Tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập của số phức sẽ giúp cho các bạn học sinh dễ dàng giải quyết tất cả các bài tập. Đừng nghĩ số phức dễ và không cần phải học nhiều lý thuyết, tuy nhiên hãy học thật kỹ lý thuyết để có thể giải được bất cứ bài toán số phức nào. Hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp bạn nhiều để đạt được thành tích tốt trong học tập nói chung và môn toán nói riêng.
Trang 1SỐ PHỨC
I Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức: C
• Số phức (dạng đại số): z = a + bi
(a, b ∈ R, a là phần thực, b là phần ảo, I là đơn vị ảo, i2 = -1)
• z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là phần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo
• Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’I {𝑎 = 𝑎′
𝑏 = 𝑏′ (a, b, a’, b’ ∈ R)
II Biểu diễn hình học:
Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi 𝑢⃗ = (a; b) trong mp (Oxy) (mp phức)
III Cộng và trừ số phức:
• (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
• (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi
IV Nhân hai số phức:
• (a + bi).(a’ + b’i) = aa’ + ab’i + a’bi + bb’i2 = (aa’ – bb’) + (a’b + ab’)i
• k.(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R)
V Số phức liên hợp:
Số phức liên hợp của z = a + bi là 𝑧̅ = a – bi
• 𝑧̿ = z; 𝑧 ± 𝑧′̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧̅ ± 𝑧′̅; 𝑧 𝑧′̅̅̅̅̅ = 𝑧̅.𝑧′̅; (𝑧 1
𝑧 2)
̅̅̅̅̅
= 𝑧̅̅̅1
𝑧 2
̅̅̅ ; z 𝑧̿ = a2 + b2
• z là số thực z = 𝑧̿; z là số ảo z = -𝑧̿
Trang 2VI Môđun của số phức: Số phức z = a + bi
• |𝑧| = √𝑎2+ 𝑏2 = √𝑧 𝑧̅ = |𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
• |𝑧| > 0, ∀𝑧 ∈ 𝐶; |𝑧| = 0 z = 0
• |𝑧 𝑧′| = |𝑧| |𝑧′| |𝑧
𝑧′| = |𝑧|
|𝑧′| ||𝑧| − |𝑧′|| ≤ |𝑧 ± 𝑧′| ≤ |𝑧| + |𝑧′|
VII Chia hai số phức:
• z-1 = 1
|𝑧| 2.𝑧̅ (z ≠ 0)
• 𝑧′
𝑧 = z’.z-1 = 𝑧’.𝑧
|𝑧| 2 = 𝑧
′ 𝑧̅
𝑧.𝑧̅
• 𝑧’
𝑧 = w z’ = wz
VIII Căn bậc hai của số phức:
• z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi z2 = w {𝑥2− 𝑦2 = 𝑎
2𝑥𝑦 = 𝑏
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là w = 0
• w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là ±√𝑎
Hai căn bậc hai của a < 0 là ±√−𝑎𝑖
IX Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là số phức cho trước,
A ≠ 0)
∆ = B2 – 4AC
• ∆ ≠ 0: (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = −𝐵 ± √∆
2𝐴
• ∆ = 0: (*) có 1 nghiệm kép z1 = z2 = −𝐵
2𝐴
Chú ý: Nếu zo ∈ C là một nghiệm của (*) thì 𝑧̅ cũng là một nghiệm của (*) 𝑜
X Dạng lượng giác của số phức:
z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (z ≠ 0)
{
𝑟 = √𝑎2+ 𝑏2
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑎
𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑏
𝑟
Trang 3𝜑 là một góc argument của z, 𝜑 = (𝑂𝑥, 𝑂𝑀)
|𝑧| = 1 z = cos𝜑 + sin𝜑 𝑖 (𝜑 ∈ R)
XI Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r(cos𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑖), z’ = r’(cos𝜑′ + sin𝜑′ 𝑖)
z.z’ = rr’.[cos(𝜑 + 𝜑′) + sin(𝜑 + 𝜑′) 𝑖]
𝑧
𝑧′ = 𝑟
𝑟′[cos(𝜑 − 𝜑′) + sin(𝜑 − 𝜑′) 𝑖]
XII Công thức Moa-vrơ:
[r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)]n = rn(cosn𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑), (n ∈ N*)
(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)n = cosn𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑
XIII Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r >0) có hai căn bậc hai là:
√𝑟(cos𝜑
2 + isin𝜑
2)
Và -√𝑟(cos𝜑
2 + isin𝜑
2) = √𝑟[cos(𝜑
2 + 𝜋) + isin(𝜑
2 + 𝜋)]
Mở rộng: Số phức z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r > 0) có n căn bậc n là:
√𝑟
𝑛
cos(𝜑+𝑘2𝜋
𝑛 + isin𝜑+𝑘2𝜋
𝑛 ) k = 0, 1, 2,…, n - 1
BÀI TẬP
I Các phép toán trên tập số phức
1 Tìm các số thực x và y thỏa:
a 4x + 3 + (3y – 2).i = y + 1 – (x – 3).i
{ 4𝑥 + 3 = 𝑦 + 1
3𝑦 − 2 = −𝑥 + 3 {
4𝑥 − 𝑦 = −2
𝑥 + 3𝑦 = 5 {
𝑥 = − 1
13
𝑦 = 22
13
𝑏 1 − 2𝑥 − √3 𝑖 = √5 + (1 − 3𝑦) 𝑖
Trang 4{ 1 − 2𝑥 = √5
1 − 3𝑦 = − √3 {
𝑥 = 1− √5
2
𝑦 = 1+ √3
3
2 Xác định phần thực và phần ảo của các số sau:
a 2i – 3(5 – 4i) + 7(6 + i)
2i – 15 – 12i + 42 + 7i
27 – 3i
Phần thực: 27
Phần ảo: -3
b (√5 - 3i)2 = 5 – 6i + 9i2 (i2 = -1)
5 – 6i – 9 = -4 – 6i
Phần thực: -4
Phần ảo: -6
c (5 – 4i).(5 + 4i) = 25 – 16i2 = 25 + 16 = 41
Phần thực: 41
Phần ảo: 0
d 212
3 − √53𝑖 = 12.(
2
3 + √53𝑖)
4
9 − 59𝑖2 = 8 + 4√5𝑖 Phần thực: 8
Phần ảo: 4√5
e 2−5𝑖
3+2𝑖 = (2−5𝑖).(3−2𝑖)
9−4𝑖 2 = 6−4𝑖−15𝑖+10𝑖
2
13 = −4−19𝑖
13 = -4
13 - 19
13𝑖 Phần thực: -4
13
Phàn ảo: -19
13
f Số phức z biết 𝑧̅ = (√2 + i).(1 - √2.i) (ĐH A/2010)
Trang 5𝑧 = √2 - 2i + i - √2.i2 = 2√2 – i => z = 2√2 + i
Phần thực: 2√2
Phần ảo: 1
3 Cho số phức z = - 𝟏
𝟐 - √𝟑
𝟐i Tìm 𝟏
𝒛; 𝒛; z 2 ; (𝒛)3 ; 1 + z +z 2
1
𝑧 = z-1 = 𝑧̅
|𝑧| 2 = −
1
2 + √32𝑖
1
4 + 34 = - 1
2+ √3
2 𝑖
𝑧̅ = - 1
2+ √3
2 𝑖
z2 = 1
4+ √𝟑
𝟐 i + 3
4𝑖2 = 1
4 - 3
4 + √𝟑
𝟐 i = - 1
2 + √𝟑
𝟐i
(𝑧̅)3 = (𝑧̅)2 𝑧̅ = (- 1
2 - √𝟑
𝟐i1
2+ √3
2 𝑖 = - (1
2+ √3
2 𝑖).(−1
2+ √3
2 𝑖) = - (1
4+ 3
4𝑖2) = 1
2
1 + z + z2 = 1 - 𝟏
𝟐 - √𝟑
𝟐i - 1
2 + √𝟑
𝟐i = 0
4 Tìm nghiệm của các phương trình sau:
a (1 – i).z + 2 – i = 4 – 5i
(1 – i).z = 2 – 4i
z = 2−4𝑖
1−𝑖 = (2−4𝑖).(1+𝑖)
1−𝑖 2 = 2+2𝑖−4𝑖−4𝑖
2
2 = 6−2𝑖
2 = 3 – i
b [(2 + i)z – 3i].(4 – 5iz).(2𝑧̅ − 2 + 3𝑖) = 0
{(2 + 𝑖)𝑧 − 3𝑖 = 04 − 5𝑖𝑧 = 0
2𝑧̅ − 2 + 3𝑖 = 0
{
𝑧 = 2+𝑖3𝑖
𝑧 = 4
5𝑖
𝑧̅ = 2−3𝑖
2
{
𝑧 = 3𝑖(2−𝑖)
4− 𝑖2 = 6𝑖−3𝑖2
5 = 3
5+ 6
5𝑖
𝑧 = −4
5𝑖
𝑧 = 1 − 3
2𝑖
c (2 – 3i).z + (4 + i) 𝑧̅ = −(1 + 3𝑖)2
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R => 𝑧̅ = x – yi
(2 – 3i).( x + yi) + (4 + i).(x – yi) = - (1 – 9 + 6i)
2x + 2yi – 3xi + 3y + 4x – 4yi + xi + y = 8 – 6i
Trang 6 6x + 4y – 2xi – 2yi = 8 – 6i
6x + 4y – 2(x + y)i = 8 – 2.3i
{6𝑥 + 4𝑦 = 8𝑥 + 𝑦 = 3 {𝑥 = −2
𝑦 = 5 Vậy z = -2 + 5i
d z4 + 9 = 0
{ 𝑧2 = 3𝑖
𝑧2 = −3𝑖 {
𝑧 = ±√3𝑖
𝑧 = ±√−3𝑖
e z2 + |𝑧| = 0
Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R
x2 – y2 +2xyi + √𝑥2+ 𝑦2 = 0
{x2 – y2 + √𝑥2 + 𝑦2 = 0
𝑥𝑦 = 0
TH1: x = 0
√𝑦2 = y2
y2 = y4
y2.(y2 – 1) = 0
{ 𝑦2 = 0
y2 – 1 = 0 {
𝑦 = 0
𝑦 = 1
𝑦 = −1
TH2: y = 0
x2 + √𝑥2 = 0
x2 = -√𝑥2 (VL)
Vậy phương trình có nghiệm khi x = 0 => {
𝑧 = 0
𝑧 = 𝑖
𝑧 = −𝑖
Trang 7f z2 + 𝑧̅ = 0
Đặt: z = x + yi ; x, y ∈ R => x2 + y2 + x – yi = 0
{𝑥2+ 𝑦2 + 𝑥 = 0
2 + x = 0 x.(x + 1) = 0 { 𝑥 = 0
𝑥 = −1
Vậy: { 𝑧 = 0
𝑧 = −1
g {|𝑧 − 2 − 𝑖| = √10
𝑧 𝑧̅ = 25 Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R
{|𝑥 + 𝑦𝑖 − 2 − 𝑖| = √10
𝑥2+ 𝑦2 = 25
{|𝑥 − 2 + (𝑦 − 1)𝑖| = √10
𝑥2+ 𝑦2 = 25
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 10
x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 10
25 – 4x + 4 – 2y + 1 – 10 = 0
-4x – 2y + 20 = 0
4x + 2y – 20 = 0
y = 10 – 2x (x, y ∈ R)
Lấy x = 1 => y = 8 Vậy z = 1 + 8i
5 Xác định các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức thỏa đk sau:
a |2𝑧 − 2𝑖| = 2
Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R => |2𝑥 + 2𝑦𝑖 − 2𝑖| = 2
|2𝑥 + 2(𝑦 − 1)𝑖| = 2
Trang 8 √4𝑥2+ 4(𝑦 − 1)2 = 2
4x2 + 4y2 – 8y + 1 = 4
x2 + y2 – 2y – 3 = 0
Vậy các điểm thuộc mp phức thuộc đường tròn tâm I(0; 1) và bk R = √12+ 3 = 2
b |𝑧−3𝑖
𝑧+3𝑖| = 1 => |𝑧 − 3𝑖| = |𝑧 + 3𝑖|
Đặt: z = x + yi => |𝑥 + 𝑦𝑖 − 3𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 + 3𝑖|
|𝑥 + (𝑦 − 3)𝑖| = |𝑥 + (𝑦 + 3)𝑖|
x2 + (y – 3)2 = x2 + (y + 3)2
x2 + y2 – 6y + 9 = x2 + y2 + 6y + 9
12y = 0 y = 0
Vậy các điểm thuộc mp phức là đường thẳng // trục Oy
c |𝑧̅| = |𝑧 − 3 + 2𝑖|
Đặt: z = x + yi => 𝑧̅ = x – yi; x, y ∈ R
|𝑥 − 𝑦𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 − 3 + 2𝑖|
|𝑥 − 𝑦𝑖| = |𝑥 − 3 + (𝑦 + 2)𝑖|
x2 + y2 = (x – 3)2 + (y + 2)2
x2 + y2 = x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4
-6x + 4y + 13 = 0 y = 3
2x - 13
4
Vậy các điểm thuộc mp phức thỏa đường thẳng y = 3
2x - 13
4
d z2 là số thực dương
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
z2 =x2 – y2 + 2xyi
Trang 9Để z2 là số thực dương thì {𝑥2− 𝑦2 > 0
𝑥𝑦 = 0
TH1: x = 0
- y2 > 0 (VL)
TH2: y = 0
x2 > 0 x > 0
Vậy các điểm thuộc mp phức // trục Oy sao cho x > 0
e z2 là số ảo
Tương tự câu d để z2 là số ảo thì {𝑥2 − 𝑦2 = 0
𝑥𝑦 ≠ 0
y2 = x2 { 𝑦 = 𝑥
𝑦 = −𝑥
Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức thuộc đt { 𝑦 = 𝑥
𝑦 = −𝑥 sao cho 𝑥𝑦 ≠ 0
f 5
𝑧−𝑖 là số ảo
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
5
𝑧−𝑖 = 5
𝑥+𝑦𝑖−𝑖 = 5
𝑥+(𝑦−1)𝑖 = 5[𝑥−(𝑦−1)𝑖]
𝑥 2 + (𝑦−1) 2 = 5
𝑥 2 + (𝑦−1) 2 + (1−𝑦)
𝑥 2 + (𝑦−1) 2i
Để 5
𝑧−𝑖 là số ảo thì {
(1−𝑦)
𝑥 2 + (𝑦−1) 2 ≠ 0
5
𝑥 2 + (𝑦−1) 2 = 0 (𝑉𝐿) => 1 – y ≠ 0 y ≠ 1 Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức thuộc đường thẳng y = 1, // với trực hoành
g 𝑧2 = (𝑧̅)2
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
x2 – y2 + 2xyi = x2 – y2 - 2xyi
4xy = 0 xy = 0
{𝑥 = 0𝑦 = 0
Trang 10Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức là đường thẳng // trục hoành hoặc trục tung
h |𝑧2 − (𝑧̅)2| = 8
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
|𝑥2 − 𝑦2+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑥𝑦𝑖| = 8
|4𝑥𝑦𝑖| = 8
|𝑥𝑦𝑖| = 2
xy = 2
Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức là đường Hyperbol (H) xy = 2
i (3 − z) (i + z̅)là số thực 3i + 3z̅ - zi - zz̅
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
3i + 3x – 3xyi – xi + y – x2 – y2 = – x2 – y2 + 3x + y + (3 – x – 3xy).i
Để (3 − z) (i + z̅)là số thực thì {– x2 – y2 + 3x + y ≠ 0
3 – x – 3xy = 0
y = 1
𝑥 – 3 Vậy tập hợp các điểm thuộc mp phức là đường thẳng y = 1
𝑥 – 3
j (3 – z).(i + z̅) là số ảo
Tương tự câu I ta có {– x2 – y2 + 3x + y = 0
3 – x – 3xy ≠ 0
– x2 – y2 + 3x + y = 0 x2 + y2 – 3x – y = 0 Vậy tập hợp các điểm thuộc mp
phức là đường tròn tâm I(3
2; 1
2) và bk R = √(3
2)2+ 1
4 = √9
4+ 1
4= √10
2
6 Mỗi số sau là số thực hay số ảo ?
a z2 + (𝑧̅)2
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
x2 – y2 + 2xyi + x2 – y2 - 2xyi = 2.(x2 – y2)
Số thực
Trang 11b 𝑧− 𝑧̅
𝑧3+ (𝑧̅)3
Đặt z = x + yi; x, y ∈ R
𝑧 − 𝑧̅ = x + yi – x + yi = 2yi
𝑧3+ (𝑧̅)3 = 𝑧2.z + (𝑧̅)2 𝑧̅ = (x2 – y2 + 2xyi).(x + yi) + (x2 – y2 - 2xyi).(x – yi) = x3 + x2yi – xy2 – y3i + 2x2yi + 2xy2i2 + x3 – x2yi – xy2 + y3i – 2x2yi + 2xy2i2 = 2x3 – 2xy2 – 4xy2 𝑧− 𝑧̅
𝑧3+ (𝑧̅)3 = 2𝑦𝑖
2𝑥3− 2𝑥𝑦2− 4𝑥𝑦2 => Số ảo