Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải

Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1. Cho dãy số ( ) un xác định bởi :

1 1

Bài 3. Cho dãy số ( ) un xác định bởi 1 1 2 *

q=

và 1

12

Vì f n ( ) ∈ Z+ nên từ giả thiết (1) ta được: f n ( + 1 ) ( ) ≥ f n + 1, ∀ ∈ n Z+.

Kết hợp giả thiết (2) ta được ∀ ∈ n Z+.

Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a d a a d − , , + .

Theo giả thiết ta có hệ: ( )2 2 ( )2

9125

Từ đó ta có:

15n n

n u

Chứng minh : un là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Hướng dẫn giải

Ta có u1= 1; u2 = 4; u3= 25.

Đặt

25

Từ hệ thức u un+2 n = ( un+1+ 1) ;2 ∀ ∈ n ¥ * và u u1; 2 là các số chính phương suy ra un là số chính phương với

mọi n nguyên dương

Bài 7. Cho dãy số { } an n+∞=1 tăng, an > ∀ = 0 n 1,2,3, và α > 0 Xét dãy số { } xn n+∞=1 xác định bởi

( )

1

1

1 1

Bài 9. Cho hàm số f : 0; ( +∞ → ) ( 0; +∞ ) thỏa mãn điều kiện ( )3 1 ( )2 2

a =

và

2 1

Thật vậy, khi n = 1 thì theo (2), ta có ngay (3)

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k = Khi đó

Tiếp theo ta chứng minh lim an = 1 Thật vậy, ta thấy ngay an < ∀ ∈ 1 n ¥* Do đó:

, suy ra dãy ( ) an tăng ngặt.

Dãy ( ) an tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lim an = l thì l= 13l2+ 23 với l ≤ 1, suy ra l = 1 Vậylim an = 1.

Do đó từ (3) suy ra f x ( ) ≥ x với mỗi x > 0 (đpcm)

Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.

Bài 11. Cho dãy số xác định bởi

1

2 1

20152016

x > x − > ⇒ < x

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn

Bài 12. Cho dãy số( ) un xác định như sau

1,2013

Cho dãy số ( ) un xác định bởi ( ) 4 2 *

1

1,2013

u u

Suy ra ( ) un là dãy tăng, ta có 2014 = < < u u1 2 .

Giả sử ngược lại ( ) un bị chặn trên và( ) un là dãy tăng nên lim un = < +∞ a thì a > 2014 Khi đó

Vì

1 2

1 12

u u

Suy ra 52013≡ 125 mod 2011 ( ) ,32013 ≡ 27 mod 2011 ( ) .

Vậy khi chia u2013 cho 2011 ta được số dư là 152

Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152

Bài 22. Cho dãy số ( ) 1( )

* 1

1:

u u

a) Chứng minh dãy số ( ) un là dãy số giảm.

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số ( ) un .

u

u u u

q=

ta được yn+2− 3 yn+1− 10 yn = 0với mọi n N ∈ *.

Vì phương trình đặc trưng của dãy ( ) yn có hai nghiệm phân biệt − 2;5 nên ( ) 2 n .5n

B A

72

a) Chứng minh dãy số ( ) un là dãy số giảm.

b) Lập công thức tổng quát của dãy số ( ) un .

Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số ( ) un là dãy số giảm.

u u

b) Lập công thức tổng quát của dãy số ( ) un .

n n

n

u x

u

−

=+ , ta có: 1

13

x =

12016:

2015 1

,2016

n

n n

u u

x = −

u u

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy( ) un .

b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015

Hướng dẫn giải

1 2

11

v v

b) Ta có u2016 = 2015! 2016 + chia cho 2015 dư 1.

Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số

2 1

3:

y x

=, khi đó ta được dãy ( ) yn xác định như sau: 1

13

y =

và2

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

Bài 1. Cho dãy số( ) un biết

41

u u

Bài 6. Cho dãy số ( ) un xác định bởi: 1 1 2 *

q=

và 1

12

n n n

u v u

Vậy số hạng tổng quát của dãy số ( ) un là n 33 2

n u

− +

+ +

+

Hướng dẫn giải

Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0 Từ công thức truy hồi

Ta thấy chỉ có a b = = + 1 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm

Bài 2. Tìm số các dãy số ( ) un thỏa mãn điều kiện:

2 1

2004

12

Do đó có tất cả 22003 dãy số ( ) un thỏa điều kiện đã cho.

Bài 3. Cho x x1, , , , 2 xn là các nghiệm dương của phương trình tan x x = được sắp theo thứ tự tăng

a ∈ ¡ để dãy số ( ) un có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: un+1− = un ( un− a )2 ≥ ⇒ 0 un+1≥ un; ∀ = n 1,2,3, .

* Suy ra dãy số ( ) un tăng; từ đó dãy số ( ) un có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.

Giả sử tồn tại lim un = L L ( ∈ ¡ ), thì chuyển qua giới hạn hệ thức 2 2

- Nếu có chỉ số k ∈ ¥* mà uk > a thì un > ∀ ≥ a n k ; nên L a > trái với kết quả lim un = = L a.

Do đó: uk ≤ a với mọi k = 1,2, hay un2− − (1 2 ) a un+ ≤ ∀ = a2 a n , 1,2,3, nói riêng

Bằng quy nạp ta chứng minh được a − ≤ ≤ ∀ = 1 un a , n 1,2,3, (H/s trình bày ra).

Như vậy dãy ( ) un tăng, bị chặn trên bới a, do đó dãy ( ) un có giới hạn hữu hạn.

Bài 5. Cho hai dãy số ( ) an và ( ) bn được xác định như sau:.

a b

+ =+ ;bn+1= a bn+1. n , n = 1,2, ….Chứng minh rằng ( ) an và ( ) bn có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.

n n n

b

ππ

n n n

Vậy hai dãy { } { } an , bn có cùng giới hạn chung là 2 39π

++

Bài 7. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác

trung bình của tam giác ABC

Xây dựng dãy các tam giác A B C1 1 1, A B C2 2 2, A B C3 3 3, sao cho tam giác A B C1 1 1 là một tam giác đều

cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n ≥ 2, tam giác A B Cn n n là tam giác trung bình của tam giác

n n n

A B C− − − Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu rn tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp

tam giác A B Cn n n Chứng minh rằng dãy số ( ) rn là một cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát của

r =

+ Số hạng tổng quát: 1

1.3.2

b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số ( ) bn theo N Từ đó, hãy suy

ra số hạng tổng quát của dãy số ( ) an ..

Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết ⇒ = − ⇒ bn 2 n 1 ( ) bn là một cấp số cộng với số hạng đầu b1= 1 và công sai d = 2.

b) + Tổng N số hạng đầu của dãy ( ) bn là: SN = N2..

+ Số hạng tổng quát của dãy ( ) an là: an = − + n2 2 n 2..

Bài 9. Cho dãy số ( ) un được xác định bởi

u v

u −

=, thì dãy (vn)

U U

U

ππ

2

n n

Nên từ giả thiết ta có:

1

tan12

1 tan

12

n n

n

u u

u

ππ

4 1 tan tan 3

4

πα

a/Tìm p N ∈ * sao cho hệ

1 1 1 1

4

4

0, 1,

p i i p i i

p = :Khi đó: xi = 1, i ∈ 1,4 Vậy hệ có nghiệm.

1 (1 1)

p i

a = =a

,

2 1 1

1( , )

1

a a

+∞÷

Bài 2. Kí hiệu Hn là tập hợp các đa thức bậc n dạng:

1

i 0

i i

− đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n –1, g x ( ) đổi dấu n + 1

lần tại các điểm cosk

n

π, k = 0, n.

1max ( )

2n

f x ≥ −

Vậy { [ ]1;1 } 1

1min max | ( ) |

Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến x an− < ε .

Vậy dãy số {xn} hội tụ

Bài 5. Cho phương trình x2− α x − = 1 0 với α là số nguyên dương Gọi β là nghiệm dương của

phương trình Dãy số ( ) xn được xác định như sau:.

x = α xn+1= [ β xn] , n = 0,1,2,3, .

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho xn chia hết cho α

Hướng dẫn giải

Đầu tiên ta chứng minh β là số vô tỉ Thật vậy, nếu β là số hữu tỉ thì β là số nguyên (do hệ số cao nhất

của x2 là 1) và β là ước của 1 Do đó β = 1 suy ra α = 0, trái giả thiết

Bài 6. Cho dãy ( ) an với n > 0 được xác định bởi:.

n Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của bn..

Vậy mệnh đề đúng với n + 4, do đó nó đúng với mọi n nguyên dương

Điều đó chứng tỏ an luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương

b) Gọi rn là số dư của bn cho 2015 với n = 1;2;3 .

Trước tiên ta chứng minh ( ) rn là một dãy tuần hoàn Thật vậy: Ta có

b+ = b+ + ⇒ b r+ ≡ r+ + r .

Vì có vô hạn các cặp ( ) r r1 2; , ( r r2; ,3) ., ( r rn; n+1) nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ít

nhất hai phần tử của dãy trùng nhau Ta giả sử là ( r rm; m+1) ( = rm T+ ; rm T+ +1) (với T là một số nguyêndương)

Ta chứng minh ( ) rn tuần hoàn với chu kỳ T

Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm k− = rm T k+ − với k = 1;2;3; ; m − 1. (2).

Từ (1) và (2) suy ra ( ) r nn , > 0là một dãy tuần hoàn.

Bổ sung vào dãy ( ) bn phần tử b0 = 0 thỏa mãn b b b0+ =1 2 suy ra r0 = 0..

Khi đó dãy ( ) rn là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên r0 = 0. Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy( ) rn bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.

Bài 7. Cho dãy số ( ) un được xác định như sau: u0 = 0, u1= 1, un+2 = 2 un+1+ un, n = 0,1,2, Chứng minh

So sánh đồng dư của an, an+1 và an+2 theo modun 4 ta có (chú ý 2019 3 mod 4 ≡ ( ) ).

Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1

Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào

Nếu cả a1 và a2 đều chính phương, giả sử 2

12019

10101009

b a

3673

338335

b a

=



⇔  =

 , vô lí do 335 không là lập phương

Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương

Bài 9. Cho dãy ( ) un thỏa mãn các điều kiện sau :

2 3 9999

{0;1}

003333

Khi đó 22n−1+1+ = 3 c3 Mặt khác n chẵn suy ra n − 1 lẻ suy ra 2n−1+ 1 3 M khi đó đặt.

Bài 11. Cho dãy số ( ) un được xác định như sau: u0 = 0, u1= 1, un+2 = 2 un+1+ u nn, = 0,1,2, Chứng minh

2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.

Bài 1. Cho cấp số cộng ( ) un với n là số nguyên dương thoã mãn u2013= 2013; u2014 = 2014 Tính

a= −

thì

10,2

Giả sử n là số thỏa mãn x xn+1 n− 500 là số chính phương.

Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra ( ) un là dãy đơn điệu tăng thực sự, và u

n nhận giá trị nguyên dươnglớn hơn hoặc bằng 2 với mọi n = 1,2, .

Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:

(ở đây n = 2016 ) Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n Khi đó nó sẽ đúng với n = 2016

Do un nguyên dương với mọi n, (5) tương đương

+

< − <

Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n = 2,3, .

Vì vậy (5) đúng n = 2016 Ta có điều phải chứng minh!

Bài 5. Cho dãy ( ) an n∞=1:

n

n n

limlim

k k

Bài 6. Cho dãy số ( ) un như sau ( ) ( )

1 2

*

12

u u

S = − − − − = − − − −

Với n là số nguyên tố ⇒ 2n− 1− 1 chia hết cho n.

Do n là số nguyên tố lớn hơn 2 ⇒ (n−21)n chia hết cho n.

u = − + − − nên un chia hết cho 6.

Mặt khác n là số nguyên tố nên theo định lý Fermat

Suy ra un chia hết cho 6n

p i

Bài 10. Cho dãy số ( ) xn xác định bởi

x x+ = ⇒ ∃ n

Vậy n = 2 thì x xn+1. n+ 1 là số chính phương.

Bài 11. Bài 3 Cho phương trình x2− α x − = 1 0 với α là số nguyên dương Gọi β là nghiệm dương

của phương trình Dãy số ( ) xn được xác định như sau x0 = α , xn+1= [ β xn] , n = 0,1,2,3, .

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho xn chia hết cho α

Hướng dẫn giải

Đầu tiên ta chứng minh β là số vô tỉ Thật vậy, nếu β là số hữu tỉ thì β là số nguyên (do hệ số cao nhất

của x2 là 1) và β là ước của 1 Do đó β = 1 suy ra α = 0, trái giả thiết

Vậy x2lα chia hết cho α , ∀ ∈ l ¥*..

Bài 12. Cho dãy số ( ) an xác định bởi

Ta phải chứng minh vn là số chính phương.

Thật vậy, xét dãy số ( xn ) xác định bởi

Ta sẽ chứng minh vn = ∀ ∈ xn2, n ¥ (1) bằng quy nạp.

Thật vậy, rõ ràng với n = 0, n = 1, (1) đúng.

Giả sử (1) đúng đến n k = + 1, k ∈ ¥ , tức là vn = x nn2, = 1,2, , k + 1..

ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh vk+2 = xk2+2.

Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số ( ) an , giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số ( ) xn , công

thức truy hồi của dãy số ( ) xn , ta có.

Do đó vn là số chính phương Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 13. Cho dãy số( ) xn được xác định bởi xn = 2013 n a n + 38 3+ ∀ = 1, n 1,2, a là số thực

a))Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn

b)Tìm a sao cho dãy số( ) xn là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó).

a = −

.b)Từ lý luận phần a) ta suy ra)

201322013

220132

a ≥ −

là điều kiện đủ để có kết luận trên

Thật vậy: Với

2013 2

Vậy dãy số( ) xn là dãy số tăng kể từ số hạng nào đó với a ≥ − 2013 2

và trong trường hợp đó ( ) xn là dãy số

tăng từ x1.