Tiểu luận môn: Vận dụng các quan điểm triết học duy vật biện chứng vào dạy học môn toán của lớp cao học toán trình bày về việc vận dụng triết học trong dạy học toán. Tên đề tài: Vận dụng các cặp phạm trù cái chung – cái riêng, nội dung – hình thức và nguyên nhân – kết quả của triết học duy vật biện chứng trong dạy học toán Nội dung: Tìm giải pháp vận dụng một số quan điểm triết học duy vật biện chứng thông qua khai thác các cặp phạm trù cái chung – cái riêng, nội dung – hình thức và nguyên nhân – kết quả vào hoạt động nhận thức toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC Tiểu luận môn: Vận dụng quan điểm triết học vật biện chứng vào dạy học mơn tốn Vận dụng cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết triết học vật biện chứng dạy học toán GV hướng dẫn : TS Phan Anh Tài Học viên : Trương Ngọc Quang Mã số học viên : CH09161015 Mã số học phần : PTQT708 Học viên cao học khóa 16.1 chuyên ngành LL&PP DH BM Toán Mã số chuyên ngành: 60140111 TP.HCM - 2017 Danh mục chữ viết tắt Viết tắt Viết đầy đủ BĐT : Bất đẳng thức CTLMĐ : Câu trả lời mong đợi GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ GV : Giáo viên HS : Học sinh THPT : Trung học phổ thông MỤC LỤC Trang phụ bìa Danh mục chữ viết tắt Mục lục MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương Cở sở lí luận thực tiễn 1.1 Một số kiến thức sở triết học vật biện chứng 1.1.1 khái niệm phép biện chứng vật 1.1.2 Hai nguyên lí phép biện chứng vật 1.1.2.1 Nguyên lí mối quan hệ phổ biến 1.1.2.2 Nguyên lí phát triển phép biện chứng vật 1.1.3 Ba quy luật phép biện chứng vật 1.1.4 Các cặp phạm trù phép biện chứng vật 1.2 Vận dụng cặp phạm trù triết học vật biện chứng dạy học toán học 1.2.1 Quan điểm biện chứng mối liên hệ chung riêng vận dụng dạy học toán 1.1.2.1 Khái niệm 1.1.2.2 Mối quan hệ chung riêng thể dạy học toán 1.2.2 Quan điểm biện chứng mối liên hệ nội dung hình thức vận dụng dạy học tốn 1.1.2.1 Khái niệm 1.1.2.2 Mối quan hệ nội dung hình thức thể dạy học toán 1.2.3 Quan điểm biện chứng mối liên hệ nguyên nhân kết vận dụng dạy học toán 1.1.2.1 Khái niệm 1.1.2.2 Mối quan hệ nguyên nhân kết thể dạy học toán Chương Vận dụng tư tưởng phép biện chứng mối quan hệ cặp phạm trù vào hoạt động nhận thức toán học 2.1 Tư tưởng phép biện chứng mối quan hệ chung riêng hoạt động nhận thức toán học 2.2 Tư tưởng phép biện chứng mối quan hệ nội dung hình thức hoạt động nhận thức toán học 2.3 Tư tưởng phép biện chứng mối quan hệ nguyên nhân kết hoạt động nhận thức toán học KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biện chứng vật nghiên cứu quy luật phổ biến tác động tất lĩnh vực tự nhiên, xã hội tư người Các quy luật phép biện chứng vật phản ánh vận động, phát triển giới phương diện Các quan điểm triết học vật biện chứng sở phương pháp luận nhận thức khoa học Hêghen, người khởi xướng phép biện chứng (duy tâm) khẳng định “Phép biện chứng lí luận mối liên hệ phổ biến, môn khoa học quy luật phổ biến vận động phát triển tự nhiên, xã hội loài người giới” Là người theo trường phái triết học vật, V.I Lênin nhấn mạnh: phép biện chứng học thuyết sâu sắc nhất, không phiến diện phát triển Những người theo quan điểm biện chứng xem giới chỉnh thể thống vật, tượng, quy luật cấu thành giới vừa tách biệt vừa có mối quan hệ qua lại thâm nhập chuyển hóa lẫn Từ việc nghiên cứu quan điểm vật biện chứng (nội dung chủ yếu bao gồm hai nguyên lý, ba quy luật sáu cặp phạm trù) cần rút phương pháp luận vận dụng trình nhận thức hoạt động thực tiễn Dạy học nói chung, dạy học giải tập tốn nói riêng, q trình hoạt động vủa giáo viên học sinh mà mục tiêu phát triển lực nhận thức học sinh, hình thành phát triển phẩm chất tâm lý nhân cách, phát triển lực hoạt động thực tiễn cho học sinh Để đạt mục tiêu đó, việc vận dụng cách hợp lý quan điểm triết học vật biện chứng nói chung, khai thác cặp phạm trù triết học vật biện chứng nói riêng, định hướng phù hợp với lý thuyết dạy học Toán học khoa học suy diễn với tính khái quát, trừu tượng cao Các cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết có nhiều tiềm khai thác vào việc phát triển lực tư học sinh Khi tiến hành hoạt động giải tốn nói chung, học sinh cần thực thao tác tư đa dạng Việc vận dụng cách thích hợp phương pháp luận nhận thức rút từ cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết giúp học sinh có nhiều hội phát triển lực giải tốn phát triển tư Chúng tơi nhận thấy việc khai thác số cặp phạm trù cụ thể (cái chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết quả) vào hoạt động dạy học hay hoạt động nhận thức toán học đề tài hấp dẫn chúng tơi Vì lý trên, chọn đề tài: “Vận dụng cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết triết học vật biện chứng dạy học toán” Trang 2 Mục đích nghiên cứu Tìm giải pháp vận dụng số quan điểm triết học vật biện chứng thông qua khai thác cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết vào hoạt động nhận thức toán học nhằm phát triển tư cho học sinh, qua góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm quy luật có liên quan đến cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết triết học Nghiên cứu hoạt động dạy học giải tốn có vận dụng ý nghĩa phương pháp luận cặp phạm trù 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận có liên quan đến cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết Tìm hiểu số yếu tố ảnh hưởng đến lực tư thông qua dạy học trung học phổ thông đề xuất phương pháp chủ đạo dạy học để rèn luyện cho học sinh, góp phần bồi dưỡng kiểu tư Giả thuyết khoa học Trên sở chương trình sách giáo khoa mơn Tốn trung học phổ thơng hành, dạy học mơn Tốn giáo viên quan tâm vận dụng phương pháp luận rút từ cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết triết học vật biện chứng cách thích hợp góp phần bồi dưỡng lực giải tốn phát triển tư cho học sinh trường trung học phổ thơng, qua góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu quan điểm triết học vật biện chứng vận dụng vào trình phát triển nhận thức học sinh dạy học 5.2 Nghiên cứu số vấn đề lý luận dạy học giải tốn trường trung học phổ thơng 5.3 Nghiên cứu biểu cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết nội dung mơn Tốn trung học phổ thông Trang 5.4 Đề xuất số biện pháp khai thác cặp phạm trù vào trình dạy học sinh giải tập Toán phát triển kiểu tư từ tập học Phương pháp nghiên cứu 6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu tâm lý học, lý luận dạy học, phương pháp dạy học mơn Tốn, nhằm hệ thống hóa sở lý luận việc khai thác cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết giúp đỡ học sinh giải tập toán phát triển tư cho học sinh trường trung học phổ thông 6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Đánh giá thực trạng để hướng dẫn học sinh giải Tốn nói chung trường THPT qua hình thức dự giờ, quan sát, điều tra Trang Chương Cở sở lí luận thực tiễn Triết học có tác động lớn hình thành phát triển toán học Triết học cung cấp giới quan khoa học phương pháp luận vật biện chứng nhằm định hướng cung cấp công cụ nhận thức cho phát triển toán học Đây quan niệm kinh điển mà ta không bàn thêm tính đắn Sau khai thác vài khía cạnh cần thiết việc nhận thức toán học 1.1 Một số kiến thức sở triết học vật biện chứng 1.1.1 Khái niệm phép biện chứng vật Thuật ngữ phép biện chứng vật bao gồm hai yếu tố cấu thành, phép biện chứng Hêghen đề xuất quan điểm vật triết học có từ thời xa xưa liên tục tồn tại, phát triển đến ngày Phép biện chứng vật nói giản đơn cách thức xem xét cách biện chứng vật, tượng giới khách quan theo quan điểm vật Phép biện chứng vật kết hợp hai thành tựu tiến triết học vào kỷ XIX trở thành công cụ hữu hiệu để nhận thức giới cách khoa học Phép biện chứng vật thống hữu nhận thức lí luận phương pháp phân tích thực tiễn Hệ thống quy luật, phạm trù khơng phản ánh đắn giới khách quan mà cách thức để định hướng cho người nhận thức giới cải tạo giới Phép biện chứng vật không khái quát thành tựu tất khoa học cụ thể, mà kết tinh tinh hoa qúa trình phát triển tư tưởng triết học nhân loại Phép biện chứng vật trình bày cách có hệ thống, chặt chẽ tính chất biện chứng giới thơng qua phạm trù quy luật chung giới (tự nhiên, xã hội tư duy) Phép biện chứng vật gồm hai nguyên lí bản, cặp phạm trù nguyên lí bản, vừa lí luận vật biện chứng, vừa lí luận nhận thức khoa học, vừa logic học chủ nghĩa Mác Ở có thống phép biện chứng vật, lí luận nhận thức logic học Phép biện chứng vật Trang trở thành phương pháp luận chung nhận thức khoa học thực tiễn cách mạng Trong vạch tính chất biện chứng chung giới, thông qua phạm trù, quy luật chung vận động phát triển tự nhiên, xã hội, tư duy, phép biện chứng vật rút quan điểm, nguyên tắc xuất phát để đạo việc hoạch định phương pháp cho hoạt động người Đi sâu vào nguyên lí, phạm trù quy luật phép biện chứng vật, thấy rõ thống chặt chẽ giũa nhận thức lí luận phương pháp phân tích thực tiễn phép biện chứng 1.1.2 Hai nguyên lí phép biện chứng vật 1.1.2.1 Nguyên lí mối liên hệ phổ biến Nguyên lí mối liên hệ phổ biến phép biện chứng vật khái quát tranh toàn cảnh chằng chịt mối liên hệ giới (tự nhiên, xã hội tư duy) Tính chất vơ hạn giới, tính chất có hạn vật, tượng, q trình giải thích mối liên hệ phổ biến định nhiều loại mối liên hệ có vai trò vị trí khác Sự liên hệ phổ biến đặc trưng phổ quát giới Vì quán triệt quan điểm toàn diện nguyên tắc phương pháp luận chung đạo hoạt động suy nghĩ người Nội dung nguyên tắc là: ⦁ Phải xem xét tồn diện mối liên hệ ⦁ Trong tổng số mối liên hệ phải rút mối liên hệ chất, chủ yếu để hiểu thấu chất vật ⦁ Từ chất vật phải quay lại để hiểu rõ toàn vật sở liên kết mối liên hệ chất, chủ yếu với tất mối liên hệ khác vật để đảm bảo tính đồng giải vấn đề đời sống Quan điềm toàn diện, đối lập với suy nghĩ hành động phiến diện, chiết trung, siêu hình Lí luận cặp phạm trù quy luật phép biện chứng vật cụ thể hóa thêm ngun lí mối liên hệ phổ biến phát triển Ở cần phân biệt Trang 22 Phương thức 1: Bằng cách khác lựa chọn hình thức thích hợp với nội dung thuận lợi cho việc huy động kiến thức tiến trình hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động điều ứng hoạt động phát kiến thức Ví dụ 2.1.1: Có thể mơ tả mối quan hệ nội dung “Điểm I trung điểm đoạn thẳng MN” theo sáu hình thức sau: M, N, I thẳng hàng IM = IN ĐI: M N (N ảnh M qua phép đối xứng tâm I) uuur uur IM IN V(I, -1): M N (phép vị tự V(I, -1) biến M thành N) I tâm hình bình hành MANB IJ đường trung bình tam giác MNP; J trung điểm MP Từ xét tình cụ thể sau: “Cho góc xOy điểm I thuộc miền góc Dựng đường thẳng d qua I cắt cạnh Ox, Oy góc điểm M, N đoạn MN nhận I làm trung điểm” y’ d x M K O’ I O N y x’ Đối tượng hoạt động nhận thức tình là: Phương pháp dựng đường thẳng qua I cắt hai nửa đường thẳng giao M, N cho IM = IN; tri thức tri thức phương pháp – sản phẩm hoạt động Nếu xem I tâm hình bình hành có M, N hai đỉnh đối diện cần định hướng cho HS hoạt động tạo hình bình hành: Xác định O’ đường thẳng OI Trang 23 cho OI = IO’, O’ nằm khác phía O I dựng qua O’ đường thẳng song song với Oy Ox Khi ta xác định M, N; M giao điểm O’y’ với Ox, N giao điểm Oy với O’x’ Nếu thay đổi hình thức diễn đạt nội dung I trung điểm đoạn MN M ảnh đối xứng N qua qua phép đối xứng tâm I dựng M cách: Dựng ảnh O’y’ Oy qua phép đối xứng tâm I M = Ox O’y’ từ dựng đường thẳng d qua I, M Nếu xem hinhg thức diễn đạt nội dung I trung điểm đoạn MN qua phép vị tự V(I, - 1): N M khuyến khích HS giỏi hoạt động phát toán tổng quát với yêu cầu dựng đường thẳng d qua I cho d cắt Ox, Oy điểm uuur uur tương ứng M, N IM k IN (k > cho trước) Hướng dẫn HS tham gia hoạt động điều ứng thông qua hoạt động cấu trúc lại tri thức có: Vẽ đường thẳng IK // ON IK đường trung bình tam giác OMN; điểm K xác định giao đường thẳng qua I, song song với Oy Từ M điểm đối xứng O qua phép đối xứng tâm K Từ suy cách dựng d (đi qua M I) Phương thức 2: Phát mâu thuẫn hình thức khơng phù hợp với nội dung thúc đẩy hoạt động tư duy, tạo đối tượng cho hoạt động phát hiện, hoạt động biến đổi đối tượng hoạt động điều ứng Mâu thuẫn xảy khơng hình thức che lấp nội dung, hình thức biểu thị khơng bình thường mà xảy phương pháp, tri thức có học sinh xa lạ với hình thức biểu thị nội dung Ví dụ 2.2.1: Học sinh thường gặp chướng ngại sau giải tốn: “Tìm thể tích tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.” Chướng ngại bộc lộ chỗ học sinh không xác định vị trí chân đường cao vẽ từ đỉnh tứ diện, chân đường cao không thuộc điểm biết Từ học sinh khơng thể tính độ dài đường cao tứ diện theo a, b, c Trang 24 Để khắc phục chướng ngại đó, ta gợi mở cho học sinh cách quy lạ quen, cho học sinh thấy cặp cạnh đề cho cặp cạnh đối nên cặp đường chéo hình chữ nhật nằm mặt phẳng song song nhau, qua học sinh nhận thức cần dựng cặp mặt phẳng chứa cặp cạnh tứ diện song song nhau, cặp mặt phẳng song song cắt tạo thành hình hộp chữ nhật MANB.CPDQ mà học sinh biết cách tính thể tích (khi đó, tứ diện ABCD tứ diện nội tiếp hình hộp chữ nhật) Việc tìm thể tích tứ diện ABCD lấy thể tích hình hộp chữ nhật trừ tổng thể tích hình chóp có góc tam diện đỉnh vng tích Việc lại tìm mối quan hệ cạnh tứ diện với cạnh hình hộp chữ nhật mà học sinh dễ dàng nhận dùng định lí Pitago Ví dụ 2.2.2: Học sinh gặp khó khăn tương tự giải tốn sau đây: “Tìm thể tích tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c góc BAC = góc CAD = góc DAB = 600.” Ta giúp học sinh giải khó khăn gợi mở quy lạ quen, giúp học sinh tìm mối quan hệ tứ diện thường tứ diện nhận xét “các góc tam giác tứ diện đều 600”, từ nảy sinh ý định kéo dài cạnh chung đỉnh A cho dài cạnh dài Giả sử a = max{a, b, c} , ta gọi C’, D’ điểm tia AC, AD cho AC’ = AD’ = a Do góc: góc BAC = góc CAD = góc DAB = 600 nên suy ABC’D’ tứ diện đều, học sinh dễ dàng tính thể tích tứ diện quen thuộc theo a Học sinh dễ nhận toán quen thuộc: Trang 25 “Tìm tỉ số: thể tích tứ diện ABCD / thể tích tứ diện ABC’D’ “, từ suy thể tích tứ diện ABCD theo a, b, c b c � � VABCD VABC ' D ' � � a a � � Ví dụ 2.2.3: u cầu học sinh giải hệ phương trình: Thơng �x y z8 �9 9 �x y z �x10 y10 z10 � 1 Với x, y, z > thường, tiếp cận toán này, học sinh liên tưởng tới phương pháp đánh giá việc đánh giá gặp khó khăn Để hướng dẫn học sinh hoạt động nhận thức phát cách giải, giáo viên gợi mở quy lạ quen cách yêu cầu học sinh xét ý nghĩa hình học biểu thức vế trái hệ phương trình (1) nói Hoạt động nhắm giúp học sinh phát hiện: Vế trái phương trình hệ (1) bình r 4 phương vơ hướng u ( x ; y ; z ) Vế trái phương trình hệ (1) bình phương r 4 vơ hướng w ( x ; y ; z ) ta có hệ: r �u �r r �uw r �w � 3 1a , kết hợp với định nghĩa: Học sinh dễ dàng tìm r r rr r r r r uw u w cos(u,w) (1b) r r r r cos(u,w) � (u,w) Từ suy u w chiều, đó: �x x � r r u w � �y y � x y z �z z � Để khắc phục mâu thuẫn dạng tăng cường hoạt động nhận thức có hiệu cần ý cho học sinh vấn đề sau đây: Trang 26 - Khai thác nhiều tốt mối liên liên hệ bên nội dung toán học cách diễn đạt nội dung qua hình thức khác tăng cường khai thác ứng dụng kiến thức môn học vào môn học khác - Coi trọng mức nắm vững cân đối cú pháp ngữ nghĩa nắm khái niệm, quy tắc, định lí - Khi gặp tình hình thức nội dung khơng tương thích với kiến thức có học sinh cần phân tích, cố gắng làm bật phần nội dung, gạt bỏ phần hình thức; chẳng hạn giải phương trình s in 2018x cos2018 x x 20 x 102 Cần hướng dẫn học sinh phân tích kĩ vế trái vế phải chúng có hình thức khác Từ hướng dẫn học sinh đánh giá vế: s in 2018x cos2018 x �sin x cos x ( s inx �1;cos x �1) 2 Mặt khác: x 20 x 102 ( x 10) �2 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Phương thức 3: Hướng dẫn học sinh hoạt động khắc phục sai lầm không hiểu chất nội dung quan tâm đến hình thức Ví dụ 2.3.1: Học sinh tiến hành giải phương trình sau đây: 1) sin x 2sin x.cos4x � 2sin x.cosx 2sin x.cos4x � cosx cos4x x x k 2 � �� x 4 x k 2 � 2 � x k � �� ( k ��) 2 � xk � � 4sin x cos x cos x sin x � 2sin x cos x sin x � sin x sin x 2) cos x cos x x x k 2 � �� x x k 2 � 2 � xk � �� ( k ��) � x k � 5 Do học sinh biến đổi hình thức mà khơng ý: - Khi x k 2 2 2 xk xk hay hay sinx = nên chia vế cho 2sinx (bài 1) nhân vế cho 4sinx (bài 2) - Mặt khác sinx = có thêm nghiệm x = k nên việc chia vế cho sinx làm nghiệm phương trình 1) Hoặc làm dư nghiệm phương trình 2) Ví dụ 2.3.2: Xét sai lầm tính giới hạn hàm số học sinh chưa nắm khái niệm hàm số liên tục Giáo viên cho học sinh giải tốn sau: Tìm giới hạn (nếu có) hàm số f(x) x = trường hợp sau: a ) f ( x ) x 20 x 18 ; b) �x 20 x 17 x �1 f ( x) � 20 x 16 x � Học sinh vận dụng lí thuyết giải câu a) sau: a ) lim f ( x ) lim x 20 x 18 12 20.1 17 2018 x �1 x �1 Từ học sinh sử dụng hình thức để giải câu b) sau: lim f ( x ) 12 20.1 17 2018 f ( x ) x 20 x 18 b) Khi x = nên ta có x�1 Tuy nhiên, hàm khơng có giới hạn x = x tiến dần nghĩa x xung quanh gần tiến dần nên có khả xảy ra: x tiến từ phía bên phải (các x lớn gần 1) x tiến từ phía bên trái (các x nhỏ gần 1) Do ta phải xét: lim f ( x ) lim x 20 x 18 12 20.1 17 2018 x �1 x �1 lim f ( x ) lim(20 x 16) 20.1 16 2016 x �1 Vì x �1 lim f ( x ) �lim f ( x ) x �1 x �1 nên hàm số f(x) khơng có giới hạn x = Giáo viên khắc phục sai lầm cho học sinh, đồng thời nhấn mạnh: Nếu quan tâm đến hình thức mà khơng trọng nội dung dễ dẫn đến sai lầm không mong muốn Phương thức 4: Luyện tập cho học sinh biến đổi đối tượng cách chuyển hóa hình thức đối tượng cho phù hợp với nội dung để phát cách huy động kiến thức đắn hoạt động nhận thức Ví dụ 2.4.1: Đề xuất cho học sinh hoạt động xác định tham số a, b để hàm số y ax b x đạt GTLN GTNN – Xét toán với tư cách đối tượng hoạt động; y xác định với x có mặt x + nên ta hướng cho HS thay đổi hình thức đối tượng hoạt động – toán, nhờ hoạt động lượng giác hóa: Đặt x = tan Khi hàm y viết hình thức: y � a tan b � sin a b b � a b� cos a sin cos bcos 2 sin 2 cos2 + tan � cos 2 � 2 2 Sử dụng BĐT a b �a sin x b cos x � a b dẫn đến kết ymin b a b2 4 ; ymax b a b2 4 Từ việc tìm a, b quy việc giải hệ phương trình �ymin 1 � �ymax Tương tự, ta cho HS thơng qua hoạt động lượng giác hóa để tính tích A phân: �4 x 2 dx ; B �x 1dx Bằng cách đặt x = sinx , x dx ; C �2 x 1 cos x , x = tanx 2.3 Vận dụng tư tưởng phép biện chứng nguyên nhân kết vào hoạt động nhận thức dạy học toán Như biết, tư toán học nội dung, kiến thức toán học chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽ với nhau, nội dung biết tạo tiền đềvà giải thích cho xuất nội dung mới, nội dung xuất giải thích nguyên tồn kiến thức cũ Từ luận điểm triết học vận dụng mối liên hệ nhân vào hoạt động nhận thức toán học theo số phương thức sau đây: Phương thức 1: Xác định tri thức cội nguồn liên quan tới đối tượng nghiên cứu để phát cách huy động kiến thức hay nhóm kiến thức có để giải thích tình mới, nhận thức đối tượng Đứng trước toán, GV cần cho HS nghiên cứu kĩ giả thiết tốn (thường ngun nhân để sinh kết quả) Phải làm cho học sinh thấy mối liên hệ số, nhóm số hạng có mặt tốn đó, từ tác động vào để chúng để có kết mong đợi Ví dụ 3.1.1: Giải phương trình 2(tan x sin x ) 3(cot x cos x ) (1) Nguyên nhân xuất phát từ giả thiết đề cho ta thấy: Hệ số biểu thức 2(tan x sin x ) số 2; Hệ số biểu thức 3(cot x cos x ) số 3; Hệ số tự số Mà ta có: + = 5, từ đến lời giải toán sau: (1) � 2(tan x sin x ) 3(cot x cos x ) � 2(tan x sin x 1) 3(cot x cos x 1) sin x cos x sin x 1) 3( cos x 1) cos x sin x � (sin x cos x sin x cos x )( )0 cos x sin x � 2( Với điều kiện: sinx.cosx Đến HS giải phương trình này, từ suy kết lời giải toán Trong thực, mối quan hệ nhân biểu phức tạp, kết thường nguyên nhân, kết nhiều nguyên nhân tác động theo dạng phối hợp hay tác động riêng lẻ, nguyên nhân sinh nhiều kết Do đó, giải tập tốn ta cần rèn luyện cho học sinh biết nhìn tốn nhiều góc độ khác Để học sinh nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, ta phải rèn luyện cho học sinh có thói quen khơng tự thỏa mãn với kết lời giải tốn vừa tìm được, phải có nhìn tổng quát, biết xem xét vấn đề nhiều góc độ khác để tìm nhiều ngun nhân cội nguồn khác dẫn đến kết Qua nâng cao lực giải tốn phát triển tư cho học sinh Ví dụ 3.1.2: Giải phương trình tan x cot x tan x cot x (2) với 2 0 x Cách 1: Nếu nhìn tốn mối quan hệ ngun nhân tan x.cot x = , ta nghĩ đến việc chuyển toán dạng chứa tan x (hoặc cot x) cách thay (hoặc tan x cot x ) Khi ta có: 1 tan x 6 tan x tan x � tan x tan x tan x tan x (2) � tan x � (tan x 1)2 tan x tan x 1 Đến đây, HS dễ dàng tìm tan x từ tìm x cot x tan x Cách 2: Nếu vào nguyên nhân đối xứng tan x cot x toán ( tan 2x + cot2x tan x + cot x ) ta huy động nhóm kiến thức có liên quan tan x.cot x = tan x cot x (tan x cot x ) tan x cot x (tan x cot x ) Từ đó, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ: u = tan x + cot x Khi đó, từ phương trình (2) ta có phương trình u là: u 2u Giải u = u0, ta quy phương trình lượng giác quen thuộc tan x + cot x = u0 mà HS biết cách giải Cách 3: Nếu quan tâm đến điều kiện cụ thể toán 0 x ta đánh giá nhóm tan2x + cot2x tan x + cot x mà cụ thể là: tan x cot x �2 tan x cot x �2 Dấu đẳng thức BĐT xảy tan x = hay x 0 x (do điều kiện ) Mặt khác, ta thấy vế trái (2) lớn 6, vế phải (2) nên dấu đẳng thức xảy vế trái (2) 6, tức x nghiệm phương trình (2) Phương thức 2: Dạy học khái niệm, định lí, quy tắc theo hướng tăng cường khả vận dụng để từ tạo tiềm hoạt động huy động kiến thức cho học sinh Để thức phương thức nói cần tiến hành hoạt động dạy học khái niệm, định lí, quy tắc theo quy trình sau: Hình thành củng cố phát dạng toán ứng dụng quy trình giải tốn dạng tốn gốc vận dụng quy trình tốn nâng cao Ví dụ 3.2.1: Sau học chủ đề tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, để củng cố kiến thức cho HS, đồng thời giúp HS phát dạng toán ứng dụng khác nhau, giúp HS nắm quy trình giải dạng toán, GV cho HS làm việc với toán gốc sau đây: Bài toán 1: (Xét trường hợp đỉnh hình chóp nội tiếp mặt cầu nhìn cạch góc 900.) Cho A, B cố định Tập hợp điểm M di động khơng gian cho góc AMB 900 mặt cầu đường kính AB Nói cách khác: Cho điểm A, B cố định, điểm M di động không gian cho tam giác AMB vng M M thuộc mặt cầu đường kính AB Vận dụng: Nếu tam giác AMB, ANB, ACB tam giác vng có chung cạnh huyền A, B, M, N, C thuộc mặt cầu đường kính AB (tâm I mặt cầu trung điểm cạnh AB) Nếu M, N, C nhìn cạnh AB góc 900 A, B, M, N, C thuộc mặt cầu đường kính AB (tâm I mặt cầu trung điểm cạnh AB) Bài 1.1: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), tam giác ABC vng B a) Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tìm tâm E mặt cầu qua điểm A, H, K, B, C Ở câu a, HS dễ dàng chứng minh tam giác SAC, ABC vng có chung cạnh huyền SC, từ xác định tâm mặt cầu cần tìm trung điểm cạnh SC Ở câu b, GV sử dụng phân tích: Tam giác AKC, ABC tam giác vng có chung cạnh huyền AC Dự đoán cần chứng minh AHC tam giác vng có cạnh huyền AC, dẫn đến cần chứng minh AH HC, tức chứng minh AH (SBC) Đến đây, HS tự thực tiếp quy trình lại để tìm tâm mặt cầu E Nguyên nhân HS giải toán ý tưởng chứng minh tam giác vuông có chung cạnh huyền tốn gốc nêu trên, theo học sinh việc thực quy trình chung là: 1) Dự đốn đường kính mặt cầu cần chứng minh (dựa vào vài tam giác vng liên quan mặt cầu có chung cạnh huyền) 2) Chứng minh tam giác có đỉnh nằm mặt cầu cần chứng minh tam giác vng có chung cạnh huyền (đường kính mặt cầu cần chứng minh) 3) Kết luận GV rèn luyện cho HS toán tương tự nâng cao sau đây: Bài 1.2: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật (có thể đổi thành hình vng) Gọi H, K, L hình chiếu vng góc A lên SB, SC, SD a) Tìm tâm mặt cầu qua điểm S, A, B, C, D b) Tìm tâm mặt cầu qua điểm A, H, K, B, C c) Tìm tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, D, H, K, L Bài 1.3: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), đáy ABCD hình thang vng A B, biết AD = 2a, SA = AB = BC = a, M trung điểm AD Gọi H, K, I, E hình chiếu vng góc A lên SB, SD, SC, SM a) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCM b) Tìm tâm mặt cầu qua điểm A, C, D, I, K c) Tìm tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, M, H, I, E Bài toán 2: (Xét trường hợp tổng quát vận dụng định nghĩa mặt cầu) Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r Kí hiệu S(O;r) S(O;r) = { M | OM = r } Vận dụng: Nếu có điểm I thỏa IA = IB = IC = ID A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm I Từ đây, GV xây dựng toán rèn luyện cho HS Do toán vận dụng toán gốc nhiều đa dạng nên khuôn khổ tiểu luận nêu hết nên dừng việc giới thiệu toán gốc nêu số thường gặp mà không nêu phương pháp giải cho cụ thể Bài 2.1: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trường hợp sau: a) Tam giác ABC b) Tam giác ABC vuông B c) Tam giác ABC vuông A d) Tam giác ABC cân A góc BAC 1200 Bài 2.2: Cho hình chóp tam giác S.ABC Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 2.3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 2.4: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy, tam giác ABC vuông A Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC KẾT LUẬN Tốn học triết học có quan hệ chặt chẽ với phương pháp biện chứng vật nòng cốt khơng thể thiếu tốn học Đó phương pháp khởi nguồn cho phát minh toán học đời Xong, việc vận dụng phương pháp lĩnh vực toán học cụ thể đòi hỏi người nghiên cứu tốn phải có kiến thức định mà trước hết phải nắm chất phép biện chứng vật hay phương pháp biện chứng vật ( mà cụ thể cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết quả) Cách nhìn nhận tiếp cận vấn đề theo nhiều chiều, nhiều hướng khác phương pháp chìa khóa để tìm lời giải thấu đáo cho nhiều tốn khó Qua tiểu luận này, ngồi việc vận dụng phương pháp biện chứng vật (cụ thể cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức nguyên nhân – kết quả) vào sáng tạo tốn học muốn gửi đến u tốn thích nghiên cứu tốn, GV HS góp ý nhỏ sau: 1) Phải nắm thật vững khái niệm bản, định nghĩa Đây điều tối cần thiết cho người nghiên cứu toán học 2) Phải nhìn nhận đối tượng tốn học theo nhiều cách khác Không nhất lúc “nó nó” Chẳng hạn, khơng phải lúc 5, mà + 5, + 4, + 3, …; tam giác tứ giác có cạnh hay có hai đỉnh trùng nhau;… Đồng thời phải biết nhìn theo hướng tương đương Chẳng hạn, tam giác mặt phẳng có vai trò giống tứ diện khơng gian, hình bình hành mặt phẳng hình hộp khơng gian, hình vng hình lập phương khơng gian, … 3) Khi lĩnh hội kiến thức toán học mới, đặt câu hỏi: Kiến thức mở rộng khơng? Trường hợp đặc biệt gì? Với vấn đề tương tự, liệu có kiến thức tương tự khơng? Và cố gắng trả lời chúng Đây việc “khái quát hóa” hay “đặc biệt hóa” “tương tự hóa” kiến thức tốn học Với dạng này, ta nên ý đến mối liên hệ (cái chung – riêng) Lấy “cái chung” “cái riêng” soi rọi cho 4) Sau tiếp thu kiến thức tốn học đấy, thử đặt vào vị trí tác giả kiến thức để thử hình dung xem người dã suy nghĩ nào? Định hướng nào? 5) Khơng ngừng tìm tòi sáng tạo để có sản phẩm Đồng thời, khơng ngừng tiếp thu kiến thức tốn học để thức đẩy q trình sáng tạo cho thân 6) Tạo thói quen độc lập sáng tạo, tích cực tư ln có “hồi nghi toán học” Nghĩa trước vấn đề toán học cần làm rõ, ta phải đưa câu hỏi: Nó gì? Tại sao? Vì sao? tự mày mò, dự đốn, vận dụng kiến thức học mà làm rõ chúng để có hiểu biết chất chúng 7) Khi gặp vấn đề xung quanh sống, thử tìm xem có mối liên hệ với tốn học khơng, từ vận dụng kiến thức tốn học để giải thích chúng, cải biến chúng khơng qn mở rộng chúng Tức phải biết “lơi tốn học vào sống” 8) Tích cực tìm hiểu kiến thức khoa học khác, đặc biệt triết học để phục vụ tốt cho toán học cho sống thực tiễn thân Và kết hợp phát triển toán học ứng dụng khoa học khác 9) Tìm hiểu xây dựng thêm nhiều phương pháp nghiên cứu Từ đó, trước vấn đề toán học, tiếp cận chúng theo phương pháp khác 10) Hãy tập cho thân thói quen sáng tạo tốn học, hình thành say mê sáng tạo Ln có niềm tin vào hướng tốn học ... (2) 1, T3 (3) 3 , U (3) 1, T3 (4) 2 , U (4) 1, T3 (5) �, U (5) 0, T3 (6) 3 , U (6) 1, T3 (7) �, U (7) 0, T3 (8) �, U (8) 0, T3 (9) 3 , U (9) Vậy S3 ... chung đạo hoạt động suy nghĩ người Nội dung ngun tắc là: ⦁ Phải xem xét toàn diện mối liên hệ ⦁ Trong tổng số mối liên hệ phải rút mối liên hệ chất, chủ yếu để hiểu thấu chất vật ⦁ Từ chất vật... (quy luật lượng – chất) Quy luật phủ định phủ định 1.1.4 Các cặp phạm trù phép biện chứng vật Trong trình suy nghĩ, người thường xuyên phải sử dụng khái niệm định “người”, “động vật”, “đồng”,