Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.. 2.Một người có số tiền 100 triệu đồng quyết định gửi ngân hàng với
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học : 2016-2017 Môn: Toán lớp 11
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (2,0 điểm)
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
x
Câu 2(3,0 điểm)
1.Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số
đó chia hết cho 3
2.Một người có số tiền 100 triệu đồng quyết định gửi ngân hàng với lãi suất 6%
một năm Hỏi sau 30 năm thì sô tiền người đó thu được là bao nhiêu, biết rằng hằng năm người đó không rút tiền lãi và số tiền lãi lại được cồng vào vốn của năm sau
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho đường tròn ( C) có bán kính R
1 Tính theo R diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn ( C)
2 Kí hiệu Sn là diện tích của n giác đều nội tiếp trong ( C), ( n 3) Tính Sn theo R,n
và tìm limSn biết
0
sin
1
x
x lim x
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a
1 Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng A BD' và đường thẳng AC' đi qua trọng tâm của tam giác A BD'
2 Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Cho hàm số 2 20002017 2 3 20172000
2
( )
x
b khi x
Tìm a và b để hàm số liên tục trên R
-Hết -
Trang 2Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ………SBD: ………
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Đáp án gồm 3 trang
I
3 2(1 cos ) 3 cos 2 1 1 (2 )
2
2cosx 3 cos 2x sin 2x
0,5
sin 2 cos 2 cos
0.5 sin(2 ) cos
3
0,5 sin(2 ) sin( )
( )
5
k
II
+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì
chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có 8
9
A cho 8 vị trí còn lại Vậy 8
9 9
+) Giả sử B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3 nên số có chín
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các
tập B\ 0 ; B\ 3 ; B\ 6 ; B\ 9 nên số các số loại này là
9 3.8 8
A A Vậy xác suất cần tìm là
8 9
3.8 11
27 9.
A
0,5
1,0
2.(1,5 điểm)
Kí hiệu An là số tiền thu về sau n năm Bằng chứng minh quy nạp
An = 100(1+0,06)n( triệu đồng)
A30 = 574347117 ( đồng)
1,0 0,5
III
Trang 3(2,5 điểm) 1.(0,5 điểm)
Giả sử tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( C) tâm I Khi đó SABC = 3SAIB
Mà SAIB = IAIBsin1200 = R2
3
2 nên SABC =
2
2
2.(1,0 điểm)
Giả sử đa giác đều A1A2…An nội tiếp đường tròn ( C) tâm I khi đó
SA1A2 An = nSA1IA2 mà góc A1IA2 = 1 2 1 2
n
Bằng cách đặt x=
2
n
khi đó n x 0và sử dung kết quả
0
sin
1
x
x lim x
ta có:
1 2
0
s inx
n
A A A
x
0,5
0,5
IV
(3 điểm) Ta có BDAC và BDAA' nên BDACC A' 'AC' BD
Tương tự ta chứng minh được AC' A D' Từ đó ta suy ra AC' A BD'
0,25
Gọi I là giao điểm của AC và BD Khi đó GAC' A I' chính là giao điểm của
'
AC và mặt phẳng A BD' Do // ' ' 2
' ' '
suy ra G là trọng tâm của tam giác A BD'
0,5
2 (1,5 điểm) Đặt A A' m A D , ' ' n A B , ' ' p m n p a m n; n p p m 0
và A M' x A D D N ' ; ' y D C '
Ta có A M' x m x n D N ; ' y m y p MN MA ' A D' ' D N'
y x m 1 x n y p
Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có
2
3
x
y x m x n y p m n
y x
Vậy M, N là các điểm sao cho ' 2 ' ; ' 1 '
Do đó ta có
2 2
MN m n pMN MN
0,25
Trang 4G I
C'
B' A'
C
A
D
B
D'
M
N
0,5
V Nhận thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x khác 0 Vậy hàm số liên tục trên R khi
Ta có :
1 x x x 1 a xa x a x
1 ax x x 1 b x b x b x
Nếu a1 – b1 0 thì không tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới 0
Vậy a1 = b1
Ta lại có: 20002017 2 2017 1
1 2017
1 x x 1 x x h x( ) a C
2 3 20172000 2 2000 1
1 2000
1 axx x x 1 ax x h x( ) b aC
Do a1=b1 nên ta có a =
1 2017 1 2000
2017 2000
C
Xét
2 0
2 0
lim
lim
x
x
x
x
x
x x
x