Cực trị, vi phân, tích phân, PTVP

I.Bài tập hàm nhiều biến số: Giới hạn hàm biến: 1.1 Chứng minh hàm số sau giới hạn kép f ( x, y ) = a, f ( x, y ) = x2 + y x2 − y f ( x, y ) = b 3xy − y x2 + y f ( x, y ) = c x2 y2 x4 + y x → 0, y → : d x2 y x + 3( x + y ) 1.2 Tính giới hạn bội sau: xy lim x →0 x + y y →0 a 11Equation Section (Next) lxim →0 b xy ( x − y ) x2 y − y x lxim →0 sin xy 3( x + y ) y →0 c y →0 d x y.ln(1 + xy ) x →0 x + 12 y lim y →0 Tính đạo đạo hàm riêng hàm số: a f ( x, y ) = x y + 3x(1 + sin y ) z=e xy − x3 y z= b f 'x ( x, y ); f ' y ( x, y ) f (x, y) = xy3ln(1 + 3xy) x arcsin( y ) y , f ''xx ( x, y ), f '' xy ( x, y ) f '' yy ( x, y ) , c z = ( xy )1−sin xy d z = (1 + x tan y ) x / y z = y arctan(1 + x) e f g h Các hàm số mục 1.1 i Và hàm ẩn z=z(x,y) xác định phương trình: i1 xyz = x + z ln y + z ln z = i2 2y + x arctan yz xz i3 Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số sau: yz = x arccos z w = ln(1 − xy + yx − z x) a w= e h 3x − y x3 y − y z = z ( x, y ) h1 b w = yxarccot(xz/y) w = arctan(1 + xy ) + f, z = x − y ln( xy ) c d y zy w = ln( ) − z x y x 1− z2 g w = xy ln( y + zx) xác định phương trình: x − yz = ln( y / z) h2 yz + e z − xy = sin(xyz) h3 (1 + y) zx = x ln yz h4 yze x − x ln z = yz 4.Bài toán cực trị : 4.1 Tìm cực trị hàm số sau: a w = x + 5(y + z ) − xy + yz − 16 zx + w = − x − y − z − yz + x + z + c e.z=z(x,y) xác định pt: b d w = −2 x − y − z − zx + y − z w = x + y + 10 z − xy − yz − 10 z + x + y + z − x + y − z − 10 = 2 e1 e2 4.2 Cực trị có điều kiện-nhân tử Lagrange Tìm cực trị hàm số sau: a w=4x+5y+29 b w = x 0,4 y 0,8 với ràng buộc: x + y = 240 x + y − x − y = 640 với điều kiện: x2 + y + z − x + y − z = 10 w = 4x + 3y +1 x2 + y2 = 31 w = x− y+z c với d 4.3 Các toán lựa chọn tối ưu “kinh tế”: a Giả sử hàm tổng chí phí doanh nghiệp TC với 4x2 + y2 + z = = 7Q12 + 2Q22 + 5Q1Q2 (Q1 , Q2 > 0) Giá mặt hàng Q1 , Q2 mức kết hợp sản lượng tương ứng thị trường Q1 , Q2 p1 = 60, p2 = 45 xác định để daonh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận b Một cơng ty độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm chi phí ( lượng cầu sản phẩm i) : Qi TC = 3Q12 + 2Q22 + 2Q1Q2 + 55 Cầu thị trường hai loại sản phẩm là: Q1 = 50 − 0,5 pi , Q2 = 76 − p2 Tìm (Q1 , Q2 ) mức kết hợp giá bán để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa c Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm hai thị trường khác Cho biết hàm chi phí biên: MC = 1, 75 + 0, 05(Q1 + Q2 ) Và cầu cua rthij trường sản phẩm công ty là: p1 = 12 − 0,15Q1; p2 = − 0, 075Q2 Hãy xác định sản lượng gái bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa U = ( X + 3) X X1 d Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: , giá sản phẩm A, X2 giá sản phẩm B Hãy chọn túi hàng tối đa điều kiện giá hàng hóa A $5 , giá hàng hóa B $20, ngân sách cho tiêu dùng $185 Lợi ích tối đa thay đổi ngân sách tối đa tăng đơn vị, tăng 1% Q = 10 K 0,3 L0,3 e Một doanh nghiệp có hàm sản suất Giá thuê đơn vị lao động $9, giá thuê đơn vị tư doanh nghiệp tiến hành tiến hành sản xuất với ngân sách cố đinh $216 Tìm mức sử dụng lao động tư để doanh nghiệp có sản lượng cạc đại Sản lượng cực đại thay đổi ngân sách cố định tăng đơn vị, tăng 1% Q = 20 K 0,4 L0,4 f Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Giả sư giá thuê đơn vị lao động $10, giá thuê đơn vị tư $8 doanh nghiệp sản xuất với ngân sách cố định $320 Tìm mức sử dụng K,L để Q đạt cực đại Nếu muốn Q cực đại tăng đơn vị, 1% ta cần đầu tư ngân sách tương ứng cho trương hợp ?? = 20X 0,4Y 0,7 g Một nam sinh “ghi điểm” với bạn gái theo hàm ghi điểm GĐ bạn gái cung cấp :3 ; đó, X số đạp xe đạp, Y số lần mời xem phim Giả sử chi phí cho lần xem phim $16, chi phí thuê xe đạp “ngân sách hạn hẹp” nam sinh dành cho việc “ghi điểm” 20 Tìm kết hợp phương pháp cho nam sinh đạt số điểm cao Giả sử “cơ gái bị đổ” số điểm cao tăng thêm 1% , a nam sinh cần phải vay lãi thêm $ để chi cho việc “ghi điểm” 4.5 Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số: x2 y= ∫ + t dt a e ∫ y = (3x − x + 4) − x y = (2 x − 1) − x b e− x y= y= c − ln tdt − e −x f ∫ g  x+4  y =  ∫ t − 2t + 7dt ÷   Tính tích phân bất định sau: a f l x3 ∫ ( x − 1) x − 1dx ∫ (5x − 1) b g dx m ∫ cot dx 3x +1 − x −1 ∫ x dx ∫ c ∫ cot xdx ∫ h ∫ − 9xdx n cos xdx sin 2 x dx − 6x + 4t (3t + 2) − t y=∫ dt − t II Tích phân (2 + x ) ∫ x dx dt d x x2 − x dx ∫ x (x d ∫ − 1) e dx i p dx ∫ − cos x ∫ x (x dx cos x k ∫ s inx.cos − 1) dx q e x dx ∫ + ex x ln xdx ∫ x dx ∫ + ex r s Tích phân phần: ∫ 5x a1 sin xdx a2 t − 3x + ) e x dx u a3 ∫e dx ∫ x+ −x x ∫ s inx + cos x v − x (arccos x) a6 a7 ∫ x ln xdx sin xdx a4 dx ∫ xdx ∫ cos2 x a5 ∫( x dx cos xdx ∫ − 3cos x ∫ ln( x − 10)dx a8 ex ∫ cot x dx Tích phân xác định ∫ a b ∫ (x f − 3x + 7)2 −2 x x −1 ∫3 + x − dx dx g ∫ l h ∫ m ∫ d dx e −1 ∫x e 2x x e −3 x ∫0 x − dx e x3 + 3x ∫1 3x − x + dx i e −2 x x − 4e − x x + x x x −2 x dx 2 dx ∫0 sin x x + sin x − s inx dx x + cos x ln s inxdx ∫0 s inx + 3cosx c π π /2 π 2x −1 dx 2x e ∫ x ln(2 x + 3)dx k dx Tích phân suy rộng: +∞ +∞ ∫ ∫ ( x − 1) e dx a 1− x b +∞ e dx ∫−∞ (1 + x )(4 + x ) f c ∫x3 d dx ∫−∞ ( x + x + 13)( x + x + 6) ∫ ∫ (3x − 2) s in2xdx h ∫ (1 − ln x )dx x ln x +∞ −∞ +∞ dx x − x + 12 i III Phương trình vi phân +∞ dx −x + x − ∫ k +∞ g −3 x dx −∞ dx ∫ x arctan 2x −1 1 ln(1 + x)dx x2 ∫ ( x log x) m dx Phương trình vi phân cấp a Các tập sách giáo trình b Một số tự luyện: y '− b1 4y = ln(2 x + 1) 2x +1 (4 y − / y )dx + ( b3 b5 b2 6x + xy )dy = y2 b4 (6 x − y cos x) dx − sinxdy = b6 y ' = 4x + y −1 b7 b9 b8 ( x + y − 2)dx + ( x − y + 4) dy = b11 b13 b15 b17 (2 y + y sin xy )dx + (2 x + + x sin xy ) dy = (2e y − x ) y ' = y − xy y' = 2 x − xy + y ( y + xy )dx = xdy (3 x − y )dx + ( x + y ) dy = b10 (−2 x + y + 3)dx − ( x − y + 1)dy = b12 xy '+ y = x y (2 y − x + 1) dx + (2 x − y + 3)dy = b14 ydx − x(1 + xy) dy = b16 y '− y = x e x b.18 xydx = ( y + x )dy xy ' + =0 y 2x + xy '− x y = y ( x + 1) Phương tình vi phân cấp 2.1 Dạng hạ cấp y ''− y' =0 2x −1 y ''− 2y ' =0 y a b 2.2 Các tập giáo trình c y '' = y '− ( y ') y ''− d y' =0 y e xy '' = ( y ') 2.3 Bài tập tổng hợp: y ''+ y ' = −3 y + x − y ''+ 16 y = (3 x − 4) cos x y ''+ y = (5 x + 2) cos x y ''− y = (2 − x)e x x3 y ''+ y ' = y + − x 10 13 y ''− y '+ y = s inx + 2e x − x2 + x + y ''− y '+ y = x3 y ''+ y = sin 3x y ''+ 16 y = (2 x + 5) s in4x 11 14 y ''+ y '+ 10 y = e3 x + ( y ')3 = y '' y2 15 y ''− y '+ y = cosx + e x y ''+ 16 y = (2 x + 5) cos x 12 y ''− y ' = x + x −3/ y ''+ y '+ y = cos x − x sin x Trên tập mà sưu tầm, chế tác phần tập thi đề thi kết thúc học phần Tốn Cao Cấp II Vì hời gian gấp rút nên mức độ công phu tập chế, độ đa dạng tập sưu tầm nhiều hạn chế, bên cạnh kĩ nghiệp vụ tin văn phòng yếu nên dạng tập xét liên tục, giới hạn, đạo hàm k đánh máy vào đây, mong anh chị bạn thơng cảm ! Lời khun mình: tập phần tính giới hạn, tính tích phân giải phương trình vi phân cấp 1,2, người nên nhìn nhận đánh giá kết cấu biểu thức trước, sau đưa phương hướng giải thử hướng Một tốn lim có nhiều cách giải khác nhau, hay Ptvp vậy; giải theo trình tự ta vừa ơn luyện lý thuyết dạng bài, vừa rèn cách trình bày, lại rèn luyện tư đa chiều, công nhiều đôi việc Cuối cùng, chúc anh chị bạn thi tốt đạt điểm số mong đợi  ... tính tích phân giải phương trình vi phân cấp 1,2, người nên nhìn nhận đánh giá kết cấu biểu thức trước, sau đưa phương hướng giải thử hướng Một toán lim có nhiều cách giải khác nhau, hay Ptvp. .. = x + y + 10 z − xy − yz − 10 z + x + y + z − x + y − z − 10 = 2 e1 e2 4.2 Cực trị có điều kiện-nhân tử Lagrange Tìm cực trị hàm số sau: a w=4x+5y+29 b w = x 0,4 y 0,8 với ràng buộc: x + y = 240... vị tư $8 doanh nghiệp sản xuất với ngân sách cố định $320 Tìm mức sử dụng K,L để Q đạt cực đại Nếu muốn Q cực đại tăng đơn vị, 1% ta cần đầu tư ngân sách tương ứng cho trương hợp ?? = 20X 0,4Y