SKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại sốSKKN Các dạng toán liên quan đến phân thức đại số
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỐNG NHẤT TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Người thực hiện: Bạch Đình Thảo Tổ: Toán – Lý - Tin Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học mơn: Tốn - Lĩnh vực khác: Có đính kèm: Các sản phẩm khơng thể in SKKN Mơ hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác Năm học: 2015-2016 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: BẠCH ĐÌNH THẢO Ngày tháng năm sinh: 04/09/1989 Giới tính: Nam Địa chỉ: LÊ LỢI - QUANG TRUNG - THỐNG NHẤT- ĐỒNG NAI Điện thoại: 01656043435 Fax: E-mail: bachdinhthao49@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: Bí thư đồn trường, dạy tin học lớp 61, 62 Toán 84, 85 Chủ nhiệm 84 Đơn vị công tác: Trường THCS Quang Trung II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Cao đẳng sư phạm - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: 2011-2012: Một số dạng tốn tìm x lớp 2012-2013: Dạng tốn tìm x liên quan đến giá trị tuyệt đối 2013-2014: Dạng tốn tìm x liên quan đến giá trị tuyệt đối 2014-2015: Dạng tốn tìm x liên quan đến giá trị tuyệt đối MỤC LỤC Nội dung A/ PHẦN MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài 2/ Mục tiêu đề tài a/ Mục đích b/ Đối tượng nghiên cứu c/ Phương pháp nghiên cứu d/ Phạm vi B/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI I/ Cơ sở chọn đề tài 1/ Cơ sở lý tuận 2/ Cơ sở thực tiễn 3/ Kết khảo sát II/ Giải vấn đề 1/ Các giải pháp thực 2/Các biện pháp tổ chức thực 2.1 Dạng 1: Tìm điều kiên xác định phân thưc đại số 2.2 Dạng 2: Rút gọn phân thức 2.3 Dạng 3: Phép cộng, trừ phân thức đại số 2.4 Dạng 4: Phép nhân, chia phân thức đại số 2.5 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức liên quan đến phân thức 2.6 Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ phân thức đại số 2.7 Dạng 7: Tìm giá trị biến để phân thức có giá trị nguyên 2.8 Dạng 8: Tách phân thức thành tổng phân thức khác 2.9 Dạng 9: Chứng minh phân thức phân thức tối giản III/ Các biện pháp khắc phục 4/ Kết C/ Kết luận Bài học kinh nghiệm Ý kiến đề nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên Toán Nhà xuất giáo dục sách tập toán Nhà xuất giáo dục Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số Tác giả Trần Thị Vân Anh Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội Các dạng toán phương pháp giải toán Tác giá: Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Ngun Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên Nhà xuất giáo dục Việt Nam 500 toán chọn lọc lớp Tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Quang Hanh, Ngô Long Hậu Nhà xuất đại học sư phạm Bồi dưỡng phát triển tốn Tác giả: Phạm Đức, Nguyễn Hồng Khanh, Lê Văn Trường Nhà xuất Đà Nẵng Trang mạng: http://violet.vn/main/ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A/ PHẦN MỞ ĐẦU: 1/ Lý chọn đề tài: Là giáo viên dạy toán trường THCS Quang trung suy nghĩ để kiến thức truyền đạt đến em cách đơn giản, dễ hiểu chắn, em có kiến thức vững vàng, tạo điều kiện cho em u thích mơn tốn, tránh cho em có suy nghĩ mơn tốn khơ khan khó tiếp cận Trong giảng dạy truyền đạt kiến thức cho em qua luyện tập, giảng dạy lớp, kiểm tra tập nhà… tơi nhận thấy điều, dạy mơn tốn cần phân chia thành dạng cho em, với năm tham gia giảng dạy mơn tốn tơi nhận thấy phần kiến thức phân thức đại số có vai trò quan trong, thực dạng học sinh mắc nhiều sai lầm Từ tơi sâu vào tìm tòi để tìm ngun nhân từ có biện pháp hữu hiệu để hạn chế chấm dứt sai lầm mà học sinh hay mắc phải Trong chương trình tốn THCS với lượng kiến thức lớn chặt chẽ, yêu cầu học sinh cần phải ghi nhớ, mơn đại số học sinh giải toán cần phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng hợp lí dạng tập, từ hình thành kĩ sở nắm bắt kiến thức nâng cao Qua thời gian giảng dạy mơn tốn lớp 8, tơi nhận thấy việc “ phân loại tập thành dạng tìm phương pháp giải cho dạng cần thiết quan trọng “ định chọn đề tài : “các dạng toán liên quan đến phân thức đại số ” 2/ Mục tiêu đề tài: a/ Mục đích: Nhằm giúp cho học sinh có kiến thức số dạng toán liên quan đến phân thức đại số chương trình lớp nói riêng kiến thức bậc trung học sở nói chung, giúp em tự tin nắm kiến thức dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối chương trình tốn có sở vững cho kiến thức lớp b/ Đối tượng nghiêm cứu: Học sinh lớp trường trung học sở Quang Trung c/ Phương pháp nghiên cứu: Thông qua kiểm tra khảo sát đầu năm, kiểm tra vấn đáp kiến thức bản, trọng tâm mà em học Qua giúp tơi nắm ''lỗ hổng” kiến thức em Rồi tìm hiểu nguyên nhân lập kế hoạch d/ Phạm vi: Học sinh trường trung học sở Quang Trung B/ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I/ CƠ SỞ CHỌN ĐỀ TÀI 1/ Cơ sở lý luận: Kiến thức bậc trung học sở sở bậc trung học phố thơng Nắm vững kiến thức, kỹ tốn học bậc trung học sở điều kiện thuận lợi để học tốt lớp 2/ Cơ sở thực tiễn: Trong thời gian trường dạy phân cơng giảng dạy mơn tốn, thời gian tơi nhận thấy học sinh giải tốn liên quan đến giá trị tuyệt đối thường mắc số sai lầm, đa số em giải thiếu logic sai kiến thức, lấn lộn kiền thức phần phần khác, nên kết học em chưa cao 3/ Kết kiểm tra khảo sát: (năm học 2014-2015) Lớp Giỏi Khà Trung bình Yếu 8/4 4% 10% 40% 46% 8/5 4,2% 9,8% 39% 47% II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1/ Các giải pháp thực hiện: Kiến thức cần nhớ làm dạng toán chuyên đề 1.1 Định nghĩa phân thức đại số Phân thức đại số biểu thức: A + Có dạng B A, B đa thức + B khác đa thức 1.2 Định nghĩa hai phân thức A C B = D A.D= B.C 1.3 Tính chất phân thức A Với B phân thức M, N đa thức khác đa thức ta có A A.M + B B.M A A: N B B: N + 1.4 Rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức ta có thể: + phân tích tử mẫu thành nhân tử chung cần để tìm nhân tử chung + chia tử mẫu ch nhân tử chung 1.5 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, phép cộng, trừ, nhân, chia, phân thức 1.6 Một số tính chất bản: a �b + �0 a �b �0 a �b ۱ , với n số chẵn A(x) �0 A(x) � A(x) , với số thực x n n n a b n khác 2/ Các biện pháp tổ chức thực 2.1 DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA MỘT PHÂN THỨC a/ Phương pháp Một phân thức muốn xác định mẫu phân thức phải khác Sau số dạng tìm điều kiện xác định hay gặp A Phân thức B xác định B �0 b/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 2x 2x 3x x2 x a/ 5x 10 b/ 2x c/ 4x d/ x x 3 Hướng dẫn làm: Trước thực cần cho học sinh xác định rõ phân thức có tử gì? Và mẫu gì? Phân thức xác định nào? 10 x a/ ĐKXĐ: x � x b/ ĐKXĐ: x � c/ ĐKXĐ: x �0 �x �1 � �� � x � � �x �3 d/ ĐKXĐ: x � 5 x Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phân thức sau x2 x3 16x x3 x2 x b) x 3x 4x a) x 3x 10 Bài làm x3 2x c) �x �2 x x 10 �0 � x x �0 � � �x �5 a/ ĐKXĐ: x 3�� x 4 x �� x�۹ x 3x 2 x x 1 x b/ ĐKXĐ: ví dụ 3: Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa: a) x x2 d) x 4x Bài làm: 3x b) (x 1) �x �0 � �x �x �4 � 5x c) x 2x x e) x x a/ x 2 ta có: x �0, x�R � x 1 0, x�R x xác định x�R 3x b/ (x 1) 2 ta có: (x 1) �0, x�R � (x 1) 0, x�R 3x (x 1) ln xác định x�R Ví dụ 4: Tìm giá trị x để phân thức sau không: x2 x b) 2x 2x 5x 10 a) Bài làm: 2x c) 4x �x �2 2x+1 � 5x 10 �0 � 0� � � � 1 2x 1 x 5x 10 � � � a/ 2x 1 0 vây 5x 10 x = b/ x2 x 0 2x � 2x �0 �x �0 � �2 �� �x x �x(x 1) � x1 x2 x Vậy 2x =0 x = c/ Một số tập áp dụng: Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức sau 2x a/ 3x x2 2x -1 c/ 4x + x2 x b/ 2x d/ e/ x 9x 10 x2 x x 1 x3 x f/ x 3x 4x x3 x2 2x g/ x3 5x Bài 2: Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa: x y 2 a) x 2y b) x y 2x Bài 3: Tìm giá trị x để phân thức sau không: a) 2x 5x+5 x2 x b) x x2 x c/ x+1 2.2 DẠNG 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC a/ Phương pháp: Muốn làm tốt tập dạng học sinh cần nẳm vững kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp làm: Muốn rút gọn phân thức đại số ta phân tích tử mẫu thành nhân tử cần, sau chia tử mẫu cho phân thức b/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau: a) b) c) d) Bài làm: 14 xy5 x y y4 3x(2 x y ) 21x2 y x y a/ xy 3x 1 b/ 2 y (3x 1)2 12 x3 x 12 x3 x 1 3x2 15 x y x y c/ xy x 1 35 x y y x 15 x y y x 35 x y y x xy (2 y x) 10 xy x 1 y (2 x 1)2 12 x3 x 1 x2 d/ Ví dụ 2: Rút gọn phân thức sau: a) c) b) d) Bài làm: 20 x 45 5(4 x 9) 5(2 x 3)(2 x 3) 5(2 x 3) 2 (2 x 3) (2 x 3) 2x x 3 a/ 80 x 125 x x(16 x 25) x(4 x 5)(4 x 5) x(4 x 5) x 3 x 3 x ( x 3)(4 x 5) ( x 3)(4 x 5) x 3 b/ x3 x x x ( x 3) ( x 3) ( x 3)( x 1) x x x x ( x 3) x ( x 3) x c/ x x 12 ( x 3)( x 4) x d/ x x ( x 3)( x 2) x c/ Một số tập áp dụng: Bài Rút gọn phân thức sau: 5x a) 10 4xy (y �0) b) 2y 21x2y3 (xy �0) c) 6xy 2x 2y d) 5x 5y (x �y) x y e) 15x(x y) (x �y) 3( y x ) f) Bài Rút gọn phân thức sau: x2 16 a) 4x x x2 xy (x �0, x �4) f) 3xy 3y x2 4x (x �3) b) 2x 15x(x y)3 c) 5y(x y) (x �y, y �0) 2ax2 4ax 2a 5b 5bx2 g) (y (x y) �0) 5(x y) 3(y x) (x �y) 10( x y ) d) 2x 2y 5x 5y (x � y) x y x y e) 4x2 4xy h) 5x 5x y (b �0, x ��1) (x �0, x �y) (x y)2 z2 (x y z �0) x y z i) x6 2x3y3 y6 x7 xy6 (x �0, x ��y) k) 2.3 DẠNG 3: PHÉP CỘNG, TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ: a/ Phương pháp Muốn cộng phân thức mẫu giữ nguyên mẫu, cộng tử Muốn cộng phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức mẫu vừa tìm Phép trừ phép cộng với phân thức đối phân thức trừ A C A �C� � � B D B � D� b/ Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính: 3x 2x d) x y x y x 2 e) x x x 3x x f) 5x 5y 10x 10y x 1 x a) x y 2y b) 1 3x x c) x 9y 2 g) x 9y x h) xy y x2 3y x 3xy 2x y xy x2 k) x 4x 3x x Bài làm: x 1 x 4 5 a/ x y 2y x y 8 b/ x 2 e/ x x x f/ 1 3x x 4x 2x 2 c/ 3x 2x x d/ x y x y x y x x2 3x x (x 1)2 x (x 1)(x 1) x(x 1) x(x 1)(x 1) x(x 1)(x 1) x(x 1) 3x x 3x x 6x2 6xy x2 xy 5x2 7xy 5x 5y 10x 10y 5(x y) 10(x y) 10(x2 y2) 10(x2 y2) x 9y 3y 2 g/ x 9y x 3xy x 9y 3y (x 3y)2 x 3y (x 3y)(x 3y) x(x 3y) x(x 3y)(x 3y) x(x 3y) x 2x y 2 h/ xy y xy x x2 x 2x y x2 2xy y2 x y y(x y) x(x y) xy(x y) xy x x 2x x 6 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) k/ x 4x 6 3x x (x 4) 2 x x c/ Một số tập áp dụng: Bài Thực phép tính: x2 x 1 4x xy xy a) 5xy2 x2y 4xy2 x2y xy 3xy b) x x x c) a b a b a b xy y 3xy y 2x2 y3 d) x y 2x2 xy xy y2 2y2 x2 x y y x x y e) Bài Thực phép tính: 2x x 15 a) 10 3x 2x x 20 b) 10 15 x x2 c) 2x 2 2x d) x x2 f) x 4x 3x x 2x2 10xy 5y x x 2y xy y x g) 3x x y x y x y2 h) 2x y e) xy y xy x Bài Thực phép tính: 2x y 2 a) x xy xy y x y 3xy x y 3 x y y x x xy y2 b) Bài Thực phép tính: i) x y 2x y x2 y2 x y 16x 2x y 2 2 c) 2x xy y 4x 2x xy 1 16 16 d) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2(x y)(x y) 2y2 x x a) xy x2 b) 2x y y 2x 4x 1 7x 1 x y 3x y c) Bài Thực phép tính: 4x 3x a) x x b) x x x 3x 10x c) 3x 3x 9x 2x x x x x d) 4a2 3a e) a3 1 2a a2 a a 10 5x2 y2 3x 2y xy y f) k) g) x6 h) x x x m) x2 1 x4 x2 10 15 a a (a 1) a 2.4 DẠNG NHÂN, CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ a/ Phương pháp: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử với nhau, nhân mẫu với A C AC B D B.D A C A Muốn chia phân thức B cho phân thức D khác 0, ta nhân B với phân thức nghịch đảo C D : A C A D : B D B C b/ Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính 2x2 y a) x y 5x 2 3x 3y 15x y b) 5xy 2y 2x c) d) x2 y2 x y : 6x2y 3xy Bài làm: a/ 2x2 y 2x2y x y 5x3 5x4 5x3y 3x2 3y2 15x2y b/ 5xy 2y 2x x2 y2 x y (x2 y2).3xy x y : 2x 6x2y 3xy (x y).6x2y c/ c/ Bài tập áp dụng Bài 1: Thực phép tính: 6x a) x y 2x2 3xy2 y b) 15 x y c) y x d) x 10 x 4x x x 36 e) x 10 x x2 9y2 f) 2 xy 3xy 2x 6y 11 2a3 2b3 6a 6b 2 g) 3a 3b a 2ab b Bài 2: Thực phép tính: 2x : 6x2 a) e) � 18x2y5 � 16x2y2 : � � � � b) x2 4x : f) x x 3x 25x3y5 :15xy2 c) g) d) x y x2 xy : y x 3x2 3y2 h) x2 xy x y : y x 2x2 2y2 k) h) Bài 3: Thực phép tính: x ��1 � � : x 2� �2 �� � a) �x x x ��x c) x �x x � :� : � x x x 1 � � d) b) 2.5 DẠNG 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN PHÂN THỨC a/ Phương pháp Loại 1: Phương pháp muốn chứng minh hai phân thức ta áp dụng định A C � A.D B.C nghĩa hai phân thưc nhau: B D Hoặc ta áp dụng rút gọn để biến đổi phân thức phân thức kia, biểu thức thứ Loại 2: Chứng minh đẳng thức với điều kiện cho trước Ở dạng ta dựa vào điều kiện cho trước để tìm mối liên hệ liên quan đến đẳng thức cần chứng minh b/ Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau: y 20 xy 28 x x3 x2 b/ x x a/ a/ Cách 1: Dùng định nghĩa: y.28 x 140 xy � y 20 xy �� y.28 x 7.20 xy 7.20 xy 140 xy � Ta có 28 x Cách 2: Dùng phương pháp rút gọn: Ta có: 20 xy x.5 y y y 20 xy 28 x x.7 28 x x3 x2 x 2 x x 4 x b/ Cách 1: Ta có: x x 12 x 2 x2 2x 4 x3 x3 x2 x 2 x2 2x Cách 2: Ta có: x x x x Ví dụ 2: Ba phân thức sau có khơng x2 2x x x2 4x ; ; x2 x x x2 x Hướng dẫn: Ta chứng minh hai phân thức phân thức lại Ví dụ 3: Chứng minh x=by+cz, y= ax+cz, z=ax+by x+y+z �0 1 2 1 a 1 b 1 c Bài làm: Ta có: x+y+z= by+cz+ ax+cz+ ax+by= 2(ax+by+cz) Mà x= by+cz nên 2(ax+by+cz)=2(ax+x)=2x(a+1) x yz � a+1= x 2x Suy ra: a x y z 2y 2z ; Tương tự ta có: b x y z c x y z 2x 2y 2z 2( x y z ) 1 2 x y z x y z x y z x y z a b c Vậy 1 1 Ví dụ 4: Cho a b c a b c chứng minh với n số nguyên lẻ ta có: 1 1 n n n n a b c a bn cn Bài làm: Ta có 1 1 1 1 ab a b � � a b c abc a b a bc c ab c a b c � a b ac bc c ab a b � a b ac bc c ab a b � � � a b b c a c � � c b � a c � Suy ra: 1 1 1 n n n n n n n a b c b b c c 1 n n n n a b c b b n c n c n 1 1 n n n n a b c a bn c n Vậy: c/ Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau: a/ y xy 8x x y 3a x y 3a 9a x y b/ 13 Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng thức sau: A x 3x a/ x x x x 3x A b/ x Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau: ac bx ax bc xc b/ ay 2bx 2ax by x y a/ 1 1 1 1 1 x y z x y z Bài : Chứng minh nếu: x = y+z y xy x y x x3 3x x Bài 5: Cho a; b; c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 1 a ab b bc c ca a2 b2 c2 a b c 0 1 Bài 6: Cho b c c a a b Chứng minh b c c a a b 3 Bài 7: Chứng minh : Nếu có a b c 3abc a = b = c a + b + c = b c ��b c c a a b � �a � � � � 3 b c � Bài 8: Cho a b c 3abc Chứng minh �b c c a a b �� a 2.6 DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT PHÂN THỨC a/ Phương pháp giải A B x A x B với A, B Ta biến đổi biểu thức dạng phân thức số Sau áp dụng kiến thức học tìm giá trị lớn nhỏ A(x) B(x) b/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: x 1 14 a/ Tìm giá trị nhỏ phân thức dạng ta thấy mẫu phân thức số, cụ thể 14 >0 phân thức có giá trị nhỏ 2x 1 nhỏ 2x 1 2x 14 Bài làm: Có giá trị nhỏ nhỏ nhất, mà x �0 � x �3 x 2x nên giá trị nhỏ 2x-1=0 => : 2x 1 x 14 giá trị nhỏ : 14 b/ Tìm giá trị lớn phân thức: x x 14 làm: x x có 2 giá trị lớn x x có giá trị nhỏ x x x 2.x.2 x �2 mà x= -2 x 4x nên x 2 co giá trị nhỏ có giá trị lớn là: x= -2 c/ Tìm giá trị nhỏ phân thức sau A = với x ≠ Bài làm: A= = Do (2x – 3)2 ≥ 3x2 > nên � A ≥ – Vậy giá trị nhỏ A – (2x – 3)2 =0 � c/ Bài tập áp dụng: Câu 1: Tìm giá trị nhỏ phân thức: 6x 5 x3 x 3x x2 2x x x 19 11 13 13 a/ b/ c/ d/ e/ 13 5 x 2y x 4y x2 x y y 13 10 f/ g/ h/ Câu 2: Tìm giá trị lớn phân thức sau: a/ x x b/ x x c/ x y d/ 14 x 10 y 2 2 e/ x x y y 15 f/ x x y y 20 2.7 DẠNG 7: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN a/ Phương pháp Thông thường ta thực phép chia tử cho mẫu để tìm thương số dư để viết phân thức dạng sau A r B.Q B B Q đa thức thương, r số dư b/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên x, để biểu thức sau có giá trị nguyên x3 x x3 x x 1 x2 a/ b/ Bài làm: a/ Ta có ĐKXĐ: x �1 x3 x 2 x2 x 1 x 1 15 Biểu thức cho có giá trị nguyên Hay x-1 ước 2 x 1 x 1 x 3 � � � x 2 � x 1 � �� � � x 1 x (loai) � � x 1 � x0 � Vậy biểu thức cho có giá trị nguyên b/ Ta có ĐKXĐ: x �2 x3 x 4 x2 x2 x2 Biểu thức cho có giá trị nguyên Hay x-2 ước 4 x2 có giá trị nguyên x � 1;0;3 có giá trị nguyên x2 x4 � � � � x 2 � x0 � � � x 1 x3 �� � x 1 � x 1 � � � x2 x6 � � x 4 � x 2 � Vậy biểu thức cho có giá trị nguyên c/ Một số tập áp dụng Bài 1: Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên x � 2;0;1;3; 4;6 b/ 2x 1 x 1 f/ x2 x2 a/ c/ x x 1 x 59 d/ x Bài 2: Với giá trị x giá trị phân thức sau số nguyên 5x2 x x a/ x 3 b/ x c/ d/ 3x x2 7x x4 2.8 DẠNG 8: TÁCH MỘT PHÂN THỨC THÀNH TỔNG CỦA NHỮNG PHÂN THỨC KHÁC a/ Phương pháp chung: Thông thường ta thực phân tích mẫu phân thức nhân tử 16 A x2 3x 6A x A B B x x B51 x B.2 x B1 x B2 x a/ x2 x c/ tíchx ra6 đa thức bậc mẫu phân x 3x 10 x A xx x A ax b c x3 b/ d/ B x x B51 x B.2 x B1 x B2 x B1 ( x) tam thức bậc 2.9 CHỨNG MINH MỘT PHÂN THỨC LÀ PHÂN THỨC TỐI GIẢN b/ Một số ví dụ: a/ Phương pháp chung: Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên x, để biểu thức sau có giá trị nguyên Ta xđi chứng minh ước chung lớn tử mẫu 1, từ suy tử mẫu nguyên tố nhau, phân số đa cho tối giản a/ x 3x Bài làm: an + b a/ Ta có ĐKXĐ: x �4, x �1 Cách minh 1.B Ví dụ: cn + d x chứng x 3UCNN A Nếu và1 c xbằng x 3giá x 4trị tuyệt ( x 1)(đối x 4) ax ta cộng trừ tử mẫu � Nếu ax c,3 ta biến A xđổi các B hệ 1 n thành UCNN(a,c) x số � b/ Một số ví dụ: x x x 3x 5- 3n � A x B x 1 x Ví dụ 1: Chứng minh 3n- phân số sau tối giản với n �N � A B x 4A B x Bài�làm: Gọi d=UCLN(5-3n; 3n+4) A B 1 � � 5-3n Md Nên: A B 3 � 2Md �3n-4 A � M � Md � Suy � �ra: (5-3n)+ (3n-4) d �B5 - 3n � n �N Vậy 3n- phân 2 số tối giản x 3 2 x thi học x 1sinhx giỏi máy x 5tính xcầm 20 tay huyện Thống Nhất 2013-2014 Vậy: Ví dụ x2:Đề c/ Một số tập áp dụng 3n +1 Bài 1: Viết phân thức sau dạng tổng hiệu biểu thức nguyên với Chứng minh phân số 5n + phân số tối giản n �N phân thức Bài làm: Gọi d=UCLN(3n+1; 5n+2) Nên: 3n+1Md � 5(3n+1) Md 5n+2Md � 3(5n+2) Md Suy ra: 5(3n+1)- 3(5n+2) Md � 1Md 3n +1 Vậy 5n + phân số tối giản n �N C/ Một số tập áp dụng Bài 1: Chứng minh phân thức sau tối giản n+ 2n + a/ n + b/ 3n + 17 3n + c/ 4n + 6n + d/ 4n + 12n + e/ 5n + 18 a 2a Bài 2: Chứng minh phân thức a 3a tối giản.( đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn tốn năm 2013-2014) Hướng dẫn: sử dụng thuật tốn o7clit để chứng minh ước chung lớn 2.10/ MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP a/ Phương pháp: Áp dụng phương pháp dạng toán để làm tốn b/ Một số ví dụ: ví dụ 1: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn tốn 2012-2013 x �1 x �1 : � � x x 1 x2 � x2 1 Cho biểu thức: A = � a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < Bài làm x �1 x �1 : � � a/ A = �1 x x 1 x � x x x x x2 1 x2 1 2x = 2 x = x 2x x2 = x 1 2x = 2x b/ Để A < 2x < � - 2x < �x> Vậy: x > A