Toán kinh tế p2 bài tập mẫu

Để thu được sản lượng cao hơn trong 1 ngày nên thuê tư bản hay lao động thì được lợi hơn?. Đề bài: Một người tiêu dung 2 loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng là x,y.. Với thu nhậ

1

Bài tập mẫu phần Toán kinh tế P2

1 Sản phẩm hiện vật cận biên

1.1 Tập đoàn TOMMY có hàm sản xuất   3 2

Q f K L  K L Giá thuê 1 đơn vị lao động trong 1 ngày là 10$, giá thuê 1 đơn vị tư bản trong 1 ngày là 12$ Tính:

a Sản phẩm hiện vật cận biên theo tư bản và lao động tại mức sử dụng K36,L64 và nêu ý nghĩa

b Để thu được sản lượng cao hơn trong 1 ngày nên thuê tư bản hay lao động thì được lợi hơn?

1.2 Lời giải:

a (*) Sản phẩm hiện vật cận biên theo tư bản là:

3 2

6

L

K

Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K36,L64 khi giữ nguyên L64và tăng sử dụng thêm

1 đơn vị tư bản thì sản lượng tăng xấp xỉ 160 đơn vị sản lượng

(*) Sản phẩm hiện vật cận biên theo lao động là:

3

4

K

L

Ý nghĩa: Tại mức sử dụng K36,L64 khi giữ nguyên K36và tăng sử dụng thêm

1 đơn vị lao động thì sản lượng tăng xấp xỉ 120 đơn vị sản lượng

b Sản phẩm cận biên của 1 đồng chi phí vốn là 36;64 160 40

K K

MPP

Sản phẩm cận biên của 1 đồng chi phí lao động là: 36;64 120

12

L L

MPP

So sánh ta thấy sử dụng thêm 1 đơn vị vốn thì lợi ích thu được cao hơn

2 Tối ưu người tiêu dùng

2.1 Bài cực trị thuận

a Đề bài:

Một người tiêu dung 2 loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng là x,y Hàm lợi ích người này là   0,5 0,4

, 100

U x y  x y Với thu nhập dành cho tiêu dùng là $360, hãy tìm kết họp hàng hóa đêm lại lợi ích tối đa trong điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng là $10

và $8 Nếu chi cho tiêu dùng tăng 1$ và tăng 1% thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào?

b Giải:

Ta cần tìm kết hợp (x,y) sao cho tối đa U trong điều kiện: g x y , 10x8y360

L x y   x y

2

Điều kiện cần: 0,5 0,6

0,1

20

5.20

10 8 360 ' 360 10 8 0

y

x y

x y









 









Ta có 1 điểm dừng là  0,1

20; 20;5.20

Điều kiện đủ: g1g'x 10; g2 g'y 8 ; '' 1,5 0,4

L L   x y 

'' 0,5 1,6

L L   x y  ; L21L12L''xy 30x0,5y0,6 0

Xét định thức:

21 22

0 10 8

8

Nên điểm dừng M là cực đại của U và do đó x = y = 20 là kết hợp tiêu dung cần tìm

(1) Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange, thì khi thu nhập cho tiêu dùng tăng $1 thì lợi ích cực đại U0 tăng xấp xỉ 5.200,1đơn vị sản lượng

(2) Hệ số co giãn của lợi ích cực đại U0 theo thu nhập cho tiêu dùng I0 là:

0

o o

U

I

   Với I0 = 360 thì 5.20 0,1 3600,9 9 0, 9

100.20 10

o o

U I

Vậy, khi chi cho tiêu dùng tăng 1% thì lợi ích cực đại tăng 0,9%

2.2 Bài cực trị đối

a Đề bài:

Một người tiêu dung 2 loại hàng hóa với lượng tiêu dung tương ứng là x,y Hàm lợi ích người này là   0,8 0,4

, 100

U x y  x y Hãy tìm kết tối thiểu chi phí tiêu dùng mà vẫn đạt đực mức lợi ích U0 400 trong điều kiện giá hai loại hàng hóa tương ứng là $10 và $8

b Giải:

Hàm chi phí tiêu dùng: C10x8y Ta cần tìm kết hợp (x,y) nhằm tối thiểu chi phí tiêu

dùng nhưng vẫn đạt mức lợi ích 0,8 0,4

( , ) 100 400

g x y  x y 

L x y  x y

(*)Điều kiện cần:

0 0,2 0,4

0 0,8 0,4

0,8 0,4

0,2 0,4

0 0

0

4.(8 / 5)

5

8 4

8

x

y

x

x y



















Vậy ta có 1 điểm dừng M x y 0; 0;0

3

(*)Điều kiện đủ:

0,2 0,4

g g  x y  ; g2 g'y 40x y0,8 0,6 0 ''   1,2 0,4

L L M   x y 

 

L L M   x y  ; ''   0,2 0,6

L L L M    x y  Xét định thức:

0

Nên M là cực tiểu của hàm chi tiêu C, và do đó, nó là kết hợp tiêu dùng cần tìm

3 Tối ưu cho doanh nghiệp

3.1 Doanh nghiệp cạnh tranh

a Đề bài: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất 2 loại hàng hóa Q1; Q2 với hàm tổng chi

TC Q  Q Q  Q  Giá mỗi loại hàng hóa tương ứng là $80, $160 Tìm kết hợp sản lượng mang lại lợi nhuận tối đa cho doanh nghiệp này

b Giải:

Hàm tổng doanh thu: TR80Q1160Q2

Điều kiện cần: 1

2

Q Q







Điều kiện đủ:

1 1

''

2 2

''

a    ;

2 1

''

a a   

Xét định thức: 10 2 100 4 96 0

2 10

  nên suy ra M là cực đại của hàm lợi nhuận

Vậy mức sản lượng kết hợp cần tìm là Q Q1; 2  5;15

3.2 Doanh nghiệp độc quyền

a Sản xuất 2 mặt hàng khác nhau

(1) Đề bài: Tập đoàn TOMMY sản xuất 2 loại quần sịp loại I, II tương ứng Q1; Q2 với hàm tổng chi phí kết hợp 2 2

1 5 1 2 2

TCQ  Q Q Q Hàm cầu đối với 2 loại sịp là:

1 14 0, 25 1

Q   p và Q2 24 0,5 p2 Hãy xác định mức sản lượng và giá tối ưu cho từng

loại sịp

(2) Giải: Đảo ngược các hàm cầu ta được: p1 56 4 Q1 và p2 48 2 Q2

1 1 2 2 56 4 1 1 48 2 2 2 56 1 48 2 4 1 2 2

TR p Q p Q   Q Q   Q Q  Q  Q  Q  Q

Điều kiện cần: 1

2

Q Q







96 40

;

35 7

4

Xét định thức: 10 5 60 25 35 0

  nên M là cực đại của hàm lợi nhuận

Vậy mức sản lượng sịp kết hợp cần tìm là: Q Q1; 2  96 / 35; 40 / 7

b Sản xuất 1 mặt hàng tại 2 cơ sở, bán ra 1 thị trường

(1) Đề bài: Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất ở 2 cơ sở với 2 hàm chi phí cận biên lần

lượt là: MC1 TC Q' 1 20 0, 75 Q1 và MC2 10 0,5 Q2

Đường cầu đối với hàng hóa của doanh nghiệp này là: Q320 8 p QQ1Q2 Tìm mức sản lượng tối ưu cho mỗi cơ sở của doanh nghiệp này

(2) Giải:

Đảo ngược đường cầu ta có: 1 

40 0,125

pD Q   Q

TRpQ  Q Q Q Q  Q Q  Q Q

Hàm lợi nhuận:  TR TC 1TC2

Điều kiện cần: 1 1





Ta có 1 điểm dừng là M20; 40

Điều kiện đủ:

1 1

''

1 0

Q Q

2 2

''

0, 75

Q Q

   ;

'' ''

0

Q Q Q Q

  

Xét định thức: 1 0 0, 75 0 0, 75 0

0 0, 75



 => M là cực đại của hàm lợi nhuận

Vậy, mức phân chia sản lượng tối ưu là: Q1 20 và Q2 40

c Sản xuất 1 mặt hàng, bán tại hai thị trường khác nhau

(1) Đề bài: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường khác

nhau Cho biết hàm chi phí cận biên MC10, 5 0, 3 Q QQ1Q2 Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm: p172 0,9 Q1 và p2 54 0, 45 Q2 Hãy xác định giá bán

trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa

(2) Giải:

TR  Q Q   Q Q  Q  Q  Q  Q Hàm lợi nhuận: TR TC

(*) Trường hợp doanh nghiệp có thể phân biệt giá trên 2 thị trường:

1

2

Q Q

5

2,1 0, 3 68, 5 2303 / 81

0, 3 1, 2 43, 7 2374 / 81

Điều kiện đủ:

1 1

''

11 Q Q 1,8 0,3 2,1 0

2 2

''

22 Q Q 0,9 0,3 1, 2

a       ; a12 a21 0, 3

Xét định thức: 2,1 0,3 2,1.1, 2 0,3.0,3 2, 43 0

0,3 1, 2

Nên Q Q1; 2  2303 / 81; 2374 / 81 là cực đại của hàm lợi nhuận Từ đó ta có giá bán trên các thị trường tương ứng là: p14117 / 90 và p2 3673 / 81

(*) Trường hợp doanh nghiệp không thể phân biệt giá:

Lúc đó ta có ràng buộcp1  p2 72 0,9 Q1 54 0, 45 Q2 0,9Q10, 45Q2 18 Đặt g Q Q 1; 20,9Q10, 45Q2, ta có hàm Lagrange:L TR TC  18 0,9 Q10, 45Q2 Điều kiện cần:

0,9 0, 45 18

18 0,9 0, 45 0











0,3 0, 75 0, 45 43,5 30







Điều kiện đủ:

1

1 'Q 0,9

g g  ;

2

2 'Q 0, 45

g g   ;

1 1

''

11 Q Q 2,1

L L   ;

2 2

''

22 Q Q 0, 75

L L  

2 1

''

12 21 Q Q 0,3

L L L  

Xét định thức:

0 0,9 0, 45

0,9 2,1 0,3 0 0,1215 0,1215 0, 42525 0 0, 6075 1, 27575 0

0, 45 0,3 0, 75



Nên Q Q1; 2  35;30 là cực đại của hàm lợi nhuận Thay tương ứng vào các hàm cầu

ta có đươc giá của các thị trường là p1  p2 40,5