Đang tải... (xem toàn văn)
I. LỜI MỞ ĐẦU Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau. Trong giải tích cổ điển, Ta đã biết đến tích phân Riemann. Phần lý thuyết về loại tích phân này đã được xây dựng 1 cách hoàn chỉnh. Tuy nhiên trong nhiều loại bài toán của các lĩnh vực Vật lý học, Lý thuyết xác suất,... thực tế ta phải xây dựng 1 loại tích phân khác, với cách tiếp cận khác. Lý thuyết về loại tích phân mới này được đặt nền móng bởi công trình của Henri Lebesgue (18751941, người Pháp). Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử… Ở đây ta sẽ không xét đên tích phân Riemann nên tích phân Lebesgue sẽ được gọi đơn giản là tích phân.
I LỜI MỞ ĐẦU Ở chương trình phổ thơng, bước đầu làm quen với khái niệm tích phân ứng dụng hữu ích Khi đó, phép lấy tích phân hàm liên tục gián đoạn hữu hạn điểm thực cách dễ dàng tích phân Riemann Thế nhưng, hàm gián đoạn vô số điểm tất điểm làm để lấy tích phân theo nghĩa đó? Đây câu hỏi đặt suy nghĩ em, em có hội để trả lời câu hỏi qua việc tìm hiểu tích phân Lebesgue Tuy nhiên, khn khổ mơn học, em khơng có điều kiện để nghiên cứu sâu tính chất điều kiện khả tích loại tích phân trường hợp khác Trong giải tích cổ điển, Ta biết đến tích phân Riemann Phần lý thuyết loại tích phân xây dựng cách hồn chỉnh Tuy nhiên nhiều loại toán lĩnh vực Vật lý học, Lý thuyết xác suất, thực tế ta phải xây dựng loại tích phân khác, với cách tiếp cận khác Lý thuyết loại tích phân đặt móng cơng trình Henri Lebesgue (1875-1941, người Pháp) Lý thuyết tích phân tổng quát nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu kỷ XX Sau đó, hồn thiện đáng kể nhiều nhà tốn học lớn Lý thuyết khắc phục khiếm khuyết tích phân Riemann Ngồi ra, lý thuyết tích phân Lebesgue đáp ứng yêu cầu phát triển lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử… Ở ta khơng xét đên tích phân Riemann nên tích phân Lebesgue gọi đơn giản tích phân II TÍCH PHÂN LEBESGUE TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN Xét hàm đơn giản X , A , Chú ý chủ đề tất hàm ta nói đến đo nên khơng cần nói đến f hay g , đo Ngồi ra, f nhận số hữu hạn giá trị tổng lấy theo giá trị f số hữu hạn số hạng, ta dùng thuật ngữ “Chuỗi” để nói tổng tổng hữu hạn coi chuỗi hội tụ, chí hội tụ tuyệt đối f X y1 , y2 , , yk , A f 1 yk Giả sử f hàm đơn giản Đặt k ký Y ,Y hiệu lượt tập giá trị không âm khơng dương f , (khi Y1 �Y2 �hoặc Y1 �Y2 0 ) Xết chuỗi sau � yk Ak yk �f X 1.1 1.2 1.3 �y A k k yk �Y1 �y A k Dễ thấy chuỗi k yk �Y2 1.1 hội tụ tuyệt đối chuỗi tụ Trong trường hợp tổng chuỗi 1.2 1.2 1.3 hội số khơng âm, tổng chuỗi 1.3 số không dương 1.1 hội tụ tuyệt đối tổng gọi tích Định nghĩa 1.1: Nếu chuỗi phân hàm f X ký hiệu biểu thức sau: f x d � f x dx � fd � fd , , , � X X X Trong trường hợp này, ta nói f khả tích (hay khả tổng) X Từ định nghĩa ta có mệnh đề đơn giản sau: f khả tổng f f khả tổng Khi f d � f d 1.2 1.3 � tổng chuỗi ; đó: fd � f d � f d � X X X f Từ suy f khả tổng khả tổng Khi 1.4 �f d �f d �f d X X 1.5 X Và �fd ��f d X Mọi hàm đơn giản bị chặn, có tất hàm bậc thang, khả tổng không gian với độ đo hữu hạn Với hàm ta có fd � Sup � X 1.6 X f x X 1.7 x �X I A khả tổng A �và fd A � I A d �0 Nếu f �0 khả tổng � Nếu f , g khả tổng (trên X ) với , ��hàm f g khả tổng fd � gd f g d � � X X X 1.8 Ta có hệ 1.1: Nếu f g khả tổng f �g X fd �� gd � X X ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT Trước hết giả sử độ đo hữu hạn Định nghĩa tích phân hàm tùy ý , ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.1: Nếu f n dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ dãy I n ,với In � fn x d X Là dãy hội tụ Chứng minh: Ta có Im In f x f x d �sup f x f x X � m n m n X sup f m x f n x � I Do tính liên tục nên m, n � � Do đó, dãy n dãy nên hội tụ (đpcm) Bổ đề 2.2: Nếu f n g n dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ tới lim � f n x d lim � gn x d X X Việc chứng minh thực xen kẽ dãy hàm f Hai bổ đề đảm bảo tính hợp lý cho định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1: Nếu lim � fn x d X f n dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ tới gọi tích phân hàm f X ký hiệu f �f x d n X f x dx � n ( X , ) Khi f gọi hàm khả tích hay khả tổng Định nghĩa khơng có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân tính khả tổng hàm đơn giản X ,A, Định nghĩa 2.2: Cho không gian với độ đo hữu hạn Ta nói hàm f khả tổng X , nếu: f khả tổng tập hợp A�A với A �( A xem không gian i X ) � ii Với dãy X , X , , X n , �A cho X n � dãy số In X n �X n 1 , U X n X n 1 �f x d 2.1 n Xn Đều hội tụ 2.1 Khi đó, giới hạn dãy (có thể chứng minh không phụ thuộc vào X , X , việc chọn dãy ) gọi tích phân f X ký hiệu f x d � X ,( hay f x dx � X , ) Từ định nghĩa suy mệnh đề sau: Hàm bị chặn không gian với độ đo hữu hạn ln khả tổng Có thể thay tính bị chặn thành tính bị chặn hầu khắp nơi Nếu f , g khả tổng với , ��, hàm f g khả tổng fd � gd f g d � � X X X Tính chất chứng minh cách xét dãy hàm đơn giản f n , g n f n g n chuyển qua giới hạn Nếu f khả tổng A B cho A �B �thì f khả tổng A �B fd � fd �fd � A�B (tính cộng tích phân) A B Tính chất chứng minh nhận xét Nếu f khả tổng tập đo A I A�B I A I B fd � A Nếu A Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g A , với g A y1 , y2 , Ta có: gd �y A � k k A A g 1 yk Trong k A � A Vì k A 0 Nên k gd � A Suy Vì A f giới hạn (hội tụ đều) dãy hàm đơn giản nên f có tích phân Nếu f khả tổng X g tương đương với f g khả tổng tích phân chúng gd � fd � X X Nếu f g khả tổng f �g hầu khắp nơi fd �� gd � X X g �f Nếu f khả tổng hầu khắp nơi g khả tổng f Từ mệnh đề dễ suy f khả tổng khơng khả tổng TÍNH CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN � Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng Khi A U An n 1 , với An �A , Am �An �, m �n � fd �� fd � A Ngoài vế phải n 1 An 3.1 chuỗi hội tụ tuyệt đối 3.1 y , y , Chứng minh: Trước hết giả sử f hàm đơn giản A với giá trị Đặt Bk f 1 yk Bnk An �Bk Khi fd �y B � k k k A �yk � Bnk k n ��yk Bnk n k �� fd 3.2 n An 3.2 Đồng thời chuỗi hội tụ tuyệt đối Bây giả sử f hàm khả tổng tùy ý Khi đó, với k nguyên dương tồn f k khả tổng A cho fk x f x k Theo chứng minh f k d �� fk d � hàm đơn giản 3.3 3.4 n An A Và chuỗi vế phải Mặt khác, 3.4 chuỗi hội tụ tuyệt đối �fd �f d ��f f k An An Nên An k d � An k 1 An � f k d �� fd k An An � An � fk d k An ��fd Từ suy tính tính hội tụ tuyệt đối chuỗi n An Ngoài 1 An � f k d �� fd � An � fk d k k An An An 3.3 Từ suy f d � � fd � k A A Kết hợp điều với fd ��fd � n An 1.5 3.5 ta có: A Định lý chứng minh X ,A , Hệ 3.1: Nếu f hàm khả tổng không âm ánh xạ từ A vào fd � � biến A thành A hàm độ đo X Theo nghĩa ta coi mệnh đề đảo định lý 3.1 Định lý 3.2: Nếu A1 , A2 , �� A , Aƹi A j (i j ), A UA n n Và chuỗi ��f d n An Hội tụ f khả tổng A Chúng ta thừa nhận định lý 3.6 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHOV Ta chứng minh bất đẳng thức tích phân cần dùng cho tốn sau Cho f �0 khả tổng Khi đó, với x γ� X : f x fd � X (bất đẳng thức Chebyshov) C x X : f x Thật vậy, với fd � fd � fd �� fd � � fd C � X C � Suy Vậy công thức Cc C C C fd � X 4.1 chứng minh Hệ 4.1: Nếu f �0 , khả tổng fd � X f x hầu khắp nơi Chứng minh: Với n nguyên dương, � � ��x γ� X : f x � � �� fd � n� n � � X Do x �X :γf x 0 �� � � U�x �n 1 � � �� �γ ��x � n 1 �� Từ suy điều phải chứng minh X : f x �� � n � � X : f x �� � n � � 4.1 QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Định lý 5.1 Levi ( hội tụ đơn điệu) Giả sử: f n n ��* i hàm đo A f n x f n 1 x ii lim f n x f x , x �A x �A n �� Khi lim � fn d � fd n �� A A Định lý 5.2 Lebesgue (hội tụ bị chặn) Giả sử: f i Các hàm n đo A tồn hàm g khả tích A cho f n x �g x , n ��* , x �A ii lim f n x f x , x �A n �� Khi fd lim � fd � A n �� A III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trong tập ta ln có giả thiết có khơng gian độ đo Các tập xét thuộc A X ,A , Bài 1: Cho hàm f đo A , hàm g , h khả tích A cho g x �f x �h x , x �A Chứng minh f khả tích A Giải g x �f x �h x , x �A Ta có �f �h �� �f �g � f d � hd � �� A � �A f d �� g d �� �A A � f d � �� A �� f d � �� �A Do tích phân vế phải hữu hạn nên Suy f khả tích f �0 , đo A Xét hàm �f x , f x �n fn x � � n, f x n Bài 2: a, Cho hàm số Chứng minh lim � fnd � fd n �� A A b, Ứng dụng kết để tính dx x L � Giải: f x n, f x a, Ta có n Do đó: fn x đo được, không âm f n x n, f x �min n 1, f x f n 1 x lim f n x lim n, f x �, f x f x n �� n �� Theo định lý 5.1 Levi ta có đpcm n �� * b, Đặt f x , x � 0;1 , f � x Ta tìm �1 �1 � ;1� � , x �� n2 � �x � fn x � 1� �n, x �� 0; � � � �n � � 1 0 f n x dx R � f n x dx L � Theo câu a, ta có Bài 3: Cho hàm 1 0 n f x dx lim � f n x dx L � n �� f f khả tích A Ta xây dựng hàm n sau: �f x , f x �n � � f n x � n, f x n �n, f x n � Chứng minh lim � fn d � fd n �� A A Giải: Ta thấy f n x n, max n, f x Suy f n đo được, f n � f , n ��* lim f n x �.max �, f x f x , x �A n �� Áp dụng định lý 5.2 Lebesgue ta có đpcm Bài 4: Cho hàm đo không âm X Ta định nghĩa: A � d , A �A A a Chứng minh độ đo b Giả sử f hàm đo được, không âm X Chứng minh fd � f d � X X Giải: a Vì hàm đo được, khơng âm nên � fd �0 A d � A 0 � 0 Chú ý A , ta có Sử dụng tính chất cộng tính tích phân ya suy đo b Đầu tiên f hàm đơn giản không âm n f � aƹi 1Ai , Ai � i 1 n i Aj j , U Ai X i 1 Thật n �fd �ai Ai i 1 X n n 1Ai d �ai � d �f d �ai � i 1 X i 1 X Ai Từ ta có đpcm f Nếu f đo khơng âm tơng dãy hàm đơn giản n �f n �f n 1 , lim f n f Ta có: f d � f d , n �� � n n X X � lim f n d � fd � � X X �� lim � f n d � f d � � X X Theo định lý Levi Từ dây ta có đpcm Bài Cho hàm f , g khả tích A Với n ��ta đặt: An x A : n Chứng minh: lim � gd n �� An a � b �n A � n 1 n f x n 1 , Bn x A : f x n c lim n Bn n �� Giải: Ta có , m Am � Anƹ � n , U An A n 0 a Do tính chất cộng ta có � gd � gd �� �� n An A Do điều kiện cần hội tụ chuỗi lim � gd n �� An Nên (đpcm) b Do tính chất cộng ta có � �f n 0 d � f d � A �f d �n A n Mặt khác An � Nên �n A � n n 1 (đpcm) � n �k Ak k n c Đặt ta có: lim n n�� � n �n� Ak n Bn k n Từ lim n Bn n �� Bài 6: Giả sử ( đpcm) X � Ta ký hiệu M tập hàm đo hữu hạn X f g � f x g x hkn Trong M ta định nghĩa quan hệ " " sau: X Ta định nghĩa : f g d g, f � d 1 f g X a Chứng minh d metric M lim f n x f x lim f n f M,d b Giả sử n�� Chứng minh n�� Giải: f , g �M a Trước hết ta kiểm tra số h d f ,g hữu hạn với cặp f , g �M Thật vậy, hàm f g 1 f g X � đo được, bị chặn tập X nên hàm khả tích Kiểm tra điều kiện i, iii, metric sau: i, d f , g �0 d f ,g � f x g x 1 f x g x 0 � f x g x � f g Trong M theo nghĩa hầu khắp nơi iii, Với f , g , h �M ta có: f x g x � f x h x h x g x f x g x 1 f x g x f x h x 1 f x h x h x g x 1 h x g x Lấy tích phân vế ta có d f , g �d f , h d h, g b Ta cần chứng minh lim d f n , f n �� hn Đặt fn f fn f , n ��* hn đo X , X � ) lim hn 0, hkn n �� ,ta có: hn hn �1 , hàm g x khả tích X ( X Áp dụng định lý Lebesgue, ta có lim � hn d n �� X hay lim d f n , f n �� Bài 7: Cho hàm f hàm đo được, dương, hữu hạn hkn A Với k ��đặt Ak x �A : 2k 1 f x �2 k k � Chứng tỏ f khả tích A khi: �2 A � k k k � Giải B x �A : f x � A k �� , B Đặt Ta có tập k , tập khơng giao có hợp A Do tính cộng tích phân, ta có: fd � A Vì k � ��fd k � Ak (chú ý fd � B 2k 1 Ak �� fd �2k Ak Ak B ) ta có � n � k Ak �� fd ��2k Ak � n � k � A Từ ta có đpcm Bài 8: Cho dãy hàm f n khả tích, hữu hạn A , hội tụ A hàm f A � Chứng minh f khả tích A lim � fnd � fd n �� A A Giải: Vì hàm Vì dãy f n đo nên f đo f n hội tụ * A f nên có số n0 �� thỏa mãn f n x f x �1, x �A, n �n0 Từ Vì 1 ta có f x �1 f n x A � fn nên hàm khả tích A f khả tích A 1 f �1 f n �n0 1 f Cũng từ ta có n A hàm khả tích A Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm Bài 9: Tính giới hạn: a n lim � x n dx n �� x x e nx lim � nx dx n �� 1 e 1 b n n � x � 2 x lim � �e dx � n �� n� � c Giải a Đặt f n x n x n , x � 0; 2 , n 1, 2, f n liên tục 0; 2 nên L đo lim f x Khi �x ta có n�� Khi x �2 ta có lim x n n x n �� x lim f n 1 Hàm n �� lim f n x f x Do n�� f x x � 0;1 , f x x , x � 1; 2 Với , f n x f n x �1 x , n ��* Áp dụng định lý Lebesgue, ta có: 2 10 lim � f n x dx � f x dx n �� 0 b Đặt c Đặt fn x hàm dấu tích phân ta có lim f n x f x f x x, x � 1;0 , f x x , x � 0;1 n �� với x x enx fn x � �1, n ��* , x � 1;1 nx 1 e n � � x � 2 x �e , x � 0, n � � fn � � n� � 0, x � n, � � fn L đo 0, � Với x 0, x � 0, n n đủ lớn, đó: n � x � 2 x lim f n x lim � �e e x e 2 x e x n �� n �� � n� n � x � 2 x f n x �� �.e �e x e 2 x e x , n ��* , x � 0, � � n� t ( ta sử dụng t �e , t �0 ) g x e x L 0; � Hàm khả tích Áp dụng định lý Lebesgue ta có n n � � � x � 2 x lim � �e dx lim � f n x dx � e x dx � n �� n �� n� 0� 0 Bài 10: Chứng minh: xn lim n � dx n �� 1 x Giải: Ở đay ta áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm f x �g x , n tìm hàm g khả tích cho n Ta tích phân phần được: xn n � dx 1 x � n �x n 1 x n 1 � � dx � � n 1� x x � � n �1 � � In � n �2 � Áp dụng định lý Lebesgue ta minh Vậy xn lim n � dx n �� 1 x lim I n n �� fn x nx n x khơng IV LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc thầy cô trường đại học Hồng Đức, đặc biệt thầy cô khoa khoa học tự nhiên trường tạo điều kiện cho em thực phần tập Và em xin chân thành cám ơn thầy Nguyễn Xuân Thuần nhiệt tình hướng dẫn hướng dẫn em hồn thành tập lớn Trong trình thực hiện, q trình làm tập lớn, khó tránh khỏi sai sót, mong thầy, góp ý, chỉnh sửa đẻ em hồn thiện kiến thức Em xin chân thành cảm ơn! ...II TÍCH PHÂN LEBESGUE TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN Xét hàm đơn giản X , A , Chú ý chủ đề tất hàm ta nói đến... hội tụ tới gọi tích phân hàm f X ký hiệu f �f x d n X f x dx � n ( X , ) Khi f gọi hàm khả tích hay khả tổng Định nghĩa khơng có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân tính khả tổng... lim � fd � A n �� A III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trong tập ta ln có giả thiết có khơng gian độ đo Các tập xét thuộc A X ,A , Bài 1: Cho hàm f đo A , hàm g , h khả tích A cho g x �f x �h