Các hàm Wigner của electron đi qua hàng rào thế bán dẫn

1 LỜI CẢM ƠN Dưới hướng dẫn TS Trần Thái Hoa, khoa Vật Lý - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc nhất, xin chân thành cám ơn định hướng, quan tâm, hướng dẫn đắn thầy giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo, giáo khoa Vật lý, phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập làm luận văn Đồng thời muốn cảm ơn anh chị, bạn học viên cao học vật lý K13, bạn nhóm vật lý chất rắn trường ĐH Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ nhiều q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Người viết Nguyễn Ánh Sáng Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner electron hàng rào bán dẫn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn hoàn toàn cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn tận tình, hiệu đầy trách nhiệm TS Trần Thái Hoa Đây đề tài không trùng với đề tài khác kết đạt không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Ánh Sáng MỤC LỤC Tran g Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan .3 Mục lục Mở đầu Nội dung Chương Các biểu diễn học lượng tử 1.1 Các biểu diễn truyền thống 1.2 Biểu diễn không gian pha Hàm Wigner 13 Chương 2: Hàng rào bán dẫn .18 2.1 Phương trình sóng hạt hàng rào 18 2.2 Sự hình thành hàng rào bán dẫn 20 2.3 Hàm sóng electron hàng rào bán dẫn 21 Chương Tương tác hệ hai mức với sóng điện từ cộng hưởng 24 Chương Các hàm Wigner hạt hàng rào bán dẫn 36 4.1 Hàm Wigner hạt hàng rào .36 4.2 Hàm Wigner hạt trong giếng lượng tử bán dẫn hai mức tương tác với sóng điện từ cộng hưởng .42 Kết luận .43 Tài liệu tham khảo .44 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học học thuyết khó Có nhiều phương pháp tốn học mơ tả học lượng tử: học ma trận Heisenberg, học sóng (Schodinger), lý thuyết biến đổi Pauli Đirac (nhằm thống khái quát hoá hai phương pháp trên)… Theo phương pháp trên: Trạng thái lượng tử hệ lượng tử cho thông tin xác suất tính chất hay gọi đại lượng quan sát lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), momen động lượng,… quan sát liên tục (vị trí hạt) hay rời rạc (năng lượng điện tử nguyên tử hiđro) Các phương pháp không cho quan sát có giá trị xác định mà tiên đốn phân bố xác suất Vì quan tâm đến trạng thái hệ nào, biến đổi từ trạng thái sang trạng thái khác thường sử dụng khơng gian pha (ví dụ hạt hàng rào hình chữ nhật thơng thường chưa có sóng điện từ tác dụng chịu tác dụng sóng điện tử tác dụng,…) Không gian thường không gian mà hệ di chuyển Khơng gian pha (khơng gian trạng thái) khơng gian mà điểm quy định trạng thái hệ Mô tả học lượng tử không gian pha dựa khái niệm hàm Wigner (được Wigner đưa năm 1932) để tính chất trạng thái lượng tử bộc lộ cách trực tiếp rõ ràng so với học lượng tử truyền thống (mô tả hệ vi mơ vectơ trạng thái tốn tử mật độ) vào năm 2003 Trong cơng trình cơng bố tạp chí Phys.Rev.Let, W.shluch đồng tác giả đưa cách biểu diễn hàm Wigner - biểu diễn Fresnel Nhờ mơ tả tường tính chất hàm Wigner từ số liệu thực nghiệm đo đại lượng đặc trưng hệ hai mức với sóng điện tử cộng hưởng Ngày chuyển động hạt qua hàng rào (hiệu ứng đường ngầm) ứng dụng nhiều Ví dụ điơt tunnel (điơt hầm), dòng electron nhờ hiệu ứng đường ngầm qua dụng cụ bị tắt mở nhanh cách điều chỉnh độ cao bờ Điều làm cực nhanh (trong vòng 5ps) Vì dụng cụ thích hợp cho ứng dụng đòi hỏi phải có đáp ứng nhanh Hoặc ta phải sử dụng hiệu ứng đường ngầm để giải thích số loại phân rã phóng xạ, phân hạch tổng hợp hạt nhân Rất nhiều nhà bác học nghiên cứu hiệu ứng đường ngầm giành giải thưởng cao Giải thưởng Nobel năm 1973 chìa sẻ ba nhà “đào đường ngầm”, Leo Esaki (xuyên đường ngầm qua chất bán dẫn), Ivar Giaever (xuyên đường ngầm qua chất siêu dẫn) Brian Josephon (tiếp xúc Josephson, dụng cụ chuyển mạch lượng tử dựa hiệu ứng đường ngầm) Năm 1986 giải thưởng Nobel lại trao cho Gerd Binnig Heinrich kính hiểu vi qt xun đường ngầm Bằng cách thay đổi thông số vật liệu kích thước tạo hệ hai mức hàng rào thể bán dẫn đặc trưng hàm Wiger electron tương tác với sóng điện từ cộng hưởng bộc lộ cách dễ quan sát Để chuẩn bị cho thí nghiệm luận văn chúng tơi tính biểu thức hàm Wigner hàng rào thể bán dẫn Mục đích nghiên cứu Xây dựng biểu thức hàm Wigner cho chuyển động electron hàng rào bán dẫn hai mức trường hợp tương tác khơng tương tác với sóng điện từ cộng hưởng Nhiệm vụ nghiên cứu - Dựa vào luận văn [17] để xây dựng hàm Wigner electron hàng rào bán dẫn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các biểu diễn học lượng tử: biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn tương tác - Bài toán hàm riêng hạt hàng rào - Bài toán tương tác hệ hai mức khơng suy biến với sóng điện từ cộng hưởng - Hàm Wigner Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu lí luận phương pháp biểu diễn học lượng tử - Phương pháp gần khối lượng hiệu dụng vật lí bán dẫn - Phương pháp hàm Wigner học lượng tử Giả thuyết khoa học - Luận văn sử dụng đơn vị h = - Độ lệch cộng hưởng phải nhỏ nhiều khoảng cách hai mức lượng - Sử dụng gần cộng hưởng, tức bỏ qua số hạng tần số cao giữ lại số hạng tần số thấp NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Các biểu diễn truyền thống Trạng thái hệ lượng tử mô tả vectơ két ψ Nếu ψ ψ trạng thái trạng thái chồng chập ψ = a ψ+ ψ a 1 (1.1.1) a1 trạng thái hệ, biên độ a số phức Nguyên lý chồng chập trạng thái lượng tử Bra ψ biểu diễn tương đương trạng thái viết: ψ =a* ψ ψ + a * a a* * ,1 (1.1.2) kí hiệu liên hợp phức a a2 Sự phủ (hay tích trong) hai trạng thái ψ ψ ψ hướng ψ số ψ ψ liên hợp phức phức 2 tương đương đại lượng vơ hướng hay tích vơ hai vectơ Nếu phủ khơng trạng thái gọi trực giao với Tích trạng thái ψ với thực ln dương ψ ψ >0 (1.1.3) Nếu tích đơn vị, tức ψ ψ = trạng thái gọi chuẩn hoá Nếu trạng thái ψ và1 ψ (1.1.1) trực chuẩn (gồm trực giao chuẩn hố) biên độ a1 cho bởi: a2 ψ ψ = a = ψ *ψ (1.1.4) ψ ψ = a = ψ *ψ (1.1.5) 2 Nếu ψ hố a chuẩn +a = 1và ta đoán nhận 2 a 2 tương ứng xác xuất mà hệ trạng thái ψ a ψ Khái quát hoá (1.1.1) cho trạng thái chồng chập nhiều trạng thái ψ là: n ψ = Nếu ψ trạng thái ∑a ψ n ψ trực chuẩn n chuẩn hoá ∑ a (1.1.6) n n (1.1.7) =1 Xác suất chuyển mức từ trạng thái ψ đến trạng thái ψ 2 ψ (1.1.8) Việc mô tả hệ đủ thực toán tử Khi toán tử Â tác dụng lên trạng thái hệ biến thành trạng thái khác Trạng thái thơng thường khơng chuẩn hố liên hợp Hermite Aˆ + toán tử Aˆ định nghĩa yêu cầu sau: ( Aˆ ) + = (1.1.9) Aˆ + ( Aˆ + B ) + ˆ = Aˆ + +B (1.1.10) ˆ+ ( Aˆ Bˆ )+ = Bˆ + + Aˆ + ( λAˆ ) = λ* + Aˆ (1.1.11) (1.1.12) Bˆ toán tử λ số phức, toán tử Â thoả mãn Aˆ = Aˆ + gọi toán tử Hermite Aˆ Các giá trị riêng λ Anˆ thoả mãn phương trình trị riêng: Aˆ n λ n =n λ λ (1.1.13) Phương trình liên hợp (1.1.12) λn thay λm là: +∞ W= 2ipy * π ∫ e ψ ( x + y )ψ( x − y )dy (4.1.4) −∞ Như biểu thức hàm Wigner xuất số hạng tích phân Ta xét tích phân +∞ W1 ∫ ψ1* ( x + y ) θ − ( x + y + a )  ψ1 ( x = − y ) θ − (x − y + a )  dy  π −∞ θ− ( x + y + a )  θ  − ( x − y + a ) ≠  − ( x + y + a ) ≥  − ( x − y + a ) ≥ x + y + a ≤ ⇔  x − y + a ≤ x < −a ⇔  y = Do W = W1 = y) (x − × * e x + y) θ − ( x  + y +ψa ) (ψ +∞ 2ipy π −∞ ∫   × θ − ( x − y − a )  θ ( x − y + a ) dy    θ− ( x + y +  a) θ − ( x − y − a ) θ( x − y + a ) ≠ − ( x + y + a) ≥  − ( x − y − a ) ≥  ≥  x− y+a x + y ≤ −a  ⇔ −a ≤ x  − y≤ a y ≤  ⇒ y=0 Vậy W = +∞ W = ∫ e2ipyψ* ( x + y ) θ  − ( x  + y +1 a )  ψ π −∞ θ  − (x  + y + a )  (x − y− a ) θ ( x − y ) θ( x − − a )dy ≠ −( x + y + a ) ≥   x− y− a ≥ => ( y + a => y ) ≤ ≤ −a +∞ ik ( x+y )  Deik0 ( x−y) dy W = e2ipy e Ae + ∫   π −∞ 2ik0x 2ipy D −a 2i()p−k AD y −a = ∫e dy π∫ e e dy π −∞ + ( x+y ) −ik −∞ D = 2πi( p − k0 ) e )y 2i( p−k −a + AD e 2ik0x e2ipy −∞ 2πip D AD 2ik x = −2i( p−k )a −2ipa e e e 2π 2πi( p − k0 ) + ip −a −∞ y W= e π +∞ ∫ y 2ip −∞ * ( x y) ψ + + (x y a θ− −  ) (x y a  θ+ + ) ×  × 1ψ ( x − y ) θ  − ( x − y + a )  dy  θ  − ( x + y − a )  θ ( x + y + a ) θ  − ( x − y + a )  ≠ − ( x + y − a ) ≥   x+y+a≥  − ( x − y + a ) ≥ Tương tự tính W : y = nên W = +∞ π = ∫ −∞ W e2ipy * ( x y) ( x y a ) (x y a ) ψ + θ −  θ+ + × +2 −   − y) θ  − ( x − y  − a )  θ ( x − y + a ) dy  ×ψ (x θ   − ( x + y − a )  θ ( x + y + a ) θ   − ( x − y − a )  θ ( x − y + a )≠ −( x + y − a ) ≥  −a ≤ x ≤ a  x +y +a ≥0  ⇔  − − x y (  y = −a ) ≥   x− y+a ≥ Vậ W5 = y W6 +∞ ∫ = π−∞ * ( x + y ) θ  − ( x + y − a ) θ ( x + y + a ) × × 3ψ a ) dy θ  − ( x + y − a )  θ ( x + y + a ) θ( x − y − a ) ≠ − ( x + y − a ) ≥   x + y + a≥ x− y− a ≥  ( x − y ) θ( x − y− −a ≤ x + y ≤ a ⇔   a≤ x− y ⇒ y=0 Vậy W6 = +∞ W e2ipyψ −= a 1)ψ ∫ π−∞ * ( x + y ) θ( x + y ( x − y ) θ  − ( x − + a )  dy   θ( x + y − a )  −  − y + a ) ≠  (x y 70 x + y − a ≥  x − y+a≤ ⇒ 2(y − a) ≥ ⇒ y≥ a x−y ) (W = + Ae −ik ( x−y )  +∞ e2ipy De−ik0 ( x+y) eik0  dy  π∫a +∞ ( ) D +∞ 2i p−k0 ydy e ∫ e−2ik0xe2ipydy = ∫ AD π + πa a AD −2ik0x 2ipy +∞ D 2i( p−k )y e e e = +∞ + a 2πip a 2πi( p − k0 ) D AD −2ik x 2ipa = 2i( p−k )a e 2π e 2πi( p e − k0 ) + ip 1∞ 2ipy * W= e ψ ( x + y ) θ( x + y − a)ψ ∫ π −∞ × θ − ( x (x − y) × − y − a )  θ( x − y + a ) dy θ( x + y − a ) φ − ( x − y − a )   θ( x − y + a ) ≠ x + y − a ≥   x − y − a ≤ x − y + a ≥  y >  ⇔ a ≤ x+y −a ≤ x − y≤ a 71 ⇒ y=0 Vậy W8 = W = +∞ 2ipy * ( x + y ) θ( x + y ( x − y ) θ( x − y ∫−e a ψ ψ ) − a ) dy 3 π −∞ θ( x + y − a ) θ ( x − y − a) ≠ x + y − a ≥  x − y − a ≥ y = ⇔  x ≥ a Vậy W9 = Biểu thức hàm Wigner: W = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 + W6 + W7 + W8 + W9 = W3 + W7 −2i( p−k0 )a D 2ik x −2ipa e + = + e e AD 2πip 2πi( p − k0 ) 2i( p−k0 )a D −2ik x 2ipa e + + e e AD 2πip 2πi( p − k0 ) = a D + e2i( p−k 2πi( p )  − k  )a + e−2i( p−k ) AD  e2ik x e−2ipa + e−2ik x e2ipa 2πip  0  (4.1.5) 4.1.2 Hàm Wigner hạt hàng rào bán dẫn hai mức Vì hàm sóng hàng rào bán dẫn biểu diễn theo (2.3.9) (2.3.10) nên r r r r W r ,z,K,p = W r ( ) ( ,K ) W ( z,p ) r r W ( r ,K ) = (4.1.6) (4.1.7) Do r r W r, ( (4.1.8) ) z,K,p = W ( z,p ) Trong trường hợp hàm Wignerr hàng rào bán dẫn hàm Wigner hàng rào hai mức chiều 4.2 Hàm Wigner hạt hàng rào bán dẫn hai mức tương tác với sóng điện từ cộng hưởng Từ cơng thức (3.21) ta thấy hàm sóng electron hệ hai mức giếng lượng tử tương tác với sóng điện từ cộng hưởng là: ψ( z,t ) = d1 ( t ) ψ1 ( z ) + d2 (4.2.1) ( t ) ψ2 ( z ) Dùng định nghĩa hàm Wigner W ( z,p,t ) W ( z,p,t ) = Trong : W d1 ( t ) W1 ( p ) + d 2, W2 (4.2.2) ( p) + ( t) + d1 ( t ) d ( t ) W1 ( p ) + d1 ( t )*.d ( t ) W2 ,1 ( p ) , 1,2 ( z,p ) W theo (1.2.5) ta thu được: = ( z − z')dz' (4.2.3) exp( 2ipz')ψ1( ∫ π ( z − z')dz' (4.2.4) z + z')ψ2 ( z,p ) = exp( 2ipz')ψ1( ∫ π z + z')ψ2 Ta thấy hàm Wigner từ (4.1.5) đến (4.1.8) không phụ thuộc tường minh vào thời gian Hàm Wigner hàng rào bán dẫn hàm Wigner hàng rào hai mức chiều (tương tự trường hợp khơng có sóng điện từ) Hàm Wigner (4.2.2) có phụ thuộc tường minh vào thời gian tương tác với sóng điện từ Dùng hàm Wigner ta nghiên cứu trình vật lý khác giống phương pháp hàm Green KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: - Tìm hiểu hàng rào hệ thống phân loại hệ thấp chiều - Tìm hiểu phương pháp gần khối lượng hiệu dụng vật lý bán dẫn - Tìm hiểu tương tác hệ hai mức với sóng điện từ cộng hưởng - Tìm hiểu phương pháp hàm Wigner học lượng tử - Đã nghiên cứu thu biểu thức tường minh hàm Wigner electron hàng rào bán dẫn hai mức trường hợp không tương tác tương tác với sóng điện từ cộng hưởng Những biểu thức thu dùng để nghiên cứu thân hàm Wigner trình vật lý nghiên cứu tiếp sau TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.Anselm, (1981), Introduction to Semiconductor theory, Mir Publishers Moscow [2] Stephen M.Barnett and Paul M.Radmore, (1997), Methods in Theoretical Quantum Optics - Oxford Science Publications [3] R.J.Glauber, (1963), “ Phys.Rev”, (2766) [4] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, (1999), sở vật lí, tập 6, NXB Giáo dục [5] Y.S Kim, M.E.Noz, (1991), Phase space picture of quantum mechanics, World Scientific [6] Wolfgang P.Schleich, (2001), Quantum Optics in Phase Space, Wiley VCH [7] J.J.Sakurai Mordern, (1992), Quantum mechanics , Revised edition [8] E.P.Wigner, (1932), “Phys.Rev”, (749) [9] R.P.Feynman, (1973), Statistical Mechanics, Benjamin [10] J.Kijowski, (1974), “Rep Math Phys”, (361) [11] H.W.Lee, (1982), “Am.J.Phys”, (438) [12] R.G.Littlejohn, (1986), “Phys.Rep” (193) [13] A.Royer: (1987), in the proceeding of the first international Conference on the Physics of Phase Space, 1986, College Park, Maryland, Eds.Y.S.Kim and W.W.Zachary (Springer - Verlag, Heidelberg) [14] Murraur Spiegel, (1998), Các cơng thức bảng tốn học cao cấp, Người dịch Ngơ Ánh Tuyết [15] Vũ Đình Cự, Nguyễn Xuân Chánh (2004), Công nghệ nanô điều khiển đến phân tử, nguyên tử , NXB khoa học kỹ thuật - Hà Nội [16] Trần Thái Hoa, (2005), học lượng tử, NXB Đại học Sư phạm [17] Nguyễn Tiến Hùng, (2005), luận văn Các hàm Wigner electron giếng lượng tử bán dẫn, PGS.TS Nguyễn Vinh Quang hướng dẫn [18] Nguyễn Văn Hùng, (2000), Lý thuyết chất rắn, NXB ĐHSP Hà Nội [19] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình, (1992), Vật lý chất rắn, NXBGD [20] Nguyễn Văn Liễn (2001), “ Nhập môn Vật lý hệ Messoscopic”, Bài giản cho sinh viên năm cuối chuyên khoa Vật lý hay cao học [21] Nguyễn Hoàng Phương, (1998), Nhập mơn học lượng tử, NXBGD [22] Phạm Q Tư, Đỗ Đình Thanh, (2003), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội ... thành hàng rào bán dẫn 20 2.3 Hàm sóng electron hàng rào bán dẫn 21 Chương Tương tác hệ hai mức với sóng đi n từ cộng hưởng 24 Chương Các hàm Wigner hạt hàng rào bán dẫn. .. biểu thức hàm Wigner hàng rào thể bán dẫn Mục đích nghiên cứu Xây dựng biểu thức hàm Wigner cho chuyển động electron hàng rào bán dẫn hai mức trường hợp tương tác khơng tương tác với sóng đi n từ... đường ngầm Bằng cách thay đổi thơng số vật liệu kích thước tạo hệ hai mức hàng rào thể bán dẫn đặc trưng hàm Wiger electron tương tác với sóng đi n từ cộng hưởng bộc lộ cách dễ quan sát Để chuẩn