Bài tập hình nón (có lời giải chi tiết)

THI ONLINE – BÀI TỐN VỀ HÌNH NĨN – CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r Ký hiệu Stp diện tích tồn phần (N) Công thức sau đúng? A Stp   rl B Stp   rl  2 r C Stp   rl   r D Stp  2 rl   r Câu Gọi l, h, R dộ dài đường sinh, chiều cao bán kính hình tròn đáy Đẳng thức sau ln đúng? A l  h2  R B 1  2 2 l h R C R  h2  l D l  hR Câu Cho hình nón (N) có chiều cao 4cm, bán kính đáy 3cm Diện tích xung quanh (N) là: A 12  cm  B 15  cm  C 20  cm  D 30  cm  Câu Cho hình nón (N) có đường sinh 9cm, chiều cao 3cm Thể tích khối nón (N) là: A 72  cm3  B 216  cm  C 72  cm  D 27  cm3  Câu Diện tích xung quanh hình nón sinh quay tam giác ABC cạnh a xung quanh đường cao AH là: A  a B  a2 C 2 a D  a2 Câu Cho tam giác ABC vng cân A có cạnh AB  2a Quay tam giác xung quanh cạnh AB Tính thể tích khối nón tạo thành: A 4 a 3 B 4 a 3 C 8 a 3 D 8 a 3   300 Quay tam giác xung quanh cạnh AB Diện tích Câu Cho tam giác ABC vng B có AB  a, A tồn phần hình nón tạo thành là: A 3 a B a C  a C 3 a Câu Cắt hình nón (N) mặt phẳng qua trục hình nón thiết diện tam giác vng cân có diện tích 3a Diện tích xung quanh hình nón là: A 6 a  cm  B 2 a  cm  C 2 a  cm  D 2 a  cm  Câu Cho hình chóp S.ABCD, đáy có cạnh 2a, cạnh bên 3a Hình nón (N) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Thể tích khối nón (N) là: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! A 7 a  cm3  B 7 a cm3   C 2 a  cm3  D 7 a cm3   Câu 10 Một hình nón có đường sinh đường kính đáy 2R Diện tích xung quanh hình nón bằng: A  R2 B  R C 2 R D 4 R Câu 11 Cho hình nón đỉnh S có đường cao 6cm, bán kính đáy 8cm Trên đường tròn đáy lấy hai điểm A, B cho AB  12cm Diện tích tam giác SAB bằng: A 48  cm  B 40  cm  C 60  cm  D 100  cm  Câu 12 Một hình tứ diện cạnh a có đỉnh đỉnh hình nón, đỉnh lại nằm đường tròn đáy hình nón Thể tích khối nón bằng: A  a3 27 B  a3 27 C  a3 D  a3 Câu 13 Một hình nón sinh tam giác cạnh a quay quanh đường cao Một mặt cầu tích thể tích hình nón có bán kính bằng: A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 14 Một hình nón có đường sinh 3cm góc đỉnh 900 Cắt hình nón mặt phẳng   qua đỉnh cho góc   mặt đáy 600 Khi diện tích thiết diện là: A cm   B 27 cm2   C  cm  D  cm  Câu 15 Khối nón (N) có chiều cao 3a Thiết diện song song cách mặt đáy đoạn a, có diện 64 tích  a Khi thể tích khối nón (N) bằng: A 16 a B 25 a C 48 a D 16 a Câu 16 Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy O, góc đỉnh 135̊ Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định điểm M di động Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất? A Vô số B C D Câu 17 Cho mặt cầu tâm O bán kính R Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn (C) Hình nón (N) có đỉnh S nằm mặt cầu, có đáy đường tròn (C) có chiều cao h  h  R  Tính h để thể tích khối nón tạo nên (N) có giá trị lớn Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! A h  3R B h  2R C h  4R D h  3R Câu 18 Người ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính a 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Bán kính đáy hình nón cho là: A 8a B 2a C 2a D 4a Câu 19 Cho tam giác ABC vuông A cạnh AB  6, AC  , M trung điểm AC Tính thể tích khối tròn xoay tam giác BMC quay vòng quanh cạnh AB là: A 98 C 96 B 106 D 86 Câu 20 Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết đây: A l  58,67 cm B l  58,80 cm C l  59,98 cm D l  61, 20 cm HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM 1C 2A 3B 4A 5B 6C 7C 8D 9D 10C 11A 12B 13A 14D 15A 16C 17C 18C 19C 20B Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Câu Hướng dẫn giải chi tiết Stp  S xq  Sđ   rl   r Chọn C Câu Hướng dẫn giải chi tiết Áp dụng định lí Pi – ta – go tam giác vuông ABH ta có: l  h2  R Chọn A Câu Hướng dẫn giải chi tiết Xét tam giác vng SHB có: SB2  SH  HB2  42  32   cm   h Sxq   rl   3.5  15  cm  Chọn B Câu Hướng dẫn giải chi tiết Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ta có: l  SA  9cm, h  SH  3cm Xét tam giác vng SAH có: AH  SA  SH  92  32  72  r 1 Khi thể tích khối nón là: V   r h   72.3  72  cm3  3 Chọn A Câu Hướng dẫn giải chi tiết Quay tam giác ABC quanh đường cao AH ta hình nón đỉnh A, đáy đường tròn đường kính BC 1 Ta có: BH  CH  BC  a  r (Trong tam giác đường cao đồng thời đường trung tuyến) 2 l  AB  a a  a2 Vậy diện tích xung quanh hình nón là: Sxq   rl   a  2 Chọn B Câu Hướng dẫn giải chi tiết Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ta có: h  AB  2a, r  AC  2a 8 a Thể tích khối nón là: V   r h    2a  2a  3 Chọn C Câu Hướng dẫn giải chi tiết Xét tam giác vng ABC có: BC  AB.tan 30  a AC  AB2  BC2  a  a  r 3 a 2a  l 3 a 2a 2 a  a  a   Stp  Sxq  Sđ   rl   r         a 3  3 2 Chọn C Câu Hướng dẫn giải chi tiết Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ta có: SSAB  SA2  3a  SA2  6a  SA  a  l  AB  SA  2a  AI  AB  a  r  Sxq   rl   a 3.a  2 a Chọn D Câu Hướng dẫn giải chi tiết Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đỉnh S, đáy nón đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi O  AC  BD  SO   ABCD  Vì ABCD hình vng cạnh 2a  AC  BD  2a  OA  AC  a  r Xét tam giác vuông SOA có: SO  SA  OA   3a    a  a h 1 7 a Vậy thể tích khối nón ngoại tiếp chóp S.ABCD là: V   r h   a a   cm3  3   Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Chọn D Câu 10 Hướng dẫn giải chi tiết Gọi l, r độ dài đường sinh bán kính đáy hình nón Ta có: l  2r  2R  r  R Khi diện tích xung quanh hình nón là: S xq   rl   R.2R  2 R Chọn C Câu 11 Hướng dẫn giải chi tiết Gọi SI đường cao hình nón  SI  6cm  h Gọi H trung điểm AB  HI  AB (Quan hệ vng góc đường kính dây cung) Ta có: AH  BH  AB   cm  , AI  BI   cm  Xét tam giác vng AHI có: HI2  AI2  AH2  82  62  28 SI đường cao  SI  IH  SHI vuông I  SH  SI2  HI2  36  28   cm  Vì SA  SB (cùng độ dài đường sinh hình nón)  SAB cân S  SH  AB (trung tuyến đồng thời đường cao) 1  SSAB  SH.AB  8.12  48  cm2  2 Chọn A Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Câu 12 Hướng dẫn giải chi tiết Gọi I tâm tam giác ABC  DI   ABC  Đáy ABC tam giác cạnh a  SABC a AB.AC.BC a    4r 4r Gọi r bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy  r  a3 a  a  IB DI   ABC   DI  IB  DIB vuông I  DI  DB2  BI  a  a2 a  h 3 1 a2 a  a3 Vậy thể tích khối nón bằng: V   r h    3 3 27 Chọn B Câu 13 Hướng dẫn giải chi tiết Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Khi quay tam giác ABC quanh đường cao AH ta nhận hình nón có đỉnh A, đáy đường tròn đường kính BC Vì tam giác ABC cạnh a nên AH  a  h; r  BH  a 2 a2 a 3 a Khi thể tích khối nón Vn   r h    3 24 Gọi R bán kính hình cầu có thể tích với hình nón 3 a 3a a 3 a3  R3   R Vì Vn  Vc   R  24 32 64 Chọn A Câu 14 Hướng dẫn giải chi tiết Gọi SI đường cao hình nón Giả sử mặt phẳng   cắt mặt nón theo thiết diện (SBC) Gọi H trung điểm BC ta có: IH  BC (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Tam giác SBC có: SB  SC  SBC cân S  SH  BC (trung tuyến đồng thời đường cao) Gọi    mặt phẳng đáy hình nón ta có:        BC     600 SH; IH   SHI    SH  BC     ;           IH  BC  Ta có: SA  SB  3a 10 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Xét tam giác vng cân SAB có: AB  SA   cm   SI  AB   cm  (trung tuyến ứng với cạnh 2 huyền) SI Xét tam giác vng SHI có: SH     cm  sin 60 Xét tam giác vng SHB có: HB  SB2  SH     cm   BC   cm  1 Vậy SSBC  SH.BC  6.2   cm2  2 Chọn D Câu 15 Hướng dẫn giải chi tiết Gọi thiết diện song song cách mặt đáy đoạn a đường tròn tâm I đường kính B’C’  IH  a  AI  AH  HI  2a Ta có diện tích hình tròn tâm I đường kính B’C’ 64 64  a   B'I2   a  B'I  a 9 8a AI B'I AH.B'I  4a  r   BH   Dễ thấy: AB'I ∽ ABH  g.g   AH BH AI 2a 3a 1 Vậy thể tích khối nón là: V   r h   16a 3a  16 a 3 Chọn A Câu 16 Hướng dẫn giải chi tiết 11 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!   SA2 sin ASM   SA2  l2 Ta có: SSAM  SA.SM.sin ASM 2 2    ASM   900  SA  SM Dấu “=” xảy sin ASM Vậy để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn điểm M chạy đường tròn đáy cho SM  SA  Có vị trí đường tròn đáy Chọn C Câu 17 Hướng dẫn giải chi tiết Ta có: Gọi bán kính (C ) với tâm I r   r  R  dễ có S phải thuộc OI : Xét tam giác vng OAI có: OI  OA  IA  R  r  h  SI  SO  OI  R  r  R 1 V  r h  r ( R  r  R) 3 Xét hàm số: f (r)  r ( R  r  R)  f '(r)  2r R  r  2rR  2 r3 R  r2 12 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! f '(r)   R  r  2R  r2 R  r2 0  2(R  r )  r  2R R  r   3r  2R  2R R  r   (3r  2R )  2R R  r  3r  2R   9r  12R r  4R  4R  4R 2r 2R  r2  R  r   tm   2R  32R 3 Ta có: f     27 ; f  R   R    max f  r    0;R  32R 2R 4R r  h  R2  r2  R  R  R  R  27 Chọn C Câu 18 Hướng dẫn giải chi tiết Giả sử thiết diện qua trục hình nón ∆ ABC với A đỉnh nón, BC đường kính đáy nón Gọi H tâm đường tròn đáy hình nón, O1, O2 tâm mặt cầu lớn nhỏ, D1, D2 tiếp điểm AC với (O1) (O2) Vì O1D1 // O2D2 (cùng vng góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:  AO2 O2 D2 a     O2 trung điểm OD1  AO1  2O1O   a  2a   6a AO1 O1D1 2a  AH  AO1  O1H  6a  2a  8a Xét tam giác vng AO1D1 có: AD1  AO12  O1D12  36a  4a  2a 13 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Dễ thấy AO1D1 ∽ ACH  g.g   HC AH O D AH 2a.8a   HC  1   2a  r O1D1 AD1 AD1 2a Chọn C Câu 19 Hướng dẫn giải chi tiết Gọi V1 thể tích hình nón đỉnh B, đáy hình tròn bán kính AC, V2 thể tích hình nón đỉnh B, đáy hình tròn bán kính AM Suy thể tích khối tròn xoay tam giác BMC quay vòng quanh cạnh AB là: V  V1  V2 1 Ta có: V1   r12 h1   AC2 AB   82.6  128 3 1 V2   r22h   AM2 AB   42.6  32 3  V  V1  V2  128  32  96 Chọn C Câu 20 Hướng dẫn giải chi tiết Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, bán kính miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ 14 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Ta trải hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt hình vẽ với cung nhỏ BB’ cung lớn AA’ có độ dài là:     2.2 b  4 b  2 OB  OB  2 b ; l AA'   2.2 a  2 OA  OA  2 a l BB'     (BB’ vừa cung tròn đường tròn tâm D’ bán kính b, vừa cung tròn đường tròn tâm O bán kính OB, AA’ vừa cung tròn đường tròn tâm C bán kính a, vừa cung tròn đường tròn tâm O bán kính OA) ( B  B';A  A' ) Khi độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng l  AB' Áp dụng định lý cosin tam giác OAB’: l  AB'  OA  OB'2  2.OA.OB'.cos 2 Ta có: AB  a 4 a l   b 4 b l  AC  BD'2  CD'2 (1) ;  (a  b)2  h   BB'   OA  OB  BA   AB   AB   AB 2 b ' OB 2 b  AA  OB OB  2(a  b)  a  2 b 2(a  b)      1   AB  b  AB (a  b)  h a  5, b  4, h  20    2 401 (2) AB a AB b.AB b (a  b)  h    OB  OB'     401 (3) a OB b a  b a  b 1 b OA  OB  BA  b (a  b)  h  (a  b)  h  401  401  401 ab Thế vào biểu thức (1) ta được: l  58,80 (cm) Chọn B 15 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! ...  cm  Câu 12 Một hình tứ diện cạnh a có đỉnh đỉnh hình nón, đỉnh lại nằm đường tròn đáy hình nón Thể tích khối nón bằng: A  a3 27 B  a3 27 C  a3 D  a3 Câu 13 Một hình nón sinh tam giác cạnh... ta đặt vào hình nón hai khối cầu có bán kính a 2a cho khối cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với khối cầu lớn tiếp xúc với đáy hình nón Bán kính đáy hình nón cho là:... quanh đường cao Một mặt cầu tích thể tích hình nón có bán kính bằng: A a3 B a3 C a3 D a3 Câu 14 Một hình nón có đường sinh 3cm góc đỉnh 900 Cắt hình nón mặt phẳng   qua đỉnh cho góc   mặt