Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán 12

Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản.. Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.. Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp t ng p

THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang

TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn)

A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

PHẦN 1: HÀM SỐ

Bài tốn 1: Khảo sát hàm số

1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 )

+ TXĐ : D 

+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac

y/ cùng dấu với hệ số a

KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) y

/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

KL: hàm số tăng? Giảm?

Hàm số không có cực trị  Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

( 0)

x

a

a

 







( 0)

x

a

a

  







  

+ Bảng biến thiên:

a > 0:

x - +

y’ +

-

a < 0:

Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng

+ Vẽ đồ thị :  xác đinh Cực trị ?  Điểm uốn I( 3b a ;f(3b a )) (giải pt y’’ = 0 )  điểm đặc biệt : Giao với Oy, Ox

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

2.Hàm phân thức : y ax b

cx d





 ( c  0; ad  bc  0 )

c

 

  

 

ad bc y

cx d







Hàm số không có cực trị

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác

định

x - x1 x2 +

x - +

y’

-y +

-

x - x1 x2 +

THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang

+ Tiệm cận:

c

 là tiệm cận đứng vì x limd  

c

ax b

cx d



 

 

 

 



  

c

ax b

cx d



 

 

 

 



  



 y a

c

 là tiệm cận ngang vì lim lim

+Bảng biến thiên :

+ Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt

tiệm cận

3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )

+ TXĐ : D , Hàm số chẵn

+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b)

y/ = 0  x = 0

KL: tăng? Giảm

y/ = 0  2x (2ax2 + b) = 0  x= 0; x1,2=

a

b

2



KL: tăng? Giảm?

Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị

 Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(

2

b a

 ) = 4a Có 3 cực trị

( 0)

x

a

a

 







   + Bảng biến thiên :

a > 0

c

c a

c

-y

a c

a c

CT

CĐ

-y - yCĐ y yCĐ

y= a/c

y= a/c

THPT Lộc Thành- Lâm Đồng Thầy: Nguyễn Văn Trang

+ Vẽ đồ thị :  cực đại , cực tiểu ;  y = 0 > x= ? giải pt trùng phương

Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

a> 0

b>0 a< 0

b <0

a< 0 b>0

a> 0

b <0

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là : y - f(x0) = f/(x0)(x x0) hay y = y/(x0)(x x0)+ y(x0) Từ x0 tính f(x0) ;  Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y - f(x0) = f/(x0)(x x0)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =  a1

+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0)

+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?

+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1

+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

3 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A

Pt đường thẳng (d) là : y = k(x  x1) + y1

+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là

hệ phương trình :    (1)









f(x) k(x x ) y1 1 /

f (x) k (2) có nghiệm Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)

+ : y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)

+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị : y = M

Bài toán 4: Xác định khoảng tăng, giảm hàm số (xét tính đơn điệu) :

+ TXĐ D= ?

+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m) :

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)

Bài tốn 5: Cực trị hàm số

 Dấu hiệu I :

+ TXĐ D=?

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) x0 là cực trị của hàm số /( 0) 0

/ ( )



 





y x

y x

 Dấu hiệu II:

+ TXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?

đổi dấu khi qua x0

cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …

+ Tính y//(x1); y//(x2)……

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:

y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)

Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :

Cho h/s y = u

v u(x) ; v(x) là các đa thức có TXĐ: D Và y/ = u v v u 2  =g(x)2 dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/vv/u = 0

=> u u





 Do đó giá trị cực trị y(x0) = u (x )0

v (x )0





Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:

+ Miền đang xét [a;b]

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh  KL

y(a) ; y(b)

+ max y[a;b]  ? min y[a;b] ?

2 P.pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT:

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT   CT

a;b

min y y

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ  a;b 

max y 

yCĐ

* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có

là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

 pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

 pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc :

Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt f (x) g(x)

f (x) g (x)







Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :

*Tiệm cận đứng : xlim f (x)x0  



   hoặc xlim f (x)x0  



   => x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định

*Tiệm cận ngang : xlim y y0

    hoặc xlim y y0

   => y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có

tiệm cận ngang

Phần 2: Hàm số mũ và logarit

Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số mũ hoặc hàm số logarit

an = n

a

1

; a0 = 1 0 ; amn nam

 ( m; n nguyên dương , n > 1)

 Các quy tắc:

ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx x

x y a

x x

a a

x

b b

 

 

   x y  ay x ax.y

 Hàm số mũ : y a  x với a > 0 ; a  1

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2  a x1 > a x2

+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2  a x1 < a x2

* Hàm số logarit:

 = log a N  a = N log a x = b  x= a b

 Đặc biệt : aloga x = x ; loga a x = x ; loga1 = 0

 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:

loga(B.C) = loga B + loga C loga B

C

 

 

  = logaB  logaC loga B = 

log

aB

 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :

logca.logab = logcb  log ba log bc

log ac

 0 < a, b  1 : loga b = log a1

b

Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x

 Hàm số Logarit: y = logax với a > 0 ; a  1

TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : 

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0  logax1 > logax2

+ 0 < a < 1; h/s ngh biến: x1 > x2 > 0  logax1 <logax2

Bài tốn 2: giải phương trình mũ và logarit :

 Dạng cơ bản:

f (x)

a  f(x) = g(x)

v(x)

u = 1  ( u 1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )

f (x)

a = b ( với b > 0 )  f(x) = loga b

logaf(x) = logag(x)  f (x) 0 g(x) 0

f (x) g(x)







 dạng: log f (x)a b







logu(x)v(x) = b 

v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1

b v(x) u(x)









 Đặt ẩn phụ :

.a2f (x) +.af (x) +  = 0 ; Đặt : t = af (x) Đk t > 0

hoặc

 b f (x)

a  + b f (x)

a  +  = 0 ; Đặt : t = f (x)

a Đk t > 0

 f (x)

b +  = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f (x)

t= f (x) b

 2f (x)

a +. a.b f (x)+  2f (x)

b = 0 ; Đặt t =

f (x) a b

 

 

 

 Logarit hoá hai vế :

Bài tốn 3: Giải bất phương trình mũ và logarit

 Dạng cơ bản :

af (x)> ag(x)  f (x) g(x) khi a 1

f (x) g(x) khi 0 a 1







af (x) > b  Nếu b  0 có nghiệm x

Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1

af (x) < b  Nếu b  0 thì pt vô nghiệm

Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1

logaf(x) > loga g(x)  Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a  1

(a1)[ f(x)  g(x) ] > 0

logaf(x) > b  * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

logaf(x) < b  * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

u(x)v(x)> 1  u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) > 0

 u(x)v(x)< 1  u(x) > 0 và [ u(x) 1 ].v(x) < 0

Lưu ý:

* trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dỡ dang hơn: f (x)

a > g(x)

a (a1)(f(x)  g(x)) > 0 logaf(x) > logag(x)  (a1)(f(x)g(x)) > 0 (mở rộng thi đại học)

* Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm

số trên

*Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số

Phần 3: Nguyên hàm.

Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).

Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Dạng 1: Tính I =  f[u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dt u '(x)dx 

 I =  f[u(x)].u '(x)dx   f (t)dt

Dạng 2: Tính I =  f (x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:

1





thì đặt x = asint a2 x2 ; 21 2



 thì đặt x = atant

Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp t ng ph n: ằng phương pháp từng phần: ương pháp từng phần: ừng phần: ần:

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v'(x)dx u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx

Hayudv uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )



 

 

 

 

ax

f x cosax dx ax e

với f(x) là đa thức: Đặt

cos



u f x du f x dx

dv ax dx v cosax dx

@ Dạng 2:  f x( ) ln(ax b dx ) Đặt

.

( )

( )



 



a dx

u ax b du

ax b

dv f x dx

v f x dx

@ Dạng 3:  sin 

 

 

ax ax

cosax Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx; sin(ax+b).cos(cx+d)dx cos(ax+b).cos(cx+d)dx

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: sin (u(x)).cos (u(x))dx n m (n,m là các số nguyên dương)

* Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x))

* nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x))

* Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc)

* n,m  Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể

đặt t = tan(u(x)) hoặc t = cot(u(x))

Dạng 3: R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học)

* Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx

* Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx

* Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx

Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x)dx

g(x)

 trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x

Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:

f (x) h(x) r(x)

g(x) h(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x)

Nên (f (x))dx h(x)dx r(x)dx

   Như vậy h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn

phải tính r(x)dx

g(x)

 theo trường hợp sau

Trường hợp 2: tính r(x)dx

g(x)

 với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)

* Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức

g(x)a(x  ).(x x ) (x x )  (x x )  (x x ) (*) ( x1;

x2 là nghiệm của g(x)

* ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các

hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)

*sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức

Phần 4: Tích phân ( Tương tự phần nguyên hàm cần chú ý thêm về cận )

Bài tốn 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản

Bài tốn 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Tính I = bf[u(x)]u dx/

a bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dt u '(x)dx 

 Đổi cận x=a => t = u(a)

x=b => t = u(b)

 I = bf[u(x)]u dx/

u(b)

u(a)

f (t)dt



Dạng 2: Tính I =  f (x)dx

 Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:

1





thì đặt x = asint a2 x2 ; 21 2



 thì đặt x = atant

Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: (xem phần nguyên hàm)

Bài tốn 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản) (xem phần nguyên hàm)

Bài tốn 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ (xem phần nguyên hàm)

Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối

Tính bf (x) dx

a + Tìm nghiệm của f(x) = 0

Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc cĩ nghiệm x = a hoặc x = b thì bf (x) dx

a = bf (x)dx

a

Nếu f(x) = 0 cĩ nghiệm x = c (a;b) thì bf (x) dx

a = cf (x)dx bf (x)dx

*Chú ý: Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x))

Phần 5: Diện tích hình phẳng  thể tích vật thể trịn xoay.

Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng

 Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

x a;x b









hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0;

Diện tích : S = b| f (x) | dx

a

Chú ý : nên giải pt : f(x) = 0 trên a b;  ( đặc biệt nếu thiếu cận a, b)

 Hình phẳng giới hạn bởi :

y f (x)

y g(x)

x b













hàm số liên tục trên [a;b]

hàm số liên tục trên [a;b]

x a;

Diện tích : S = b| f (x) g(x) | dx

Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)

2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a

b

x y

y=g(x)

y f (x)

x a; x b









hàm số liên tục trên [a;b]

trục hoành y 0; quay quanh trục Ox thì V = bf (x) dx2

a

    

Phần 6: Số phức

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…

Cho hai số phức a+bi và c+di

1 a+bi = c+di  a = c; b = d 2 mơđun số phứcz   a bi  a2 b2

3 số phức liên hiệp z = a+bi là z = a  bi

4 (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5 (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i

6 (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i 7 z = c di 21 2[(ac+bd)+(ad-bc)i]





Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với  = b2  4ac

Nếu  = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép x1 x2 b

2a

  (nghiệm thực) Nếu  > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực: x b

4a

  



Nếu  < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức x b i

4a



B HÌNH HỌC.

Phần 7: Thể tích, diện tích của các khối hình

Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nĩn,trụ,cầu

 Khối nĩn: Sxq = rl; Stp = r(r + l)

 Khối trụ: Sxq = 2rl; Stp = 2r(r + l)

 Khối cầu: S = 4r2

Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hình.

* Khối hình chĩp V = 1Bh

3 ; * Khối nĩn V = 1 2

r h

3

* Khối hình trụ V = r2h ; * Khối cầu V =4 r3

3 * Khối lăng trụ: V= Bh

2 a 2 sin 4

abc

R

( R: là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác.) (

2

a b c

p   : là nửa chu vi của tam giác.) Định lý cosin: Tam giác ABC cĩ ba cạnh tương ứng là a,b,c:

Phần 8: Phương pháp tọa độ trong khơng gian

a

 = (x;y;z)  a = x.i + y j + z k

Tính chất : Choa = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)

 a

b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)

 a k = (ka1;ka2;ka3) k  R

Tích vô hướng :  a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 =a .b Cos 

Cos  = a2 a b1 1a2 a ba b22 2 2a b3 3b2 b2

  a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0 a cùng phương b ;a 0  b = k.a  a  b = 0