www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: TỐN (khơng chun) Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi gồm : 01 ĐỀ THI CHÍNH THỨC trang Câu I (2,0 điểm) 2 1) Giải phương trình (2x +1) + (x − 3) = 10 2) Xác định hệ số m n biết hệ phương trình 3x − my = có nghiệm (1; −2) mx + 2ny = Câu II ( 2,0 điểm) 1) Rút gọi biểu thức A = x−2 x+3 x x +1 x− − x −1 + x +1 với x ≥ x +1 2) Hai người thợ qt sơn ngơi nhà Nếu họ làm ngày xong việc Nếu họ làm riêng người thợ thứ hồn thành cơng việc chậm người thợ thứ hai phương trình x ngày Hỏi làm riêng người thợ phải làm ngày để xong việc Câu III (2,0 điểm) Cho − 2(m −1)x + 2m − = 1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm (x − 2mx + 2m1 −1 x , x2 với m x , x2 thỏa mãn điều kiện )( x − 2mx + 2m2 −1 < ) Câu IV (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Đường tròn (O; R) thay đổi qua B C cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC, E giao điểm MN BC, H giao điểm đường thẳng OI đường thẳng MN 1)Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh OI.OH = R 3)Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Câu V (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a + b+c−a Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: 4b c+a−b + 9c a+b−c www.VNMATH.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: TỐN (khơng chuyên) Câu Ý I Nội dung Điểm 1,00 Giải phương trình (2x +1) + (x − 3) = 10 Pt ⇔ 4x + 4x + 1+ x − 6x + = 10 0,25 ⇔ 5x − 2x = 0,25 ⇔ x(5x − 2) = 0,25 ⇔ x = 0, x = 0,25 I 3x Hệ phương trình − my = 1,00 có nghiệm (1; −2) mx + 2ny = 3 − m(−2) = 0,25 0,25 Thay x = 1, y = −2 vào hệ ta 0,25 m + 2n(−2) = 3 ⇔ 0,25 + 2m = m − 4n = Tìm m = II Tìm n = −2 x Rút gọi biểu thức A = −2 x+3 x −1 + x x +1 − với x ≥ 1,00 x− x +1 x +1 x−2 x+3 A= ( )( x +1 x−2 x+3+ ) x− ( x+1 )( + x −1 x− x +1 ) ( x+1 x −1 − 0,25 x +1 ) x− 0,25 0,25 x +1 0,25 = ( = − x−2 )( x+1 ) x− x +1 x + + x −1 − x + ( )( x+1 x− x −1 ) x +1 www.VNMATH.com 0,25 ⇔ x − 21x + 54 = ⇔ x = 3, x = 18 Đối chiếu với điều kiện x > ta x = 18 Vậy số ngày người thứ làm xong cơng việc 18 ngày Số ngày người thứ hai làm xong cơng 0,25 việc ngày III Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm ∆ ' = (m −1) =m 2 x1 , x2 1,00 với m 0,25 − (2m − 5) − 2m + 1− 2m + = m 0,25 − 4m + 0,25 = (m − 2) + ∆ ' > 0,∀m nên phương trình ln có hai nghiệm III 0,25 x , x2 1,00 (x )( x − 2mx + 2m −1 ) < (1) − 2mx + 2m −1 1 x1 + Theo Viét ta có 2 x2 = 2(m −1) 0,25 = 2m − 0,25 x 1x x1 nghiệm nên 0,25 0,25 x − 2(m −1)x + 2m − = ⇔ x − 2mx + 2m −1 = −2x + 1 1 Tương tự ta có x − 2mx + 2m −1 = −2x + 2 Vậy (1) ⇔ (−2x1 + 4)(−2x2 + 4) < ⇔ [ x1x2 − 2(x1 + x2 ) + 4] < ⇔ 2m − − 2.2(m −1) + < ⇔ −2m + < ⇔ m > IV 1,00 Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn I trung điểm BC suy OI ⊥ BC ⇒ A O I = 90 AM, AN tiếp tuyến ⇒ AMO = A NO = 90 0,25 0 0,25 Suy A, M, N, I, O thuộc đường tròn 0,25 Suy M, N, I, O thuộc đường tròn IV 0,25 Chứng minh OI.OH = R 1,00 Gọi F = MN ∩ AO ⇒ A FH = AH I = 90 ⇒ AFIH tứ giác nội tiếp 0,25 0,25 0,25 ⇒ ∆OFI đồng= dạng OHA với ∆OHA ⇒ OFI ⇒ OF 0,25 = OI OH Tam ⇒ OI.OH = OF.OA (1) OA giác AMO vng M có MF đường cao nên www.VNMATH.com OF.OA = OM IV =R (2) Từ (1) (2) suy OI.OH = R Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Tam giác AMB đồng dạng với tam giác ACM ⇒ AB.AC = AM Tứ giác EFOI nội tiếp ⇒ AE.AI = AF.AO = AM 1,00 0,25 0,25 Suy AB.AC = AE.AI ; A, B, C, I cố định suy AE số 0,25 Mặt khác E thuộc đoạn thẳng BC cố định nên điểm E cố định Vậy MN qua điểm E cố định H M E B A I 0,25 C F O N V a Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = + 4b 9c + 1,00 b+c−a x= Đặt b+c−a , y= c+a−b , z= a+b−c ⇒ x, y, z > c+a−b x+y+z= S= ≥ y+z 2x 1 2 2 a + b 2+ c + y x 4(z + x) 2y 4x 0,25 a+b−c = a = y + z, b = z + x, c = x + y Khi + 9(x + y) 2z z +2 y Đẳng thức xảy ⇔ thỏa mãn x 9x z = 4z +2 y 4x z 9x 4z y + + + + + x y z y x 9y y z =z 11 0,25 0,25 y 4x z 9x 4z y = , = = , x y ⇔ y = 2x, z = 3x, 2z = 3y ⇒ x + y + z = 6x = ⇒ x = ⇒a= ,b = ,c= x Vậy GTNN S 11 z y ,y= ,z= 0,25 ... ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: TỐN (khơng chun) Câu Ý I Nội dung Điểm 1,00 Giải phương trình (2x +1) + (x − 3) = 10 Pt ⇔ 4x + 4x... số ngày người thứ làm xong cơng việc 18 ngày Số ngày người thứ hai làm xong cơng 0,25 việc ngày III Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm ∆ ' = (m −1) =m 2 x1 , x2 1,00 với m 0,25 − (2m − 5)... Câu Ý I Nội dung Điểm 1,00 Giải phương trình (2x +1) + (x − 3) = 10 Pt ⇔ 4x + 4x + 1+ x − 6x + = 10 0,25 ⇔ 5x − 2x = 0,25 ⇔ x(5x − 2) = 0,25 ⇔ x = 0, x = 0,25 I 3x Hệ phương trình − my = 1,00