THÔNG TIN TÀI LIỆU
SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tö BÁO CÁO SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Hàng năm cơng tác bồi dưỡng học sinh có khiếu mơn Tốn việc làm thường xun liên tục giáo viên nhà trường Là giáo viên giảng dạy mơn tốn tơi nhà trường tin cậy giao nhiệm vụ thực công việc Khi giao nhiệm vụ trăn trở suy nghĩ nhiều việc làm để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi có chất lượng cao Tơi thiết nghĩ để làm việc người giáo viên phải đóng vai trị người hướng dẫn em biết vận dụng cách linh hoạt sáng tạo kiến thức tiếp thu để giải tập, đồng thời tìm nhiều lời giải cho tập Có em hứng thú say mê học mơn Tốn Để làm điều người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian công sức để đọc nghiên cứu loại sách nâng cao; tài liệu tham khảo; chọn lọc tổng hợp thành dạng tập sở phần kiến thức sách giáo khoa mà em học Phân tích đa thức thành nhân tử phần quan trọng mặt kiến thức lẫn kỹ thực học sinh bậc THCS Nội dung giới thiệu chương trình Tốn lớp coi nội dung cốt lõi chương trình Vì vận dụng nhiều chương sau, phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, giải bất phương trình… Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần không nhiều nên đa số học sinh lúng túng học sinh giỏi cịn nhiều vấn đề kiến thức chưa đề cập tới Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ bản, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải nhiều vấn đề chương trình Đại số lớp lớp nhiều vấn đề tốn học khác có liên quan, tìm lời giải hay ngắn gọn cho tốn Nhưng tốn phân tích đa thức thành nhân t khụng phi bi toỏn n Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử gin, trường hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Để giúp cho tất học sinh đại trà để bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết tốt việc giải dạng tốn này, tơi sâu tìm hiểu, nghiên cứu đưa phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cách tổng quát, giúp em dễ dàng nhận dạng giải quyết tốn tốt Chính chọn sáng kiến “ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để nghiên cứu mong muốn sáng kiến có hiệu công tác giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh giỏi Việc nghiên cứu vấn đề góp phần định hướng cho em biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, linh hoạt sáng tạo học tập Góp phần tạo hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, đặc biệt đạt kết cao học tập kỳ thi học sinh giỏi Bên cạnh đó, việc nghiên cứu sáng kiến giúp cho thân tơi hiểu sâu, hiểu kỹ dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ cho cá nhân Tên sáng kiến: “ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Tác giả sáng kiến - Họ tên: Chu Thị Loan - Địa tác giả sáng kiến: Trường THCS Chợ Chu – Định Hóa – Thái Nguyên - Số điện thoại: 0977893920 Email: loanchochu@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Chu Thị Loan Lĩnh vực áp dụng sáng kiến + Giảng dạy khóa + Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Trung học sở Gi¸o viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư + Đưa biện pháp giải pháp để nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi + Trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan để tham dự kì thi học sinh giỏi, giải Tốn qua mạng Internet Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 15/8/2015 Mô tả chất sáng kiến Với khuân khổ viết này, thân không tham vọng sâu nghiên cứu tất phương pháp hay tập khó dạng tốn Trong sáng kiến tơi xin trình bày số phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Nhằm giúp em học sinh tháo gỡ giải khó khăn học tập, đồng thời phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, linh hoạt, tự tìm kiến thức mới, cách giải, phương pháp thơng thường Từ tạo hứng thú học tập, niềm đam mê toán học *Nhiệm vụ nghiên cứu - Nhiệm vụ chung: Nêu phương pháp để giải dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nhiệm vụ cụ thể: + Tìm hiều thực trạng học sinh + Những phương pháp thực + Những chuyển biến sau áp dụng + Rút học kinh nghiệm * Phương pháp nghiên cứu Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vi chuyờn ny tụi nghiờn cu sở dạy hàng ngày, buổi bối dưỡng học sinh giỏi, với việc nghiên cứu tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp, đồng thời phân tích, tổng hợp, điều tra số liệu thu thập * Điểm sáng kiến: Xây dựng phương pháp giải dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử * Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối 8, Trường THCS Chợ Chu, huyện Định Hóa, tỉnh Thái Nguyên * Phạm vi nghiên cứu - Các tiết dạy theo thời khóa biểu khóa - Các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi, buổi sinh hoạt chuyên môn * Thời gian nghiên cứu Chuyên đề nghiên cứu từ tháng năm 2015 đến tháng năm 2016 7.1 Những vấn đề chung *Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức Ví dụ: a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1) b) x5 + x + = (x + x + 1)(x – x + 1) * Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau, thường sử dụng số phương pháp thông dụng sau: - Đặt nhân tử chung - Sử dụng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp - Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử - Đổi biến số (hay đặt biến phụ) Gi¸o viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư - Thêm bớt hạng tử - Phương pháp hệ số bất định - Tìm nghiệm đa thức - Xét giá trị riêng Trừ số trường hợp tốn đơn giản, cịn nhiều toán toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp phương pháp cách linh hoạt để giải 7.2 Thực trạng vấn đề Hiện nhà trường phổ thơng mơn tốn mơn học nhiều học sinh ham thích, đặc biệt em có khiếu mơn Tuy nhiên, tự học sinh nắm phương pháp học tập, thân chưa thể chiếm lĩnh kiến thức cách chủ động, sáng tạo, linh hoạt Phần phân tích đa thức thành nhân tử kiến thức tương đối khó lại thường xun phải thực vận dụng vào nhiều dạng toán Khi chưa đưa chuyên đề ra, gặp tập dạng này, dù tập sách giáo khoa học sinh lúng túng cách giải đặc biệt đa thức bậc cao, có nhiều biến… Khi tơi chưa đưa chun đề với tốn: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( x 10 x)( x 10 x 24) 128 Học sinh lúng túng thử phương pháp thông thường học không thực Sau tơi gợi ý với tốn ta đặt phần giống biến có khoảng 30% học sinh thực Sau tơi hướng dẫn em viết đa thức với biến tiến hành phân tích đa thức nhận khoảng 80% học sinh làm 7.3 Các giải pháp (Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) 7.3.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp : + Trước hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử a thc Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Phõn tớch mi hng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đưa nhân tử chung dấu ngoặc Các hạng tử dấu ngoặc thương phép chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung b) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) A = 5x y – 10xy 2) B = (y – z)(2x y – yz2 ) – (4yx + yz2 )(z – y ) + 6x z(y – z) Giải 1) A = 5x y – 10xy Ta thấy hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy, ta có A = 5x y – 10xy = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x - 2y) 2) B = (y -z)(2x y – yz2 ) – (4yx + yz2 )(z – y ) + 6x z(y – z) Đổi dấu - (4yx + yz2 )(z - y 2)=(4yx + yz 2)( y - z), ta có thừa số (y – z) chung: B = (y – z)(2x 2y – yz 2) – (4yx + yz 2)(z – y 2) + 6x 2z(y – z) = (y – z)(2x 2y – yz 2) + (4yx + yz 2)( y – z) + 6x z(y – z) = (y – z)[( 2x 2y – yz ) + (4yx + yz 2) + 6x 2z] = (y – z)[ 6x 2y + 6x z] = (y – z)[ 6x 2(y + z)] = 6x 2(y2 – z)(y + z) c) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x + 2z)(3x + 5x 2y) – (7x – 3x y)(2z + x) P = 3a(b – 2c) – (a – 4)(2c – b ) 7.3.2 Phương pháp dùng đẳng thức a) Phương pháp: Ta thấy đẳng thức đáng nhớ ln có vế nhân tử Vì để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất hin cỏc hng ng Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thc (nu cú thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x – x + ; 2) ( x y 5) x y 16 xy 16 Giải : Ta thấy hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung nên khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức Vì áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 2 1 �1 � � � 1) = x – x + = x2 2.x � � �x � �2 � � � 2) ( x y 5) x y 16 xy 16 ( x y 5) 4( x y xy 4) ( x y 5) 4( xy 2) ( x y 5) 2( xy 2) [x y 2( xy 2)][x y 2( xy 2] =[x y xy 4][x y xy 4] =[x y xy 1][x y xy 9] =[(x+y) 12 ][( x y ) 32 ] ( x y 1)( x y 1)( x y 3)( x y 3) c) Bài tập Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ, ta giải tốn tương tự sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M= x 81y2 ; 25 N = x y (x x y y ) ; 6 2 K = x6 7.3.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng t: Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) Phng phỏp S dng tớnh chất giao hốn tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích đa thức thành nhân tử Lưu ý: Thường ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác b)Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x2 – xy + x – y Giải : 1) x2 – xy + x – y * Cách 1: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư ta có : x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) =(x – y)(x + 1) * Cách 2: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư, ta có : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) = (x + 1)(x – y) Nhận xét : Ở ví dụ ta nhóm hạng tử thích hợp để sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung Đối với đa thức có nhiều cách nhóm khác hạng tử thích hợp c) Bài tập Vận dụng phương pháp nhóm hạng tử, ta giải tốn tương tự sau: Phân tích đa thức thành nhân tử: Gi¸o viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư E = 3x – 75x + 6x – 150; F = x(y z ) y(z x ) z(x y ) 2 2 2 7.3.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp a) Phương pháp Thông thường để phân tích đa thức thành nhân tử ta thương phải phối hợp nhiều phương pháp với b) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + – 2y2 ; 2) 2a2 – 12ab + 18b2 Giải: 1) Ta thấy hạng tử có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ngồi tiếp tục phân tích đa thức ngoặc: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) Đặt nhân tử chung = [(x2 + 2x + 1) – y2] Nhóm hạng tử thích hợp đa thức ngoặc = 2[(x + 1)2 – y2] Xuất đẳng thức = 2(x + – y)(x + + y) Dùng đẳng thức Như thứ tự thực là: Đặt nhân tử chung thức dùng đẳng nhóm hạng tử Vậy 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x + – y)(x + + y) 2) 2a2 – 12ab + 18b2 Cách giải tương tự câu a) : 2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)2 c) Bài tập: Phân tích đa thức đa thức sau thành nhân tử I = 3n2 12n 27 3m2 ; K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 7.3.5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiu hng t Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) Phng phỏp Có số đa thức khơng có nhân tử chung khơng có dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai nhiều hạng tử cách hợp lý tốn trở nên dễ dàng b) Ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 6x + Cách 1: Tách số hạng thứ hai x2 – 6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4) Cách 2: Tách số hạng thứ x2 - 6x + = x2 – 6x + – = (x – 3)2 – = ( x – – 1)(x – + 1) = (x – 4)( x – 2) Cách 3: x2 – 6x + = x2 – – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 4) Mặc dù có nhiều cách tách thông dụng ta làm theo cách Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax + bx + c thành nhân tử ta làm sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chọn hai thừa số có tổng b Khi hạng tử bx tách thành hạng tử bậc Ví dụ 2: 4x2 – 4x – Ta có tích: ac = 4.( –3) = 12 Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 10 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phõn tớch : 12 = –1.12 = 1.( –12) = 2.(-6) = –3.4 = 3.( – 4)=… Chọn thừa số có tổng : – (–6) 4x2 – 4x – = 4x2 + 2x – 6x – c) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x – 21x + 38; I = x + 5x – 14; K = x + 4x – 21 7.3.6 Phương pháp đổi biến số ( đặt biến phụ) a) Phương pháp Trong số toán, ta nên đưa biến phụ vào để việc giải toán gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt biến phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp khác tiếp tục phân tích b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 2) g ( x) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 Giải: 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y � x2 + x + = y + f(x) = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + , ta được: f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến ta phân tích tiếp: x2 + x – = x2 – x + 2x – = x(x – 1) + 2(x 1) Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 11 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x 1)(x + 2) 2 �1 � �1 � � � 19 x + x + = x + x + � � � � �x � �2 � �2 � � 2� 2 � 1� Vì �x ��0x, x �R nên � 2� � � 19 19 �x � � � 2� 4 Và x2 +x + khơng thể phân tích Kết quả: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5) 2) g(x) = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 =[(x+2) )(x+5)](x+3)(x+4)] – 24 = (x2 + 7x +10) (x2 + 7x +12) – 24 Đặt y =(x2 + 7x +10) Ta có (x2 + 7x +10) (x2 + 7x +12) – 24= y(y+2)-24 = y +2y – 24 = y +2y +1 – 25 = (y+1) - 52 =(y + + 5)(y + 1- 5) = (y + 6)(y - 4) Thay y =(x2 + 7x +10).Ta được: g(x) = (x2 + 7x +10 +6)( x2 + 7x +10 - 4) = (x2 + 7x +16)( x2 + 7x +6) = (x2 + 7x +16)( x2 + 6x + x +6) = (x2 + 7x +16)( x+ 1)(x +6) c)Bài tập Bằng cách đặt ẩn phụ, ta giải tốn tương tự sau Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x6 3x4 3x2 1; g(x) = (x2 x)2 14(x2 x) 24 7.3.7 Phương pháp thêm bớt hạng tử a) Phương pháp Ta thêm bớt hạng tử cách hợp lý để đa thức có nhiều hạng tử Sau áp dụng phương pháp học để giải tốn Thơng thường ta hay đưa dạng đẳng thức đáng nhớ sau thêm bớt b) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) a3 + b3 + c3 3abc Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 12 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Gii: Các hạng tử đa thức cho không chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức nào, khơng thể nhóm số hạng Vì ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết a3 + b3 + c3 – 3abc Ta thêm bớt 3a2b +3ab2 sau nhóm để phân tích tiếp a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) c) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x + 4y 4; N = x + x + 1; P = (1 + x )2 – 4x(1 + x 2) 7.3.8 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hệ số bất định: a)Phương pháp : Nếu tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số cho mà f(x) g(x) ln có giá trị hệ số hạng tử bậc f ( x) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 g ( x ) bn x n bn1 x n 1 b1 x b0 f ( x) g ( x) � an bn ; an 1 bn 1 ; ; a1 b1 ; a0 b0 b) Ví dụ : 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x2 + 3x + Giải: f(x) = x2 + 3x + Gi¸o viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 13 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư Vì hệ số hạng tử có bậc cao (x 2) nên f(x) phân tích thành hai nhân tử x + a, x + b, ta có: x2 + 3x + = (x + a)(x + b) � x2 + 3x + = x2 + (a + b)x + ab � �a b �� �ab Từ a + b = => a= – b thay vào ab = 2, ta được: ab = => b(3 – b) = � –b2 + 3b – = � –b2 + b + 2b -2 = � –b(b – 1) + 2(b – 1) = � (b – 1)(b – 2) = b 1 � � � b2 � Cho b = => a = b = => a = Trong hai trường hợp ta kết quả: f(x) = x2 + 3x + = (x + 1)(x + 2) Vậy f(x) = (x +1)(x + 2) 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số �1, �3 khơng nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd �a c 6 �ac b d 12 � � �ad bc 14 � đồng đa thức với đa thức cho ta có: �bd Xét bd = với b, d � Z, b � �1, �3 với b = d = hệ điều kiện trờn tr thnh Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 14 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử a c 6 �ac 8 2c 8 � c 4 � � �� �� � ac a 2 � �a 3c 14 � � bd � Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Tuy nhiên phương pháp áp dụng với đa thức bậc cao xuất hệ nhiều biến giải phức tạp c) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x3 9x2 26x 24 g(x) = x4 6x3 12x2 14x 7.3.9 Phương pháp tìm nghiệm đa thức: Khái niệm nghiệm đa thức: Cho đa thức f(x), x = a nghiệm đa thức f(x) f(a) = a) Phương pháp: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x =a đa thức f(x) có nhân tử (x-a) Từ ta phân f(x) = (x –a ).Q(x) Lưu ý: + Nếu đa thức f(x) có nghiệm ngun nghiệm ước hệ số tự + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x =1 Từ f(x) có nhân tử x - + Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + + Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c Nếu: a + b + c = f(x) có nghiệm x = Nếu : a – b +c = f(x) có nghiệm x = -1 b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) P(x) = x3 – 2x Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 15 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2) P(x) = x2 6x + Giải: 1) P(x) = x3 – 2x – Ta thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có nghiệm x = Do đó, ta có : P(x) = (x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – 2, ta thương Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Ta thấy Q(x) >0 x nên Q(x) phân tích Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy P(x) = x3 – 2x – = ( x - 2)(x2 + 2x + 2) 2) P(x) = x2 – 6x + Ta thấy – + = nên P(x) có nghiệm x =1 P(x) = (x -1 ).Q(x) Chia đa thức P(x) cho (x - 1) ta thương phép chia là: Q(x) = x – Suy ra: P(x) = (x - 1)(x – 5) c) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x)=x3– 6x2 +11x – 6; g(x) = x5 +6x4 +13x3 +14x2 +12x+8 7.3.10 Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp: Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) Thay x= y => P = nên x= y nghiệm đa thức P biến x nên P chia hết cho x - y hay P chứa thừa số x- y Tương tự: P chứa thừa số y-z, z-x P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy K phải số (không chứa biến) P có bậc ba tập hợp biến x,y,z cịn (x-y)(y-z)(z-x) có bậc ba hp cỏc bin x,y,z Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 16 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vỡ ng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho biến x,y,z giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta được: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) � -2K= � K= -1 Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z) c) Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A ( a b c)( ab bc ca ) abc B a ( a 2b )3 b(2a b) Về khả áp dụng sáng kiến Với sáng kiến “ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”, đưa số phương pháp để giải dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử tốn nhiều toán khác như: Bài toán chia hết, giải phương trình đưa dạng phương trình tích, rút gọn biểu thức Tuy nhiên lại dạng tốn khó nên giảng dạy tơi tơi đưa toán dạng trước để học sinh hiểu rõ phương pháp xếp theo mức độ từ dễ đến khó Với học sinh đại trà yêu cầu em nắm phương pháp như: Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Sau chữa lỗi sai học sinh thường mắc phải, cho tập áp dụng để học sinh thành thạo kỹ Đối với học sinh giỏi, tơi cho em tìm cách giải hay, khó, khai thác tốn… Chun đề tơi áp dụng giảng dạy cho học sinh tiết dạy lớp, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, bồi dưỡng học sinh giỏi thi giải toán qua mạng cấp thấy học sinh nắm hứng thú với dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử vận dụng tốt vào dạng toán liên quan Học sinh biết vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải toán cụ thể Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến : Giáo viên dạy mơn Tốn, có trình độ đào tạo đạt chuẩn; học sinh cấp THCS Đánh giá lợi ích thu áp dụng sỏng kin Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 17 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử T thc t ging dy áp dụng sáng kiến nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập này, giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học tốn Đặc biệt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đạt kết định Kết thi học sinh giỏi cấp, thân đạt sau: Trước triển khai chuyên đề Năm học 2013 – 2014 Cuộc thi Số học Số học sinh sinh đạt tham gia giải Học sinh giỏi cấp huyện 10 Giải toán mạng Internet cấp huyện Học sinh thi giải toán mạng Internet cấp huyện 10 Giải toán mạng Internet cấp tỉnh 2014 – 2015 Năm học 2015 – 2016, vận dụng sáng giải nhì giải ba giải khuyến khích giải nhì giải ba giải khuyến khích 01 giải 02 giải nhì 02 giải ba 03 giải khuyến khích giải nhì giải ba giải khuyến khích kiến nghiên cứu để giảng dạy cho học sinh có kết cao hn cỏc nm hc trc nh sau: Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 18 Ghi chỳ SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Cuc thi S hc sinh tham gia Số học sinh đạt Ghi giải 01 giải Giải toán mạng Internet cấp huyện 12 10 03 giải nhì 04 giải ba 02 giải khuyến khích 06 giải Giải toán mạng Internet cấp tỉnh 8 02 giải ba 01 giải ba Học sinh giỏi cấp huyện 02 02 Học sinh giỏi cấp tỉnh 03 01 01 giải khuyến khích 01 giải ba Khi triển khai sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử, thấy lực tư em nâng lên nhiều, đồng thời em ham thích tìm hiểu loại tốn mới, cách giải hay cho tập Vì em biến kiến thức thu thành kiến thức mình, biết vận dụng cách linh hoạt sáng tạo vào giải tập 10 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu : Số Tên tổ chức/cá nhân TT Chu Thị Loan Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THCS Chợ Chu Ging dy trờn lp, bi Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 19 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Định Hóa – Thái Nguyên Ma Huy Huỳnh Nguyễn Thị Dung Ma Thị Hà Giảng dạy lớp, bồi Trường THCS Chợ Chu – dưỡng học sinh giỏi lớp Định Hóa – Thái Nguyên 9, bồi dưỡng giải toán qua mạng lớp 8, lớp Giảng dạy lớp, bồi Trường THCS Chợ Chu – dưỡng học sinh giỏi lớp Định Hóa – Thái Nguyên 9, bồi dưỡng giải toán qua mạng lớp 8, lớp Giảng dạy lớp, bồi Trường THCS Chợ Chu – dưỡng học sinh giỏi lớp Định Hóa – Thái Nguyên 9, bồi dưỡng giải toán qua mạng lớp 8, lớp Chợ Chu, ngày 11 tháng 01 năm 2017 HIỆU TRƯỞNG dưỡng học sinh giỏi lớp 9, bồi dưỡng giải toán qua mạng lớp 8, lớp Chợ Chu, ngày 11 tháng 01 năm 2017 Tác giả sáng kiến Chu Thị Loan Giáo viên: Chu Thị Loan Trờng THCS Chợ Chu Trang 20 SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử NH GI CA HI NG SNG KIẾN , ngày……tháng .năm… NHÀ TRƯỜNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Nhận xét:…………………………………… (Ký, ghi rõ họ tên đóng dấu) ………………………………………….……… ………………………………………………… ………………………………… ……………… ………………………………………….……… Tng im: Xp loi:. Giáo viên: Chu Thị Loan – Trêng THCS Chỵ Chu Trang 21 ... viết đa thức với biến tiến hành phân tích đa thức nhận khoảng 80% học sinh làm 7.3 Các giải pháp (Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) 7.3.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp. .. SKKN: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) Phương pháp Có số đa thức khơng có nhân tử chung khơng có dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành. .. chung *Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức Ví dụ: a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1) b) x5 + x + = (x + x + 1)(x – x + 1) * Các phương
Ngày đăng: 17/03/2018, 16:13
Xem thêm: