Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 Bài tập mẫu phần Toán kinh tế P2 Sản phẩm vật cận biên 1.1 Tập đồn TOMMY có hàm sản xuất Q f K , L 120 K L2 Giá thuê đơn vị lao động ngày 10$, giá thuê đơn vị tư ngày 12$ Tính: a Sản phẩm vật cận biên theo tư lao động mức sử dụng K 36 , L 64 nêu ý nghĩa b Để thu sản lượng cao ngày nên thuê tư hay lao động lợi hơn? 1.2 Lời giải: a (*) Sản phẩm vật cận biên theo tư là: 60 L2 60.16 MPPK 36;64 160 K Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K 36 , L 64 giữ nguyên L 64 tăng sử dụng thêm đơn vị tư sản lượng tăng xấp xỉ 160 đơn vị sản lượng (*) Sản phẩm vật cận biên theo lao động là: MPPK Q 'K 80 K 80.6 MPPL 36;64 120 L Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K 36 , L 64 giữ nguyên K 36 tăng sử dụng thêm đơn vị lao động sản lượng tăng xấp xỉ 120 đơn vị sản lượng MPPK 36;64 160 40 b Sản phẩm cận biên đồng chi phí vốn wK 12 MPPL Q 'L Sản phẩm cận biên đồng chi phí lao động là: MPPL 36;64 120 12 wL 10 So sánh ta thấy sử dụng thêm đơn vị vốn lợi ích thu cao Tối ưu người tiêu dùng 2.1 Bài cực trị thuận a Đề bài: Một người tiêu dung loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng x,y Hàm lợi ích người U x, y 100.x 0,5 y 0,4 Với thu nhập dành cho tiêu dùng $360, tìm kết họp hàng hóa đêm lại lợi ích tối đa điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng $10 $8 Nếu chi cho tiêu dùng tăng 1$ tăng 1% lợi ích tối đa thay đổi nào? b Giải: Ta cần tìm kết hợp (x,y) cho tối đa U điều kiện: g x, y 10 x y 360 Hàm Lagrange: L 100 x0,5 y 0,4 360 10 x y Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 L 'x 50 x 0,5 y 0,6 10 x 0,5 y 0,4 x0,5 y 0,6 x y 20 Điều kiện cần: L ' y 40 x 0,5 y 0,6 8 x y 0,1 5.20 10 x y 360 L ' 360 10 x y Ta có điểm dừng M 20; 20;5.200,1 Điều kiện đủ: g1 g 'x 10 ; g2 g ' y ; L11 L''xx 25x1,5 y 0,4 L22 L''yy 24 x0,5 y 1,6 ; L21 L12 L''xy 30 x 0,5 y 0,6 Xét định thức: 10 10 L11 L12 80 L12 80 L21 64 L11 100 L22 160L12 64L11 100L22 L21 L22 Nên điểm dừng M cực đại U x = y = 20 kết hợp tiêu dung cần tìm (1) Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange, thu nhập cho tiêu dùng tăng $1 lợi ích cực đại U0 tăng xấp xỉ 5.200,1 đơn vị sản lượng (2) Hệ số co giãn lợi ích cực đại U0 theo thu nhập cho tiêu dùng I0 là: dU I I 360 0,9 IUoo 0 0 Với I0 = 360 IUo o 5.200,1 0,9 100.20 10 dI U U0 Vậy, chi cho tiêu dùng tăng 1% lợi ích cực đại tăng 0,9% 2.2 Bài cực trị đối a Đề bài: Một người tiêu dung loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng x,y Hàm lợi ích người U x, y 100.x 0,8 y 0,4 Hãy tìm kết tối thiểu chi phí tiêu dùng mà đạt đực mức lợi ích U 400 điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng $10 $8 b Giải: Hàm chi phí tiêu dùng: C 10 x y Ta cần tìm kết hợp (x,y) nhằm tối thiểu chi phí tiêu dùng đạt mức lợi ích g ( x, y ) 100 x 0,8 y 0,4 400 Hàm Lagrange: L 10 x y 400 100 x0,8 y 0,4 (*)Điều kiện cần: 5/6 x 0,2 y 0,4 x 0,8 y 0,6 x 4.(8 / 5)0,4 x0 0,2 0,4 L 'x 10 80 x y 5x 0,8 0,6 y y0 L ' y 40 x y 5 x y x 0,8 y 0,4 0,8 0,4 L ' 400 100 x y x00,2 y00,4 0 Vậy ta có điểm dừng M x0 ; y0 ; 0 Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 (*)Điều kiện đủ: 0,8 0,6 '' 1,2 0,4 g1 g 'x 80 x0,2 y 0,4 ; g2 g ' y 40 x y L11 Lxx M 160 x0 y0 L22 L''yy M 240 x00,8 y01,6 ; L21 L12 L''xy M 320 x00,2 y00,6 Xét định thức: g1 g g1 L11 L12 g1 g L12 g g1L21 g 22 L11 g12 L22 g1 g L12 g 22 L11 g12 L22 g L21 L22 Nên M cực tiểu hàm chi tiêu C, đó, kết hợp tiêu dùng cần tìm Tối ưu cho doanh nghiệp 3.1 Doanh nghiệp cạnh tranh a Đề bài: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất loại hàng hóa Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp TC 5Q12 2Q1Q2 5Q22 50 Giá loại hàng hóa tương ứng $80, $160 Tìm kết hợp sản lượng mang lại lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp b Giải: Hàm tổng doanh thu: TR 80Q1 160Q2 Hàm lợi nhuận: TR TC 80Q1 160Q2 5Q12 2Q1Q2 5Q22 50 'Q 80 10Q1 2Q2 Q Điều kiện cần: => ta có điểm dừng M 5;15 ' 160 Q 10 Q Q 15 Q Điều kiện đủ: a11 Q'' 1Q1 10 ; a22 Q'' 2Q2 10 ; a12 a21 Q'' 2Q1 2 Xét định thức: 10 2 100 96 nên suy M cực đại hàm lợi nhuận 2 10 Vậy mức sản lượng kết hợp cần tìm Q1; Q2 5;15 3.2 Doanh nghiệp độc quyền a Sản xuất mặt hàng khác (1) Đề bài: Tập đoàn TOMMY sản xuất loại quần sịp loại I, II tương ứng Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp TC Q12 5Q1Q2 Q22 Hàm cầu loại sịp là: Q1 14 0, 25 p1 Q2 24 0,5 p2 Hãy xác định mức sản lượng giá tối ưu cho loại sịp (2) Giải: Đảo ngược hàm cầu ta được: p1 56 4Q1 p2 48 2Q2 Hàm tổng doanh thu: TR p1Q1 p2Q2 56 4Q1 Q1 48 2Q2 Q2 56Q1 48Q2 4Q12 2Q22 Hàm lợi nhuân: TR TC 56Q1 48Q2 5Q1Q2 5Q12 3Q22 Q 96 / 35 'Q 56 5Q2 10Q1 96 40 Điều kiện cần: => Điểm dừng M ; 35 Q2 40 / 'Q2 48 5Q1 6Q2 Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 Điều kiện đủ: a11 Q'' 1Q1 10 ; a22 Q'' 2Q2 6 ; a12 a21 Q'' 2Q1 5 Xét định thức: 10 5 60 25 35 nên M cực đại hàm lợi nhuận 5 6 Vậy mức sản lượng sịp kết hợp cần tìm là: Q1; Q2 96 / 35; 40 / b Sản xuất mặt hàng sở, bán thị trường (1) Đề bài: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất sở với hàm chi phí cận biên là: MC1 TC ' Q1 20 0, 75Q1 MC2 10 0,5Q2 Đường cầu hàng hóa doanh nghiệp là: Q 320 p Q Q1 Q2 Tìm mức sản lượng tối ưu cho sở doanh nghiệp (2) Giải: Đảo ngược đường cầu ta có: p D1 Q 40 0,125Q Hàm tổng doanh thu: TR pQ 40 0,125Q Q 40Q 0,125Q2 40 Q1 Q2 0,125 Q1 Q2 Hàm lợi nhuận: TR TC1 TC2 40 0, 25Q1 20 0, 75Q1 Q 20 'Q TR 'Q1 MC1 Điều kiện cần: 40 0, 25Q2 10 0,5Q2 Q2 40 'Q2 TR 'Q2 MC2 Ta có điểm dừng M 20; 40 Điều kiện đủ: Q'' 1Q1 1 ; Q'' 2Q2 0,75 ; Q'' 1Q2 Q'' 2Q1 Xét định thức: 1 0,75 0,75 => M cực đại hàm lợi nhuận 0,75 Vậy, mức phân chia sản lượng tối ưu là: Q1 20 Q2 40 c Sản xuất mặt hàng, bán hai thị trường khác (1) Đề bài: Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường khác Cho biết hàm chi phí cận biên MC 10,5 0,3Q Q Q1 Q2 Và cầu thị trường sản phẩm: p1 72 0,9Q1 p2 54 0, 45Q2 Hãy xác định giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa (2) Giải: Hàm tổng doanh thu: TR 79 0,9Q1 Q1 54 0, 45Q2 Q2 79Q1 54Q2 0,9Q12 0, 45Q22 Hàm lợi nhuận: TR TC (*) Trường hợp doanh nghiệp phân biệt giá thị trường: 79 1,8Q1 10,5 0,3 Q1 Q2 TR 'Q1 MC Điều kiện tối đa hóa lợi nhuân: TR 'Q2 MC 54 0,9Q2 10,5 0,3 Q1 Q2 Hội sinh viên NEU phát cuồng tốn cao cấp 1, Hè 2015 2,1Q1 0,3Q2 68,5 Q 2303 / 81 0,3Q1 1, 2Q2 43, Q2 2374 / 81 Điều kiện đủ: a11 Q'' 1Q1 1,8 0,3 2,1 ; a22 Q'' 2Q2 0,9 0,3 1, ; a12 a21 0,3 Xét định thức: 2,1 0,3 2,1.1, 0,3.0,3 2, 43 0,3 1, Nên Q1; Q2 2303 / 81; 2374 / 81 cực đại hàm lợi nhuận Từ ta có giá bán thị trường tương ứng là: p1 4117 / 90 p2 3673 / 81 (*) Trường hợp doanh nghiệp khơng thể phân biệt giá: Lúc ta có ràng buộc p1 p2 72 0,9Q1 54 0, 45Q2 0,9Q1 0, 45Q2 18 Đặt g Q1; Q2 0,9Q1 0, 45Q2 , ta có hàm Lagrange: L TR TC 18 0,9Q1 0, 45Q2 Điều kiện cần: 72 1,8Q1 10,5 0,3 Q1 Q2 0,9 L 'Q1 TR 'Q1 MC 0,9 L 'Q2 TR 'Q2 MC 0, 45 54 0, 45Q2 10,5 0,3 Q1 Q2 0, 45 0,9Q 0, 45Q 18 18 0,9Q1 0, 45Q2 2,1Q1 0,3Q2 0,9 61,5 Q1 35 0,3Q1 0, 75Q2 0, 45 43,5 Q2 30 0,9Q 0, 45Q 18 70 / Điều kiện đủ: '' '' g1 g 'Q1 0,9 ; g2 g 'Q2 0, 45 ; L11 LQ1Q1 2,1 ; L22 LQ2Q2 0,75 L12 L21 L''Q2Q1 0,3 Xét định thức: 0,9 0, 45 0,9 2,1 0,3 0,1215 0,1215 0, 42525 0, 6075 1, 27575 0, 45 0,3 0, 75 Nên Q1; Q2 35;30 cực đại hàm lợi nhuận Thay tương ứng vào hàm cầu ta có đươc giá thị trường p1 p2 40,5 ... (1) Đề bài: Tập đoàn TOMMY sản xuất loại quần sịp loại I, II tương ứng Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp TC Q12 5Q1Q2 Q22 Hàm cầu loại sịp là: Q1 14 0, 25 p1 Q2 24 0,5 p2 Hãy... 5.200,1 0,9 100.20 10 dI U U0 Vậy, chi cho tiêu dùng tăng 1% lợi ích cực đại tăng 0,9% 2.2 Bài cực trị đối a Đề bài: Một người tiêu dung loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng x,y Hàm lợi ích... giá tối ưu cho loại sịp (2) Giải: Đảo ngược hàm cầu ta được: p1 56 4Q1 p2 48 2Q2 Hàm tổng doanh thu: TR p1Q1 p2Q2 56 4Q1 Q1 48 2Q2 Q2 56Q1 48Q2 4Q12 2Q22 Hàm