Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài Cho dãy số ( un ) dãy cho  u1 = 11  xác định :  un +1 = 10un + − 9n, ∀ n ∈ N Xác định số hạng tổng quát Hướng dẫn giải Ta có: u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + Dự đoán: un = 10 + n ( 1) n Chứng minh theo quy nạp ta có u1 = 11 = 101 + , cơng thức ( 1) với n = Giả sử công thức ( 1) với n = k ta có uk = 10k + k Ta có: uk + = 10 ( 10k + k ) + − 9k = 10k +1 + ( k + 1) Công thức ( 1) với Vậy un = 10 + n , n Bài n = k + ∀ n ∈ N u1 = −2  Cho dãy số (un ) biết un = 3un −1 − 1, ∀ n ≥ Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un = 3un −1 − ⇔ un − 1 = 3un−1 − ⇔ un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 1 −5 = un − ⇒ v1 = u1 − = Đặt 2 (1) ⇒ = 3vn −1 , ∀n ≥ Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q = Nên = v1.q n −1 = Do un = + − n −1 −5 n −1 = + , ∀ n = 1, 2, 2 Trang 3 n+  * u1 = 1; u n +1 =  un − ÷, ∀ n ∈ N u ( ) 2 n + 3n +  Cho dãy số n xác định Tìm cơng thức số hạng Bài tổng quát un dãy số theo n HƯỚNG DẪN GIẢI Với n ∈ ¥ , ta có * 2un +1 = 3(un − ⇔ 2(un +1 − Dãy số n+4 ) ⇔ 2un +1 = 3(un + − ) (n + 1)( n + 2) n + n +1 3 3 ) = 3(un − ) ⇔ un +1 − = (un − ) n+ n +1 n+ 2 n +1 (vn ), = un − 3 q= v1 = − n + cấp số nhân có cơng bội n −1 n −1 1 3  3  1 =  ÷  − ÷, ∀ n ∈ ¥ * ⇒ un = −  ÷ , ∀n ∈ ¥ * n +1    2  2 Bài + + Cho hàm số f : Z → Z thỏa mãn đồng thời điều kiện: + (1) f ( n + 1) > f ( n ) , ∀ n ∈ Z (2) f  f ( n )  > n + 2000 , ∀ n ∈ Z + + a/Chứng minh: f ( n + 1) = f ( n ) , ∀ n ∈ Z b/Tìm biểu thức f ( n ) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Vì f ( n ) + ∈ Z + nên từ giả thiết (1) ta được: f ( n + 1) ≥ f ( n ) + , ∀ n ∈ Z + Kết hợp giả thiết (2) ta ∀ n ∈ Z n + 2001 = ( n + 1) + 2000 = f  f ( n + 1)  ≥ f  f ( n )  + = n + 2001 đó: f ( n + 1) = f ( n ) + , ∀ n ∈ Z + Câu b f ( n ) = f ( 1) + n –1, ∀ n ∈ Z + ⇒ f { f ( 1) } = f ( 1) + f ( 1) –1 , Suyra: + 2000 = f ( 1) –1 ⇒ f ( 1) = 1001 ⇒ f ( n ) = n + 1000, ∀ n ∈ Z + Thử lại thỏa điều kiện, nên f ( n ) = n + 1000, ∀ n ∈ Z + Trang Bài a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 b)Cho dãy số ( un ) u1 = 16   15 ( n.un + 1) , ∀n ≥ un +1 + 14 = n +1 có  Tìm số hạng tổng quát un Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a − d , a, a + d  a − d + a + a + d =  2 Theo giả thiết ta có hệ: ( a − d ) + a + ( a + d ) = 125 3a = ⇔ 2 3a + 2d = 125 a = ⇔  d = ±7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 b)Cho dãy số ( un ) Ta có: un +1 + 14 = u1 = 16   15 ( n.un + 1) , ∀n ≥ un +1 + 14 = n +1 có  Tìm số hạng tổng qt un 15 ( n.un + 1) n +1 ⇔ ( un+1 + 14 ) ( n + 1) = 15 ( n.un + 1) ⇔ ( n + 1) un +1 = 15nun − 14n + (1) Đặt = nun ( ⇒ v1 = 16 ) (1) trở thành: +1 = 15vn − 14n + ⇔ +1 − ( n + 1) = 15 ( − n ) (2) Đặt w n = − n ( ⇒ w1 = 15 ) n (2) trở thành: wn +1 = 15wn ⇒ ( w n ) csn có w1 = 15, q = 15 ⇒ w n = 15 Từ ta có: Bài un = 15n + n n Cho dãy số ( un ) xác định : u1 = 1; u2 = 4; un + = 7un +1 − un − 2, ∀n ∈ ¥ * Trang Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1 = 1; u2 = 4; u3 = 25 Đặt un = + Khi 18 123 v1 = ; v2 = ; v3 = 5 un + = 7un +1 − un − 2, ∀ n ∈ ¥ * ⇔ + + 2  2  =  +1 + ÷ − + ữ 2, n Ơ * 5  5  ⇔ + = 7vn +1 − , ∀n ∈ ¥ * Ta có : + − + = (7vn +1 − ).vn − +1 = +1 (7vn − +1 ) − = +1vn −1 − 2 2 vn+ − vn2+1 = +1vn−1 − vn2 = L = v3v1 − v22 = ; ∀ n ∈ ¥ * Suy : Suy : ⇒ un + u n −  4 2  2  2   un + − ÷  un − ÷ −  un +1 − ÷ = ⇒ un + 2un − ( un+ + un ) + −  un +1 − un +1 + ÷ = 25  25  5  5  5  ( 7un +1 − ) − un2+1 + un+1 = ⇒ u u = u + 2u + = (u + 1) ; ∀ n ∈ ¥ * n+ n n +1 n +1 n +1 5 Từ hệ thức un + 2un = (un +1 + 1) ; ∀ n ∈ ¥ * u1 ; u2 số phương suy un số phương với n nguyên dương { an } n = +∞ Bài Cho dãy số n xn = ∑ i =1 tăng, an > ∀n = 1, 2,3, α > Xét dãy số { xn } n =1 xác định +∞ +1 − xn +1aiα Chứng minh tồn nlim → +∞ Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy dãy { xn } n =1 tăng ngặt +∞ Trường hợp Nếu α > +1 − 1 1 = α− < α − α ⇒ xn < α +∞ α α −1 +1ai ai +1ai ai +1 a1 dãy { xn } n =1 bị chặn tồn Trường hợp Nếu lim xn n → +∞ < α < +1 −  1  < −  ÷( *) α −1 α α +1aiα α  aiα aiα+1  ( *) ⇔ α +1 ( +1 − ) < +1 − Trang α −1 aiα+1 − aiα ⇔ > α +1 ( **) +1 − Ta chứng minh (**) Xét hàm số f ( x ) = x Trên đoạn [ ; +1 ] rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn α aiα+1 − aiα aiα+1 − aiα aiα+1 − aiα α −1 α −1 f ( c) = ⇔ αc = ⇒ α +1 < +1 − ai +1 − ai +1 − đpcm thoả mãn ' số c ∈ ( ; +1 ) Từ ta có ⇒ xn < ⇒ +∞ xn α a1α dãy { xn } n =1 bị chặn tồn nlim → +∞ Bài Cho dãy số ( xn ) xác định : x4 = xn +1 = xn + 1( n − ) + ( n − 3) + ( n − ) + L + ( n − ) 1, với n ≥ xn Tính giới hạn n → +∞ n lim Hướng dẫn giải Ta có: 1( n + ) + ( n − 3) + ( n − ) + ( n − ) =  ( n − 1) − 1 +  ( n − − )  +  ( n − 1) − 3 + + ( n − )  ( n − 1) − ( n − )  = ( n − 1) 1 + + + + ( n − )  − 12 + 22 + 32 + + ( n − )    = ( n − 1) ( n − ) ( n − 1) − ( n − ) ( n − 1) ( 2m − 3) Do ta suy : Ta chứng minh Giả sử với xn +1 = xn + n ( n − 1) ( n − ) = n ( n − 1) ( n − ) = xn + Cn3 ( *) xn = Cn4 Thật với n = , ta có x4 = = C44 n ≥ ta có : xn = Cn Ta có : xn +1 = xn + Cn theo (*) hay xn +1 = xn + Cn = Cn + Cn = Cn 4 xn n! = lim = 4 n → +∞ n n →+∞ 4!( n − ) ! n lim Trang Bài 1  f ( 3x ) ≥ f  f ( x ) ÷ + x 2  Cho hàm số f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thỏa mãn điều kiện với x > Chứng minh f ( x ) ≥ x với x> Hướng dẫn giải 1  f (3x) ≥ f  f (2 x) ÷+ x (1) 2  Ta có: 1 f ( x) ≥ f  2 Từ (1) suy 2x  2x   2x f  ÷÷+ ⇒ f ( x) > , ∀x >   (2)   2x   2x f ( x) ≥ f  f  ÷÷+ >    3 Khi  2x  x  2x  2x   f  ÷+ = f  ÷+ >  + ÷x   3    27  Xét dãy ( an ) , ( n = 1, 2,… ) xác định sau: a1 = 2 an +1 = an2 + 3 Ta chứng minh quy nạp theo n với n ∈ ¥ ln có * f ( x) > an x với x > (3) Thật vậy, n = theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n = k Khi   2x   2x 2x 2x  2x  2x f ( x) ≥ f  f  ÷÷+ > a f  ÷+ > a a +    k   k k a2 + = k x = ak +1.x Vậy (3) với n = k + Tiếp theo ta chứng minh lim an = Thật vậy, ta thấy an < ∀ n ∈ ¥ * Do đó: an +1 − an = (an − 1)(an − 2) > , suy dãy ( an ) tăng ngặt 2 l = l + Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an = l 3 với l ≤ , suy l = Vậy lim an = Do từ (3) suy f ( x) ≥ x với Bài 10 x > (đpcm) Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thỏa mãn đồng thời điều kiện sau Trang f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) với x, y ∈ ¡ f ( x ) ≤ e − với x x∈ ¡ Hướng dẫn giải f ( x + ) ≤ f ( x ) + f ( ) ⇒ f ( ) ≥ f ( ) ≤ e − = f ( ) = f ( x + ( − x) ) ≤ f ( x) + f ( − x) ⇒ f ( x) + f ( − x) ≥  x f ( x ) ≤ f  ÷+  2 ( 1) x   x  f  ÷ ≤  e − 1÷  2    x   x f ( x ) ≤  e − 1÷ ⇒ f ( x ) ≤ f  ÷ +  2   x   x  f  ÷ ≤  e − 1÷  2    xn  f ( x ) ≤ 2n  e − 1÷÷   Dùng quy nạp theo n = 1, 2, ta CM  2x0n  f ( x0 ) ≤  e − 1÷÷   Cố định x0 ∈ ¡ ta có n  2x0n  an =  e − 1÷  ÷   ta có: Xét dãy n  x0n   e2 −1  lim an = lim  x0  = x0 x0  n    Vậy f ( x0 ) ≤ x0 ∀ x0 ∈ ¡ Vậy f ( x ) + f ( − x ) ≤ x + ( − x ) = ( 2) ( 3) Kết hợp (1) (3) ta f ( x ) + f ( − x ) = Từ (2) ⇒ f ( − x ) ≤ − x ⇒ f ( x ) ≥ x ( ) Kết hợp (2) (4) ta f ( x ) = x∀ x ∈ ¡ ta thấy Vậy f ( x ) + f ( − x ) ≤ x + ( − x ) = Thử lại f ( x ) = x ( 3) Kết hợp (1) (3) ta f ( x ) + f ( − x ) = Từ (2) ⇒ f ( − x ) ≤ − x ⇒ f ( x ) ≥ x ta thấy ( ) Kết hợp (2) (4) ta f ( x ) = x∀ x ∈ ¡ Trang Thử lại f ( x ) = x 2015  x =  2016    x = x +  xn  , n ≥ n +1 n  ÷  n  Bài 11 Cho dãy số xác định  Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn > ∀n ≥ dãy số cho dãy tăng Ta có : x2 = x1 + x12 < x1 ; x22 x3 = x2 + < x1 + x12 < x1; Giả sử xk < kx1 với k > Ta có: xk +1 = xk + xk2 < kx1 + x12 < (k + 1) x1 k Theo nguyên lý quy nạp ta có xn < nx1 ∀n > Ta xm < m − ∀m ≥ 2017 thật có : mx1 < m − ⇔ m ( − x1 ) > ⇔ m > : 1 ⇔ m> ⇔ m > 2016 2015 − x1 1− 2016 ; Do xm < mx1 < m − xn2 x −x x 1 1 1 − = n +1 n = n = n < < = − xn xn +1 xn xn +1 n xn +1 n n (n − 1) n − n Ta có với ∀ n ≥ xn xn +1 Do n − 2018 ∑ i=0 ∀ n ≥ 2018 x2017  1  − − <  ÷=  2016 + i 2017 + i  2016 n − 2016 2016 x2017 1 > − > ⇒ xn < 2016 − x2017 Suy xn x2017 2016 Vậy dãy cho tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn u1 = 1; u2 =   un +1 = un − un −1 ∀n ≥  2 Bài 12 Cho dãy số (un ) xác định sau  Trang n − 2018  1  − = ∑  − ÷< xn x2018+ i  i =  x2017 + i a) Xác định số hạng tổng quát un b) Tính lim un n → +∞ Hướng dẫn giải Biến đổi ta được: u n +1 − u n = 1 +1 = , ∀ n ≥ ( un − un−1 ) v = u − u n +1 n đó: với n+1 nghĩa dãy v2 , v3 , , cấp số cộng v2 = 1; q = = un − un −1   −1 = un −1 − un −   → un − u1 = v2 + v3 +   v2 = u2 − u1 n−2 n−2  1  1 ⇔ un = +  + +  ÷ ÷ = −  ÷  2 ÷ 2      n−  lim un = lim  −  ÷ ÷ = ÷ x → +∞ x → +∞   2  Bài 13 Cho dãy số ( un ) xác định sau u1 = 2011; un −1 = n ( un−1 − un ) , * với n ∈ ¥ , n ≥ Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi dãy ta    1  1     un = 1 − ÷un −1 = 1 − ÷1 − u = = − − ÷  ÷ 1 − ÷u1 n−2  2 ÷ ÷   n  n   n   ( n − 1) ÷   n − ( )    un = Do Bài 14 ( n + 1) ( n − 1) ( n − ) n 4.2 3.1 2011 = n + 2011 2011 2 lim u = n n2 2 n ( n − 1) Từ Cho dãy số ( un ) xác định ( u1 ) = 2014, un+1 = un4 + 20132 , ∀n ∈ ¥ * un − un + 4026 n Đặt , ∀n ∈ ¥ * k =1 u + 2013 Tính lim = ∑ k Hướng dẫn giải Trang Cho dãy số ( un ) un4 + 20132 , ∀n ∈ ¥ * ( u1 ) = 2014, un+1 = un − un + 4026 xác định n Đặt , ∀n ∈ ¥ * k =1 u + 2013 Tính lim = ∑ k ( un − 2013) ( un3 + 2013) un4 + 20132 un +1 − 2013 = − 2013 = u − u + 4026 un ( un2 − 1) + 4026 n n Ta có Từ quy nạp ta chứng minh un > 2013, ∀ n ∈ ¥ * ( un − 2013) ( un3 + 2013) un +1 − 2013 = ( un + 2013) − ( un − 2013) ( 1) 1 1 1 = − ⇒ = − un + 2013 un − 2013 un +1 − 2013 Từ ( 1) suy un +1 − 2013 un − 2013 un + 2013 n   1 1 = ∑  − − = 1− ÷= uk +1 − 2013  u1 − 2013 un+1 − 2013 un+1 − 2013 k =1  uk − 2013 Do Ta chứng minh lim un = +∞ un2 − 4026un + 20132 ( un − 2013) un +1 − un = = > 0, ∀n ∈ ¥ * un − un + 4026 un − un + 4026 Thật vậy, ta có Suy ( un ) dãy tăng, ta có 2014 = u1 < u2 < Giả sử ngược lại ( un ) bị chặn ( un ) dãy tăng nên lim un = a < +∞ a= a > 2014 Khi a + 20132 a − a + 4026 ⇒ a = 2013 < 2014 (vô lý) Suy ( un ) khơng bị chặn trên, lim un = +∞   lim = lim  − ÷= u − 2013 k +1   Vậy Bài 15 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) biết  u1 =  u2 = 673  un + = 2(n + 2) un +1 − (n + 4n + 5n + 2)un n+3  ( n ∈ ¥ , n ≥ 1) Hướng dẫn giải Trang 10 So sánh đồng dư an , an +1 an + theo modun ta có (chú ý 2019 ≡ ( mod ) ) an an+1 3 2 3 an + Một số phương chia có số dư Vì từ số hạng thứ trở đi, dãy khơng có số phương 2 Nếu a1 a2 phương, giả sử a1 = a , a2 = b , ( )( ) ⇔ b − a b + a = 2019 suy b = a + 2019 Hơn phân tích 2019 thành tích có cách 2019 = 1.2019 = 3.673 b − a = b = 1010 ⇔   3 a = 1009 , vô lí 1009 khơng lập phương Trường hợp 1: b + a = 2019 b − a3 = ⇔  b + a = 673   Trường hợp 2: b = 338   a = 335 , vơ lí 335 khơng lập phương Vậy điều giả sử sai, nghĩa dãy có nhiều số phương Bài Cho dãy ( un )  un ∈ N u − u − u ∈ {0;1}  m + n m n  u2 = u >  thỏa mãn điều kiện sau : u9999 = 3333 Tìm u2013 Hướng dẫn giải Ta có : um + n = um + un + ε (ε ∈ {0;1}) Bằng quy nạp ta chứng minh un1 + n2 + + nk ≥ un1 + un2 + + unk , với n1 , n2 , , nk Ta có: u2 ≥ u1 + u1 ⇒ u1 = u3 = u2 + u1 + ε = + ε ⇒ u3 = Ta chứng minh n < 3333 u3n = n (1) Thật vậy: Với n = (1) Trang 37 Ta có u3n ≥ n.u3 = n, ∀n Giả sử, tồn n0 < 3333 , mà u3n0 > n0 ⇒ u3( n0 +1) = u3 n0 + ≥ u3n0 + u3 > n0 + , điều chứng tỏ, với n ≥ n0 u3n > n Điều mâu thuẫn với u9999 = 3333 n < 3333 u3n = n Vậy, với Do u2013 = 671 Cho dãy số xn xác Bài 10 định bởi: x1 = 5; x2 = 17 ; xn +1 = xn xn2−1 − xn − 4 Tìm n chẵn thỏa mãn n ∈ N * [ xn ] + lập phương số tự nhiên Hướng dẫn giải Nhận xét thấy : 1−1 x1 = 22 +1 + 1−1 22 Khi đó, giả sử : ; x2 = 22 +1 xn = 22 Cần chứng minh: xk +1 = = 22 k +1 + Khi n−1 +1 + xk +1 = 22 k + 22 2−1 22 +1 n−1 + +1 +1 ∀ n ≤ k ; k ∈ N * ; k +1 (1) ta có 22 k +1 n−1 suy (1) +1 + 2n−1 +1 Khi [ xn ] + = 22 +1 +1 k −2 k −1 1 k −1 4 xk xk −12 − xk − = (22 +1 + 2k −1 +1 )(22 +1 + 2k − +1 ) − 2(22 +1 + 2k −1 +1 ) − 4 2 xn = 22 ⇒ n−1 2−1 n −1 + n −1 ∀n ∈ N * +1 + , giả sử tồn n chẵn để [ xn ] + lập phương số tự nhiên: + = c3 Mặt khác n chẵn suy n − lẻ suy 2n−1 + 1M3 đặt k k 2k 3k k 2k k = 23k ⇒ + = c ⇒ ( c − ) ( c + c.2 + ) = mà c + c.2 + > c − nên: c − 2k = 1; c + c.2k + 22 k = (2) Giải hệ (2) ta hệ khơng có nghiệm ngun với k > suy không tồn n chẵn Vậy không tồn n chẵn để [ xn ] + lập phương số tự nhiên Trang 38 Bài 11 Cho dãy số ( un ) xác định sau: u0 = 0, u1 = 1, un + = 2un +1 + un , n = 0,1, 2, Chứng minh 22014 un 22014 n Hướng dẫn giải Công thức tổng quát 1+ ) Đặt ( Ta có Đặt un = n un = ( = a, − 2 ( a − b) ( , 2 ) n (( ) ( n 1+ − 1− = b ⇒ ab = ( −1) u2 n = (a ) ( n Sn = a + b = + + − ) ) ) n n − b ) = un ( a + b ) n Khi ta dãy ( Sn ) xác định sau: S1 = 2, S2 = 6, Sn+ = 2Sn+1 − Sn , n = 1, 2, Do S1 ≡ ( mod ) , S2 ≡ ( mod ) nên quy nạp ta được: Sn ≡ ( mod ) hay a + b ≡ ( mod ) ⇒ a + b = 2t , ( t , ) = Do u2 n = 2un t , ( t , ) = Giả sử n = t , ( t , ) = ⇒ un = u2k t = ut Ak , ut , Ak lẻ k k k k u n n Từ đẳng thức ta  x1 =   xn+1 = xn + , ∀n ≥  xn Bài 12 Cho dãy số thực { xn } xác định sau:  Chứng minh rằng: [ 25x625 ] = 625 ( kí hiệu [ x ] phần nguyên số thực x ) Hướng dẫn giải 1 n ≤ n xn < n + H n , ∀ n ≥ Hn = 1+ + L + Ta chứng minh rằng: , với n xn2+1 = xn2 + +1 2 xn2 , x1 = quy nạp xn ≥ n Với n = giả sử đến n Tức xn ≥ n Từ suy xn2+1 ≥ n + + > n + ⇒ nxn ≥ n xn2 Trang 39 xn2 = xn2−1 + n −1 1 n −1 + = L = x + n − + ≤ n + ( ) ∑ ∑ xn2−1 k =1 k k =1 xk 1   < n + Hn <  n + H n ÷ ⇒ nxn ≤ n + H n  n  Việc ta chứng minh H 625 < Ta có BĐT H n ≤ + ln n thật vậy, Xét hàm số f ′( x) = − f ( x ) = ln ( x + 1) − ln x −  1 = ln  + ÷ − x +1  x  x +1 ∀x > 1 + < , ∀x > x ( x + 1) ( x + 1) hàm số f ( x ) giảm khoảng ( 0;+∞ ) ⇒ f ( x ) > 0, ∀ x > , ta suy < ln ( x + 1) − ln x ( *) x +1 áp dụng 1 1+ + L + < + ln − ln1 + ln − ln + L + ln 625 − ln 624 = + ln 625 < 625 625 ≤ 625 x625 < 625 + H 625 < 626 [ 25 x ] = 625 625 ⇒ Từ đó: MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài Cho cấp số cộng ( un ) với S= n số nguyên dương thoã mãn u2013 = 2013; u2014 = 2014 Tính tổng: 1 + + + u1u2 u 2u3 u2013u2014 Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng ( un ) un = n Khi S= 1 1 1 + + + = + + u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013 + 2014 1 1 1 1006 503 = − + − + + − = = 3 2013 2014 2014 1007 Bài Cho dãy số thực ( xn )  x0 = a ( ∀n ∈ ¥ )  x = x −  n xác định  n +1 Tìm tất giá trị để xn < với số tự nhiên n Trang 40 a Hướng dẫn giải Giả sử xn < với Từ xn + = x n +1 Lại từ Suy Từ − ∀n∈ ¥ − < có − < xn +1 < 2 − 2− < xn2 − < − < xn < ⇒ −1 < xn < − , ∀n ∈ ¥ có 2 xn − > xn + < 1, ∀n ∈ ¥ xn +1 + 1 1 = xn2 − + = xn2 − = xn − xn + > xn + , ∀ n ∈ ¥ 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: n n 1 2 1  2  2 a + = x0 + < x1 + <  ÷ x2 + < <  ÷ xn + <  ÷ , ∀ n ∈ ¥ 2  3 2  3  3 n 1  2 a+ = 0⇒ a = − lim  ÷ = 2 Mà n→+∞   nên phải có Thử lại với Vậy a=− Bài a=− 1 xn = − < 0, ∀ n 2 giá trị cần tìm Cho dãy số phương ( xn )  x0 = 20; x1 = 30  xác định  xn + = xn+1 − xn , ∀ n ∈ ¥ Tìm n để xn +1.xn + số Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi xn ta có ( − 3x ) + x ) ∀n ∈ ¥ , x n2+1 + xn2 − 3xn +1 xn = xn2+1 + xn xn − 3xn +1 = xn2+1 − xn+ xn ( x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = xn +1 x n+1 n n = x n2 − xn +1 xn −1 Suy x n2+1 − xn + xn = xn2 − xn +1 xn −1 = = x12 − x0 x2 = −500 ⇒ x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = −500 ⇔ x n2+1 + x n2 = 3xn +1 xn − 500 ( ⇔ x n+1 − x n ) = xn +1 xn − 500 Vậy xn +1 xn − 500 số phương Trang 41 Giả sử n số thỏa mãn xn +1 xn − 500 số phương Đặt xn +1 xn − 500 = b , xn +1 xn + = a , a, b ∈ ¥ , a > b 2 Ta có a − b = 501 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) = 1.501 = 3.167 2 Khi ta tìm a = 201, b=1 xn +1 xn = 12600 ⇒ n = Với a = 85, b =82 xn +1 xn = 7224 ⇒∃n Vậy n = xn +1.xn + số phương Dãy Bài 1− số  u1 = ( un ) xác định sau: un+1 = un2 − un + 1, ∀ n ∈ ¥ * Chứng minh 22015 1 < − 22016 k =1 u k 2016 < ∑ Hướng dẫn giải Ta có: un + – un = un –2un + = ( un –1) (1) Do u1 = ⇒ u2 – u1 = ⇒ u2 > u1 Từ phép quy nạp ta suy ( un ) dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương lớn với n = 1, 2, Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un +1 –1 = un2 –un = un ( un –1) (2) 1 1 1 = − ⇒ = − , u n u n − u n +1 − Từ dẫn đến: un +1 − un (un − 1) un − un = (3) Bây từ (3), ta có: n  1 ÷ = − = 1− (4) ∑ ∑  ÷ u u − u − u − k =1 k k =1  k k +1 k +1  n Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1− 22 n−1 (ở < 1− u n +1 − < 1− 22 n n −1 ⇔ 22 < un +1 − < 22 n (5) n = 2016 ) Ta chứng minh (5) với n Khi với n = 2016 Do un nguyên dương với n , (5) tương đương Trang 42 n−1 n 22 + ≤ un +1 − < 22 (6) Xét n = k + Theo (2), ta có: uk + –1 = uk +1 ( uk +1 –1) Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: k k k k uk + − < 22 (22 − 1) < 22 22 = 22 k −1 k +1 k −1 k −1 k −1 k uk + − ≥ (22 + 1).(22 + − 1) > 22 22 = 22 Như với n = k + , ta thu được: k 2 < uk + − < 22 k +1 k +1 k ⇒ 2 + ≤ uk + − < 2 (8) Từ (8) suy (6) với n = 2,3, Vì (5) Bài n = 2016 Ta có điều phải chứng minh! ∞ Cho dãy (an ) n =1 : a1 = 1; an +1 = an2 − 5an + 10 ∀n ≥ − an a) Chứng minh dãy ( an ) hội tụ tính lim an a1 + a2 + + an − < ∀n ≥ b) Chứng minh n Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: ≤ an ≤ ∀n x − x + 10 10 5− A= f ( x) = = − x( x ≠ 5) Đặt xét hàm 5− x 5− x f '( x ) = Suy  3 1  − < 0∀x ∈ 1;  ;1   , f ( x) nghịch biến đoạn   ( − x) 10  a1 < a3 < a5 < < a2 k −1 < < A  ∃ lim a2 k −1 = b ≤ A ⇒   ∃ lim a2 k = c ≥ A Dẫn đến  a2 > a4 > a6 > > a2 k > > A  c − 5c + 10 b =  5− 5− c ⇔ b = c =  2 c = b − 5b + 10 5−b Kết hợp công thức xác định dãy ta được:  Trang 43 Vậy lim an = 5−  5−  ∀t ∈ 1; ÷ ÷   t + f (t ) < − b) Nhận xét: Dẫn đến a2 k −1 + a2 k < − ∀k ≥ ⇒ a1 + a2 + + a2 k −1 + a2 k < 2k 5− (1) Như bất đẳng thức với Trường hợp n = 2k + , ý n = 2k a2 k +1 < 5− , kết hợp với (1) thu được: a1 + a2 + + a2 k −1 + a2 k + a2 k +1 < (2k + 1) 5− Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy số ( un ) u1 = −1  u2 = −2  * sau nun + − ( 3n + 1) un +1 + ( n + 1) un = 3, ∀n ∈ ¥ a) Chứng minh un = − 3n, ∀ n ∈ ¥ n * n −1 b) Đặt S n = ∑ uk k =1 Chứng minh n số nguyên tố n > S n chia hết cho n Hướng dẫn giải a) Với n = , u1 = − 3.1 = − n = , u1 = − 3.2 = − Giả sử uk = − 3k ; uk +1 = k Chứng minh uk + = k+2 k +1 − ( k + 1) − 3( k + 2) , ∀ k ∈ ¥ * Ta có kuk + − ( 3k + 1) uk +1 + ( k + 1) uk = ⇔ kuk + − ( 3k + 1) ( k +1 − ( k + 1) ) + ( k + 1) ( 2k − 3k ) = Trang 44 ⇔ uk + = k + − ( k + ) Vậy uk + = k + − ( k + ) , ∀ k ∈ ¥ * n −1 b) Đặt S n = ∑ uk k =1 Chứng minh n số nguyên tố n > Sn chia hết cho n n −1 Ta có: S n = ∑ uk = + 22 + + 2n −1 − ( + + + ( n − 1) ) k =1 − 2n −1 (n − 1)n (n − 1)n S n = − = ( 2n −1 − 1) − 1− 2 Với Do n n số nguyên tố ⇒ n−1 số nguyên tố lớn − chia hết cho n ⇒ (n − 1)n chia hết cho n Vậy S n Mn Bài u1 =  ( un ) u2 = 18  * un + = 5un +1 − 6un − 24, ∀ n ∈ ¥ Chứng minh Cho dãy số n > un chia hết cho 6n Hướng dẫn giải * Đặt = un + 12 hay un = − 12, ∀ n ∈ ¥ Khi + = 5vn +1 − 6vn v1 = 12 ( ) v2 = 30 v = 5v − 6v  n+2 n +1 n Ta Phương trình đặc trưng λ − 5λ + = có nghiệm λ = 2∨ λ = Khi = a.2 + b.3 n  v1 = 12 ⇔  v = 30  Ta có n  2a + 3b = 12  a = ⇔   4a + 9b = 30  b = Suy = 3.2 + 2.3 n n Trang 45 n số nguyên tố Khi un = − 12 = 3.2 + 2.3 − 12 n Ta có n un = ( 2n −1 + 3n−1 − ) nên un chia hết cho Mặt khác n số nguyên tố nên theo định lý Fermat n  ≡ 2(mod n)  n 3 ≡ 3(mod n) hay n 3.2 ≡ 6(mod n)  n  2.3 ≡ 6(mod n) Từ un = (3.2 + 2.3 − 12) ≡ 0(mod n) n n Suy un chia hết cho Với n số nguyên tố Suy un chia hết cho Bài n n > ⇒ (n,6) = 6n Cho dãy số ( xn ) a) Chứng minh xn > n −1  x1 =  x = xn ( xn + ) ( xn + xn + ) + 16 với  n +1 , với ( n∈ N ) * n≥ n b) Đặt lim y k =1 xk + Tìm n → +∞ n yn = ∑ Hướng dẫn giải a) Chứng minh xn > n −1 , với n≥ x2 = 10 > = 52−1 Giả sử ta có xn > n −1 ( n ≥ 2) xn +1 = xn ( xn + ) ( xn + xn + ) + 16 = (x n + xn ) ( xn + xn + ) + 16 = xn + xn + > xn > 5.5n −1 = 5n Suy xn +1 > n Vậy theo qui nạp xn > n −1 với ∀n ≥ n b) Đặt lim y k =1 xk + Tìm n → +∞ n yn = ∑ Ta có: Trang 46 xn +1 = xn + xn + ⇔ xn +1 + = xn2 + xn + = ( xn + ) ( xn + 3) ⇒ 1 1 = = − xn +1 + ( xn + ) ( xn + 3) xn + xn + ⇒ 1 = − xn + xn + xn+1 + n  1  1 1 = ∑ − − = − ÷= xk +1 +  x1 + xn +1 + xn +1 + k =1 xk + k =1  xk + n yn = ∑ 1  1 lim yn = lim  − = ⇒ lim =0 ÷ n n → +∞ n → +∞ n → +∞ x x + x > n +1   (vì n +1 ) n +1 Vậy lim yn = n → +∞  u1 =  Cho dãy số (un ) xác định sau:  un = 3un −1 + 2n − 9n + 9n − 3, ∀ n ≥ Chứng minh Bài p −1 với số nguyên tố p 2014∑ ui i =1 chia hết cho p Hướng dẫn giải Với 3 n ≥ ta có: un + n = ( un −1 + (n − 1) ) Từ có: un + n3 = ( un −1 + (n − 1)3 ) = 32 ( un − + ( n − 2)3 ) = = 3n −1 ( u1 + 13 ) = 3n Vậy un = − n , ∀ n ≥ , lại có u1 = = − nên un = − n , ∀ n ≥ n 3 n + Nếu p = : có đpcm p −1 + Nếu u p số nguyên tố lẻ: ∑ i =1 i = (3 + 32 + + p −1 ) − ( 13 + 23 + + ( p − 1)3 ) 1 1 3  = (3 p − 3) + ∑ i + ( p − 1)  = (3 p − 3) + ∑ i + ( p − i )       2 i =1 2 i =1 p −1 p −1 Theo Định lí Fermat nhỏ, suy − chia hết cho p p Mặt khác i + ( p − i ) chia hết cho p −1 (3 p − 3) + ∑  i + ( p − i )    chia hết cho p Từ p, ∀ i = 1, p − nên: i =1 p −1 p −1   2014∑ ui = 1007 (3 p − 3) + ∑ i + ( p − i )      chia hết cho p i =1 i =1  Vậy toán chứng minh cho trường hợp Trang 47 Cho dãy số phương Bài 10 ( xn )  x0 = 20; x1 = 30  xác định  xn + = xn +1 − xn , ∀ n ∈ ¥ Tìm n để xn +1.xn + số Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi xn ta có ( − 3x ) + x ) ∀n ∈ ¥ , x n2+1 + xn2 − 3xn +1 xn = xn2+1 + xn xn − 3xn +1 = xn2+1 − xn+ xn ( x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = xn +1 x n+1 n n = x n2 − xn +1 xn −1 Suy x n2+1 − xn + xn = xn2 − xn +1 xn −1 = = x12 − x0 x2 = −500 ⇒ x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = −500 ⇔ x n2+1 + x n2 = 3xn +1 xn − 500 ( ⇔ x n+1 − x n ) = xn +1 xn − 500 Vậy xn +1 xn − 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn +1 xn − 500 số phương Đặt xn +1 xn − 500 = b , xn +1 xn + = a , a, b ∈ ¥ , a > b 2 Ta có a − b = 501 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) = 1.501 = 3.167 2 Khi ta tìm a = 201, b = xn +1 xn = 12600 ⇒ n = Với a = 85, b = 82 xn +1 xn = 7224 ⇒ ∃n Vậy n = xn +1.xn + số phương Bài 11 Bài Cho phương trình x − α x − = với α số nguyên dương Gọi β nghiệm dương phương trình Dãy số ( xn ) xác định sau x0 = α , xn +1 = [ β xn ] , n = 0,1, 2,3, Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn chia hết cho α Hướng dẫn giải Đầu tiên ta chứng minh β số vô tỉ Thật vậy, β số hữu tỉ β số nguyên (do hệ số cao x 1) β ước Do β = suy α = , trái giả thiết Do [ β xn −1 ] < β xn −1 < [ β xn−1 ] + ⇔ xn < β xn −1 < xn + Trang 48 ⇒ xn x 1 x < xn −1 < n + ⇒ xn −1 − < n < xn −1 β β β β β x  ⇒  n  = xn −1 − β =α + β β  (1) Lại có β − αβ − = , suy ⇒ β xn = α xn +  x  x  xn ⇒ xn+1 = α xn + n  = α xn +  n  = α xn + xn−1 − β β  β  (do (1)) xn +1 ≡ xn−1 − (mod α ) Từ quy nạp ta có với k ∈ ¥ * , n ≥ 2k + 1, Vậy xn+1 ≡ xn − (2 k +1) − (k + 1) (mod α ) (2) Chọn k + = lα ( l ∈ ¥ * ) , n + = 2lα , từ (2) ta có x2lα ≡ x0 − lα = α − lα ≡ (mod α ) Vậy x2lα chia hết cho α , ∀ l ∈ ¥ * Cho dãy số ( an ) số phương Bài 12  a0 = a1 = 2004 an + 10  a = a − a − 3978, ∀ n ∈ ¥ n +1 n xác định  n + Chứng minh 2014 Hướng dẫn giải Ta có an + Đặt = = an+1 − an − 3978 ⇔ an + + 10 a + 10 an + 10 = n +1 − − 2014 2014 2014 an + 10 2014 Ta dãy số ( ) xác định  v0 = v1 =   + = 7vn+1 − − 2, ∀ n ∈ ¥ Ta phải chứng minh số phương  x0 = 1; x1 =  Thật vậy, xét dãy số ( xn ) xác định  xn + = xn+1 − xn , ∀ n ∈ ¥ Hiển nhiên dãy số ( xn ) dãy số nguyên ∀n ∈ ¥ , xn2+1 + xn2 − xn +1 xn = xn2+1 + xn ( xn − 3xn +1 ) = xn2+1 − xn xn + xn2+1 + xn2 − 3xn +1 xn = xn +1 ( xn+1 − 3xn ) + xn2 = xn2 − xn +1 xn−1 ⇒ xn2+1 − xn xn + = xn2 − xn+1 xn −1 = x12 − x0 x2 = −1 Ta có ⇒ xn2+1 + xn2 − xn+1 xn = −1, ∀n ∈ ¥ (2) Trang 49 Ta chứng minh = xn , ∀ n ∈ ¥ (1) quy nạp Thật vậy, rõ ràng với n = 0, n = , (1) Giả sử (1) đến n = k + 1, k ∈ ¥ , tức = xn , n = 1, 2, , k + ta chứng minh (1) với n = k+2, nghĩa chứng minh vk + = xk + Thật vậy, theo công thức truy hồi dãy số ( an ) , giả thiết quy nạp, tính chất (2) dãy số ( xn ) , công thức truy hồi dãy số ( xn ) , ta có vk + = 7vk +1 − vk − = xk2+1 − xk2 − = xk2+1 − xk2 + 2( xk2+1 + xk2 − 3xk +1xk ) = xk2+1 − xk +1 xk + xk2 = (3xk +1 − xk ) = xk2+ Do số phương Vậy ta có điều phải chứng minh 3 Cho dãy số ( xn ) xác định xn = 2013n + a 8n + 1, ∀ n = 1, 2, a số thực Bài 13 a)) Tìm a cho dãy số có giới hạn hữu hạn b) Tìm a cho dãy số ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) Hướng dẫn giải 3 a) Ta có xn = (2a + 2013) n + ayn , yn = 8n + − n = 8n3 + − (2n)3 (8n + 1) + 2n 8n + + 4n 3 = (8n + 1) + 2n 8n3 + + 4n lim xn Do tồn giới hạn hữu hạn n → +∞ b) Từ lý luận phần a) ta suy ra) a=− →0 Khi n → +∞ 2013 2013  +∞ a > −  2013  lim xn = 0 a = − n →+∞  2013  −∞ a < −  Bởi điều kiện cần để tồn m ∈ N cho xm < xm +1 < xm + < * Ta chứng minh a≥− 2013 điều kiện đủ để có kết luận Trang 50 a≥− 2013 Thật vậy: Với a≥− 2013 xn +1 − xn = 2013( n + 1) + a 8( n + 1)3 + − 2013n − a 8n3 + = 2013 + a( 8(n + 1)3 + − 8n + 1) ≥ 2013 − 2013 ( 8(n + 1)3 + − 8n + 1) = 2013 [2 − ( 8( n + 1)3 + − 8n + 1)] = 2013 (2 + 8n3 + − 8(n + 1)3 + 1) > Vì (2 + 8n3 + 1)3 = + 12 8n3 + + ( ) n3 + + n + > + 12.2n + 6(2n) + 8n3 + = 8(1 + 3n + 3n + n3 ) + = 8(n + 1)3 + Suy x1 < x2 < x3 < Vậy dãy số ( xn ) dãy số tăng kể từ số hạng với tăng từ x1 Trang 51 a≥− 2013 trường hợp ( xn ) dãy số ... Bài 24 Cho dãy số a) Chứng minh dãy số ( un ) dãy số giảm b) Lập công thức tổng quát dãy số ( un ) Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số ( un ) dãy số giảm 19 u1 = ; u2 = ⇒ u1 > u2 Ta có: Giả... n  ÷  n  Bài 11 Cho dãy số xác định  Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn > ∀n ≥ dãy số cho dãy tăng Ta có : x2 = x1 + x12 < x1... dãy số ( rn ) cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát cấp số nhân đó? Hướng dẫn giải + ( rn ) cấp số nhân với công bội + Số hạng tổng quát: 1 r1 = số hạng đầu q= 3.2n −1 rn = Cho dãy số