Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y f x ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 x C có hệ số góc k Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x Chú ý: Cho đường thẳng Nếu d // x0 f ' x0 y0 y0 : Ax By C , đó: d : y ax b Nếu d y0 x0 d : y ax b hệ số góc k = a a hệ số góc k Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A xA ; yA C Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, d : y k x xA Điều kiện tiếp xúc d C hệ phương trình sau phải có nghiệm: Tổng quát: Cho hai đường cong C : y hệ sau có nghiệm f x g x f' x g' x f x C ' : y yA f x k x f' x k xA yA g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với Cho hàm số y x4 x a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại điểm có hoành độ x ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x y 2009 iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d2 : x 24 y 2009 Cho hàm số y Cho hàm số y x2 x có đồ thị (C) x a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại giao điểm (C) với trục tung ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1; 1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13 x2 x có đồ thị (C) x 1 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất điểm trục tung mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) x 3x Cho hàm số y có đồ thị (C) x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b Chứng minh qua điểm M( 3;1) kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho hai tiếp tuyến vuông góc với x2 Cho hàm số: y có đồ thị (C) x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Tìm M (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng qua M tâm đối xứng (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm ) Tìm m để (Cm ) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm ) B C vuông góc với Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm d (Cm ) là: x3 + mx2 + = – x + x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x + mx + d cắt (Cm ) ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác m2 g g m m Vì xB , xC nghiệm g(x) = S xB P xB xC xC m Tiếp tuyến (Cm ) B C vuông góc với nên ta có: f xC f xB xB xC 3xB 6m 2m 3xC 2m 4m m Cho hàm số y x2 x xB xC xB xC 2m 10 m m xB xC 4m 1 (nhận so với điều kiện) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ để từ kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc Lời giải: Gọi M(x0 ;y0 ) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k y = k(x – x0 ) + y0 x2 Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: k x x0 y0 , kx x k x2 y0 kx0 x * k k d tiếp xúc với (C): y0 kx0 41 k x02 k y0 2 x0 y0 k y02 kx0 Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x0 y02 x02 y0 x0 x0 x02 y02 y0 x0 I k1 , k k1k C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn: x2 y loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận 2x Cho hàm số y (ĐH Khối D 2007) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB ; M 1;1 ĐS: M x2 x (ĐH Khối B 2006) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên Cho hàm số y ĐS: b y x 2 m (*) (m tham số) (ĐH Khối D 2005) x x 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M điểm thuộc (Cm ) có hoành độ Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng 5x y ĐS: m=4 11 Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 10 Gọi (Cm ) đồ thị hàm số: y x4 12 Cho hàm số y x3 13 Cho đồ thị hàm số C : y m x2 x m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành x2 Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp x tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số C : y x3 3x Tìm tập hợp điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 16 Cho đồ thị hàm số C : y x3 3x Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 17 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH Khối B 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) Lời giải: y f(x)=4x^3-6x^2+1 a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = x = hay x = BBT : x y' y + 0 CĐ -7 + + -6 CT -5 + x -4 -3 -2 -1 b Tiếp tuyến qua M( 1; 9) có dạng y = k(x + 1) – -2 Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) 2 -4 x = –1 hay 2x – 5x + = 6x – 6x x = –1 hay 4x2 – x – = -6 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số x = –1 hay x = 5 ; y’( 1) = 24; y ' 4 15 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 15 21 x 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y f x ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: Nghiệm phương trình f ' x Nếu Nếu f ' x0 f '' x0 f ' x0 f '' x0 0 hoành độ điểm cực trị hàm số đạt cực đại x x0 hàm số đạt cực tiểu x x0 Một số dạng tập cực trị thường gặp Để hàm số y a f x có cực trị y' Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành yCĐ yCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung xCĐ xCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ 0 yCT yCĐ yCT yCĐ yCT 0 Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax3 bx cx d Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị ax bx c Dạng 2: Hàm số y dx e ax bx c ' 2a b x Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y dx e ' d d x2 m m2 Chứng minh hàm số y = x x m4 m có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm đường thẳng y=2x x mx m x Định m để: Cho hàm số y a Hàm số có cực trị b Có cực trị khoảng 0; c Có hai cực trị khoảng 0; Định m để hàm số y x3 3mx2 m2 x b 4ac đạt cực đại x = 2 Cho hàm số y = x 3x +3mx+3m+4 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát hàm số m = b Định m để hàm số cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu Cho hàm số y x3 3mx2 x 3m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x2 m x m Cho hàm số y Chứng minh đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu với x m m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành Cho hàm số y x3 2m x 2 m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ x2 Cho hàm số y 2mx 3m2 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục x m tung x mx 2m x m Cm Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương x 2 m x m 4m 10 Cho hàm số y (1) (ĐH Khối A năm 2007) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m= b Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O Cho hàm số y ĐS: m x3 11 Cho hàm số y 3x m2 x 3m (1), m tham số (ĐH Khối B năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ 12 Cho hàm số y ĐS : b m mx m2 x2 10 (1) (m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị 10 (ĐH Khối B năm 2002) y x -10 -5 -5 b ĐS : a 13 Gọi (Cm ) đồ thị hàm số y x2 m m m x m (*) (m tham số) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 -10 -15 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm ) có hai điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 y x -6 -4 -2 -2 b CĐ( 2;m 3), CT(0;m+1) a MN 20 -4 Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y f x có -6 tập xác định miền D f(x) đồng biến D f' x 0, x D f ' x 0, x D f(x) nghịch biến D (chỉ xét trường hợp f(x)-8 = số hữu hạn điểm miền D) Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x ax bx c -10 Nếu Nếu Nếu dấu với a f(x) dấu với a b b f(x) dấu với a x f(x) có nghiệm x 2a 2a f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) So sánh nghiệm tam thức với số 0 P * x1 x2 * x1 S x2 P S * x1 x2 P Cho hàm số y x3 m x m x Định m để: a Hàm số đồng biến R b Hàm số đồng biến khoảng 2; Xác định m để hàm số y a Đồng biến R b Đồng biến 1; Cho hàm số y x x3 mx 2 2x 2m x 12m x a Định m để hàm số đồng biến khoảng 2; b Định m để hàm số nghịch biến khoảng Cho hàm số y mx ; 6x Định m để hàm số nghịch biến 1; x C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Quan hệ số nghiệm số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1 ) y=g(x) có đồ thị (C2 ) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1 ) (C2 ) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1 ) (C2 ) số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) (1) vô nghiệm (C1 ) (C2 ) điểm chung (1) có n nghiệm (C1 ) (C2 ) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 (C1 ) (C2 ) cắt N(x1 ;y1 ) (1) có nghiệm kép x0 (C1 ) tiếp xúc (C2 ) M(x0 ;y0 ) x có đồ thị (C) x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Cho hàm số y b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 2 m x m 2 Cho hàm số y x x có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x 2 2m Cho hàm số y x3 kx2 a Khảo sát hàm số k = b Tìm giá trị k để phương trình x3 kx có nghiệm Cho hàm số y x3 3x (ĐH Khối D 2006) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m , m 24 x 3x Cho hàm số y (1) (ĐH Khối A 2004) x a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 ĐS: b m mx x m Cho hàm số y (*) (m tham số) (ĐH Khối A 2003) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m= b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dương m ĐS: b x2 x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y (1) (ĐH Khối D 2003) x b Tìm m để đường thẳng d m : y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1 Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2 )x + m3 m2 (1) (m tham số) (ĐH Khối A 2002) C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k 3k = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) k ĐS: b , c y x m2 m k k Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: xB x A Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng Ax0 By0 C M(x0 ;y0 ) d M , A2 B 2 yB yA : Ax By C điểm Cho hàm số y x3 3mx 3x 3m Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé 2x 2 Cho hàm số C : y Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận x nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận nhỏ x 2x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN x nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN x nhỏ x2 2x Cho hàm số C : y x a Tìm điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ nhỏ b Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm ) đồ thị hàm số: y mx (*) (m tham số) (ĐH Khối A 2005) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm ) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y nghiệm hệ phương trình Cho hàm số y m thay đổi x3 F x, y G x, y m x2 mG x, y Khi tọa độ điểm cố định có 3mx Cm Chứng minh Cm qua hai điểm cố định C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số x2 Cho hàm số Cm : y m x mx m thay đổi Cho hàm số Cm : y 2m x Chứng minh đồ thị Cm m Tìm điểm cố định họ đồ thị 3mx Chứng minh đồ thị hàm số y điểm cố định qua điểm cố định m x3 m x2 6m x qua ba m Cm Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f(x) có đồ thị (C) y f x có đồ thị (C’) y f x có đồ thị (C “) y f x 0, x D Do ta phải y f x có f x f x , giữ nguyên phần phía trục Ox lấy x D nên hàm số chẵn đối xứng phần phía trục Ox lên có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 y (C') (C) (C'') x x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ x2 x 2x a Khảo sát hàm số Cho hàm số C : y b Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x2 x 2x k y y x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1 2 x x -8 -6 -4 -14 -2 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -2 x2 3x x -4 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Cho hàm số C : y b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -6 -4 x2 3x x m -6 -8 -8 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) y x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 4 2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2 x -10 -8 -6 -16 -4 -14 -2 -12 -10 x -8 -6 -4 -2 -2 -2 x x -4 x a Khảo sát hàm số -6 b Định m để phương trình x -4 Cho hàm số C : y f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t m x m -6 có bốn nghiệm phân biệt y -8 y -8 f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3 2 -10 -10 x -8 -6 -4 -14 -2 -12 -10 x -8 -6 -4 -2 -2 Cho hàm số C : y -2 x2 x -4 x -4 Khảo sát hàm số Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x -6 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 m x 9x2 b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x) 12 x 2m x2 12 x y-8 -6 m -86 (ĐH Khối A 2006) y -10 -10 2 x -6 -16 -4 -14 -2 -12 a -10 -2 -8 x -6 -4 Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG -4 Điểm I x0 ; y0 tâm đối xứng đồ thị C : y thuộc (C) thỏa: x x ' x0 x-6 ' x0 f x -2 f x' y0 -8 xứng (C) Vậy I x0 ; y0 tâm đối f x f x -2 ĐS: b 4 – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải: a D = R y' = 3x2 6x = 3x(x f(x)=x^3-3x^2+4 y" = 6x 6, y" = x y' y" y 2), y' = x = x = 0, x = 0 + y | + + + + CĐ + CT O U -12 y = kx-10 k + -8 -6 -4 -2 -16 d : y -14 = k(x 1) 3 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3x + = kx k + x 3x kx + k + = 2 (x 1)(x 2x k 2) = x = g(x) = x 2x k = -2 Vì ' > g(1) ≠ (do k > 3) x1 + x2 = 2xI nên có đpcm! x Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN f x = 1.7x g x Định nghĩa: (d) tiệm cận (C)h y =0 = lim M M MH -4 y (d) C -6 Cách xác định tiệm cận a Tiệm cận đứng: lim f x x (C) d :x x0 x0 b Tiệm cận ngang: lim f x y0 d :y y0 -8 M x H c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y= x+ đó: f x lim ; lim f x x x x x -10 biệt: -5 Các trường hợp đặc -10 x 11 -2 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số *Hàm số bậc bậc (hàm biến) ax b y mx n n +TXĐ: D= R\ m n +TCĐ: lim y d :x n m x * Hàm số bậc hai bậc (hàm hữu tỷ) y ax bx c mx n a m +TCN: lim y +TCĐ: lim y x f(x)=x/2+1/2 +TCX: lim x A mx n TCX: y= x+ y f(x)=x^2/(2(x-1)) n m d :x n m x a m d :y n m +TXĐ: D= R\ m A mx n x y 3 x(t)=1 , y(t)=t T ?p h?p I I 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -14 -2-13 -1-12 -11 1-10 -9 -8 -7 -6 -1 Cho hàm số y x -5 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -3 3m2 x -1 -2 -4 mx -4 , với m tham số thực -5 x 3m -5 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 b Tìm giá trị -6 m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số-6(1) 450 Lời giải: a Khi m =1: y TXĐ: D R y x2 6x x x lim y -7 -8x x x -9 , lim y x x x -8 -9 -10 y -110 Tiệm cận: lim y x (ĐH Khối A 2008) -7 x y 1 -10 x y -11 tiệm cận đứng: x = lim x , lim y x x tiệm cận xiên: y = x – , lim f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) y x Bảng biến thiên Đồ thị: f(x)=x-2 x(t)=-3 , y(t)=t y x -16 x y' y -5 -9 CĐ -3 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -1 CT -4 -1 -6 -8 b y mx 3m2 x x 3m mx 6m x 3m -10 -12 12 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Gọi (Cm ) đồ thị hàm số (Cm ) có tiệm cận đứng d1 : x 3m tiệm cận xiên d : mx m y m m Theo giả thuyết ta có: cos 450 m Cho hàm số y mx f x 2 m2 m x m x qua gốc tọa độ m m2 m (nhận) Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên ax (2a 1).x a a 1, a có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị hàm số x có tiệm cận xiên qua điểm cố định x 3x Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C) x a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M (C) đến hai đường đường tiệm cận số không đổi b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ x mx Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo x với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x1 x2 x Tìm m để đồ thị hàm số y có hai tiệm cận đứng x=x1 x=x2 thỏa mãn x mx x1 x23 35 Cho hàm số y x có đồ thị (C) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Tìm điểm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận nhỏ 2x Cho hàm số y có đồ thị (H) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm với trục tung c Tìm điểm N (xN >1) thuộc (H) cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ngắn HD câu b, c * Gọi M klà giao điểm (C) với trục tung M 0;1 Phương trình tiếp tuyến y 3x hay Cho hàm số y 3x y f(x)=(2x+1)/(1-x) N x0 ; y * Lấy y=3x+1 H N x0 ; x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 3x0 Series d N , f(x)=-(1/3)x-13/3 -14 d N, x0 g x * Khảo sát hàm g x0 g ' x0 …) * Do x0 3 x0 2 M -12 10 y , x Khi x0 Đặt g x0 -10 -8 3x0 3 -6 x0 x -4 -2 3x0 , g ' x0 khoảng 0; , x0 x0 0 , (lập bảng biến thiên x0 H -4 N(2;-5) thay vào N ta nên ta nhận nghiệm x0 N 2; Vậy N 2; d N , -2 -6 10 -8 13 -10 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 10: DIỆN TÍCH THỂ TÍCH Ứng dụng tích phân (Dạng thường xuất nhiều đề thi tốt nghiệp) a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) y=g(x) có đồ thị (C1 ), (C2 ) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1 ), (C2 ) hai đường thẳng x=a, x=b tính công thức: y f(x) b S f x g x dx a g(x) O Chú ý: Nếu diện tích thiếu đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b a (x) O b tính công thức: V f x d f(x) b Thể tích Thể tích hình phẳng giới hạn {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox xy b y a b dx x c x O a Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x= (y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy tính công thức: d V y dy c Thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox b (f(x) g(x), x [a;b]) tính công thức: V f x g x dx a * * 2m x m * (1) (m tham số) (ĐH Khối D 2002) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m= b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x ĐS: b S ln , c m x2 x 2 Cho hàm số y x a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Tính phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành Cho hàm số y Dạng 10 trình bày cụ thể chuyên đề Tích phân Ứng dụng 14 [...]... ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số 2 x2 2x 2 m có đồ thị Cm 2x 3 Tìm giá trị của m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O 1 Cho hàm số y 2 Cho hàm số Cm : y Định m để Cm x2 2m2 x m2 x 1 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O 3 Cho hàm số y x3 3x 2 m 1 (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ b Khảo sát. .. C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Gọi (Cm ) là đồ thị hàm số (Cm ) có tiệm cận đứng d1 : x 3m 0 và tiệm cận xiên d 2 : mx 1 3 m y 2 0 m 0 m Theo giả thuyết ta có: cos 450 m 2 Cho hàm số y mx 2 f x 2 2 2 1 m2 m 1 x 1 m x qua gốc tọa độ m 2 m2 1 m 1 (nhận) 1 Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên đi ax 2 (2a 1).x a 3 a 1, a 0 có đồ thị (C) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số x... x2 5 x 1 6 Tìm m để đồ thị hàm số y có hai tiệm cận đứng là x=x1 và x=x2 thỏa mãn 3 2 x mx 1 x1 x23 35 3 Cho hàm số y x 1 có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất 2x 1 8 Cho hàm số y có đồ thị (H) 2 x a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số b Viết phương trình tiếp... -8 13 -10 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 10: DIỆN TÍCH THỂ TÍCH Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp) a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1 ), (C2 ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1 ), (C2 ) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: y f(x) b S f x g x dx a g(x) O Chú ý: Nếu diện tích thiếu các đường thẳng... thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m= 1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x 4 ĐS: b S 1 4 ln , c m 1 3 x2 x 2 2 Cho hàm số y x 3 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b Tính phần diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành 1 Cho hàm số y Dạng 10 này sẽ được trình bày... và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2 (ĐH Khối B 2003) ĐS: a f x0 f x0 , x0 0 … m>0 x3 3 4 Cho hàm số y tung 5 Cho hàm số y x2 x3 3x 11 có đồ thị C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục 3 bx c 1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi ax 2 qua điểm M(1; 1) 6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) (ĐH Khối D 2008) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b Chứng... phương trình: y= x+ trong đó: f x lim ; lim f x x x x x -10 biệt: -5 Các trường hợp đặc -10 x 5 11 -2 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số *Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) ax b y mx n n +TXĐ: D= R\ m n +TCĐ: lim y d :x n m x * Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) y ax 2 bx c mx n a m +TCN: lim y +TCĐ: lim y x f(x)=x/2+1/2 +TCX: lim x A mx n TCX: y= x+ 0 y f(x)=x^2/(2(x-1))... qua một điểm cố định 2 x 2 3x 2 4 Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C) x 1 a Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là một số không đổi b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất 2 x 2 mx 2 5 Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo x 1 với hai trục tọa độ một tam... Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN f x = 1.7x g x 1 Định nghĩa: (d) là tiệm cận của (C)h y 6 =0 = lim 0 M M MH -4 y 0 (d) C -6 4 2 Cách xác định tiệm cận a Tiệm cận đứng: lim f x x (C) d :x x0 x0 b Tiệm cận ngang: lim f x y0 d :y y0 -8 2 M x H c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y= x+ trong đó: f x lim ; lim f x x x x x -10 biệt: -5 Các trường hợp đặc -10 x 5 11 -2 C ác dạng toán liên. .. 2 I I 1 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -14 -2-13 -1-12 -11 1-10 2 -9 3 -8 4 -7 5 -6 -1 1 Cho hàm số y x -5 -4 -3 -2 -1 1 -2 -3 -3 3m2 2 x 2 3 4 5 -1 -2 -4 2 mx 2 -4 1 , với m là tham số thực -5 x 3m -5 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1 b Tìm các giá trị -6 của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số- 6(1) bằng 450 Lời giải: a Khi m =1: y TXĐ: D R y x2 3 6x 5 x 3 2 x lim y -7 -8x ... m để hàm số y x3 3mx2 m2 x b 4ac đạt cực đại x = 2 Cho hàm số y = x 3x +3mx+3m+4 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số a Khảo sát hàm số m = b Định m để hàm số cực trị c Định m để hàm. .. để hàm số đồng biến khoảng 2; b Định m để hàm số nghịch biến khoảng Cho hàm số y mx ; 6x Định m để hàm số nghịch biến 1; x C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN... ĐS : a 13 Gọi (Cm ) đồ thị hàm số y x2 m m m x m (*) (m tham số) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 -10 -15 C ác dạng toán liên quan đến Khảo sát hàm số b Chứng minh với m bất