www.VNMATH.com UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐÀO TẠO Mơn thi: Tốn (Dành cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x − = b) Với giá trị x biểu thức x − xác định? c) Rút gọn biểu thức: A= 2+ 2 +1 2− 2 −1 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số: y = mx +1 (1), m tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1; 4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến ? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d: y = m x + m + Câu (1,5 điểm) Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC, nửa đường tròn lấy điểm A (khác B C) Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Trên cung AC lấy điểm D (khác A C), đường thẳng BD cắt AH I Chứng minh rằng: a)IHCD tứ giác nội tiếp; b) AB2 = BI.BD; c)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID nằm đường thẳng cố định D thay đổi cung AC Câu (1,5 điểm) d) Tìm tất số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình: x b) +2y − 3xy + 2x − y + = Cho tứ giác lồi ABCD có BAD BCD góc tù Chứng minh AC < BD Hết -(Đề gồm có 01 trang) Họ tên thí sinh: …………………………… ……Số báo danh: ……………… www.VNMATH.com HƯỚNG DẪN CHẤM UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn (Dành cho tất thí sinh) Lời giải sơ lược Điểm Câu (2,0 điểm) a) (0,5 điểm) 0,25 Ta có 2x = ⇔x= b) (0,5 điểm) 0,25 x − xác định x−5 0,25 ≥0 0,25 ⇔x≥5 c) (1,0 điểm) A= 2( +1) +1 2( −1) 0,5 −1 = 2 = 2 (1,0 điểm) 0,5 a) (1,0 điểm) Vì đồ thị hàm số (1) qua A(1; 4) nên = m + ⇔ m = 0,5 Vậy m = đồ thị hàm số (1) qua A(1; 4) b) Vì(1,0 m =điểm) 3>0 0,5 nên hàm số (1) đồng biến m = m Đồ thị hàm số (1) song song với d m +1 ≠ 0,5 ⇔ m = Vậy m = thỏa mãn điều kiện toán 0,5 (1,5 điểm) Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B x km/h, x > 36 Thời gian người xe đạp từ A đến B 0,25 x Vận tốc người xe đạp từ B đến A x+3 36 Thời gian người xe đạp từ B đến A 0,25 x+3 Ta có phương trình: 36 x − 36 = x+3 36 0,25 60 Giải phương trình hai nghiệm x Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 km/h = 12 x = −15(loai ) 0,5 0,25 www.VNMATH.com a) (1,0 điểm) (3,0 điểm) D A 0,25 I B O H C Vẽ hình đúng, đủ phần a AH ⊥ BC ⇒ I HC = 0,25 90 (1) 0,25 B DC = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay I DC = 90 (2) Từ (1) (2) ⇒ I HC + I DC = 180 ⇒ 0,25 IHCD tứ giác nội tiếp b) (1,0 điểm) Xét ∆ABI ∆DBA có góc B ⇒ AB BD = ⇒ AB c) (1,0 BI điểm) B AI = chung, B AI = ADB(Vì ACB) Suy ra, hai tam giác ABI , DBA đồng dạng 0,75 0,25 = BI.BD (đpcm) BA ADI (chứng minh trên) 0,25 ⇒ AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ ADI với D thuộc cung AD A tiếp điểm (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) 0,25 Có AB ⊥ AC A ⇒ AC ln qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AID Gọi M tâm đường ngoại tiếp ∆AID ⇒ M nằm AC Mà AC cố định ⇒ M thuộc đường thẳng cố định (đpcm) 0,25 0,25 (1,5 điểm) a) (1,0 điểm) x + y − 3xy + 2x − y + = ⇔ ( x − y )( x − y ) + ( x − y ) =− ⇔ ( x − y ) ( x − y + 2) = −3 0,5 Do x, y nguyên nên x − y, x − y + nguyên Mà = (−1).3 = (−3).1 nên ta có bốn trường hợp x − y = −1 x − y + = x x = ⇔ y=2 −2y=1 x x −2y=3 ⇔ x − y + = −1 = −11 = 1y = −6 x − y + = −3 ; x x = −9 (loai ) y = −6 − y = −3 x−y+2=1 x 0,5 y = Vậy giá trị cần tìm (x; y) = (1; 2), (3; 2) b) (0,5 điểm) ⇔ (loai) ; ⇔ Vẽ đường tròn đường kính BD Do góc A, C tù nên hai điểm A, C nằm đường tròn đường kính BD Suy ra, AC < BD (Do BD đường kính) 0,5 www.VNMATH.com Lưu ý: -Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm -Việc chi tiết hố điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống hội đồng chấm - Điểm tồn khơng làm tròn số ( ví dụ: 0,25, 0,75 giữ nguyên ) www.VNMATH.com UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐÀO TẠO Mơn thi: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = ( b) Cho x = x ) x+2 x+2 + x −1 x+ x+1 1− , tính giá trị biểu thức 21+ + x+1 : x x+ với x ≥ 0, x ≠1 x+1 P = x + 4x − ( 3 −1 10 + + 2013 ) Câu (2,0 điểm) 2 Cho phương trình: 2x − 4mx + 2m −1 = (1), với x ẩn, m tham số a) Chứng minh với giá trị m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 2 b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 , x2 Tìm m để 2x1 + 4mx2 + 2m − < Câu (1,5 điểm) c) Cho số dương x, y thỏa mãn x − y = x3 b) Giải hệ phương trình: 2 y = z + + y Chứng minh x +y < 2x = y + 2z = x2 +1 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R , điểm A nằm ngồi đường tròn cho tam giác ABC nhọn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N hai tiếp điểm) Gọi H trực tâm tam giác ABC, F giao điểm AH BC Chứng minh rằng: a) Năm điểm A, O, M, N, F nằm đường tròn; b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng; c) 2 HA.HF = R − OH Câu (2,0 điểm) x + y 2013 a) Tìm tất số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn y +z đồng thời x + y + z 2013 số nguyên tố b) Tính diện tích ngũ giác lồi ABCDE, biết tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB có diện tích Hết số hữu tỷ, www.VNMATH.com HƯỚNG DẪN CHẤM UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Câu Lời giải sơ lược Điểm a) (1,0 điểm) (1,5 điểm) A= x+2+x+ x−2−x− ( x −1)(x + x −1 = ( x −1)(x + x −1 x +1) ⋅ x +1) x+ x +1 x +1 ⋅ x+ x+1 0,5 x+1 = 0,5 b) (0,5 điểm) ( x= ) 3 +1) 3 −1 ( = ( −1)( +1) 20 + ( 20 +1) + ⇒x (2,0 điểm) 2 = = − 0,25 2( + 2) + 4x −1 = => P = −1 0,25 a) (1,0 điểm) 2 ∆ ' = 4m − 2(2m −1) = > với m 0,5 Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt với m 0,5 b) (1,0 điểm) Theo ĐL Viét ta có x1 + x2 = 2m Do đó, 2x + 4mx + 2m2 − = (2x − 4mx + 2m2 −1) + 4m(x + x ) − = 8m − = 8(m 1−1)(m +1) (do 2x 2 0,5 − 4mx + 2m −1 = ) 1 (1,5 điểm) 0,5 Yêu cầuđiểm) toán: (m −1)(m +1) < ⇔ −1 < m < a) (0,5 Do x > 0, y 3 x−y=x +y > nên x − y > 3 >x −y 2 ⇒ > x + xy + y ⇒ x + y 0,5 < b) (1,0 điểm) Cộng vế với vế phương trình hệ ta được: 2 x − 2x +1+ y − y +1+ z − 2z +1 = ⇔ ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) = (1) 2 0,5 Do ( x −1) ≥ 0, ( y −1) ≥ 0, ( z −1) ≥ nên VT (1) ≥ VP (1) 0,5 Dấu xảy x = y = z = www.VNMATH.com Thử lại, x = y = z = nghiệm hệ a) (1,0 điểm) (3,0 điểm) A N D H I M 0,25 C B F O Vẽ hình câu a) đúng, đủ Do điểm M, N, F nhìn đoạn AO góc 90 nên A, O, M, N, F thuộc đường tròn đường kính AO 0,75 b) (1,0 điểm) Ta có AM = AN (Tính chất =tiếp Atuyến) FN (1) Từ câu a) suy ANM 0,25 Mặt khác, hai tam giác ADH, AFC đồng dạng; hai tam giác ADN, ANC đồng dạng nên AH AF = AD.AC = AN ⇒ AH = 0,25 AN AN AF 0,25 Do đó, hai tam giác ANH, = AFN AFN đồng (2) dạng (c.g.c) ⇒ ⇒ H ∈ MN ⇒ đpcm = ANM ANH 0,25 c) (1,0 điểm) Từ (1), (2) ta có ⇒ ANH Từ câu a) ta có HM HN = HA.HF 0,25 Gọi I = OA ∩ MN ta có I trung điểm MN 0,25 HM HN = ( IM + IH )( IM − IH ) = IM − IH = OM − OI − (OH − OI ) =R − OH 0,25 0,25 Từ suy HA.HF = R − OH a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Ta có x + y 2013 m = (m, n ∈ , ( m, n) = 1) * + z 2013 ⇔ nx −ymy= (mz − ny ) 2013 n ⇒ 0,25 nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y mz − ny = 2 y z n x + y + z = ( x + z ) − 2xz + y = ( x + z ) − y = ( x + y + z )( x + z − y ) 0,25 www.VNMATH.com Vì x + y + z > x 2 +y +z x + y2 số nguyên tố nên +z =x+y+z 0,25 x − y + z = Từ suy x = y = z = (thỏa mãn) 0,25 b) (1,0 điểm) A B E C I 0,25 D Gọi I = EC ∩ BD Ta có SBAE = S DAE nên khoảng cách từ B, D đến AE Do B, D phía đường thẳng AE nên BD / / AE Tương tự AB / /CE 0,25 Do đó, ABIE hình bình hành ⇒ SIBE = S ABE = Đặt SICD = x (0 < x < 1) ⇒ SIBC = SBCD − SICD = 1− x = SECD − SICD = SIED Lại có SICD S = IC = SIBC ABCDE S IE IDE Kết hợp điều kiện ta có x = Do S hay =S EAB 1− x IBE +S +S EBI = 1− x ⇔ x − 3x +1 = ⇔ BCD +S 3+ 3− x= 0,25 −1 3− x= x ⇒S = IED =3+ −1 IED = 5+ 0,25 Lưu ý: -Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm -Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo khơng sai lệch với hướng dẫn chấm thống hội đồng chấm - Điểm tồn khơng làm tròn số ( ví dụ: 0,25, 0,75 giữ nguyên ) ... www.VNMATH.com UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐÀO TẠO Mơn thi: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút... lồi ABCDE, biết tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB có diện tích Hết số hữu tỷ, www.VNMATH.com HƯỚNG DẪN CHẤM UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT...www.VNMATH.com HƯỚNG DẪN CHẤM UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Tốn (Dành cho tất thí sinh) Lời giải sơ lược Điểm Câu (2,0