Bài 5 bất đẳng thức cauchy

Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải TOANHOC24H Tài liệu giảng Bài BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Giáo viên: Phạm Tuấn Khải I KIẾN THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức Cauchy  Nếu a,b số thực khơng âm a  b  ab Dấu xảy a  b Nếu a, b, c số thực khơng âm a  b  c  3 abc Dấu xảy a b c Một số hệ  Cho a, b, c, x , y, z số thực dương, ta có 2(a  b )  (a  b )2  4ab 3(a  b  c )  (a  b  c )2  3(ab  bc  ca ) 9(a  b  c )  (a  b  c )3  27abc 1 1   ;    a b a b a b c a b c a b (a  b )2 a b c (a  b  c )2   ;    x y x y x y z x y z ax  by  a  b x  y ; ax  by  cz  a  b  c x  y  z a  b  x  y  (a  x )2  (b  y )2 ; a  b  c  x  y  z  (a  x )2  (b  y )2  (c  z )2 ; a  x  b  y  c  z  (a  b  c)2  (x  y  z )2 II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1) a  b  c  ab  bc  ca 2) a b2 c2    a b c b c a 3) a b c 1      a b c b c a 4) a2 b2 c2 a b c    a b b c c a 5) a b3 c3    a b c bc ca ab Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC Trang | TOANHOC24H Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải 6) a  b  c  a 2b  b 2c  c 2a 7) a b3 c3    a2  b2  c2 b c a 8) a b c 1      b c a a b c 9) a3 b3 c3 a  b2  c2    b c c a a b 10) a3 b3 c3 a b c    b(a  b ) c(b  c) a(c  a ) 11) a3 b3 c3 a b c    (a  b)(a  c ) (b  c )(b  a ) (c  a )(c  b ) Ví dụ 1) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a2 b2 c2    a  2b b  2c c  2a 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh a3 b3 c3    b c b c c a 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh 1    a (b  c) b (a  a ) c (a  b ) Ví dụ 1) Cho x, y số thực dương Chứng minh 1   x y x y 2) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p chu vi Chứng minh  1 1 1        a b c  p a p b p b 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  4abc Chứng minh 1    2a  b  c a  2b  c a  b  2c Ví dụ 1) Cho a,b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh a b (a  b )2   từ suy x y x y a b c (a  b  c )2    x y z x y z Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC Trang | TOANHOC24H Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải 2) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh    a b c a  2b  3c 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  4abc Chứng minh 1    2a  b  c a  2b  c a  b  2c Ví dụ 1) Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh ax  by  a  b x  y từ suy ax  by  cz  a  b  c x  y  z 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  3b  4c  26 Chứng minh a  b  c  26 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  b  ca  3(a  b  1) Chứng minh a  b2  c2  Ví dụ 1) Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh a2  x  b2  y2  (a b)2  (x  y)2 từ suy a  x  b  y  c  z  (a  b  c)2  (x  y  z )2 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a2  1  b   c   82 a b c Ví dụ 1) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (a  b)(b  c)(c  a )  8abc từ suy (a  b)(b  c)(c  a )  (a  b  c)(ab  bc  ca ) 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh a3 b3 c3    2 a 1 b 1 c 1 Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC Trang | ...  từ suy x y x y a b c (a  b  c )2    x y z x y z Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC Trang | TOANHOC24H Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải 2) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  ...TOANHOC24H Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải 6) a  b  c  a 2b  b 2c  c 2a 7) a b3 c3    a2  b2  c2... thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh a3 b3 c3    2 a 1 b 1 c 1 Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC Trang |