1) Để chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị của k có hai cách giải. Cách 1 (Đã nói ở lời bình sau câu 2(1) Đề 24) Xem k(x2 4x 3) + 2(x 1) = 0 (*) là phương trình đối với ẩn k . Thế thì (*) có nghiệm không phụ thuộc k khi và chỉ khi x2 4x 3 = 2(x 1) = 0 x = 1. Cách 2 (Phương pháp cần và đủ) + Phương trình (*) có nghiệm với mọi x ắt phải có nghiệm với k = 0. + Với k = 0 ta có k(x2 4x 3) + 2(x 1) x = 1. Thay x = 1 vào (*) có 0k + 0 = 0 nghĩa là x = 1 là nghiệm của (*) với mọi k. Ta có điều phải chứng minh. 2) Kết quả một bài toán đâu phải chỉ có là đáp số. Cái quan trọng hơn là cách nghĩ ra lời giải chúng như thế nào, có bao nhiêu con đường (cách giải) để đi đến kết quả đó : Câu V : 1) Mấu chốt của bài toán là chuyển hoá hình thức bài toán. Cụ thể ở đây là biết thay thế việc chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm bằng cách chứng minh 1 + 2 0. Sự chuyển hoá này đã giúp kết nối thành công với giả thiết a1 + a2 2(b1 + b2). 2) Một cách hiểu khác của bài toán là : Chứng minh cả hai phương trình không thể cùng vô nghiệm. Với cách hiểu này ta chuyển hoá thành chứng minh khả năng 1 + 2 < 0 không thể xảy ra. Thật vậy: Nếu 1 < 0 và 2 < 0 suy ra 1 + 2 < 0. Điều này sẽ dẫn tới mâu thuẫn với a1 + a2 2(b1 + b2). Bài toán được chứng minh. 3) Các cách chứng minh bài toán trên cũng là cách chứng minh trong nhiều phương trình bậc hai, ít nhất có một phương trình có nghiệm. 4) Cùng một kiểu tư duy ấy bạn dễ dàng chứng minh : Với mọi giá trị của m, phương trình x2 mx + m = 0 không thể có hai nghiệm cùng dương. Thật vậy : + Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = 0. + Nếu m < 0, phương trình có nghiệm hai nghiệm trái dấu (do ac < 0). + Nếu m > 0, nếu cả hai nghiệm x1, x2 đều âm thì x1+ x2 < 0 suy ra (!). Mâu thuẫn với m > 0. Vậy là bài toán được chứng minh.
ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho a, b, c số đôi khác thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) Chứng minh rằng: b) Tính giá trị biểu thức: 2010 - 2010 + 2010 + ÷ 4 ÷ 2010 2010 4 1+ + 2010 2010 + 2010 A= Câu 2: a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh: 1 a+b+c + + ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc xy +3y - x + b) Cho biểu thức: A = x - Tìm giá trị nhỏ A x - + - x = 13 Câu 3: a) Giải phương trình: b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) biểu thức đại số xác định với số thực x khác 1 ÷ x ∀ không Biết rằng: f(x) + 3f = x2 x ≠ Tính giá trị f(2) Câu 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi M trung điểm EF, K trung điểm BD Chứng minh tam giác AMK tam giác Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S điểm O nằm tứ giác cho:OA + OB2 + OC2 + OD2 = 2S Chứng minh ABCD hình vng có tâm điểm O ĐÁP ÁN Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b ( a - b) ( a - c) a b-c ( b - c) = ab - b - ac + c ( a - b) ( a - c) ( b - c) Nhân vế đẳng thức với ta có: Vai trò a, b, c nhau, thực hốn vị vòng quanh a, b, c ta có: b ( c - a) = cb - c - ab + a ( a - b) ( a - c) ( b - c) c , ( a - b) = ac - a - bc + b ( a - b) ( a - c) ( b - c) a b c + + =0 2 (b - c) (c - a) (a - b) Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có b) Đặt 2010 = x ⇒ 2010 = x ; 2010 = x Thay vào ta có: x2 - x + x2 A= + ÷ x 1-x (đpcm) 2 1+ + x x 1+x = 1 ÷ x 1 + ÷ x + x2 1 1 = ÷ - ÷ =0 x x Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac ≥ 2b ac ; c + ab ≥ 2c ab 1 1 1 + + ≤ + + ÷ a + bc b + ac c + ab a bc b ac c ab Do a +b b+c c+a + + ab + bc + ca 2 = a+b+c ≤ abc abc 2abc = , đpcm Dấu xẩy a = b = c, tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ A = (x - xy + y) + 2y - x +1 Ta có: =[ ( x - = ( x - y - + (2y - y + = ( y ) -2 ) ) x - y -1 ( ) x - y + 1] - y + 2y 2 (2 + 1 )2 ) y − - 1 ≥2 x = x y = A= ⇔ ⇔ y = 2 y - = − Vậy minA = 4 Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: (2 x-1 +3 5-x ) ≤ (2 + 32 ) ( x - + - x) = 13.4 ⇒ x - + - x ≤ 13 x-1=2 5-x ⇔ x= Dấu xẩy Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn x= Vậy pt có nghiệm 29 13 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f 1 ÷=x x ∀x ≠ Thay x = vào (1) ta có: f(2) + 1 f ÷ 2 = (1) 29 13 Thay x = vào (1) ta có: 1 f ÷ 2 Đặt f(2) = a, f(2) = - 1 f ÷ + 3.f(2) = 2 = b ta có a + 3b = 3a + b = a=- Giải hệ, ta 13 32 13 32 Vậy a Câu 4: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK = = AB FM = OK Ta lại có AF = R ⇒ AF = OA f AB Vì FM = b o EF mà EF k c m · AFM = 1200 · · · · AOK + AOB = 1800 = AOK + 600 ⇒ AOK = 1200 e d Do đó: ∆AFM = ∆AOK (c.g.c) b · ⇒ AM = AK, MAK = 600 ⇒ ∆AMK o Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB ≤ mà OA.OB OA + OB2 ≤ Do 2SAOB OA + OB2 ⇔ ⊥ Dấu “=” xảy OA OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có: c h a d OB2 + OC 2 ≤ 2SBOC ≤ 2SAOD OD + OA ≤ ; 2SCOD OC + OD 2 2 ( OA + OB2 + OC + OD ) Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ Hay 2S ≤ OA2 + OB2 + OC2 + OD2 Dấu xẩy OA = OB = OC = OD · · · · AOB = BOC = COD = DOA = 90 ⇒ ABCD Lời bình: Câu III.b 1) Chắc chắn bạn hỏi x= 2 hình vng tâm O từ đâu mà ra? Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa thức biến x f(x) hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2) Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ (3) A(a ) x + B (a ) y = C (a ) B (b) x + A(b) y = C (b) Giải hệ phương trình (3) (đó hệ phương trình bậc hai ẩn x, y) • Trong toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) x = x2, a = Phương trình Q(x) = P(a) ⇔ Số x= =2 x ⇔ x= , tức b= nghĩ 2) Chú ý: Khơng cần biết phương trình (2) có nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành công 3) Một số tập tương tự a) Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f(− x) = + 3x (với x ∈ b) Tính giá trị hàm số f(x) x = c) Tính giá trị hàm số f(x) x = 1) f ( x) + f ÷= x 1− x ¡ ) (với ≠ x ≠ 1) 1 ( x − 1) f ( x) + f ÷ = x x −1 (với ≠ x ≠ ... P(a) ⇔ Số x= =2 x ⇔ x= , tức b= nghĩ 2) Chú ý: Khơng cần biết phương trình (2) có nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành cơng 3) Một số tập tương tự a) Tính giá trị hàm số. .. A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa thức biến x f(x) hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình... Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f(− x) = + 3x (với x ∈ b) Tính giá trị hàm số f(x) x = c) Tính giá trị hàm số f(x) x = 1) f ( x) + f ÷= x 1− x ¡ ) (với ≠ x ≠ 1) 1 ( x − 1) f (