www thuvienhoclieu com chuyen de hhp bdhsg

www.thuvienhoclieu.com Loại 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc Câu 1 [Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định- năm 2015- Tỉnh Nam Định] Cho hai đường tròn của ( O1) ·XAY A A IX L và sao cho đi qua ( O2 ) OI ( O1) và ( O2 ) A, B AX , AY cắt nhau tại O Gọi là trung điểm của XY không vuông góc với vuông góc với cắt đường tròn AI ( O1) XY I ; và I lần lượt là các đường kính là điểm thuộc đường phân giác của góc không thuộc hai đường tròn Đường thẳng ( O1) ( O2 ) lần lượt cắt các đường tròn tại điểm thứ hai K IY , , E, F tại các điểm cắt đường tròn ( O2 ) khác tại điểm thứ hai 1 Gọi đường tròn C là giao điểm của ( CEK ) EF với IX Chứng minh rằng OE là tiếp tuyến của EK , FL, OI 2 Chứng minh rằng 3 đường thẳng đồng quy Lời giải A E C F D O1 O2 O X B Y K L I S 1 Không mất tính tổng quát giả sử Ta có tứ giác Lại có AO1OO2 I là điểm thuộc đường phân giác trong của góc là hình bình hành nên suy ra OO1 || HY ( EA, EO1) = ( AO1, AE ) = ( AF , AO2 ) ( mod π ) ⇒ EO1 || HY www.thuvienhoclieu.com Page 1 ·XAY www.thuvienhoclieu.com Do đó O, O1, E thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có O, O2, F ( CE , CK ) = ( AC , AK ) + ( AK , CK ) = ( AC , AK ) + = ( ) Do đó Mà ·AKI = ·ALI = 900 EF ⊥ AI π 2 r uuuu r π 1 uuuu + O1E , O1K = ( EO1, EK ) ( mod π ) 2 2 OE 2 Ta có thẳng hàng Mặt khác nên suy ra là tiếp tuyến của đường tròn ( CEK ) A, I , K , L nên 4 điểm EF Do đó cùng thuộc đường tròn đường kính là tiếp tuyến của đường tròn đường kính ( AE , AK ) = ( LA, LK ) ( mod π ) AI AI (1) Mặt khác ( KE , KA) = ( XE , XA ) = ( XE , EA ) + ( AE , AX ) = = π + ( AE , AX ) ( mod π ) 2 π + ( AY , AF ) = ( AF , FY ) + ( AY , AF ) = ( AY , FY ) = ( LA, LF ) ( mod π ) 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra ( EF , EK ) = ( EA, AK ) + ( AK , EK ) = ( LA, LK ) + ( LF , LA ) = ( LF , LK ) ( mod π ) E , F , L, K Vậy 4 điểm Gọi S EK là giao điểm của và cùng thuộc một đường tròn FL E , F , L, K Vì 4 điểm cùng thuộc một đường tròn nên ta có SE.SK = SF SL ⇒ PS / ( CEK ) = PS / ( DFL ) Ta có Gọi D là giao điểm của (3) IC.IK = ID.IL = IA2 ⇒ PI /( CEK ) = PI /( DFL) EF với IY www.thuvienhoclieu.com Page 2 (4) www.thuvienhoclieu.com Chứng minh tương tự câu 1) ta có Mặt khác tứ giác là hình thang vuông tại OE = OF ( DFL ) là tiếp tuyến của đường tròn E, F EFYX ra OF O và PO / ( CEK ) = OE 2 = OF 2 = PO / ( DFL ) Do đó XY là trung điểm của nên suy (5) S , O, I Từ (3), (4), (5) suy ra ( CEK ) , ( DFL ) cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn S , O, I nên EK , FL, OI thẳng hàng Vậy 3 đường thẳng đồng quy tại S I *) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng thì phải xét các trường hợp vị trí của điểm XK , YL I Câu 2 nằm ngoài các đoạn ABC XK , YL nằm trong các đoạn H M N nhọn có trực tâm ABH phân giác của góc a, Góc BPC M , N,P , ACH , cắt nhau tại AH , BC là trung điểm của P Các đường Chứng minh: b, thẳng hàng [SỞ Bình Định- năm học 2012-2013] ABC M của góc ) là góc vuông Trong tam giác , · BCA N,L A là chân đường vuông góc hạ từ xuống đường phân giác trong A, C lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh ABC phân giác trong của góc F Gọi là giao điểm của các đường thẳng BF là giao điểm của các đường thẳng và CL D , xuống đường MN AC và là giao điểm của các đường thẳng Chứng minh rằng [Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - năm 2015- Tỉnh Hòa Bình] Cho I ( O) chung tại ( O1 ) , ( O2 ) và hai đường tròn là tiếp điểm của N2 E , BL và DE PMN AC Câu 4 I [Trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình- Vòng 2] Cho tam giác Câu 3 và ( I của ( O1 ) và ( O1 ) , ( O2 ) ( O2 ) cắt ; ( O) tiếp xúc ngoài với nhau và tiếp xúc trong với M1 , M 2 tại là tiếp điểm của A AM1 cắt ( O) ( O1 ) với Gọi Tiếp tuyến ( O2 ) N1 AM 2 tại ; cắt tại www.thuvienhoclieu.com ( O1 ) , ( O2 ) ( O) Page 3 www.thuvienhoclieu.com Chứng minh rằng ( O) N1 N 2 OA ⊥ N1 N 2 ( O) B, C AI A' I ở ; cắt tại Chứng minh rằng là tâm đường tròn nội tiếp của cắt A ' BC tam giác Chứng minh rằng N1 N 2 , O1O2 , M1M 2 đồng quy Lời giải a) A thuộc trục đẳng phương của N1N 2 M 2 M1 ( O1 ) và ( O2 ) nên AN1 AM1 = AN 2 AM 2 là tứ giác nội tiếp dẫn đến ¼ » ¼ » ·AN N = ·AM M ⇒ Sđ BM1 + Sđ AC = Sđ BM1 + Sđ AB 1 2 2 1 2 2 ⇒ »AC = »AB ⇒ OA ⊥ N N 1 2 b) Gọi H,K Tam giác là giao điểm của ABK vuông tại ·AM K = 90o ⇒ HN M K 1 1 1 B AO có với BH BC , (O ) là đường cao ⇒ AB 2 = AH AK là tứ giác nội tiếp ⇒ AB 2 = AH AK = AN1 AM1 = PA/ ( O ) = AI 2 1 ⇒ AB = AC = AI www.thuvienhoclieu.com Page 4 suy ra www.thuvienhoclieu.com Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Dẫn đến Suy ra Vì thế I c)Giả sử Rõ ràng Suy ra Câu 5 là phân giác của A' I ·A ' BC là phân giác của · 'C BA »AB = »AC (do là tâm đường tròn nội tiếp tam giác O1O2 D cắt N1N 2 tại D , gọi là tâm vị tự ngoài của R, R1, R2 ( O1 ) và ) A ' BC là bán kính của ( O2 ) ⇒ DO1 R1 = DO2 R2 ( O ) ( O1 ) , ( O2 ) , ,lại có M 2O2 R2 = M1O1 R1 DO1 M 2O2 M1O =1 DO2 M 2O M1O1 Dẫn đến Vậy 1· 1 1 · IBC = IAC = ·A ' AC = ·A ' BC 2 2 2 BI Rõ ràng BIC D, M 1 , M 2 thẳng hàng (Menelauyt đảo) N1 N 2 , O1O2 , M1M 2 đồng quy [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI- CHUYÊN HẠ LONG] ( O; R ) ( O′; R′) A, B R ≠ R' Cho hai đường tròn và với cắt nhau tại hai điểm phân biệt Một đường thẳng d ( O) tại M và M′ và ( O′ ) Chứng minh rằng lần lượt tại P M , M ′, B thẳng hàng Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Page 5 và P′ Q Q′ Gọi và lần AQ AQ′ OO′ P P′ lượt là chân đường vuông góc hạ từ và xuống Các đường thẳng và cắt các đường tròn d tiếp xúc với đường tròn ( O) www.thuvienhoclieu.com P' I P A Q Q' J O O' S S Gọi ( O′ ) là giao điểm của R' R k= Đặt I, J Gọi d và OO′ , khi đó ta có: là giao điểm của AB M' B M , khi đó S là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn ( O) và V ( S , k ) : (O ) → (O '), P → P ', Q → Q ' PP′ với và OO′ Khi đó ta có: 2 IP 2 = IA.IB = IP ' ⇒ IP = IP ' Mà PQ OO′ Do đó Mà Vậy // P′Q′ Cho QQ′ là trung trực của AQ // V (S , k ) thuộc V (S , k ) ∆ABC hay biến ( O) Q′M ′ M M AB // B′ V (S , k ) B′ B biến Đường thẳng cắt BC M′ tại là hình thoi ( O′ ) QM do đó // Q′B′ B′ ≡ B đường tròn nội tiếp EF AQBQ′ khi đó thuộc thành Vậy tứ giác QM thành suy ra biến Tương tự ta có Câu 6 JQ = JQ′ nên là trung trực của Q′B Giả sử M IJ AB Suy ra Mà // thành ( I) G B Suy ra M , B, M ′ tiếp xúc với các cạnh thẳng hàng BC , CA, AB Đường tròn đường kính GD cắt tương ứng tại ( I) tại R ( D, E , F R≠D ) Gọi ( I) P , Q P ≠ R, Q ≠ R BR, CR BQ CP ( ) tương ứng là giao của với Hai đường thẳng và cắt www.thuvienhoclieu.com Page 6 www.thuvienhoclieu.com nhau tại ( CDE ) X QR Đường tròn cắt PM , Q N , RX minh rằng đồng quy Hướng dẫn giải Gọi K suy ra là trung điểm đoạn KR Mặt khác Vì vậy Suy ra là tiếp tuyến KD GD là tiếp tuyến của Do đó ( I) tại và đường tròn ( GDBC ) = −1 Ta có ( RPC ) M , do đó ∠KRB = ∠RCB KR , do đó ( BDF ) cắt PR tại KD 2 = KR 2 = KB.KC , N Chứng điều này cũng là tiếp tuyến của ( I) ∠KRB = ∠RQP ⇒ ∠RQP = ∠RCB ⇒ RQ || BC RX đi qua trung điểm của đoạn Từ đây suy ra PM , Q N , RX PQ ( bổ đề quen thuộc trong hình thang ) là 3 đường trung tuyến của ∆RQP , suy ra ĐPCM A E R M F N I Q P X G D B C K Câu 7 H [KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2016 - 2017 ] ∆ABC ( I) AB < AC D, E BC CA Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với và tại BC N M D IM tương ứng Gọi là trung điểm của và là điểm đối xứng với qua Đường Cho tam giác có EN thẳng vuông góc với DP ⊥ EQ minh rằng tại N cắt AI tại P, Q là giao điểm thứ hai của www.thuvienhoclieu.com Page 7 AN với ( I) Chứng www.thuvienhoclieu.com Câu 8 [ĐỀ XUẤT ĐỀ THI DUYÊN HẢI BẮC BỘ.Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - Tỉnh Hòa Bình Năm học 2012-2013] Aˆ ; Bˆ ; Cˆ ∆ABC Cho tam giác Các phân giác ngoài của các góc lần lượt cắt cạnh đối diện tại của tam giác góc với OI ∆ABC ở đây tại O, I A1 , B 1 , C1 CMR A1 , B 1 , C1 thẳng hàng và thuộc đường thẳng vuông lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ∆ABC Hướng dẫn giải Qua Có · B IA 2 IA, IB, IC BC , CA, AB A2 , B2 , C2 kẻ các đường thẳng vuông góc lần lượt cắt µ µ ·A IB = ·AIB − 90o = 90o + C − 90o − C = ICA · 2 2 2 2 I chung ⇒ ∆A2 BI : ∆A2 IC ⇒ A2 B A2 I = ⇒ A2 B A2C A2 I A2C ⇔ PA2 / ( I ;O ) = PA2 / ( O ) CMT 2 : PB2 / ( I ;O ) = PB2 / ( O ) PC2 / ( I ;O ) = PC2 / ( O ) ⇒ A2 , B2 , C2 ∈ trục đt của ( I ; O) và ( O ) ⇒ ( A2 B2C2 ) ⊥ OI ( 1) AA1 I BB1 = { F } ⇒F là tâm đường tròn bàng tiếp µ C của ∆ABC ⇒ C , I , F thẳng hàng C AA1 ⊥ AI  CA2 CI  =  ⇒ A2 I / / AA1 ⇒  A2 I ⊥ AI  CA1 CF  CA2 CB2 ( 1) ( 2 ) ( 3 ) ⇒ A1 , B1 , C1 = ⇒ thẳng hàng và CA CB1 CB CI 1  2 CMT 2 : IB2 / / FB2 ⇒ =  CF CB1 ( A1B1C1 ) ⊥ OI ⇒ A2 B2 / / A1 B1 Câu 9 CMT 2 : ⇒ B2C2 / / B1C1 ( 2) ( 3) www.thuvienhoclieu.com [Đề xuất lớp 11 Sở GD- ĐT Quảng Ninh- Trường THPT Chuyên Hạ Long] Page 8 www.thuvienhoclieu.com ( I) BC , CA, AB ABC Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh theo thứ tự D, E , F EF BC A K M Đường thẳng qua và song song với cắt tại Gọi là trung điểm của BC IM ⊥ DK Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Gọi N ID là giao điểm của và EF Qua N N kẻ đường thẳng // · · P, Q IQEN IFPN IFN = IPN từ Vì hai tứ giác và nội tiếp nên A cắt AB AC , theo thứ tự K E N Q P F BC J H I D B C M · · IEN = IQN · · · · IEN = IFN ⇒ IPN = IQN Mặt khác PQ ⇒ A, N , M Lại có Gọi J H Do đó ∆IPQ cân tại I Vậy N là trung điểm của thẳng hàng IN ⊥ AK , KN ⊥ AI ⇒ N AM là giao điểm của là giao điểm của IA và và là trực tâm ∆AIK ⇒ AM ⊥ IK IK EF · · ⇒ IH IK = IJ IA = IE 2 = ID 2 ⇒ ∆IHD : ∆IDK (c − g − c ) → IDH = IKD Mà Câu 10 Y IHMD nội tiếp nên · · · · IDH = IMH ⇒ IKD = IMH ⇒ IM ⊥ DK (Đpcm) [ĐỀ NGHỊ THI CHỌN HSG VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ LỚP 11 - Trêng T.H.P.T Chuyªn Th¸i B×nh.N¨m häc 2013-2014 ] www.thuvienhoclieu.com Page 9 www.thuvienhoclieu.com Cho tam giác ABC vuông tại A Hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho BC thuộc và thuộc K = BN ∩ MQ; L = CM ∩ NP; X = MP ∩ NQ; Y = KP ∩ LQ 2) thuộc AB N , P, Q AC 1) M Chứng minh rằng · · KAB = LAC XY luôn đi qua một điểm cố định Hướng dẫn giải 1) Lấy U,V theo thứ tự thuộc AK,AL sao cho · · ABU = ACV = 90° (h.1) A M N K B L Q C P V U (h.2.1) Ta có: BU BU NA MA BK BA ML BQ BA MN = = = CV NA MA CV NK CA CL NM CA CP = BQ CA NP BA CA BA BA = = MQ BA CP CA BA CA CA Do đó các tam giác Vậy ABU, ACV · · KAB = LAC 2) Đặt Z = ML ∩ NK Theo định lí Pappus: Gọi đồng dạng H X,Y ,Z là hình chiếu của Dễ thấy A, Z, O, F (h.2.2) A thẳng hàng trên thẳng hàng; ( 1) BC O, F, E BC MN,AH ; theo thứ tự là trung điểm của , E, X, O thẳng hàng; www.thuvienhoclieu.com FX / / AH Page 10 www.thuvienhoclieu.com ; Ta có: uuu uuu r r uuur  AB = ( 2m − 8; m + 2 ) uuur  7 AB.HC = 0 HC =  − 2m; 4 − m ÷ 2  ⇒ (m − 4)(5 − 5m) = 0 ⇔ m = 4; m = 1 Vậy có B(2; 4), C ( −4;1) hoặc B(−4;1), C (2; 4) Kẻ đường kính AK của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC Tứ giác BHCK có BH//KC và BK//HC nên BHCK là hình bình hành Suy ra: HK và BC cắt nhau tại M là trung điểm của BC và M cũng là trung điểm của HK Ta có , Bán kính 1 15 5 1    5  R = AK = H  ;1÷ M  −1; ÷ ⇒ K  − ; 4 ÷ 2 4 2 2    2  LOẠI 7:Hình học Oxy về đường tròn Câu 4 Trong mặt phẳng toạ độ có phương trình với Oxy , viết phương trình đường tròn ( C' ) là ảnh của của đường tròn ( C ) qua phép đối xứng trục Đ , ∆ x + y − 2x + 4y − 4 = 0 2 ∆ : x + y− 2 = 0 2 (Trường THPT Quế Võ ) LOẠI 8: Các bài toán khác Câu 5 Cho điểm ∆ABC Phân giác trong của các góc A1 , B1 , C1 đường thẳng Đường thẳng BC tại điểm N AA1 BM = MN HDG:* Dễ thấy * và cắt đường thẳng ; đường thẳng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Biết rằng IPC1 · BAC = 2 ·ABC 0 · IPC 1 = 90 A , B ,C BB1 cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại các CC1 tại điểm cắt đường thẳng Đường thẳng OP I ; đường thẳng A1C1 tại điểm cắt đường thẳng BC P AA1 Gọi O là tại điểm M Tính các góc của tam giác ABC (chuyên Vĩnh Phúc) , do đó O là trung điểm của IC1 · · P = CAB · · B ⇒ BC // OP IOP = 2 IC = CC 1 1 1 * Do BM=MN; cắt OI = OC1 ⇒ IN // C1B Do đó · · CIA 1 = BAC www.thuvienhoclieu.com , mà ( 1 · · CIA BAC + ·ACB 1 = 2 Page 175 ) www.thuvienhoclieu.com Vậy ( ) 1 · · · BAC = BAC + ·ACB ⇒ BAC = ·ACB 2 Cùng với · BAC = 2 ·ABC ta được · BAC = ·ACB = 720 ; ·ABC = 360 Loại 8: Các bài toán khác Câu 1 [SỞ THỪA THIÊN HUẾ ( Bảng A-Vòng 1)- năm học 1999-2000] Tập hợp M gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng sao cho với mọi điểm X thuộc M tồn tại đúng 4 điểm thuộc M có khoảng cách đến X bằng 1 Hỏi tập hợp Mcó thể chứa ít nhất là bao nhiêu phần tử? Lời giải Rõ ràng có ít nhất hai điểm P,Q thuộc M sao cho PQ ≠ 1 Ký hiệu MP={X∈M/PX=1} Từ giả thiết |MP|=4 ta có: |Mp∩Mq|≤2 Nếu tồn tại P, Q sao cho |Mp∩Mq|≤1 thì M chứa ít nhất 9 điểm Trường hợp với mọi P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |Mp ∩ Mq| = 2 Khi đó Mp∩Mq={R,S}, lúc đó MP={R,S,T,U} và Mq={R,S,V,W} và giả sử M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ 1 Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy ra Mt∩Mq=Mu∩Mq={V,W} suy ra T hay U trùng với Q, vô lý Nếu TR,TS,UR,US có một số bằng 1: Không giảm đi tính tổng quát, giả sử TV = 1 lúc đó TS ≠ 1 và TV=1 hay TW=1 Giả sử TV=1 lúc đó TW≠1 suy ra TU = 1, và Mt = {P,R,U,V} và Mu={P,T,V,W} lúc đó UTV, RPT,UTV là các tam giác đều cạnh 1, ta có hình 1 Điều này mâu thuẫn vì VR>2 Vậy M chứa ít nhất là 9 điểm Dấu bằng xảy ra với hình2 Vậy M có thể chứa ít nhất là 9 điểm A5 V Câu 2 T R A9 A6 [Trường THPT Trần Nguyên Hãn- Hải Phòng- năm học 2008-2009] A1 A2 Cho tam giácUđều ABC: P A3 M là điểm nằm trong tam giác sao cho Hãy tính góc 2 2 MA2 = MB A8 + MC A7 · BMC Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) sao cho tứ diện SABC A4 đều, gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm P, Q sao cho PQ // BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1 Câu 3 [Trường THPT Trần Nguyên Hãn- Hải Phòng- năm học 2008-2009] Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA+MB+MC nhỏ nhất Lời giải Dùng phép quay quanh A với góc quay 60 biến M thành M’; C thành C’ 0 www.thuvienhoclieu.com Page 176 www.thuvienhoclieu.com Câu 4 Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200 Ta được vị trí của M trong tam giác ABC [Trường THPT Chuyên Biên Hòa- Tỉnh Hà Nam] Cho đường tròn(O) có đường kính AB, P là điểm bất kì trên đường tròn, K là hình chiếu của P trên AB, R đối xứng với P qua AB H bất kì trên AB RH cắt lại (O) tại Q Gọi đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với HP,HQ và đường tròn (O) Chứng minh: =+ Lời giải Gọi T là tiếp điểm của (I) và HQ J là điểm∈ IH sao cho HJ = HT PQ cắt AB tại X, AP cắt BQ tại W AQ cắt PB tại J’ ⇒ J’ là trực tâm ∆ WAB ⇒ H,J,I,W thẳng hàng ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ AJ B = J AB + APB = J AP + 90 = J HP+ 90 0 ' ' ' 0 ∧ ' ∧ = 90 0 − HIT + 90 0 = 180 0 − HIT ∧ ' ∧ ⇒ AJ B + HIT = 180 0 tan ∧ tan( ∧ = ∧ AJH + BJH ) AJB = ∧ = ∧ tan AJH + tan BJH ∧ ∧ 1 − tan AJH tan BJH = = AH BH + HJ HJ AH BH 1− HJ HJ ( AH + BH ) HJ 2 R.HJ 2 R.HJ = = 2 2 2 HJ − HA.HB HT − HA.HB HI − r 2 − R 2 + OH 2 2 R.HJ 2 R.HJ 2 R.HJ HJ HT = = = − = − 2 2 2 2 r r OI − R − r ( R − r ) − R 2 − r 2 − 2 Rr ∧ ∧ ⇒ AJB + HIT =1800 ⇒ ∧ =-tan ∧ AJB = AJ ' B Hai tam giác HKR và HTI đồng dạng với nhau nên ta có BH HJ HT IH r = = = = BK PK RK HK HK www.thuvienhoclieu.com 1 BK BH + BK 1 1 ⇒ = = = + r BH BK BH HK HB HK Page 177 ∧ HIT www.thuvienhoclieu.com LOẠI 8: Các bài toán khác Câu 5 [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH NAM ĐỊNH -2005] Biết rằng số đo ba góc trong của tam giác lập thành một cấp số nhân với công bội q=2 ABC Gọi ( O; R ) là đường tròn ngoại tiếp và 1) Tính độ dài đoạn 2) Biêt R = 57 OG theo R G là trọng tâm của tam giác ABC , hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến chữ số sau dấu 5 phảy) Câu 6 [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH NAM ĐỊNH -2004] Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi có: ABCD AB = BC = CD = a 1) Nếu biết ∠ABC = ∠BCD = 120 2) Giả sử tứ giác ABCD của diện tích tứ giác Câu 7 o Hãy tính diện tích tứ giác thay đổi, mà AB = BC = CD = a ABCD theo a không đổi Hãy tìm giá trị lớn nhất ABCD [THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐÒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013-2014] Cho và một điểm nằm ngoài Chứng minh rằng các đường chéo của bất kì hình P ( O) ( O) thang nào nội tiếp ( O) mà hai cạnh bên kéo dài gặp nhau tại P đều cắt nhau tại một điểm cố định Hướng dẫn giải Gọi I Ta có Do là giao điểm của AC và BD ⇒ I ∈ OP · · IOD = PBI · = IDO · · IPB = 900 − BCD www.thuvienhoclieu.com Page 178 www.thuvienhoclieu.com ⇒VPDO : VPIB ⇒ hay ⇒ PP /( O ) = PI PO Câu 8 PD PO = ⇒ PD.PB = PI PO PI PB I cố định [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN ] Cho tam giác đều khác A ) Đường thẳng đi qua hình chiếu của trên M a) Các tiếp tuyến của OD, OE nội tiếp đường tròn ABC cắt OB và vuông góc với H H là một điểm di động trên đoạn OA cắt cung nhỏ AB tại ( O; R ) F và A G và cắt tiếp tuyến tại B Chứng minh b) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB M của OD.GF = OG.DE theo ( O; R ) R Lời giải Có tứ giác AOMD sđ nội tiếp ( 1) ; sđ ¼ ¶ ¼ ¶ = 1 BM ¶ = 1 BM A O1 = O 1 2 2 2 ¶ =O ¶ ⇒ ⇒A 1 1 Từ ( 1) và ( 2) tứ giác AMGO ta có năm điểm nội tiếp ( 2) A, D, G , M , O cùng nằm trên một đường tròn ¶ =D ¶ =D ¶ ⇒G 1 2 1 ⇒ ∆OGF và ∆ODE tại M ( OA H Gọi K là lần lượt tại AB ( O; R ) đồng dạng www.thuvienhoclieu.com Page 179 lần lượt tại D, E www.thuvienhoclieu.com hay OG GF ⇒ = OD DE Trên đoạn OD.GF = OG.DE lấy điểm MC ⇒ ∆AMA ' MA′ = MA ( A′ sao cho đều ) ¶ =A ¶ = 600 − BAA' · ⇒A 1 2 ⇒ ∆MAB = ∆A 'AC ⇒ MB = A 'C ⇒ MA + MB = MC Chu vi tam giác MAB Đẳng thức xảy ra khi là trung điểm đoạn là MC MA + MB + AB = MC + AB ≤ 2R + AB là đường kính của I là giao điểm của AO và BC Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác Câu 9 => M là điểm chính giữa cung AM => H AO Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác Gọi ( O) MAB là 2R + AB 3 AB 3 ⇒ AI = R = ⇒ AB = R 3 2 2 MAB là 2 R + AB = (2 + 3) R [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH SƠN LA ] Cho tam giác vuông tại có là đường cao là điểm tùy ý thuộc đoạn ( A AH M AH M ABC khác CM A và H ); gọi kéo dài sao cho P P là điểm thuộc BM kéo dài sao cho CP = CA và Q là điểm thuộc tia ; cắt tại Chứng minh rằng BQ = BA CP BQ E EP = EQ Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Page 180 www.thuvienhoclieu.com Gọi G và D lần lượt là giao điểm của là giao điểm của BC BD và là đường kính của trực tâm của tam giác CG Suy ra góc Suy ra góc , là hai đường cao của tam giác , do đó là M CD BG IBC IBC ⇒ IM ⊥ BC ⇒ I , A, M , H thẳng hàng BQ BC = BH BQ , đồng dạng BQH BCQ ∠BQI = 90o Từ (1) và (2) và và QI 2 = ID.IB ∠CPI = 90o IB.ID = IG.IC và suy ra tứ giác BQIH là tứ giác nội tiếp (1) PI 2 = IG.IC ( do tứ giác (2) nội tiếp) nên BDGC QI = IP [THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2013 - 2014 ] Gọi cắt AD, BE , CF EF tại K là ba đường phân giác trong của tam giác Đường thẳng qua minh rằng: MN ≥ Câu 11 nên ∠BQH = ∠BCQ = ∠BCD = ∠BIH Tương tự ta có: góc Câu 10 ( ABC ) BQ2 = BA 2 = BH.BC ⇒ Suy ra hai tam giác , với đường tròn ngoại tiếp tam giác ; I BM CM ABC I K song song với BC cắt ABC vuông ở AB, AC A Đoạn thẳng lần lượt ở M,N AD Chứng 2− 2 ( AB + AC ) 2 [THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 11NĂM HỌC 2011-2012 ] Qua một điểm nằm trong tam giác kẻ 3 đường thẳng song song với các cạnh của tam giác Các đường thẳng này chia tam giác thành 6 phần, trong đó có 3 tam giác với các diện tích là , ; Tính diện tích của tam giác đã cho theo S1 = 15, 7845 cm 2 S2 = 16,7214 cm 2 S3 = 21,5642 cm 2 S1, S2, S3 Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Page 181 www.thuvienhoclieu.com 2 hay S1  NP  = ÷ S ABC  BC  S1 S ABC = NP BC Tương tự, S2 S ABC Từ đó S3 FE PC DF BN = ; = = BC BC S ABC BC BC = S1 + S2 + S3 S ABC Suy ra BN + NP + PC =1 BC S ABC = S1 + S 2 + S3 Hay S ABC = ( S1 + S 2 + S3 Thay số ta có: S ABC = Câu 12 = ( ) 2 ) S1 + S2 + S3 2 = 161,4394 cm 2 [THI HSG TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG- BÌNH ĐỊNH 2006-2007] T ìm điểm trong tam giác nhọn cho trước để bé nhất M 3MA + 4MB + 5MC ABC Lời giải Dựng tam giác M XYZ nhìn các đoạn ngoại tiếp tam giác BC , CA ABC các góc bù góc có các cạnh tỷ lệ 3: 4 : 5 X ,Y Z M A Sử dụng giao các cung chứa góc tìm được Câu 13 B M trong tam giác ABC [ĐỀ THI HSG VÒNG 1TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNGBÌNH ĐỊNH] X Y C www.thuvienhoclieu.com Page 182 www.thuvienhoclieu.com Cho các điểm M , N, P trong ba tam giác nằm trên các cạnh , , APM BMN CNP một phần tư diện tích tam giác ABC AB, BC , CA của tam giác ABC Chứng minh rằng có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng Lời giải S∆APM AM AP = S ∆ABC AB AC S ∆APM S ∆BMN S ∆CNP = Tương tự có AM BM BN CN CP AP 3 1 S ∆ABC ≤ S 3∆ABC 2 2 2 AB BC CA 4 Từ đó suy ra điều phải chứng minh Câu 14 [HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ.TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT – QUẢNG NGÃI NĂM 2016 ] Cho tam giác ABC thay đổi nhưng luôn là tam giác nhọn có tổng các bình phương các độ dài các cạnh là không đổi Gọi góc của D cao kẻ từ ABC B trên , AD AB, AC K của tam giác là đường phân giác trong, là giao điểm của ABC E, F , BF , CE H Tìm giá trị lớn nhất của tổng lần lượt là hình chiếu vuông là giao điểm của AK AH + BH + CH và đường khi tam giác thay đổi Lời giải Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của cách chứng minh Vì A′, F , E AA′, BF , CE A trên BC Ta chứng minh A, K , A′ đồng quy lần lượt thuộc các đoạn BC , CA, AB nên A' B FC EA A' B FC EA A' B A' A FC DF EA DE =− ' = −( ' ' ).( ).( ) A C FA EB A A A C DF FA DE EB A' C FA EB www.thuvienhoclieu.com Page 183 thẳng hàng bằng www.thuvienhoclieu.com = −(cot B.tan C ).(cot C DE EA ).( tan B) = −1 EA DE A E K B F C D A’ Do đó theo định lý Ceva, AA′, BF , CE đồng quy hoặc song song Mà ba đường thẳng này không thể song song nên chúng đồng quy hay , do đó, Gọi H là trực tâm của tam giác BB′, CC ′ dài các cạnh ABC nằm trên đường cao BC , CA, AB AA′ của tam giác là hai đường cao còn lại của tam giác ABC và a, b, c lần lượt là độ thì theo tính chất tứ giác nội tiếp ta có AH AA' = AC ' AB = (b cos C ).c = b2 + c2 − a2 2 Tương tự, có AH AA' = BH BB ' = CH CC ' = Lại có K a 2 + b2 + c 2 2 A' H B ' H C ' H AH BH CH + + = 1 hay + + =2 ' ' ' AA BB CC AA' BB ' CC ' nên ( AH + BH + CH ) 2 ≤ ( AH , AA' + BH BB ' + CH CC ' )( AH BH CH + + ) AA' BB ' CC ' = a2 + b2 + c2 Dấu “=” chỉ xảy ra khi ’ AA′ = BB′ = CC ′ , tức là tam giác www.thuvienhoclieu.com ABC đều Page 184 ABC www.thuvienhoclieu.com Vậy giá trị lớn nhất của tổng Câu 15 là AH + BH + CH a +b +c 2 2 2 [Ngân hàng đề Hùng Vương-Trường CHUYÊN BẮC GIANG – năm-Tỉnh BẮC GIANG] Cho tam giác nhọn không cân tại , là trung điểm cạnh , và tương ứng là B T F ABC AC E chân đường cao hạ từ , của tam giác là giao điểm của hai tiếp tuyến tại , của A C Z A C đường tròn ngoại tiếp tam giác và , là giao điểm của và , là giao điểm của ZA EF Y ABC X ZC EF a) Chứng minh rằng T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác rằng trực tâm của tam giác H ABC ABC và EBF nằm trên DT XYZ cắt nhau tại điểm thứ hai D Chứng minh c) Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ Hướng dẫn giải a) ZT Do đó là phân giác góc ·XAB = ·ACB = BFE · = ·AFX T và TA = TF là tâm đường tròn nội tiếp tam giác b)Giả sử tam giác Từ ·AZC BD AB < BC và ABC và DH song song với , khi đó L D là trung điểm của , do đó c) Chứng minh được góc  BH LO X và T nằm trên trung trực của AB Ta có được và DH Gọi BD song song O , do và là tâm đường tròn ngoại tiếp LO OLHT vuông góc là hình bình hành nên , , thẳng hàng D H T ·ADT = ·AXT AF XYZ nằm trên cung nhỏ vuông góc, ta được HT , từ đó và TY là đường trung trực của www.thuvienhoclieu.com Page 185  DC LO www.thuvienhoclieu.com Chứng minh được góc Do đó góc · · CDT = CYT nên CTDY là tứ giác nội tiếp ·XDY + ·XZY = ·XDT + TDY · · · · · + XZY = ZAT + ZCT + XZY = 180o , do đó DXZY là tứ giác nội tiếp Câu 16 [KỲ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X- NĂM 2014- TRƯỜNG CHUYÊN HÀ GIANG] Các đường phân giác trong của tam giác có chu vi cắt các đoạn thẳng p ABC AA1 , BB1,CC1 B1C1 , C1A1, A1 B1 tương ứng tại A2 , B2 , C2 A Các đường thẳng qua A2 song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại A3, A4 Đường thẳng qua B2 song song với AC cắt BC, BA theo thứ tự tại B 3, B4 Đường thẳng qua C2 song song với AB cắt CA, CB theo thứ tự tại C3, C4 Chứng minh rằng: AB4+BC4+CA4+BA3+CB3+AC3 ≤ p Đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải Đặt BC = a, AC = b, BA = c, p = a+b +c Vì A3A4 || BC nên theo định lí Talet ta có: BA3 CA4 A1 A2 BA + CA4 AA = = ⇔ 3 = 1− 2 AB AC AA1 b+c AA1 Áp dụng tính chất đường phân C1 A AC CA AC AB AC c.b = ⇔ 1 = ⇒ C1 A = = C1 B BC AB AC + BC AC + BC a + b Tương tự: AB1 = giác trong c.b a+c Sử dụng công thức đường phân giác cho tam giác ABC và tam giác A1B1C1 AA1 = A A 2 AB1.AC1 cos 2 ; AA = 2 2 b+c AB1 + AC1 2c.b cos Do đó: AA2 b+c = AA1 2a + b + c (2) Từ (1) và (2) ta có: www.thuvienhoclieu.com Page 186 góc (1) C: www.thuvienhoclieu.com BA3 + CA4 b+c 2a = 1− = b+c 2a + b + c 2a + b + c Từ đó, theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta nhận được:  2a + (b + c) 2   ÷ 2 2a (b + c)   = 2a + b + c BA3 + CA4 = ≤ 2a + b + c 2a + b + c 4 Hoàn toàn tương tự: 2b + c + a AB4 + CB3 ≤ 4 (4); (3) 2c + b + a BC4 + AC3 ≤ 4 (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra:AB4+BC4+CA4+BA3+CB3+AC3 a +b+c= p(đpcm) ≤ Dấu bằng xảy ra khi a = b =c LOẠI 8: Các bài toán khác Câu 17 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, có trọng tâm G nằm trong hình tròn tâm I Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P= a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Hướng dẫn giải  Tìm giá trị nhỏ nhất: T ừ BĐT: (a − b) 2 + (b − c ) 2 + (c − a ) 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca Từ đó P= a 2 + b2 + c2 ≥1 ab + bc + ca Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Do đó giá trị của biểu thức P bằng 1, đạt được khi và chỉ khi tam giác ABC đều  Tìm giá trị lớn nhất: G ọi p v à r theo thứ tự là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có: IA2 + IB 2 + IC 2 = ( p − a )2 + ( p − b )2 + ( p − c ) 2 + 3r 2 (1) Ta lại có: uur uuu r uur uuur uur uuur IA2 + IB 2 + IC 2 = ( IG + GA) 2 + ( IG + GB ) 2 + ( IG + GC ) 2 = 3IG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 (2) www.thuvienhoclieu.com Page 187 www.thuvienhoclieu.com ( Do uuu r uuur uuur r ) GA + GB + GC = 0 Từ (1) và (2) và để ý rằng: GA2 + GB 2 + GC 2 = a +b +c 3 2 2 2 (theo công thức đường trung tuyến trong tam giác), ta thấy a 2 + b2 + c 2 ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) + 3r = 3IG + (3) 3 2 2 2 2 Vì I nằm trong hình tròn (I) nên ( p − a ) 2 + ( p − b) 2 + ( p − c ) 2 ≤ 2 IG ≤ r Từ (3) suy ra a2 + b2 + c2 3 3 a 2 + b2 + c 2 (a + b + c) 2 − ( a + b + c) 2 + ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 4 3 2 2 2 ⇔ 5( a + b + c ) ≤ 6( ab + bc + ca ) ⇔ Do đó P≤ 6 5 Đẳng thức xảy ra khi IG = r Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 6 5 đạt được khi G nằm trên đường tròn tâm I Câu 18 [TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG ĐỀ ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG] Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam giác sao cho > và · ·MBA MCA · · MBC > MCB Giả sử BM và CM lần lượt cắt AC và AB tại P, Q, chứng minh rằng BP < CQ Hướng dẫn giải Ta thấy AB, CD, MN lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (AOB) và (O); (AOB) và (COD); (COD) và (O) nên AB, CD, OM đồng quy tại tâm đẳng phương S SO cắt (O) tại E, F Ta có SE.SF = SA.SB = SM SO và O là trung điểm EF nên theo hệ thức Maclaurin, ta có (SMEF) = -1, do đó M thuộc đường đối cực của S (1) Mà I cũng thuộc đường đối cực của S (2) www.thuvienhoclieu.com Page 188 www.thuvienhoclieu.com Từ (1) và (2) suy ra IM là đường đối cực của S, do đó góc IMO bằng 90 o Tương tự góc INO bằng 90o, ta có đpcm Câu 19 Cho tam giác tích tam giác ABC ABC có độ dài các đường cao BB′ = 5; CC ′ = 2 và 2 · ′= cos CBB 5 Tính diện Hướng dẫn giải Xét hai trường hợp: +) B và C không tù Khi đó 2 2 1 ⇒ sin C = , cos C = 5 5 5 BB ' 5 BC = = cos ∠CBB ' 2 cos ∠CBB ' = Suy ra sin B = CC ' 4 3 = , cos B = BC 5 5 ⇒ sin A = sin B cos C + sin C cos B = 2 BB ' 5 1 5 ⇒ AB = = ⇒ S = AB.CC ' = sin A 2 2 2 5 +) B hoặc C tù Do BB ' > CC ' Còn Câu 20 nên B 0 Suy ra S= và điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của Tìm vị trí của điểm sao cho M  MX + MY + MZ + MT nhất, nhỏ nhất? Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com M Page 189 M 25 2 di chuyển lên các đường đạt giá trị lớn ... = CK » ⇔ LM » = FQ » ⇒ DE (tính chất phép vị tự) www. thuvienhoclieu. com Page 20 www. thuvienhoclieu. com · · ⇒ DEC = QFC (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn hai cung nhau) DE = QF M C L Q D K F... GP, BE , CF Hướng dẫn giải www. thuvienhoclieu. com Page 12 đồng quy E, F www. thuvienhoclieu. com Gọi AD PE , PF đường kính cắt DB, DC ( O) , dễ thấy K , L; EF Theo định lý Desargues để chứng minh... ≠ R, Q ≠ R BR, CR BQ CP ( ) tương ứng giao với Hai đường thẳng cắt www. thuvienhoclieu. com Page www. thuvienhoclieu. com ( CDE ) X QR Đường tròn cắt PM , Q N , RX minh đồng quy Hướng dẫn giải