TRẮC NGHIỆM GÓC KHOẢNG CÁCH

GÓC - KHOẢNG CÁCH A KIẾN THỨC CƠ BẢN I GĨC: Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = , (Q): A’x + B’ y + C’z + D’ = o o ký hiệu: ≤ (( P ), (Q )) ≤ 90 , xác định hệ thức AA' + BB' + CC' cos(( P), (Q )) = A2 + B + C A' + B' + C' Đặc biệt: ( P) ⊥ (Q) ⇔ AA'+ BB'+CC ' = Góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng 2.1 Góc hai đường thẳng (d) (d’) có vectơ phương u = (a; b; c) u ' = (a ' ; b' ; c' ) φ aa '+ bb '+ cc ' cos φ = (0 o ≤ ϕ ≤ 90o ) a + b + c a ' + b ' + c '2 Đặc biệt: (d ) ⊥ (d ' ) ⇔ aa '+bb'+cc' = 2.2 Góc đường thẳng d có vectơ phương u = (a; b; c) mp (α ) có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) sin ϕ = cos(n, u ) = Aa + Bb + Cc o o A + B + C a + b + c (0 ≤ ϕ ≤ 90 ) Đặc biệt: (d ) //( α) ( d ) ⊂ (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc = II KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song 1.1 Khoảng cách từ M ( x0 ; y ; z ) đến mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + by + Cz + D = là: d(M,(P)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 1.2 Khoảng cách hai mp song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - khoảng cách hai đường thẳng 2.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ phương u : uuuuur r  M M; u   d(M , d) = r u 2.2 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 2.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d qua điểm M có vectơ phương u d’ qua điểm M’ có vectơ phương u ' là: r ur uuuuur  u; u' M M   d( d, d') = r ur u; u'   2.4 Khoảng cách từ đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng B KỸ NĂNG CƠ BẢN - Nhớ vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; biết cách khoảng cách hai mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; biết cách tính khoảng cách hai đường thẳng song song; khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng cơng thức góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng - Áp dụng góc khoảng cách vào toán khác 15 CÂU KHOẢNG CÁCH A ( 1;  2; ) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (α ) : x + y − z − = bằng: A B Hướng dẫn giải 1.x A + y A − 2.z A − d ( A, (α )) = = 12 + 22 + ( −2) D Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α ) : x − y − z − = ( β ) : x − y − z + = 10 A B C D Hướng dẫn giải Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kỳ của mặt phẳng đến mặt phẳng 2.2 − 1.0 − 2.0 + d ( (α ),( β ) ) = d ( H ,( β ) ) = =2 2 2 + ( − 1) + ( − 2) Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc (α ) Khi M ( 3; 2; 1) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P): Ax + Cz + D = , A.C.D ≠ Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: 3A + C + D A + B + 3C + D d ( M , ( P )) = d ( M , ( P )) = 2 2 A + C A + B + C A B 3A + C 3A + C + D d ( M , ( P )) = d ( M , ( P)) = 2 2 A + C + C D x = 1+ t   y = + 4t  z = −t Tính khoảng cách mặt phẳng (α ) : x − y − z − = đường thẳng d:  13 C A Hướng dẫn giải B C D Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng H ( 1; 2; ) Ta lấy điểm thuộc đường thẳng d Khi đó: 2.1 − 1.2 − 2.0 − 4 d (d , (α )) = d ( H , (α )) = = 2 + (−1) + (−2) A ( 2; 4; 3) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (α ) : x + y + z + = ( β ) : x = lần lượt d ( A, (α )) , d ( A, ( β )) Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: d A, (α ) ) d A, ( β ) ) A ( = ( d A, (α ) ) d A, ( β ) ) C ( = ( Hướng dẫn giải 2.x A + y A + 2.z A + d ( A, (α ) ) = = d ( A, ( β ) ) 22 + 12 + 22 ; d A, ( β ) ) = 2.d ( A, (α ) ) Kết luận: ( Tìm tọa độ điểm M trục Oy cho x − y + 3z − = nhỏ nhất? B d ( A, (α ) ) > d ( A, ( β ) ) D d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) = A M ( 0; −4;0 ) B M ( 0; 2; )   M  0; ; ÷   D xA 12 = khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): M ( 0; 4; ) C Hướng dẫn giải Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất M thuộc (P) Nên M giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P) Thay x = 0, z = vào phương trình (P) ta y = − Vậy M(0; − 4;0) Cách giải khác Tính khoảng cách từ điểm M đáp án đến mặt phẳng (P) sau so sánh chọn đáp án M ( −4; −5; ) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng: A B C D Hướng dẫn giải d ( M , ( Oxy ) ) = z M = d (M , (Oyz )) = xM = ; A ( x0 ; y0 ; z0 ) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = , với A.B.C.D ≠ Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: A d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A + B +C 2 B d ( A,( P ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 A2 + B + C C 10 d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D 12 13 B( x ; y ;z ) D d ( A,( P ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 0 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P): y + = Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: y +1 y A B y0 + y C D C −2; 0; ) Khoảng cách từ điểm ( đến mặt phẳng (Oxy) bằng: A Hướng dẫn giải 11 A2 + C B C D d C ,(Oxy ) ) = Điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên ( M ( 1;2;0 ) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) Chọn khẳng định sai khẳng định sau: d M ,(Oxy ) ) = d M ,(Oyz ) ) = A ( B ( d M ,(Oxz ) ) = d M ,(Oxz ) ) > d ( M ,(Oyz ) ) C ( D ( A ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = , với D ≠ khi: Ax0 + By0 + Cz0 = − D A B A ∉ ( P ) Ax0 + By0 + Cz0 ≠ − D Ax0 + By0 + Cz0 C D = Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: A (Q): x + y + z – = C (Q): x + y  – z + = 14 B (Q): x + y + z – = D (Q): x + y + z – 3 = Hướng dẫn giải Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, sau tính khoảng cách lần lượt mỡi trường hợp chọn đáp án đúng x = 1+ t  d1 :  y = 2t z = + t  Khoảng cách từ điểm H (1; 0;3) đến đường thẳng , t ∈ R mặt phẳng (P): z − = lần lượt A d ( H , d1 ) d ( H , ( P )) Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: d ( H , d1 ) = 6.d ( H ,( P ) ) d ( H , d ) > d ( H ,( P ) ) > C Hướng dẫn giải B d ( H ,( P) ) > d ( H , d1 ) D d ( H ,( P ) ) = Vì H thuộc đường thẳng thẳng 15 d1 H thuộc mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ điểm H đến đường d1 khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (P) x = + t  d :  y = + 3t  z = −2 − 5t  Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng , t ∈ R bằng: 35 35 35 A B C D Hướng dẫn giải + Gọi (P) mặt phẳng qua E vng góc với (P) Viết phương trình (P) + Gọi H giao điểm của đường thẳng d (P) Tìm tọa độ H + Tính độ dài EH Khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d EH Cách giải khác: Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d 8_6 18 CÂU GÓC Cho vectơ A 135° r r u( −2; − 2; 0) ; v ( B 45° Hướng dẫn giải rr r r u.v cos(u, v) = r r = u v Ta có Cho hai đường thẳng A 60° ) Góc vectơ ur vectơ vr bằng: 2; 2; C 60° D 150° −2 − 2 + 2.0 (−2)2 + (−2)2 x = + t  d1 :  y = − + t z =  ( ) ( ) 2 + x = 1− t  d2 :  y = z = − + t  B 120° C 150° =− + 22 r r ⇒ (u, v) = 135° Góc hai đường thẳng d1 d2 là: D 30° Hướng dẫn giải ur uu r u1; u2 Gọi lần lượt vectơ phương của đường thẳng d1; d2 ur uu r u1 = (1; 1; 0); u2 = (−1; 0; 1) uu r uu r u1.u2 uu r uu r −1 cos( d1,d2 ) = cos u1, u2 = uu = r uu r = + 1 + u1 u2 Áp dụng cơng thức ta có ( ) ⇒ ( d1,d2 ) = 60° x y z = = − mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z − = Góc đường Cho đường thẳng thẳng ∆ mặt phẳng (P) là: A 30° B − 30° C 60° D − 60° ∆: Hướng dẫn giải r r Gọi u; n lần lượt vectơ phương, pháp tuyến của đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) r r u = ( 1; − 2; 1) ; n = ( 5; 11; 2) rr un r r 1.5 − 11.2 + 1.2 sin( ∆,(P )) = cos u,n = r r = = u n 52 + 112 + 22 12 + 22 + 12 ( ) Áp dụng cơng thức ta có ( ) ⇒ ∆,( P ) = 30° Cho mặt phẳng (α ) : 2x − y + 2z − = 0; (β ) : x + 2y − 2z − = Cosin góc mặt phẳng (α ) mặt phẳng (β ) bằng: A Hướng dẫn giải 4 − B C 3 − D 3 uur uur n n Gọi α , β lần lượt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) (β ) uur uur nα (2; − 1; 2); nβ (1; 2; − 2) Ta có Áp dụng cơng thức: uur uur nα nβ uur uur cos((α ),(β )) = cos(nα , nβ ) = uur uur = nα nβ 2.1− 1.2 − 2.2 22 + (−1)2 + 22 (12 + 22 + (−2)2 = Cho mặt phẳng (P ): 3x + 4y + 5z + = đường thẳng d giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x − 2y + = 0; (β ): x − 2z − = Gọi ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Khi đó: A 60° Hướng dẫn giải B 45° C 30° D 90°  x = 2t   y = + t , t ∈ R   uu r  z = − + t ud (2; 1;1) Đường thẳng d có phương trình: Suy VTCP của d uur r ud.n uur r sin( d,(P )) = cos ud , n = uur r = ud n ( ) Ta có ⇒ (d,(P )) = 60° 2.3 + 1.4 + 1.5 22 + 12 + 12 32 + 42 + 52 = Cho mặt phẳng (α ): 3x − 2y + 2z − = Điểm A(1; – 2; 2) Có mặt phẳng qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° A Vơ số B C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] uur nβ ( a; b; c) (β ) Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng uur uur nα nβ uur uur 3.a− 2.b + 2.c cos( (α ),(β )) = cos nα , nβ = uur uur = = nα nβ 32 + (−2)2 + 22 a2 + b2 + c2 ( cần lập ) ⇒ 2(3a − 2b + 2c)2 = 17(a2 + b2 + c2 ) Phương trình có vơ số nghiệm uur nβ (a; b; c) Suy có vơ số vectơ véc tơ pháp tuyến của (β ) Suy có vơ số mặt phẳng (β ) thỏa mãn điều kiện toán [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Giả sử tồn mặt phẳng (β ) thỏa mãn điều kiện toán (Đi qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° ) Gọi ∆ đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (α ) Sử dụng phép quay theo trục ∆ với mặt phẳng (β ) Ta vô số mặt phẳng (β ') thỏa mãn điều kiện toán Hai mặt phẳng tạo với góc 60° A (P ) : 2x + 11y − 5z + = (Q): − x + 2y + z − = B (P ) : 2x + 11y − 5z + = (Q) : x + 2y − z − = C (P ): 2x − 11y + 5z − 21= (Q): 2x + y + z − = D (P ) : 2x − 5y + 11z − = (Q): − x + 2y + z − = Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng uur uur nP nQ cos( (P ),(Q)) = uur uur = cos60° = n n P Q Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) (Q) Thay giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng Dùng chức CALC máy tính bỏ túi để hỡ trợ việc tính tốn nhanh nhất r r r r u (1 ; ; − 2), v (1 ; 0; m ) u Cho vectơ Tìm m để góc hai vectơ , v có số đo 45° Một học sinh giải sau: r r cos u, v = Bước 1: Tính ( ) − 2m m2 + r r u Bước 2: Góc , v có số đo 45° nên ⇔ − 2m = 3(m2 + 1) − 2m m + = (*) 2 Bước 3: Phương trình (*) ⇔ (1 − 2m) = 3(m + 1) m= − ⇔ m2 − 4m − = ⇔   m = + Bài giải đúng hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước Hướng dẫn giải D Đúng Phương trình (*) bình phương hai vế biến đổi tương đương thỏa mãn − 2m≥ Bài tốn thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm m = + Cho hai điểm A(1; − 1; 1); B(2; − 2; 4) Có mặt phẳng chứa A, B tạo với mặt phẳng (α ) : x − 2y + z − = góc 60° A B C Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] uuu r uur AB(1; − 1; 3), nα (1; − 2;1) uur nβ (a; b; c) Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β ) cần lập uur uur nα nβ uur uur cos( (α ),(β )) = cos nα , nβ = uur uur nα nβ ( D Vô số ) = 1.a− 2.b + 1.c 12 + (−2)2 + 12 a2 + b2 + c2 = ⇒ 2(a − 2b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) (1) Mặt khác mặt phẳng (β ) chứa A, B nên: uur uuu r nβ AB = ⇔ a − b + 3c = ⇔ a = b − 3c 2 Thế vào (1) ta được: 2b −13bc + 11c = (2) 10 uur nβ ( a; b; c) Phương trình (2) có nghiệm phân biệt Suy có vectơ thỏa mãn Suy có mặt phẳng [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Gọi α góc hai đường thẳng AB, CD Khẳng định sau khẳng định đúng: A 11 uuu r uuur AB.CD cosα = uuu r uuur AB CD uuu r uuur AB.CD cosα = uuu r uuur AB CD B uuu r uuur uuu r uuur  AB.CD  AB.CD   cosα = uuu r uuur cosα = uuu r uuur  AB,CD  AB CD   C D Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lý thuyết Cho hình lập phương ABCD.A'B 'C 'D ' có cạnh a Gọi M, N, P lần lượt trung điểm cạnh BB', CD, A'D ' Góc hai đường thẳng MP C’N là: A 90o Hướng dẫn giải B 120o C 60o D 30o Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) Suy B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A'(0; 0; a); B'(a; 0; a); C '(a; a; a); D '(0; a; a)  a   a  a M  a; 0; ÷; N  ; a; 0÷; P  0; ; a÷ 2  2    uuur  uuur uuuur  a a  uuuur  a MP =  − a; ; ÷; NC ' =  ; 0; a÷ ⇒ MP.NC ' = 2  2  Suy ⇒ (MP , NC ') = 90° 12 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc ∆ ABC cân, cạnh bên a, AD = 2a Cosin góc hai đường thẳng BD DC là: A 5 − B C Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] D Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) Suy B(a; 0; 0); C(0; a; 0); D(0; 0; 2a) uuur uuuu r DB ( a ; 0; − a ); DC (0; a; − 2a) Ta có uuur uuur DB DC uuur uuur cos(DB, DC ) = cos(DB; DC ) = uuur uuur = DB DC 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2, AC = ∆SAC vuông cân A K trung điểm của cạnh SD Hãy xác định cosin góc đường thẳng CK AB? 22 A Hướng dẫn giải B 11 17 C D 22 2 Vì ABCD hình chữ nhật nên AD = AC − CD = Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) Suy B(0; 2; 0); C(1; 2; 0); D(1; 0; 0) 1 5 S 0; 0; ; K  ; 0; ÷ 2 ÷   uuur  r  uuu CK  − ; − 2; ÷; AB( 0; 2; 0)  2 ÷   Suy uuur uuu r CK AB uuur uuu r cos( CK , AB) = cos CK ; AB = uuur uuu r = 22 CK AB ( ) ( 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(−3; − 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); D(−2; 6; 1) Cặp đường thẳng tạo với góc 60° ? A AB CB Hướng dẫn giải 15 ) B AC CD C DB AC D CB CA uu r uur cos(d, d') = cos(ud ,ud' Tính tọa độ vectơ sau thay vào cơng thức: để kiểm tra Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz góc 30° ? A 2(x − 2) + (y − 1) − (z − 2) − = C 2(x − 2) + (y − 1) − (z − 2) = Hướng dẫn giải B (x − 2) + 2(y − 1) − (z + 1) − = D 2(x − 2) + (y − 1) − (z − 1) − = r A ( x − 2) + B ( y − 1) + C ( z + ) = 0; n (A; B; C) ( α ) Gọi phương trình mặt phẳng cần lập có dạng r k(0; 0; 1) Oz có vectơ phương rr nk r uu r = sin30° sin((α ), Oz) = uu n k Áp dụng công thức Sau tìm vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng 16 Cho mặt phẳng (P ):3x + 4y + 5z + = Đường thẳng d giao tuyến của hai mặt phẳng (α ): x − 2y + = 0; (β ): x − 2z − = Góc d (P) là: A 60° Hướng dẫn giải Ta có uur nP (3; 4; 5) B 120° C 150° D 30° uu r uur uur nd =  nα , nβ  = (2; 1; 1)   Áp dụng công thức 17 uur uu r nP ud sin((P ), d) = uur uu r = nP ud A uuu r uuur AB.DC cosα = uuu r uuur AB DC uuu r uuur AB.CD sinα = uuu r uuur AB , CD C Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lý thuyết 18 uuu r uuur AB , CD Khẳng định sau đúng: Gọi α góc hai vectơ B D uuu r uuur AB.CD cosα = uuu r uuur AB CD uuu r uuur  AB.CD   cosα = uuu r uuur AB CD Cho ba mặt phẳng (P ): 2x − y + 2z + = 0; (Q): x − y − z − = 1; (R): x + 2y + 2z − = Gọi α1; α 2; α3 19 lần lượt góc hai mặt phẳng (P) (Q), (Q) (R), (R) (P) Khẳng định sau khẳng định đúng α > α3 >α α > α >α1 α > α > α1 α > α > α A B C D Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng Sử dụng máy tính bỏ túi để tính góc so sánh giá trị với VẬN DỤNG α : x + y + 2z + m = A 1;1;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) điểm ( α Khi m nhận giá trị sau để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) 1? A − −8 B − C − D 5+ m m + =  m = −2 d ( A, ( α ) ) = =1 ⇔  ⇔  m + = −3  m = − Hướng dẫn giải: 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt điểm A ( −2;0; ) B ( 0;3; ) C ( 0;0; ) ABC ) , , Khi khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( 12 61 A 61 B.4 61 C 12 Hướng dẫn giải Cách 1: (α) : D.3 x y z 12 61 + + = ⇔ x − y − z + 12 = d ( O, ( ABC ) ) = −2 61 ; Cách 2: Tứ diện OABC OA, OB, OC có đơi vng góc, 1 1 61 12 61 = + + = ⇒ d ( O, ( ABC ) ) = 2 144 61 d ( O, ( ABC ) ) OA OB OC 21 y =  M ( 1; 0;0 ) N 0; 0; −1) Trong không gian với hệ tọa độ  x − y − z − = Oxyz cho điểm ( , mặt phẳng ( P) O Q : x− y−4= qua điểm M , N tạo với mặt phẳng ( ) góc 45 Phương P trình mặt phẳng ( ) y =  A  x − y − z − = y =  B  x − y − z + = 2 x − y − z + =  C  x − y − z − = 2 x − z + = 2 x − z − = D  Hướng dẫn giải Gọi vectơ pháp tuyến của ( P) ( P) P mp ( ) ( Q) lần lượt uur nP ( a; b; c ) (a + b2 + c ≠ ) , uur nQ qua M ( 1; 0; ) ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + by + cz = qua ( P) N ( 0;0; −1) ⇒ a + c = hợp với ( Q) O góc 45 uur uur ⇒ cos nP , nQ = cos 45O ⇔ ( ) a −b 2a + b 2 = a = ⇔  a = −2b P :y=0 Với a = ⇒ c = chọn b = phương trình ( ) 22 P : 2x − y − 2z − = Với a = −2b chọn b = −1 ⇒ a = phương trình mặt phẳng ( ) A −2; 0; 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm ( , đường thẳng d qua điểm A tạo với trục Oy O góc 45 Phương trình đường thẳng d y z −1 x+  = = −1  y z −1 x+  = − = −1 A  y z +1 x−2  = = −1  y z +1 x−2  = − = −1 B  y z −1 x+  = = −1  y z +1 x−2  = = −1 C  y z −1 x+  = − = −1  y z +1 x−2  = = −1 D  Hướng dẫn giải Cách 1: Điểm M ( 0; m; ) ∈ Oy uuuur r cos AM , j = cos 45O ⇔ ( ) , m m2 + r j ( 0;1;0 ) = uuuu r AM ( 2; −m; −1) Oy vectơ phương của trục , ⇔m=± nên có đường thẳng: x+2 y z −1 x + y z −1 = = ; = = −1 −1 − ur ur r uu r uu r r 1 u1 2; 5; −1 ⇒ cos u1 , j = u2 2; − 5; −1 ⇒ cos u2 , j = ; Cách 2: A ( −2;0;1) Đường thẳng d qua điểm nên chọn đáp án A ( P ) : x + y + z − = mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − = Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( 23 ) Khi mặt phẳng phẳng ( R) ( ( R) ( ) ) ( Q) ) cho khoảng cách từ O đến mặt , có phương trình x − z + 2 =  x−z−2 =0 A  B x − z − 2 = C x − z + 2 = Hướng dẫn: uur uur uur uur nP ( 1;1;1) , nQ ( 1; −1;1) ⇒  nP , nQ  = ( 2; 0; −2 ) ( R ) : x − z + D = ⇒ d ( O, ( R ) ) = D x − z − 2 = D = =2⇒  D = −4 D Mặt phẳng Vậy phương trình mp 24 ( P) vng góc với mặt phẳng ( ( R) : x − z + M ( x; y ; z ) Tập hợp điểm ( P ) : x + y − 2z − = = 0; x − z − 2 = thoả mãn: B x + y − z + = D x + y − z − = C x + y − z + = M ( x; y; z ) cách hai mặt phẳng ( Q ) : x + y − 2z + = A x + y − z + = Hướng dẫn: Oxyz không gian Ta có d ( M ,( P) ) = d ( M ,( Q) ) ⇔ x + y − 2z − = x + y − 2z + ⇔ x + y − 2z − = x + y − 2z + ⇔ x + y − 2z + = 25 Tập hợp điểm M ( x; y ; z ) ( P ) : x − y − 2z − = mặt phẳng x + 3y + 4z + =  A 3 x − y − = C 3x − y − = Oxyz không gian ( Q ) :2 x + y + z + = cách hai mặt phẳng thoả mãn: B x + y + z + = D x + y + z + = Hướng dẫn giải Cho điểm M ( x; y; z ) , d ( M , ( P ) ) = d ( M , ( Q ) ) ⇔ x − y − 2z − = 2x + y + z +  x + y + 4z + = ⇔ 3 x − y − = 26 Trong không gian Oxyz ( P ) : x + y − 2z − = cho điểm M thuộc ( Oyz ) Khi tọa độ điểm trục Ox cách hai mặt phẳng M     ;0;0 ÷ ;0; ÷      − A  +     ;0;0 ÷  ;0;0 ÷     − B  +  −1  ;0; ÷  ÷  C  1+  ;0;0 ÷  ÷  D   +1  ; 0;0 ÷  ÷   Hướng dẫn giải: Điểm M ( m; 0; ) ∈ Ox ;  1−  ;0; ÷  ÷   d ( M ,( P) ) = d ( M ,( P) ) ⇔ m−3 = m  m = + m − = m ⇔ ⇔   m − = − m m = −  27 Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −2; ) đường thẳng d: x − y −1 z − = = −2 Điểm M thuộc đường thẳng d cho M cách A khoảng 17 Tọa độ điểm M ( 5;1; ) ( 1; −5;6 ) ( 5;1; ) ( −1; −8; −4 ) A B ( 5; −1; ) ( 1; −5;6 ) C Hướng dẫn giải Cách 1: M ( + 2t ;1 + 3t; − 2t ) ∈ d D ; ( 5;1; ) ( 6; 9; ) uuuu r AM ( + m;3 + 3m; −2 − 2m )  M ( 5;1; ) m = ⇒ AM = 17 ⇔ 17 ( + m ) = 17 ⇔  ⇒  m = −2  M ( 1; −5; ) Cách 2: Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng d có cặp điểm đáp án B C thuộc đường thẳng d Dùng cơng thức tính độ dài AM suy đáp án C thỏa mãn 28 A ( 1; 2;1) B ( −2;1;3) C ( 2; −1;1) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có đỉnh , , D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) khoảng cách từ D đến  x + y + z − 15 =  x + 3z − =  A C x + y + z − 15 = Hướng dẫn giải: ( P) ( P) qua điểm A, B cho khoảng cách từ C đến B x + z − = 4 x − y + z −1 =  D  x + z − = ( P) qua AB song song với CD , đó: uuur uuur  ( P ) có vectơ pháp tuyến  AB, CD  = ( −8; −4; −14 ) C ∉( P ) ⇒ ( P ) : x + y + z − 15 = Trường hợp 1: ( P ) qua AB cắt CD trung điểm I của đoạn CD Ta có Trường hợp 2: uuur uur uur  P I ( 1;1;1) ⇒ AI ( 0; −1;0 ) ( )  AB, AI  = ( 2;0;3) nên phương trình , vectơ pháp tuyến của ( P ) : x + 3z − = [8_6] VẬN DỤNG CAO Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, gọi d: ( P) mặt phẳng chứa đường thẳng x −1 y + z = = −1 −2 tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất Điểm sau thuộc mp ( P ) ? N ( −1; −2; −1) M ( 3;0; ) E ( −3; 0; ) F ( 1; 2;1) A B C D Hướng dẫn giải: r r r n ( a; b; c ) ; n ≠ ( P ) ; α góc tạo ( P ) Oy , α lớn nhất sinα lớn nhất Gọi VTPT của r r r n ( b + 2c; b; c ) Ta có n vng góc với u d nên r r b sin α = cos n, j = 2b + 5c + 4bc Nếu b = sinα = ( ) sin α = Nếu b ≠ ⇒ chọn b = 5; c = − Vậy, phương trình mp ( 2  5c  c +  ÷ + =− b 5   Khi đó, sinα lớn nhất b P) N ∈( P ) x + y − z + = Do ta có M ( 0; − 1; ) , N ( −1; 1; 3) P Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm Gọi ( ) mặt ( Q ) :2 x − y − z − = góc có số đo nhỏ nhất Điểm phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng A ( 1; 2;3) cách mp ( A Hướng dẫn giải: P) khoảng B 11 C 11 D r uuuu r r MN − 1; 2;1 n ( ) ( 2b + c; b; c ) có VTPT n vng góc với nên ( P ) ( Q ) , α nhỏ nhất cosα lớn nhất Gọi α góc tạo 3b cosα = 5b + 2c + 4bc Ta có Nếu b = cosα = ( P) cosα = Nếu b ≠ c  c  + 1÷ + = − 1⇒ b   Khi đó, cosα lớn nhất b chọn b =1; c = − Vậy, phương trình mp ( P) d ( A, ( P ) ) = x + y − z + = Do Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ∆1 : ( P ) : x − y + z −1= đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = ; ∆2 : = = 1 −2 P Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số nguyên, M cách ∆ ( ) mp ( Oxy ) Khoảng cách từ điểm M đến A B 2 Hướng dẫn giải: M ( t − 1; t ;6t − ) , t ∈Z Gọi Ta có C D uuuuur r M 0M , u    d ( M , ∆2 ) = d ( M , ( P ) ) ⇔ = d ( M ,( P) ) r u ⇔ 29t − 88t + 68 = 11t − 20 M ( 1;3; − 1) ∈∆ với t = t ∈Z ⇔  53 → t =1 t =  35 Vậy, M ( 0; − 1;3) ⇒ d ( M , (Oxy ) ) = A ( 1;5;0 ) ; B ( 3;3;6 ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x +1 y −1 z = = −1 Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất Khoảng cách điểm A C d: A 29 Hướng dẫn giải: B 29 Ta có đường thẳng AB d chéo C 33 D Gọi C điểm d H hình chiếu vng góc của C đường thẳng AB AB ×CH = 11 ×CH Vì nên S ABC nhỏ nhất CH nhỏ nhất ⇔ CH đoạn vuông góc chung của đường thẳng AB  và d S ABC = Ta có C ( 1; 0; ) ⇒ AC = 29 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 10; 2;1) đường thẳng x −1 y z −1 = = Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d cho d: M ( −1; 2;3) P P khoảng cách d ( ) lớn nhất Khoảng cách từ điểm đến mp ( ) 97 A 15 76 790 B 790 13 C 13 29 D 29 Hướng dẫn giải: ( P ) mặt phẳng qua điểm A song song với P đường thẳng d nên ( ) chứa đường thẳng d ′ qua điểm A song song với đường thẳng d Gọi H hình chiếu của A d , K hình chiếu của H ( P ) d ( d , ( P ) ) = HK  ≤ AH AH   Ta có ( khơng đổi) ⇒ GTLN của d (d , ( P )) AH ⇒ d ( d , ( P ) ) lớn nhất AH  vng góc với ( P ) Q P Q Khi đó, gọi ( ) mặt phẳng chứa A d ( ) vng góc với ( ) r r r ⇒ n P = u d , nQ  = ( 98;14; − 70 ) ⇒ ( P ) :7 x + y − z − 77 = ⇒ d ( M , ( P ) ) = 97 15 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , d: cho điểm A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − = = 2 Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P) lớn nhất Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; 2; − 1) đến mặt phẳng ( P) 11 18 A 18 B 11 C 18 D Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu của A d ; K hình chiếu ( P) của A d ( A, ( P ) ) = AK  ≤ AH Ta có (Khơng đổi) ⇒ GTLN của d (d , ( P )) AH d ( A, ( P ) ) lớn nhất K  ≡ H H ( 3;1; ) ( P ) Ta có , qua H ⊥ AH ⇒( P) :x − 4y + z − = Vậy d ( M ,( P) ) = 11 18 18 ( P ) : x + y − z + = hai đường Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng x = 1+ t  x = − t′   d : y = t d ' : y = + t′  z = + 2t  z = − 2t ′  thẳng  ; Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với Tính cosin góc tạo hai đường thẳng B A Hướng dẫn giải: C ( P ) ; cắt d , d ′ tạo với d góc 30O D uur ( P) n Gọi ∆ đường thẳng cần tìm, P VTPT của mặt phẳng M ( + t ; t ; + 2t ) M ′ ( − t ′;1 + t ′;1 − 2t ′ ) Gọi giao điểm của ∆ d ; giao điểm của ∆ d ' uuuuur MM ' ( − t ′ − t ;1 + t ′ − t ; − − 2t ′ − 2t ) Ta có: uuuuur  M ∉( P ) ( P ) ⇔  uuuuur uur ⇔ t ′ = − ⇒ MM ′ ( − t; −1 − t;3 − 2t )  MM ′ ⊥ nP MM ′ // uuuuu r r −6t + t = cos30O = cos MM ′, u d ⇔ = ⇔ 2 36t −108t +156  t = −1 Ta có x =  x = t′   ∆1 :  y = + t ; ∆ :  y = −1  z = 10 + t z = t′   Vậy, có đường thẳng thoả mãn ( ) cos ( ∆1 , ∆ ) = Khi đó, A ( 1; 0;1) ; B ( 3; −2;0 ) ; C ( 1; 2; −2 ) ( P) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm Gọi ( P ) lớn nhất biết ( P ) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P) ? không cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng  E ( 1;3;1) A Hướng dẫn giải: B F ( 3; 0; −2 ) C  G ( −2; 0; 3) D  H ( 0;3;1) Gọi I trung điểm đoạn BC ; điểm B′, C ′, I ′ ( P) lần lượt hình chiếu của B, C , I Ta có tứ giác BCC ′B′ hình thang II ′ đường trung bình ⇒ d ( B, ( P ) ) + d ( C , ( P ) ) = BB′ + CC ′ = 2II ′ Mà II ′ ≤ IA (với IA không đổi) d ( B, ( P ) ) + d ( C , ( P ) ) lớn nhất I ′ ≡ A uur I 2;0; −1) A qua vng góc IA với ( ⇒ ( P ) : − x + z − = ⇒ E ( 1;3;1) ∈ ( P ) Do vậy, ⇒ ( P) A ( 1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm b, c dương mặt phẳng d ( O, ( ABC ) ) = ( P ) : y − z + 1= Biết mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) , mệnh đề sau đúng? A b + c =1 Hướng dẫn giải: B 2b + c =1 C b − c =1 D 3b + c = x y z + + =1 Ta có phương trình mp( ABC ) b c 1 ( ABC ) ⊥ ( P ) ⇒ − = ⇒ b = c (1) b c 1 1 d ( O, ( ABC ) ) = ⇔ = ⇔ + = 8(2) 1 b c 1+ + b c Ta có ⇒ b = c = ⇒ b + c =1 Từ (1) (2) 10 A ( 1; 2;3 ) ; B ( 0;1;1) ; C ( 1;0; − ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm 2 M ∈( P ) : x + y + z + = Điểm cho giá trị của biểu thức T = MA + MB + 3MC nhỏ nhất ( Q ) :2 x − y − z + = khoảng Khi đó, điểm M cách 101 A 54 C B 24 121 D 54 Hướng dẫn giải: 2 M ( x; y; z ) Gọi Ta có T = x + y + z − x − y + z + 31 2  2  2    145 ⇒ T =  x − ÷ +  y − ÷  z + ÷  + 3  3     ⇒ T = 6MI + 145 với ⇒ T nhỏ nhất MI 13  ⇒ M − ;− ;−  18 18 2 1 I  ; ;− ÷ 3 2 P nhỏ nhất ⇒ M hình chiếu vng góc của I ( )  ÷  [6] 11 BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho mặt phẳng (α ) : x + y − 2z − = 0; (β ) : 5x + 2y + 11z − = Góc mặt phẳng (α ) mặt phẳng (β ) A 60° 12 13 B 30° C 150° D 120° Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y − = Điểm H(2; 1; 2) hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng (P) (Q) A 45° B 30° C 60° D 120° r r r r π r r r u = 2; v = 1; u, v = u Góc vectơ v vectơ − v bằng: Cho vectơ ( ) A 90° B 30° C 60° D 45° d: x− y+ z− = = , 14 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 15 2x − 3y − 3z + = ∆:  x − 2y + z + = Góc đường thẳng d đường thẳng ∆ A 0° B 30° C 90° D 180° Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : 2x − y − 2z − 10 = 0; đường thẳng d: x − 1− y z + = = Góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) bẳng A 90° B 30° C 60° D 45° 16 17 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua A(3; – 1; 1), nằm x y−2 z = = 2 góc 45 (P): x – y + z – = hợp với đường thẳng d: x = + t  x = + 15t   ∆1 :  y = − + t, t ∈ R; ∆ :  y = − − 8t, t ∈ R z =  z = − 23t   A  x = + 2t  x = + 15t   ∆1 :  y = − + 2t, t ∈ R; ∆ :  y = − + 38t, t ∈ R z =  z = + 23t   B x = + t  x = + 3t   ∆1 :  y = − + t, t ∈ R; ∆ :  y = − − 2t , t ∈ R z =  z = − 5t   C x = − t  x = + 15t   ∆1 :  y = − − t, t ∈ R; ∆ :  y = − − 8t, t ∈ R z = + t  z = − 23t   D Cho hình lập phương ABCD.A'B 'C 'D ' có cạnh Gọi M, N, P lần lượt trung điểm cạnh A'B', BC, DD ' Góc đường thẳng AC’ mặt phẳng (MNP) B 120° A 90° 18 C 60° D 30° Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng  x = + 2t  d : y = −t  z = 3t  A ( 1; −4; ) mp ( P ) tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất Khi đó, khoảng cách từ điểm đến 12 35 A 35 19 B 20 6 C D M ( 2;1; −12 ) , N ( 3;0; ) P Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm Gọi ( ) mặt ( Q ) :2 x + y − 3z + = góc có số đo nhỏ nhất Điểm phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng A ( 3;1; ) 22 A 20 cách mp ( P) khoảng 22 B 11 C Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ∆1 : x −1 y −1 z − x −2 y −3 z + = = ; ∆2 : = = 1 −5 13 D 13 ( P) : x + y − z − = hai đường thẳng P Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số dương, M cách ∆ ( ) Khoảng cách từ điểm M đến mp( P ) 3 A B C D 21 A ( 1; −4;3 ) ; B ( 1;0;5 ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng  x = −3t  d :  y = + 2t  z = −2  Gọi C điểm đường thẳng d   cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất Khoảng cách điểm C gốc toạ độ O A 14 22 B 14 D Oxyz , cho điểm Trong không gian với hệ trục toạ độ d: C A ( 2;5;3 ) đường thẳng x −1 y z − = = 2 Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d cho B ( 2;0; − 3) P P khoảng cách d ( ) lớn nhất Khoảng cách từ điểm đến mp ( ) A 23 B C A ( 4; −3; ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng Gọi ( P)  x = + 3t  d :  y = + 2t  z = −2 − t  P mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất Tính khoảng cách từ điểm A 24 18 D 18 B ( −2;1; −3) đến mặt phẳng B ( P) C D 38 A ( 1; 1; − ) ; B ( −1; 2; 1) ; C ( −3; 4; 1) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm Gọi ( P) P mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( ) lớn nhất biết (P) P khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( ) ? A 25  E ( 2; −2;1) B F ( −1; 2;0 ) C  G ( 2;1; −3) D  H ( 1; −3;1) A ( a;0; ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0; 0; c ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm a, c dương mặt phẳng d ( O, ( ABC ) ) = ( P ) :2 x − z + = Biết 21 , mệnh đề sau đúng? mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) A a + c = 26 B a + c = C a − c =1 D 4a − c = A ( −2; 2; 3) ; B ( 1; −1; ) ; C ( 3; 1; − 1) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm Điểm M ∈( P ) : x + z − = 2 cho giá trị của biểu thức T = MA + MB + 3MC nhỏ nhất Khi đó, ( Q ) : − x + y − z − = khoảng điểm M cách A 27 B.2 C D Tính khoảng cách từ điểm H(3; – 1; – 6) đến mặt phẳng (α ) : x + y − z + = A 3 B C D 28 Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P): x + y + z = (Q) x + y + z + = 7 A B C D 29 Khoảng cách từ điểm K(1;2;3) đến mặt phẳng (Oxz) A B C D  x = + 5t   y = − 2t  z = −4t 30 Tính khoảng cách mặt phẳng (α ) : x + y + z + = đường thẳng d:  A B C D 31 Khoảng cách từ giao điểm A của mặt phẳng ( R) : x + y + z − = với trục Oz đến mặt phẳng (α ) : x + y + z + = A 32 B C D  x = − 3t  y = + t  z = −1 + t  Cho hai mặt phẳng ( P) : x + y + z − = 0, (Q) : x + y + z = đường thẳng d: Gọi d (d ,( P)) , d ( d , (Q)) , d (( P ), (Q )) lần lượt khoảng cách đường thẳng d (P), d (Q), (P) (Q) Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A d (d , (Q )) = C d (( P ), (Q )) = 33 B d ( d , ( P)) = D d ( d , (Q)) = x = 1+ t  y = 4+t  z = + 2t Khoảng cách từ điểm C ( −2;1; 0) đến mặt phẳng (Oyz) đến đường thẳng ∆ :  lần lượt d1 d Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: A d1 > d 34 B d1 = d C d1 = D d =1 Khoảng cách từ điểm B (1;1;1) đến mặt phẳng (P) Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: A (P): x + y + z – = B (P): x + y + z – = C (P): x + y  – z + = 35 Trong không gian Oxyz cho mặt D (P): x + y + z – 3 = ( α ) :2 x − y + z + = phẳng ( β ) :2 x − y + z + = Tập hợp điểm M cách mặt phẳng ( α ) ( β ) A x − y + z + = C x − y + z − = 36 Trong không gian mặt phẳng B x − y − z + = D x + y + z + = Oxyz cho mặt phẳng ( α ) : x − y + 2z + = ( β ) : x − y + z + = Tập hợp điểm cách mặt phẳng ( α ) x + y + =  A 3x − y + z + = x − y + = 3 x − y + z + = C  và (β) x − y + =  B 3 x − y + z + = x − y + = 3 x + y + z + = D  mặt phẳng ... thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; biết cách khoảng cách hai mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; biết cách tính khoảng cách hai đường... thẳng song song; khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng cơng thức góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng... đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng - Áp dụng góc khoảng cách vào toán khác 15 CÂU KHOẢNG CÁCH A ( 1;  2; ) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (α ) : x + y − z − = bằng: