BÀI TẬP LỚN TÍCH PHÂN LEBESGUE

I. LỜI MỞ ĐẦU Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau. Trong giải tích cổ điển, Ta đã biết đến tích phân Riemann. Phần lý thuyết về loại tích phân này đã được xây dựng 1 cách hoàn chỉnh. Tuy nhiên trong nhiều loại bài toán của các lĩnh vực Vật lý học, Lý thuyết xác suất,... thực tế ta phải xây dựng 1 loại tích phân khác, với cách tiếp cận khác. Lý thuyết về loại tích phân mới này được đặt nền móng bởi công trình của Henri Lebesgue (18751941, người Pháp). Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử… Ở đây ta sẽ không xét đên tích phân Riemann nên tích phân Lebesgue sẽ được gọi đơn giản là tích phân.

I LỜI MỞ ĐẦU

Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau

Trong giải tích cổ điển, Ta đã biết đến tích phân Riemann Phần lý thuyết về loại tích phân này đã được xây dựng 1 cách hoàn chỉnh Tuy nhiên trong nhiều loại bài toán của các lĩnh vực Vật lý học, Lý thuyết xác suất, thực tế ta phải xây dựng 1 loại tích phân khác, với cách tiếp cận khác

Lý thuyết về loại tích phân mới này được đặt nền móng bởi công trình của Henri Lebesgue (1875-1941, người Pháp)

Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử…

Ở đây ta sẽ không xét đên tích phân Riemann nên tích phân Lebesgue sẽ được gọi đơn giản là tích phân

II TÍCH PHÂN LEBESGUE

1 TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN

Xét các hàm đơn giản trên X, ,A  Chú ý rằng trong chủ đề này tất cả các hàm

ta nói đến đều đo được nên không cần nói đến f hay g , là đo được Ngoài ra, f chỉ có thể nhận 1 số hữu hạn các giá trị và các tổng lấy theo mọi giá trị của f có thể

chỉ là một số hữu hạn các số hạng, nhưng ta vẫn sẽ dùng thuật ngữ “Chuỗi” để nói về những tổng như vậy và tổng hữu hạn luôn được coi là chuỗi hội tụ, thậm chí là hội tụ tuyệt đối

Giả sử f là hàm đơn giản và f X   y y1, , , , 2 y k  Đặt 1   

A  f y và ký

hiệu Y Y làn lượt là tập các giá trị không âm và không dương của f , (khi đó1, 2

Y �Y �hoặc Y1�Y2  0 ) Xết các chuỗi sau

 

 

 

 

1 2

k k k

y f X

y Y

y Y







�

�

�

�

�

�

 

 

 

1.1 1.2 1.3

Dễ thấy chuỗi  1.1

hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi 2 chuỗi  1.2

và  1.3

đều hội

tụ Trong trường hợp đó tổng của chuỗi  1.2 là số không âm, còn tổng của chuỗi

 1.3 là số không dương.

Định nghĩa 1.1: Nếu chuỗi  1.1 là hội tụ tuyệt đối thì tổng của nó được gọi là tích

phân của hàm f trên X và ký hiệu bằng một trong các biểu thức sau:

 

X

f x d

�

,  

X

f x dx

�

, X

fd

�

, �fd

Trong trường hợp này, ta nói f khả tích (hay khả tổng) trên X

Từ định nghĩa ta có thể có được các mệnh đề đơn giản sau:

 f khả tổng khi và chỉ khi f

và fđều khả tổng Khi đó f d 

f d 

� lần lượt là các tổng của các chuỗi  1.2 và  1.3 ; do đó:

fd  f d  f d 

 1.4

Từ đó cũng suy ra rằng f khả tổng khi và chỉ khi f khả tổng Khi đó

X X X

f d  f d  f d 

 1.5

Và do đó

fd � f d

 1.6

 Mọi hàm đơn giản bị chặn, trong đó có tất cả các hàm bậc thang, đều khả tổng trên không gian với độ đo hữu hạn Với những hàm như vậy ta có

   

X

x X

�

�

 1.7

 I khả tổng khi và chỉ khi A  A  �và khi đó �fd   A

 Nếu f � và khả tổng thì 0 �I d A  �0

 Nếu ,f g khả tổng (trên X ) thì với mọi ,   ��hàm f gđều khả

tổng và

 1.8

Ta sẽ có hệ quả 1.1: Nếu f và g cùng khả tổng và f � trên X thì g

fd � gd

2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT.

Trước hết giả sử  là độ đo hữu hạn Định nghĩa tích phân của hàm tùy ý , ta cần bổ

đề sau:

Bổ đề 2.1: Nếu  f n là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều thì dãy  I n ,với

 

X

I �f x d

Là dãy hội tụ.

Chứng minh: Ta có

   

X

Do tính liên tục nên sup f m x  f x n   �0

khi ,m n� � Do đó, dãy  I n là dãy

cơ bản nên nó hội tụ (đpcm)

Bổ đề 2.2: Nếu  f n và  g n là 2 dãy hàm đơn giản khả tổng và cùng hội tụ tới f thì

Việc chứng minh thực hiện bằng các xen kẽ 2 dãy hàm.

Hai bổ đề trên đảm bảo tính hợp lý cho định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.1: Nếu  f n là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều tới f thì

 

lim n

X

�

được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu là n 

X

�

X

�

, ) Khi đó f cũng được gọi là hàm khả tích hay khả tổng.

Định nghĩa này không có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân và tính khả tổng của các hàm đơn giản

Định nghĩa 2.2: Cho X, ,A  là không gian với độ đo  hữu hạn Ta nói hàm f

khả tổng trên X , nếu:

i f khả tổng trên mọi tập hợp A�A với  A  �( A xem như là không gian

con của X )

ii Với mọi dãy X X1, 2, ,X n, �A sao cho 1

1

,

n

X X  �X X





và

 X n

 

n

X

 2.1

Đều hội tụ.

Khi đó, giới hạn của dãy  2.1 (có thể chứng minh rằng không phụ thuộc vào việc chọn dãyX X1, 2, ) được gọi là tích phân của f trên X và cũng ký hiệu

 

X

f x d

�

,( hay    

X

�

, )

Từ các định nghĩa trên suy ra các mệnh đề sau:

 Hàm bị chặn trong không gian với độ đo hữu hạn luôn khả tổng Có thể thay tính bị chặn thành tính bị chặn hầu khắp nơi

 Nếu ,f g khả tổng với mọi ,   ��, hàm f gđều khả tổng và

Tính chất này được chứng minh bằng cách xét các dãy hàm đơn giản

   f n , g n và  f ng n rồi chuyển qua giới hạn.

 Nếu f khả tổng trên A và B sao cho A B � �thì f khả tổng trên A B� và

�

(tính cộng được của tích phân)

Tính chất này được chứng minh bằng nhận xét là I A B�  I A I B

 Nếu f khả tổng trên mọi tập con đo được của A

 Nếu  A 0thì �A fd 0

Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g trên A , với

   1, , 2 

g A  y y Ta có:

 

A

�

Trong đó 1   

A g y

Vì  A k � A

Nên  A k 0.

Suy ra

0

A

gd 

�

Vì trên A thì f là giới hạn (hội tụ đều) của dãy hàm đơn giản nên chính f có

tích phân bằng 0

 Nếu f khả tổng trên X và g tương đương với f thì g khả tổng và tích phân

của chúng bằng nhau

gd  fd

 Nếu f và g khả tổng và f � hầu khắp nơi thìg

fd � gd

 Nếu f khả tổng và g �f hầu khắp nơi thì g khả tổng.

Từ mệnh đề trên cũng dễ suy ra rằng f và f hoặc cùng khả tổng hoặc cùng không khả tổng

3 TÍNH CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN.

Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng trên 1

n n

A �A



U

, với A n �A , A m�A n �, m n�

Khi đó

1

n

n

fd � fd



�

 3.1

Ngoài ra vế phải của  3.1 là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Chứng minh: Trước hết giả sử f là hàm đơn giản trên A với các giá trị y y1, , 2 Đặt

 

1

B  f y và B nk A n� Khi đóB k

 

 

 

n

k A

k nk

n k

n A

fd















�

�

� �

��

��

 3.2 Đồng thời các chuỗi trong  3.2 đều hội tụ tuyệt đối.

Bây giờ giả sử f là hàm khả tổng tùy ý Khi đó, với mỗi k nguyên dương đều tồn tại

hàm đơn giản f khả tổng trên A sao cho k

    1

k

k

 3.3 Theo chứng minh trên thì

n

n

f d � f d

 3.4

Và chuỗi ở vế phải của  3.4 là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Mặt khác, vì

 

1

n n n

k

Nên

 

1

n n

 

1

n

A

Từ đó suy ra tính tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi n A n

fd

��

Ngoài ra

 3.5

Từ  3.3 suy ra k

f d� fd

Kết hợp điều này với 1.5 ta có:

n

fd fd

�� �

Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 3.1: Nếu f là hàm khả tổng không âm trênX, ,A  thì ánh xạ từ A vào



�biến A thành A

fd

�

là hàm độ đo trên X Theo một nghĩa nào đó ta có thể coi đây là mệnh đề đảo của định lý 3.1

Định lý 3.2: Nếu

1, 2, , Ai j ( ), n

n

Và chuỗi

n

n A

f d

��

 3.6

Hội tụ thì f khả tổng trên A

Chúng ta thừa nhận định lý này

4 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHOV

Ta chứng minh một bất đẳng thức về tích phân cần dùng cho bài toán sau

Cho f � và khả tổng Khi đó, với 0   thì0

 

:

X



 4.1 (bất đẳng thức Chebyshov)

Thật vậy, với C x X f x:    thì

 

c

fd  fd fd� fd � fd   C

Suy ra   1

X



Vậy công thức  4.1 được chứng minh.

Hệ quả 4.1: Nếu f � , khả tổng và 0 X 0

fd 

�

thì f x  0hầu khắp nơi.

Chứng minh: Với mỗi n nguyên dương, thì

  1

X

n

����γ� ���� 

Do đó

 

1

1

n

n





�

 

1

1

n

x X f x

n



�





�

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

5 QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN

Định lý 5.1 Levi ( hội tụ đơn điệu)

Giả sử:

n

f n��

là các hàm đo được trên A và

  1 

0 f x n  f n x x A�

Khi đó

lim n

n

Định lý 5.2 Lebesgue (hội tụ bị chặn)

Giả sử:

i Các hàm f đo được trên A và tồn tại hàm g khả tích trên A sao cho n

   , *,

n

f x �g x n�� x A�

Khi đó

lim

n

��



III BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Trong các bài tập dưới đây ta luôn có giả thiết có một không gian độ đo X, ,A 

Các tập được xét luôn thuộc A

Bài 1: Cho hàm f đo được trên A , hàm , g h khả tích trên A sao cho

     ,

g x �f x �h x x A� Chứng minh rằng f khả tích trên A

Giải.

Ta có g x  �f x  �h x ,x A�

� �

� �

�

�

f d h d

f d g d

�

� �

�

�

�

Do các tích phân ở vế phải hữu hạn nên

A

A

f d

f d









�

� �

 �

�

�

�

�

Suy ra f khả tích.

Bài 2: a, Cho hàm số f � , đo được trên A Xét các hàm0

   , ,    

n

f x

�

� n��*

Chứng minh

lim n

n

b, Ứng dụng kết quả trên để tính

  1

0

dx L x

�

Giải:

a, Ta có f x n  min n f x ,    Do đó:

 f x n  đo được, không âm

 f x n  min n f x ,    �min n 1, f x    f n1 x

 lim n  lim ,     ,     

n f x min n n f x min f x f x

Theo định lý 5.1 Levi ta có đpcm

b, Đặt f x  1 ,x 0;1 , f  0

x

Ta tìm được

2

1

n

x n x

f x

n x

n

 �

�

  1     1  

1 2

L f x dx R f x dx

n

Theo câu a, ta có    1 1  

n

L f x dx f x dx

��

Bài 3: Cho hàm f khả tích trên A Ta xây dựng các hàm f n

như sau:

       

 

, , ,

n

�

�

Chứng minh

lim n

n

Giải:

Ta thấy f x n  min n max , n f x,    

Suy ra

 f đo được, n f n �f ,n��*

 lim n    ,      ,

Áp dụng định lý 5.2 Lebesgue ta sẽ có đpcm

Bài 4: Cho  là hàm đo được không âm trên X Ta định nghĩa:

A

 �  �A

a Chứng minh  là độ đo

b Giả sử f là hàm đo được, không âm trên X Chứng minh

fd  f d 

� �

Giải:

a Vì hàm  đo được, không âm nên

0

A

fd

Chú ý rằng

0

A

d

  

�

khi  A 0, ta có   � 0

Sử dụng tính chất cộng tính của tích phân ya suy ra  đo được.

b Đầu tiên khi f là hàm đơn giản không âm

i

n n

Thật vậy

 

1

n

i i i

X



�

1

i

i

f d  a  d a  d

Từ đây ta sẽ có được đpcm

Nếu f đo được không âm thì tông tại dãy hàm đơn giản f n

1

0� �f n f n,lim f n  f

Ta có:

,

f d  f d   �n

lim lim

n

n

f d fd

�

� �



�

�

Theo định lý Levi

Từ dây ta có đpcm

Bài 5 Cho các hàm , f g khả tích trên A Với n��ta đặt:

 

A  x A n f x  n  x A f x n

Chứng minh:

a

n

n

A

gd

1

n

n

n A

�



 �

�

c lim  n 0

n n B

Giải:

0

n



 

a Do tính chất cộng ta có

0

n

gd gd

�



Do điều kiện cần về sự hội tụ của chuỗi

Nên

n

n

A

gd

(đpcm)

b Do tính chất cộng ta có

0

�



Mặt khác

 

n

n A

f d�n A

�

1

n n

n A

�



 �

�

(đpcm)

c Đặt n  k

k n

�



ta có:

lim n 0

n�� 

k n



Từ đây lim  n 0

n n B

( đpcm)

Bài 6: Giả sử  X  � Ta ký hiệu M là tập các hàm đo được hữu hạn trên X

Trong M ta định nghĩa quan hệ " " như sau: f g� f x  g x hkn  trên X

Ta định nghĩa :

 , 

1

X

f g

f g 



 

�

,f g M�

a Chứng minh d là một metric trên M

b Giả sử lim n   

Chứng minh limn f n f

�� 

trong M d, .

Giải:

a Trước hết ta kiểm tra số d f g , 

hữu hạn với mọi cặp ,f g M� Thật vậy, hàm 1

f g h

f g





  đo được, bị chặn trên tập X và  X  �nên hàm khả tích Kiểm

tra điều kiện i, iii, của metric như sau:

i, d f g ,  �0

   

   

   

, 0

0 1

d f g

f x g x

f x g x

f x g x

f g







�



�



�

Trong M theo nghĩa hầu khắp nơi.

iii, Với , ,f g h M� ta có:

   

                   

f x g x f x h x h x g x

Lấy tích phân 2 vế ta có

 ,   ,   , 

d f g �d f h d h g

b Ta cần chứng minh

1

n n

n

f f

f f



 h đo được trên X , n h n h n �1, hàm g x  1khả tích trên X ( do

 X

  �)

 lim n 0,

�� 

trên X

Áp dụng định lý Lebesgue, ta có

n X

h d

hay lim  n,  0

Bài 7: Cho hàm f là hàm đo được, dương, hữu hạn hkn trên A Với mỗi k ��đặt

 

k

A  x A�   f x �

Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và chỉ khi:

 

2

k

k

k

k

A



�

�

 �

�

Giải.

Đặt Bx A f x� :    � Ta có các tập A k k, ��,Blà những tập không giao nhau có hợp bằng A Do tính cộng của tích phân, ta có:

k

k

k

fd � fd

�

 �

(chú ý

0

B

fd 

�

do  B 0)

Vì

1

k

A

ta có

1

2

n

Từ đây ta sẽ có được đpcm

Bài 8: Cho dãy các hàm  f n khả tích, hữu hạn trên A , hội tụ trên A về hàm f và

 A

  �.

Chứng minh f khả tích trên A và

lim n

n

Giải:

Vì các hàm f đo được nên f đo được n

Vì dãy  f n hội tụ đều trên A và f nên có số *

0

n �� thỏa mãn

n

f x  f x � x A n n�  �

 1

 Từ  1 ta có f x  �1 f x n 

Vì  A  �nên hàm 1 f n khả tích trên A do đó f khả tích trên A

 Cũng từ  1

ta có f n �1 f trên A �n n0và hàm 1 f khả tích trên A

Áp dụng định lý Lebesgue ta sẽ có đpcm

Bài 9:

Tính các giới hạn:

a

2

2

0

lim n1 n

���

b

1

lim

1

nx nx n

x x e

dx e

��







�

c

2

0

lim 1

n n

x n

x

e dx n



��

� �

�

Giải.

a Đặt   n1 2n,  0;2 , 1, 2,

n

 Hàm f liên tục trên n  0; 2 nên  L đo được.

 Khi 0�x1ta có lim   1

n f x

Khi 1 � ta cóx 2

 

2

1 lim 1

lim 1 1

n n n

n

n

x f

��

��



Do đó lim n   

Với f x  1, x� 0;1 ,f x  x x2, � 1; 2

 f x n   f x n  �1x2,n��*

Áp dụng định lý Lebesgue, ta có:

10 lim

3

n

n f x dx f x dx

b Đặt f x n  là hàm trong dấu tích phân thì ta có

 lim n   

với f x  x x, �1;0 , f x  x x2, �0;1

1

nx

e



c Đặt

 

2

0, ,

n x

n

x

x n



�� � �

�� �

 �� �

�

 f n  L đo được trên 0,�

 Với mỗi x0, thì x� 0,n khi nđủ lớn, do đó:

n

n

x

n

n

n

x

n

( ta đã sử dụng 1 �t e t t, � )0

Hàm g x  exlà  L khả tích trên 0;�

Áp dụng định lý Lebesgue ta có

 

2

n n

n

x

n

Bài 10: Chứng minh:

1

0

1 lim

n

n

x

x



�

Giải:

Ở đay ta không thể áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm n  1 n

nx

f x

x



 vì không

tìm được hàm g khả tích sao cho f x n  �g x ,n

Ta tích phân từng phần và được:

1

0

1

2 0

1

1

0

1

1 2

n

n

x

x

dx

n

I

n



�

�

Áp dụng định lý Lebesgue ta sẽ minh được limn I n 0

�� 

Vậy

1

0

1 lim

n

n

x

x



�

IV LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy cô của trường đại học Hồng Đức, đặc biệt là các thầy cô khoa khoa học tự nhiên của trường đã tạo điều kiện cho em thực hiện phần bài tập này Và em cũng xin chân thành cám ơn thầy Nguyễn Xuân Thuần đã nhiệt tình hướng dẫn hướng dẫn em hoàn thành bài tập lớn này

Trong quá trình thực hiện, cũng như là trong quá trình làm bài tập lớn, khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy, cô góp ý, chỉnh sửa đẻ em có thể hoàn thiện hơn về kiến thức của mình

Em xin chân thành cảm ơn!