Cực trị, vi phân, tích phân, PTVP

Và của các hàm ẩn z=zx,y xác định bởi các phương trình: i1.. Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau: a... Tìm cực trị các hàm số sau: a.. Sản lượng cực đại sẽ thay đổi ra sa

I.Bài tập hàm nhiều biến số:

1 Giới hạn hàm 2 biến:

1.1 Chứng minh các hàm số sau không có giới hạn kép khi x 0,y 0:

a,

2 2

2 2

2

( , ) x y

f x y

x y





 b

2 3

2 2

3 ( , ) xy y

f x y

x y





 c

2 2

( , )

5

x y

f x y



 d

2

2 ( , )

3( )

x y

f x y



1.2 Tính các giới hạn bội sau:

a 11Equation Section (Next)

0

3

2 2 0

2 lim

x y

xy

x y



b

 

0 0

2 2

2 2

4 l

)

im 3(

x y

xy x y

x y









c

2

0 2

0

3 sin

im

2

l

x y

x y y x xy







d

0

0

2

5 ln(1 4 )

3 12

lim

x

y









2 Tính đạo các đạo hàm riêng f ' ( , );x x y f ' ( , )y x y , f '' ( , ),xx x y f xy x y'' ( , ), f yy x y'' ( , )

của các hàm số:

a f x y( , )x y3 3 (1 sin )x  y b f(x, y) xy ln(1 3 ) 3  xy c z( )xy 1 sin x y d.z (1 xtan )y x y/ e z e xy x y 3 4

 f arcsin( )

x

y



g zyarctan(1x) h Các hàm số ở mục 1.1

i Và của các hàm ẩn z=z(x,y) xác định bởi các phương trình:

i1 xyz x z  lny2z i2

2

lnz y xarctan yz xz

i3 yz x arccosz

3 Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau:

a w ln(1  xy2yx2 z x3 ) b w yxarccot(xz/y) c.z x 3 yln( )xy d w 2ln( ) 3

3 2

w

x y

x y y





 f,w arctan(1 2 ) 1 2

y xy

 g.w 2 ln( xy y zx )

h zz x y( , ) xác định bởi các phương trình:

h1 x3 yzln( / z)y h2.yz e z xy sin(xyz) h3 (1 y) zx xlnyz h4.yze x xlnzyz

4.Bài toán cực trị :

4.1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a wx25(y2z2) 4 xy2yz16zx4 b w2x2 y2 3z2 4zx6y 6z

c wx2 4y2 9z2 4yz6x8z5 d wx25y210z2 4xy 6yz10z1 e.z=z(x,y) xác định bởi pt:

e1 x2y2z2 2x2y 4z10 0 e2

2

4

x

4.2 Cực trị có điều kiện-nhân tử Lagrange

Tìm cực trị các hàm số sau:

a w=4x+5y+29 b w x y 0,4 0,8 với ràng buộc: 5x2y240 với điều kiện: 3x22y2 6x 4y640

c.w 4 x3y1 với

2 2

3

y

x  

d w x y z   với 4x2y2z2 4 4.3 Các bài toán lựa chọn tối ưu về “kinh tế”:

a Giả sử hàm tổng chí phí của doanh nghiệp là TC 7Q12 2Q22 5Q Q1 2 ( ,Q Q 1 2 0) Giá các mặt hàng Q Q1 , 2 tương ứng trên thị trường là p1  60,p2  45 hãy xác định mức kết hợp sản lượng Q Q1 , 2 để daonh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận

b Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm chi phí ( Q i

là lượng cầu sản phẩm i) :

TC 3Q12 2Q22 2Q Q1 2  55

Cầu của thị trường đối với hai loại sản phẩm là: Q1  50 0,5 ,  p Q i 2  76  p2 Tìm mức kết hợp ( ,Q Q1 2 ) và giá bán để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

c Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó tại hai thị trường khác nhau Cho biết hàm chi phí biên:

MC 1,75 0,05(  Q1 Q2 )

Và cầu cua rthij trường đối với sản phẩm của công ty là:

1 12 0,15 ; 1 2 9 0,075 2

Hãy xác định sản lượng và gái bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi

nhuận tối đa.

d Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U  (X1  3)X2 , trong đó X1 là giá sản phẩm A,

X2 là giá sản phẩm B Hãy chọn túi hàng tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là

$5 , giá hàng hóa B là $20, ngân sách cho tiêu dùng là $185 Lợi ích tối đa sẽ thay đổi như thế nào khi ngân sách tối đa tăng 1 đơn vị, tăng 1%

e Một doanh nghiệp có hàm sản suất Q10K L0,3 0,3 Giá thuê 1 đơn vị lao động là

$9, giá thuê 1 đơn vị tư bản là 6 và doanh nghiệp tiến hành tiến hành sản xuất với ngân sách cố đinh là $216 Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp

có sản lượng cạc đại Sản lượng cực đại sẽ thay đổi ra sao khi ngân sách cố định tăng 1 đơn vị, tăng 1%

f Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q20K L0,4 0,4 Giả sư giá thuê 1 đơn vị lao động là $10, giá thuê 1 đơn vị tư bản là $8 và doanh nghiệp sản xuất với ngân sách

cố định là $320 Tìm mức sử dụng K,L để Q đạt cực đại Nếu muốn Q cực đại tăng

1 đơn vị, 1% thì ta cần đầu tư ngân sách tương ứng cho các trương hợp như thế nào

??

g Một nam sinh “ghi điểm” với bạn gái theo hàm ghi điểm GĐ20X Y0,4 0,7 do bạn gái cung cấp :3 ; trong đó, X là số giờ đạp xe đạp, Y là số lần mời đi xem phim Giả sử chi phí cho 1 lần đi xem phim là $16, chi phí thuê xe đạp là 4 và “ngân sách hạn hẹp” của nam sinh này dành cho việc “ghi điểm” là 20 Tìm kết hợp 2 phương pháp sao cho nam sinh đạt số điểm cao nhất có thể Giả sử “cô gái bị đổ” khi số điểm cao nhất ở trên tăng thêm 1% , thì a nam sinh cần phải vay lãi thêm bao nhiêu

$ để chi cho việc “ghi điểm”

4.5 Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số:

a

2

3

4

0

1

x

y t dt

b.y(2x1) 53  x c y3 (3x2 5x4) 4 52 3  x d

2

0 1 4

y

t









e

3

1

2 ln

x

e

x





f 0 3

(3 2) 4

9 2

x

t







g

8

2 4

4

2

x



II Tích phân.

1 Tính các tích phân bất định sau:

a

2

5

(2 x)

dx x



 b cot dx c.cot xdx2 d 2 ( 2 1)

dx

x x 

 e. cos 2dx x

f

3

3

x

dx

x x



g

6



4cos 2 sin 2

xdx x

 i.1 cos 2 dx x k. 2

sinx.cos

dx x



l (5x1)7dx m.55 9xdx n. 3 6

dx x





p x x2( 31)7dx q 1

x x

e dx e





r 1 x

dx

e



 s.

2

ln xdx

x

 t 2

cos

2 3cos

xdx x



 u xdx x v s inx cosdx x

Tích phân từng phần:

a1 5 sin 3x2 xdx a2  x4  3x 2e dx x a3 exsin xdx a4 xlnxdx

a5 cos 2

xdx

x

 a6 1 2 (arccos ) 7

dx





a7.ln(x10)dx a8. cot

x

e dx x



2 Tích phân xác định.

a

1

0

2 1

2

x

dx

x





b

4

3

1

x dx x





c 0

sinx sinx 3cosx

dx







d

ln 3

2

dx

e 



e

1

3 2 0

x

x e dx



f

2

0

(x 3x 7)2  x dx

 



g 0 sin4

dx x





h

2 3 2 1

3

dx





i

2 2 3

x

x e dx x







k.0

ln(2 3)

e

x x dx



l

/2 2 2

0

sin sinx

cos

dx







m

1

x x



dx

3 Tích phân suy rộng:

a

2 1

1

(x 1) e dx x









b 3 2 7 12

dx





c 4 3

(1 ln ) ln

x dx

x x







d

0

2 3 3x

x  dx

 

e (1 2)(4 2)

dx



   

f ( 2 6 13)( 2 6 6)

dx



g 1 arctan 2 1

dx







h

1

(3x 2)sin2xdx

 





i

2

dx



k 1 2

ln(1 x dx)

x







m

1

2 0

( log )x x dx



III Phương trình vi phân

1 Phương trình vi phân cấp 1.

a Các bài tập trong sách giáo trình

b Một số bài tự luyện:

b1

4

2 1

y

x

 b2 (2y y sinxy dx) (2x 1 xsinxy dy) 0 b3

2

2

6 (4y 6 / )y dx ( x 4 )xy dy 0

y

b4 (2e y x y) ' 1 b5 (6x2 7 cos )y x dx 7sinxdy 0 b6

2

4 '

y xy y





b7 y' 4x2y1 b8 (y xy dx xdy 2) 

b9.(x y  2)dx(x y 4)dy0 b10.(3x 2 )y dx(x5 )y dy0

b11.( 2 x6y3)dx (x 3y1)dy0 b12.(2y 4x1)dx(2x y 3)dy0

b13.xy'y x y 3 4 b14.2xydx(y x dy 2)

b15.ydx x (1xy dy) 0 b16

0

2 3

xy

y  x  b17.y' y xex b.18 xy' 2 x 2 yy x3( 1)

2 Phương tình vi phân cấp 2.

2.1 Dạng hạ cấp được

a

'

2 1

y

y

x

 b

2 ' '' y 0

y y

c y'' y' ( ')y 2 d

' '' 3y 0

y y

e.xy'' ( ') y 2 2.2 Các bài tập trong giáo trình

2.3 Bài tập tổng hợp:

1.y'' 2 ' y 3y x 1 2 y'' 16 y(3x 4) cos 4 x 3 y'' 4 y(5x2) cos 2 x

(2 )

'' x e x

y y

x



 

5.y'' 9 ysin 3x 6.y'' 2 ' 2 y  ycosx e x

7.y'' 3 ' 4 y  y 8 2x 8.y'' 16 y(2x5)s in4x 9.y'' 16 y(2x5) cos 4 x

10.y'' 4 ' 5 y  ysinx 2 e x 5 11.y'' 2 ' 10 y  y e 3x2 12.y'' y' 4 x x 3/2

13

2 3

'' 2 ' x x

x

14

3 2

( ')

'' 2

y y

y  15.y'' 2 ' 2 y  ycos 2x 3 sin 2x x

Trên đây là các bài tập mà mình sưu tầm, chế tác về các phần bài tập thi trong

đề thi kết thúc học phần Toán Cao Cấp II Vì hời gian gấp rút nên mức độ công phu của bài tập chế, độ đa dạng của bài tập sưu tầm còn nhiều hạn chế, bên cạnh

đó thì do kĩ năng nghiệp vụ tin văn phòng còn yếu kém nên các dạng bài tập xét liên tục, giới hạn, đạo hàm mình k đánh máy vào đây, rất mong anh chị và các bạn thông cảm !

Lời khuyên của mình: mỗi bài tập phần tính giới hạn, tính tích phân và giải phương trình vi phân cấp 1,2, mọi người nên nhìn nhận đánh giá kết cấu biểu thức trước, sau đó đưa ra các phương hướng giải và lần lượt thử từng hướng một Một bài toán lim có thể có nhiều cách giải đúng khác nhau, hay Ptvp cũng vậy; khi giải theo trình tự trên thì ta vừa có thể ôn luyện lý thuyết về các dạng bài, vừa có thể rèn cách trình bày, lại có thể rèn luyện tư duy đa chiều, một công nhiều hơn là đôi việc

Cuối cùng, chúc anh chị và các bạn thi tốt và đạt điểm số ngoài mong đợi 