Tấm chịu uốn

Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt song song và cách nhau một khoản là t (gọi là chiều dày tấm). Tuỳ theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích nhỏ nhất của mặt phẳng tấm

Chương 6

TẤM CHỊU UỐN

6.1 Các phương trình cơ bản của tấm chịu uốn

Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt song song và cách nhau một khoản là t (gọi là chiều dày tấm) Tuỳ theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích nhỏ nhất của mặt phẳng tấm

mà người ta chia tấm thành hai loại:

- Tấm dày:

;

- Tấm mỏng khi

1 ≤ ≤

max f

ω các ứng suất do uốn này bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các ứng suất màng Khi đó phải tính toán với lý thuyết tấm có biến dạng lớn

Dưới đây sẽ đưa ra các phương trình cơ bản của tấm theo lý thuyết cổ điển(lý thuyết Kirchhoff)

Lý thuyết Kirchhoff dựa trên các giả thuyết sau:

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và thẳng góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi

- Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt, nó là mặt trung hoà - Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc mặt phẳng tấm với hệ trục toạ độ xyz sao cho mặt phẳng toạ độ xy trùng với mặt trung gian tấm và trục z là vuông góc với mặt phẳng tấm

Khi tấm chịu uốn, tại mặt trung hoà chuyển vị của một điểm bao gồm: độ võng, góc xoay theo x và theo y

MÆt trung hoµ

Hình 6-1 Sơ đồ tải trọng của tấm uốn

Trên cơ sở các giả thiết trên, các thành phần chuyển vị u, v của tấm sẽ được biểu diễn theo độ võng ωvà góc xoay θ , x θ của mặt trung hoà y

z

∂∂− ω

Hình 6-2 Sơ đồ xác định góc xoay theo y

Hình 6-3 Sơ đồ xác định góc xoay theo x

;

= 2ω2ε

= 2ω2

∂∂

Trong đó kx, ky, kxy lần lượt là độ cong theo x,y và 2 lần độ xoắn

; 22

;

Các biến dạng εzx và εyz đều bằng 0 do giả thiết thứ nhất,

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke, chú ý là σz =0:

Các thành phần ứng suất về nội lực trong tấm uốn được thể hiện như sau:

Hình 6-4 Các vectơ ứng suất trên phần tử

Chỉ số của ứng suất tiếp được hiểu như sau: nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục của chỉ số thứ nhất và phương theo trục của chỉ số thứ hai

MyxMy

Các mômen nội lực:

[ ]D { }ky

Trong đó:

)1(12 2

[D] = D

Độ võng ω( )x,y của mặt trung hoà thoả mãn phương trình sau:

∂+∂

i =ω

yq =⎜⎜⎝⎛∂∂ω⎟⎟⎠⎞

qj =ω

Hình 6-6 Sơ đồ chuyển vị nút của phần tử tam giác

Tại mỗi nút của phần tử có một độ võng ω và các góc xoay θx, θy theo các trục x,y Phần tử có 9 bậc tự do mới liên hệ giữa góc xoay và chuyển vị thẳng ω tại mỗi nút như sau:

ωi;

y ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

∂∂= ω

x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛

; 3 (0,0)

; 6 (a,0)

; 9 (0,b)

aA

Sau khi nghịch đảo ta có:

[ ]

[ ] [N = N1 N2 N9]

Các hàm dạng có công thức như sau: 333322221

Các biến dạng được xác định theo công thức

{ }

vì ( )xy =[ ]N ⋅{ }qe =[P( )xy ] [ ]⋅ A−1⋅{ }ue

[ ][ ][ ]{ }exy

[ ]

Ma trận độ ứng của phần tử theo công thức tổng quát

[ ][ ]

( )1 ' ' [ ]13

⎝⎛= ∫

I []' [][]' suy ra: [ ] [ ]Ke =( )A−1 T ⋅[ ] [ ]I ⋅ A−1trong đó: [ ]

)1(12 2

ở đây một số hạng viết tắt có dạng:

I84 =4 2 +ν 2 ; I85 =4(1−ν)(ab2 +a2b); I86 =4(νab2 +a2b)

; [ ]

Trong đó lx, mx và ly, my là các cosin chi phương của trục x và y với các trục X, Y của hệ toạ độ tổng thể

Véc tơ tải trọng nút do nhiệt độ được định như sau: nếu gọi T0 và ΔT là nhiệt độ trung bình và chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trên và mặt dưới các tấm và xem sự biến thiên nhiệt độ là tuyến tính theo chiều dày tấm thì nhiệt độ của điểm bất kỳ thuộc phần tử là:

Thực hiện tích phân ta được:

6.2.4 Véc tơ mô men nội lực

[ ][ ][ ]{ }exy

=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧

[ ]

Đặt:

[ ] [ ][ ][ ]S = DRA−1[ ]S - ma trận nội lực

6.3 Phần tử chữ nhật

6.3.1 Ma trận độ cứng

∂∂= −

ωθθ

Ma trận biến đổi của ma trận hàm dạng được xác định theo công thức:

Ma trận đàn hồi có dạng: 1

000 0

vD = − F

; D1 =v F. ; 3 212(1)

=−Sau khi tích phân ta có:

[ ] [ ] [ ][ ]Tv

I =∫ RD R dv

Chương 6 Tấm chịu uốn

6.3.2 Véc tơ tải trọng nút

Véc tơ tải trọng nút xác định theo công thức sau:

a bababa b

ababa bab

aba b

=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧

Chương 6 Tấm chịu uốn

[ ]

Đặt:

[ ] [ ][ ][ ]S = DRA−1[ ]S - ma trận nội lực