   a1 x  a2 x   a4 017 x 4 017 2 017 2000   b1 x  b2 x   b4 017 x 4 017 1  x   x    x  1  ax   x    x  Nếu a1 – b1  khơng tồn giới hạn f(x) x tiến tới Vậy a1 = b1 2 017 ... b1 2 017 2 017 Ta lại có: 1  x    x 2000    1  x   x h( x)   a1  C2 017 1  ax  x  x3   x 2 017  2000   1  ax   x h( x)  2000  b1  aC2000 C2 017 2 017 Do a1=b1 nên ta có...  3.8 A88 11  27 A98 2. (1, 5 điểm) Kí hiệu An số tiền thu sau n năm Bằng chứng minh quy nạp An = 10 0 (1+ 0,06)n ( triệu đồng) A30 = 57434 711 7 ( đồng) III 0,5 0,25 1, 0 0,5 (2,5 điểm) 1. (0,5 điểm)