Bai giang Toan A1 TNKT

Bai giang Toan A1 TNKT tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TS THIỀU ĐÌNH PHONG BÀI GIẢNG TỐN A1 KHỐI NGÀNH TỰ NHIÊN - KỸ THUẬT Tài liệu lưu hành nội Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Đề cương môn học MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 10 1.1 Ma trận 10 1.1.1 Khái niệm ma trận 10 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 10 1.1.3 Các phép toán ma trận 11 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Ma trận bậc thang 15 1.2 Định thức 17 1.2.1 Định nghĩa 17 1.2.2 Khai triển định thức 1.2.3 Định lí Laplace 22 1.2.4 Định thức tích ma trận vng 1.3 Ma trận nghịch đảo 21 22 23 1.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 23 1.3.2 Các tính chất ma trận nghịch đảo 24 1.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 25 1.4 Hạng ma trận 27 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 27 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 27 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 29 29 2.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 29 2.1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát 30 2.1.3 Hệ phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương 30 2.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 31 2.2.1 Định nghĩa 31 2.2.2 Định lý Cramer 31 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính biến đổi sơ cấp 32 2.3.1 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính 32 2.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 32 2.3.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 36 2.4 Hệ phương trình tuyến tính 37 2.4.1 Định nghĩa 37 2.4.2 Hệ nghiệm 37 2.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát KHÔNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU 3.1 Khái niệm không gian vectơ 38 40 40 3.1.1 Định nghĩa 40 3.1.2 Một số ví dụ 41 3.1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian vectơ 42 3.2 Cơ sở số chiều 43 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 43 3.2.2 Hệ sinh 43 3.2.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 44 3.2.4 Cơ sở 46 3.2.5 Số chiều 46 3.2.6 Tọa độ véc tơ sở 47 3.2.7 Đổi sở phép biến đổi tọa độ 47 3.3 Không gian vectơ 48 3.3.1 Khái niệm không gian vectơ 48 3.3.2 Giao tổng không gian vectơ 49 3.3.3 Không gian sinh hệ véc tơ 50 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 51 4.1 Ánh xạ tuyến tính 51 4.1.1 Định nghĩa 51 4.1.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 51 4.1.3 Ví dụ ánh xạ tuyến tính 51 4.1.4 Các tính chất ánh xạ tuyến tính 52 4.1.5 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 4.1.6 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 54 53 4.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 55 4.2.1 Định nghĩa 55 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng 56 4.3.1 Định nghĩa 56 4.3.2 Bài tốn tìm giá trị riêng vectơ riêng 57 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TỒN PHƯƠNG 5.1 Dạng song tuyến tính 59 59 5.1.1 Định nghĩa 59 5.1.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính 60 5.2 Dạng toàn phương 60 5.2.1 Định nghĩa 60 5.2.2 Định nghĩa 61 5.2.3 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ dạng toàn phương 61 5.2.4 Dạng tắc dạng tồn phương 62 5.2.5 Phương pháp Lagrange 62 5.2.6 Dạng toàn phương xác định 65 5.2.7 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 66 Ma trận, Định thức 70 1.1 Ma trận, phép toán ma trận 70 1.2 Định thức 71 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận 72 74 Hệ phương trình tuyến tính 75 2.1 Hệ phương trình Cramer 75 2.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Hệ 75 2.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 77 Không gian vectơ 79 3.1 Không gian vectơ - Cơ sở, tọa độ số chiều 79 3.2 Ma trận chuyển sở, biến đổi tọa độ 3.3 Không gian vectơ 81 83 Ánh xạ tuyến tính 85 4.1 Ánh xạ 85 4.2 Ánh xạ tuyến tính 87 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng 90 Dạng tồn phương 5.1 Dạng song tuyến tính 94 94 5.2 Dạng toàn phương 95 Tài liệu tham khảo 97 ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN: TOÁN A1 Dùng cho: Các ngành khối kỹ thuật Khoa Lý, Hóa, CNTT, ĐTVT, XD Thơng tin giảng viên: PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà, TS Nguyễn Quốc Thơ, TS Thiều Đình Phong, TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp - Địa chỉ: Bộ môn Đại số - Khoa SP Toán học - Trường Đại học Vinh - Điện thoại quan: 038.3855329 - Hướng nghiên cứu chính: Đại số lý thuyết số 2.Tên học phần: Tốn A1 (Đại số tuyến tính) Mã học phần: TN10015 Số tín chỉ: Loại học phần: Bắt buộc, tiên - Môn học tiên quyết: - Môn học kế tiếp: Đại số đại cương, Số học 6.Giờ tín hoạt động học phần: + Nghe giảng lý thuyết: 36 tiết + Bài tập lớp: tiết + Tự học, tự nghiên cứu: 90 tiết Mục tiêu học phần: 7.1 Kiến thức: Sinh viên cần nắm vững vấn đề ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, véctơ riêng giá trị riêng,chéo hóa ma trận, dạng song tuyến tính, dạng tồn phương, phân loại đường mặt 7.2 Kỹ năng: Sinh viên thành thạo kỹ ánh xạ, tính tốn ma trận, tính định thức, giải biện luận hệ phương trình tuyến tính; chứng minh khơng gian véc tơ, tìm sở, số chiều khơng gian véc tơ; tìm toạ độ véctơ, đổi sở, kiểm tra ánh xạ tuyến tính, tìm véctơ riêng giá trị riêng, chéo hóa ma trận; chứng minh ánh xạ ánh xạ song tuyến tính, dạng tồn phương; khơng gian Ơclit, phân loại đường mặt bậc hai biết cách sử dụng phần mềm Mapple tính tốn liên quan đến nội dung môn học 7.3 Thái độ: Qua môn học bồi dưỡng cho sinh viên lực tư khoa học, tư lơgíc, cung cấp cho họ cơng cụ tốn học cao cấp để vận dụng vào việc giải tốn kinh tế, xã hội đặt từ thực tế Sinh viên phải thấy môn học cung cấp cho họ kiến thức toán học cao cấp để tiếp tục học mơn tốn khác hay mơn chun ngành khác Tóm tăt nội dung học phần: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, véctơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, phân loại đường mặt bậc hai Nội dung chi tiết học phần: Chương I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận Các dạng ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.1.3 Các phép biến đổi ma trận Ma trận bậc thang 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa định thức 1.2.2 Tính chất định thức 1.2.3 Khai triển định thức 1.2.4 Định lý Laplace 1.2.5 Định thức tích hai ma trận vng 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Định nghĩa, điều kiện tồn 1.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận Chương II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 3.1.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính 3.1.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 3.1.3 Hệ tương đương phép biến đổi tương đương 2.2 Hệ phương trình Cramer 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Định lý Cramer 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) 2.4 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 2.5 Hệ phương trình tuyến tính 2.5.1 Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường 2.5.2 Hệ nghiệm 2.5.3 Mối liên hệ với hệ khơng Chương III KHƠNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU 3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.1.1 Định nghĩa khơng gian vectơ 3.1.2 Ví dụ 3.1.3 Các tính chất đơn giản 3.2 Cơ sở số chiều 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính, hệ sinh 3.2.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.2.3 Cơ sở, chiều, toạ độ 3.2.4 Đổi sở phép biến đổi toạ độ 3.3 Không gian 3.3.1 Định nghĩa không gian 3.3.2 Giao tổng không gian 3.3.3 Tổng trực tiếp không gian 3.3.4 Không gian sinh hệ vectơ 3.3.5 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Chương IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1 Ánh xạ 4.1.1 Khái niệm ánh xạ: định nghĩa, ảnh tạo ảnh, loại ánh xạ đặc biệt 4.1.2 Ánh xạ hợp thành 4.1.3 Ánh xạ ngược 4.2 Ánh xạ tuyến tính 4.2.1 Định nghĩa, ví dụ tính chất đơn giản 4.2.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 4.2.3 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 4.2.4 Hạng, số khuyết ánh xạ tuyến tính 4.2.5 Ma trận ánh xạ tuyến tính 4.3 Véctơ riêng giá trị riêng 4.4 Bài tốn chéo hóa ma trận Chương V DẠNG TỒN PHƯƠNG 5.1 Dạng song tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa ví dụ 5.1.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ 5.2 Dạng toàn phương 5.2.1 Định nghĩa ví dụ 5.2.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ 5.2.3 Dạng tắc dạng tồn phương, phương pháp Lagrange 5.2.4 Luật qn tính Phân loại dạng tồn phương 5.3 Khơng gian vectơ Euclide 5.3.1 Định nghĩa không gian vectơ Euclide 5.3.2 Chuẩn véctơ 5.3.3 Góc hai vectơ, véc tơ trực giao 5.3.4 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn 5.3.5 Trực giao hóa Gram-Smidt 5.4 Chéo hóa trực giao 5.4.1 Ma trận trực giao 5.4.2 Chéo hóa trực giao, áp dụng đưa dạng tồn phương dạng tắc 5.5 Phân loại đường mặt bậc hai 5.5.1 Một số đường mặt bậc hai 5.5.2 Phân loại đường bậc hai 5.5.3 Phân loại mặt bậc hai PHỤ LỤC Thực hành tính tốn máy tính A Giới thiệu phần mềm Maple B Ứng dụng Maple tính tốn Đại số tuyến tính 10 Học liệu 10.1 Tài liệu [1] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên); Tốn học cao cấp, Tập 1, Đại số Hình học giải tích; NXB Giáo dục, 2003 10.2.Tài liệu tham khảo [2] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Giáo trình Tốn A1 (Đại số tuyến tính), NXB Trường ĐH Vinh, 2013 [3] Nguyễn Văn Giám, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Sum, Ngơ Sỹ Tùng; Tốn cao cấp , Tập 1, Đại số tuyến tính; NXBGD; 1998 [4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng; Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [6] Ngơ Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 11 Hình thức tổ chức dạy học - Số tín phải thực hiện: - Thời gian, địa điểm, thực hình thức dạy học - Nội dung hoạt động dạy học - Yêu cầu công việc sinh viên LỊCH TRÌNH CHUNG Lên lớp Nội dung Chương Chương Chương Chương Chương Tổng Lý thuyết Bài tập 10 7 36 2 2 Hình thức tổ chức dạy học Thực hành Tự học, Thí nghiệm, tự nghiên Thảo luận Tham quan cứu 0 18 0 12 24 0 18 0 18 0 0 90 Tổng 27 18 36 27 27 135 LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY CỤ THỂ Hình thức TCDH Lên lớp Lên lớp Lên lớp Lên lớp Lên lớp Nội dung 1.1 Ma trận 1.2 Định thức 1.2 Định thức (tiếp) 2.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 2.2 Hệ phương trình Cramer 2.3 Giải hệ phương pháp Gauss 2.4 Điều kiện có nghiệm, giải biện luận 2.5 Hệ phương trình tuyến tính Lên lớp Lên lớp Lên lớp 3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.2 Cơ sở, số chiều 3.3 Không gian con, Không gian nghiệm Yêu cầu SV chuẩn bị Thời gian Đọc trước Mục 1.2 Làm tập [1] Ôn tập lý thuyết làm tập nhà trước đến lớp Đọc trước mục 2.1, 2.2, 2.3 Tuần Tuần Tuần Tuần Làm tập [1] Đọc trước mục 2.4, 2.5 [1] [2] Làm tập [1] Tự ôn tập phần từ Chương đến Chương Đọc trước Mục 3.1 [1] [2] Tuần Làm tập [1] Đọc trước Mục 3.2 [1] [2] Làm tập [1] Đọc trước Mục 3.3 [1] [2] Làm tập [1] Tuần Tuần Tuần 8, Kiểm tra kỳ Lên lớp Lên lớp, Thảo luận 4.1 Ánh xạ 4.2 Ánh xạ tuyến tính 5.1 Dạng song tuyến tính 5.2 Dạng tồn phương 5.3 Khơng gian véc tơ Euclide 5.4 Chéo hóa trực giao 5.5 Phân loại đường bậc Ôn tập lý thuyết mục 3.1, 3.2, 3.3 Làm tập nhà trước đến lớp Tuần 10, 11, 12 SV tự đọc Mục 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 [1] [2] trước đến lớp Tuần 13, 14, 15 Thảo luận Phụ lục Ơn tập, tóm tắt nội dung Toán A1 (tiết cuối) Tuần 15 12 Quy định học phần yêu cầu khác giảng viên Dạy chủ yếu theo tài liệu [1], [2] Để nắm nội dung môn học, thiết sinh viên phải đọc trước nội dung phần học giáo trình theo hướng dẫn giáo viên Trên lớp giáo viên trình bày vấn đề khái quát, trọng tâm hướng dẫn sinh viên tự nghiên cứu Ngồi giáo trình quy định, sinh viên phải đọc thêm tài liệu tham khảo khác Sinh viên phải làm hết tất tập giáo trình chính, ngồi phải làm thêm tập tài liệu khác 13 Phương thức kiểm tra, đánh giá môn học - Kiểm tra, đánh giá thường xuyên: Một kiểm tra lớp - Kiểm tra, đánh giá định kỳ: Kết thúc mơn học có thi kết thúc học phần 120 phút 14 Cấp phê duyệt: Trường Đại học Vinh 15 Ngày phê duyệt Bài tập 3.24 Xác định số chiều sở không gian R4 a) Các vectơ có dạng (a, b, c, 0); b) Các vectơ có dạng (a, b, c, d) d = a + b c = a − b; c) Các vectơ có dạng (a, b, c, d) a = b = c = d Bài tập 3.25 Tìm sở số chiều khơng gian R3 sinh vectơ sau b) (2, 4, 1), (3, 6, −2), (−1, 2, − 21 ) a) (1, −1, 2), (2, 1, 3), (−1, 5, 0); Bài tập 3.26 Tìm sở số chiều không gian R4 sinh vectơ sau a) (1, 1, −4, −3), (2, 0, 2, −2), (2, −1, 3, 2); b) (−1, 1, −2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3) c) (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−2, 0, 2, 2), (0, −3, 0, 3); d) (1, 0, 1, −2), (1, 1, 3, −2), (2, 1, 5, −1), (1, −1, 1, 4) Bài tập 3.27 Xác định số chiều sở không gian nghiệm hệ sau:  2x1 + x2 + 3x3 = a) x1 + 2x2 =  x2 + x3 =  3x1 + x2 + 2x3 = c) 4x1 + 5x3 =  x1 − 3x2 + 4x3 = b) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 5x1 − x2 + x3 − x4 =  x1 − 3x2 + x3 = d) 2x1 − 6x2 = x3 =  3x1 − 9x2 + 3x3 = Bài tập 3.28 Trong R− không gian vectơ R3 cho tập hợp A = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 \x1 + x2 + x3 = 0}, B = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R3 \ − x1 + x2 − x3 = 0} C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R3 \3x1 + 2x2 + x3 = 0} Chứng minh A, B, C không gian vectơ R3 Tìm sở số chiều A, B, C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C Tập A ∪ B có phải khơng gian vectơ R3 khơng? Vì sao? Véctơ r ∈ R3 , biểu thị r = a + b, với a ∈ A, b ∈ B có khơng? Vì sao? 84 CHƯƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1 Ánh xạ Bài tập 4.1 Nhắc lại số hữu tỷ a/b, c/d ∈ Q ad = bc a) Quy tắc f : Q −→ Q cho ứng a/b với số ab có ánh xạ khơng? b) Quy tắc f : Q −→ Q cho ứng a/b với 5a/3b có ánh xạ khơng? Bài tập 4.2 Cho f : R −→ R ánh xạ cho f (x) = x2 − 2x + Hãy tìm f (0), f (1), f (−1); f ([0, 1]), f −1 (1), f −1 (4), f −1 ([1, 4]), vẽ đồ thị f Bài tập 4.3 Cho X = {1, 2, 3} Gọi f, g : X −→ X ánh xạ cho f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = Tìm ánh xạ gf f g Bài tập 4.4 Cho ánh xạ f : X −→ Y, g : Y −→ T ánh xạ tích ϕ = g ◦ f : X −→ T Chứng minh nếu: ϕ đơn ánh f đơn ánh ϕ tồn ánh g toàn ánh ϕ song ánh f toàn ánh f g song ánh Bài tập 4.5 Cho ánh xạ f : E −→ F A, B ⊂ E Chứng minh rằng: A ⊆ B ⇒ f (A) ⊆ f (B) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) Nếu f đơn ánh f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) Bài tập 4.6 Cho ánh xạ f : X −→ Y B ⊆ Y Chứng minh f (f −1 (B)) ⊆ B , f tồn ánh f (f −1 (B)) = B Bài tập 4.7 Cho ánh xạ f : R −→ R Hãy xác định Im(f ) biết: a f (x) = x2 − 5x + b f (x) = x5 + c f (x) = x3 − 7x2 + 10x − Bài tập 4.8 Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = 3x + , ∀x ∈ R + x2 a Hãy xét tính đơn ánh, tồn ánh song ánh f b Tìm tạo ảnh tồn phần b1 = −2, b2 = B = [−1, 1] 5x , ∀x ∈ R Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = + x2 a Hãy xét tính đơn ánh, tồn ánh song ánh f b Tìm tạo ảnh tồn phần b1 = −2, b2 = B = [−1, 1] Bài tập 4.9 Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = x2 +2x−3, ∀x ∈ R a Hãy xét tính đơn ánh, toàn ánh song ánh f b Tìm f −1 ([−1, 1]) Cho ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = x2 + 1, ∀x ∈ R a Tìm f −1 ([−1, 3]) b Tìm f ([−2, 5]) c Tìm f −1 ([−2, 5]) Bài tập 4.10 Xét ánh xạ f : N −→ N cho f (k) = n+k n−k k ≥ n k < n n số tự nhiên cho trước Xét tính đơn ánh, toàn ánh song ánh f Bài tập 4.11 Cho ánh xạ f : C −→ C, xác định f (x) = xn − 1, ∀x ∈ C, ∀n ∈ N∗ \ {1} Chứng minh f tồn ánh khơng phải đơn ánh Tìm f −1 (0) Bài tập 4.12 Cho ánh xạ f : C −→ C, xác định f (x) = xn + 1, ∀x ∈ C, ∀n ∈ N∗ \ {1} Chứng minh f tồn ánh khơng phải đơn ánh Tìm f −1 (0) Cho ánh xạ ϕ : C −→ C, xác định ϕ(a + bi) = a − bi, ∀x = a + bi ∈ C a Chứng minh ϕ song ánh b Tìm tạo ảnh phần tử b1 = 1, b2 = i b3 = + 2i 86 Bài tập 4.13 Cho tập hợp V = a b A = −b a \a, b ∈ R số phức Xét ánh xạ f : V −→ C, xác định f Chứng minh f song ánh Tìm tạo ảnh tồn phần phần tử x1 = √ C tập hợp a b −b c = a + bi + i x2 = i qua f Tìm tất X ∈ V, cho X n = I2 , ∀n ∈ N I2 ma trận đơn vị cấp Bài tập 4.14 Chứng minh ánh xạ f song ánh tìm ánh xạ ngược f trường hợp sau: Ánh xạ f : [4, 9] −→ [21, 96] xác định f (x) = x2 + 2x − 3, ∀x ∈ R Ánh xạ f : (−∞, 0] −→ [5, +∞), xác định f (x) = x2 +5, ∀x ∈ (−∞, 0] Ánh xạ f : R −→ R+ , xác định f (x) = 10x , ∀x ∈ R ex − e−x Ánh xạ f : R −→ R, xác định f (x) = ex − e−x Ánh xạ f : [0, +∞) −→ [1, +∞), xác định f (x) = Ánh xạ f : (−∞, 0] −→ [4, +∞), xác định f (x) = x2 + 4.2 Ánh xạ tuyến tính Bài tập 4.15 Ánh xạ f : R2 −→ R2 sau có tuyến tính khơng? a) f (x, y) = (2x, y); b) f (x, y) = (y, x + 1); c) f (x, y) = (x2 , y); d) f (x, y) = (0, y) Bài tập 4.16 Ánh xạ f : R3 −→ R2 sau có tuyến tính khơng? a) f (x, y, z) = (x, x + y + z); b) f (x, y, z) = (1, 1); c) f (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z) Bài tập 4.17 Kí hiệu M2 khơng gian ma trận vuông cấp với hệ số thực Ánh xạ f : M2 −→ R sau có tuyến tính khơng? a b a b a b a b a) f c d = 2a + d; b) f c d = det c d ; c) f c d = a2 + b2 Bài tập 4.18 Kí hiệu P2 khơng gian véc tơ đa thức có bậc khơng q với hệ số thực (ta quy ước ∈ P2 ) Ánh xạ f : P2 −→ P2 sau có tuyến tính khơng? a) f (ax2 + bx + c) = (3a + b)x2 + (a + c)x + b; c) f (ax2 + bx + c) = (a + 1)x2 + bx 87 b) f (ax2 + bx + c) = 0; Bài tập 4.19 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính x1 , , xn ∈ V phụ thuộc tuyến tính Chứng minh f (x1 ), , f (xn ) phụ thuộc tuyến tính Bài tập 4.20 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính x1 , , xn ∈ V độc lập tuyến tính Chứng minh f đơn cấu f (x1 ), , f (xn ) độc lập tuyến tính Bài tập 4.21 Cho f : V −→ W ánh xạ tuyến tính dim V = dim W = n Chứng minh f đơn cấu f toàn cấu, f đẳng cấu Bài tập 4.22 Cho sở {v1 , v2 , v3 } R3 , v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3), v3 = (1, 0, 10) Cho biết f : R3 −→ R2 xác định f (v1 ) = (1, 0), f (v2 ) = (1, 0) f (v3 ) = (0, 1) Tính f (1, 1, 1) Tìm biểu diễn f (x, y, z) (theo x, y, z ) Bài tập 4.23 Tính dim Ker(f ), a) f : R5 −→ R7 có hạng 3; b) f : R6 −→ R3 có Im(f ) = R3 ; c) f : M2 −→M2 có hạng Bài tập 4.24 Cho A ma trận cấp × có hạng a) Tìm số chiều khơng gian nghiệm Ax = b) Phương trình Ax = b có nghiệm với b ∈ R5 khơng? Vì Bài tập 4.25 Cho f ánh xạ tuyến tính có ma trận sở tắc A cho duới Tìm chiều sở Im(f ) Ker(f )  −1 −1  −2 a) A = −4 ; b) A = −2 ; c) A = −1 0 −1  −1 −1 Bài tập 4.26 Cho f : R2 −→ R3 cho f (x, y) = (x + y, x, y) Tìm ma trận f sở B = {(1, 1), (2, 0)} R2 sở B = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 1)} R3 Bài tập 4.27 Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính sau sở tắc a) f : R2 −→ R2 cho f (x, y) = (2x − y, x + y) b) f : R3 −→ R3 cho f (x, y, z) = (x + 2y + z, x + 5y, z) 88 Bài tập 4.28 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sau sở tắc a) f : R2 −→ R4 cho f (x, y) = (y, −x, x + 3y, x − y) b) f : R4 −→ R5 cho f (x, y, z, t) = (t, x, z, y, y − z) Bài tập 4.29 Cho f : R3 −→ R3 xác định f (x, y, z) = (x−y, y −x, x−z) Tìm ma trận f sở B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} Hãy tính f (2, 0, 0) theo cách: tính trực tiếp dùng ma trận f −2 ma trận ánh xạ tuyến tính f : R −→ R2 sở B = {(1, 3), (−1, 4)} Bài tập 4.30 Cho A = a) Tìm tọa độ véc tơ f (1, 3) f (−1, 4) sở tắc sở B R2 b) Hãy tìm toạ độ véc tơ (1, 1) sở B tính f (1, 1) Bài tập 4.31 Tìm ma trận A f sở B từ suy ma trận A f sở B trường hợp sau a) f : R2 −→ R2 xác định f (x, y) = (x − 2y, −y); B = {(1, 0), (0, 1)}, B = {(2, 1), (−3, 4)} b) f : R3 −→ R3 cho f (x, y, z) = (x + 2y − z, −y, x + 7z); B sở tắc R3 B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} Bài tập 4.32 Cho ánh xạ f : R3 → R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + x3 , 2x1 + 4x2 + 2x3 , 3x1 + x3 ) Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính khơng gian vectơ R3 Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở tắc R3 Tìm Ker f (tìm chiều, sở, mơ tả phần tử) Tìm Im f (tìm chiều, sở, mơ tả phần tử) f có phải đẳng cấu tuyến tính khơng? Bài tập 4.33 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 +5x2 +6x3 , x1 +2x2 +2x3 , 3x1 +8x2 +6x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Phép biến đổi tuyến tính f có phải đẳng cấu khơng? Vì sao? 89 Bài tập 4.34 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +2x2 +x3 , 2x1 +4x2 +2x3 , 3x1 +x3 ), Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Phép biến đổi tuyến tính f có phải đẳng cấu khơng? Vì sao? Bài tập 4.35 Cho ánh xạ f : R2 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 , x1 − 2x2 + a), ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Tìm a để f ánh xạ tuyến tính Trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính: a Tìm ma trận f sở tắc R2 R3 b Tìm Kerf Imf 4.3 Giá trị riêng vectơ riêng Bài tập 4.36 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau a) −1 ; b) 10 −9 −2 ; c) Bài tập 4.37 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận sau −1 −3 ; a) −1 −2 b) −4 ; −2 c) −5 −7 −9 Bài tập 4.38 Cho A = (aij ) ma trận chéo cấp n Hãy tìm đa thức đặc trưng A Tìm giá trị riêng A Bài tập 4.39 Chứng minh λ = giá trị riêng ma trận A A ma trận suy biến Bài tập 4.40 Cho A ma trận cấp Chứng minh A At có giá trị riêng Bài tập 4.41 Cho A ma trận khả nghịch Chứng minh λ giá trị riêng A λ = giá trị riêng A−1 λ 90 Bài tập 4.42 Cho A B hai ma trận vuông cỡ Chứng minh AB BA có giá trị riêng Bài tập 4.43 Cho f : M2 (R) −→ M2 (R) phép biến đổi tuyến tính cho f a b 3a − 2b −2a + 3b = 5c c d a) Tìm giá trị riêng f b) Tìm sở không gian riêng f Bài tập 4.44 Tìm giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính cho đây; a f ; R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 − x2 + 2x3 , 5x1 − 3x2 + 3x3 , −x1 − 2x3 ) b f ; R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , −4x1 + 4x2 , −2x1 + x2 + 2x3 ) Bài tập 4.45 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +2x2 −3x3 , −x1 −3x2 +4x3 , 2x1 +x2 −x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm Ker(f ) Im(f ) Từ suy f có đẳng cấu khơng? Vì sao? Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.46 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +a, −2x1 +3x2 −x3 , 3x1 −2x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm a để f tự đẳng cấu tuyến tính R3 Cho (e) = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 1, 1)} sở R3 Với a = 0, tìm ma trận f sở (e) Với a = 0, tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.47 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , −4x1 + 4x2 , −2x1 + x2 + 2x3 ), Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Tìm Imf Kerf Xét tính đơn cấu tồn cấu f Bài tập 4.48 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 , 5x1 + 3x2 − 2x3 ), 91 ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.49 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 −x2 +2x3 , 5x1 −3x2 +3x3 , −x1 −2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 a Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 b Tìm ma trận f sở tắc R3 c Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Cho f : V −→ V phép biến đổi tuyến tính K− không gian vectơ V Giả sử x vectơ riêng f ∀α ∈ K, α = Chứng minh αx vectơ riêng f Bài tập 4.50 Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 , xác định ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + 5x3 , 2x2 + 4x3 , x1 + x3 ), Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính R3 Tìm ma trận f sở tắc R3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng f Bài tập 4.51 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 sở tự nhiên R3 f có ma trận A = −1 Viết biểu thức toạ độ ánh xạ tuyến tính f −→ −1 −3 R3 , biết −2 Tìm Kerf Từ suy f đẳng cấu tuyến tính khơng? Vì sao? Tìm giá trị riêng vectơ riêng củaf 2x1 − x2 + 2x3 = Giải biện luận hệ phương trình 5x1 − 3x2 + ax3 = a  −x1 − 2x3 = theo a Bài tập 4.52 Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 −→ R3 , biết −1 −5 −2 sở tắc R f có ma trận A = −1 −1 Hãy viết biểu thức tọa độ phép biến đổi tuyến tính f Tìm Imf Kerf Từ có suy f đẳng cấu khơng? Vì sao? Tìm vectơ riêng giá trị riêng ánh xạ tuyến tính f Tìm sở (u) R3 , cho ma trận f sở (u) có dạng đường chéo Viết dạng đường chéo 92 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số a  8x1 − x2 − 5x3 = −2x1 + 3x2 + x3 =  4x1 − x2 − ax3 = a Bài tập 4.53 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 +x2 +x3 , 3x1 +2x2 +x3 , x1 +x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chứng minh hệ vectơ (e) = {e1 = (2, 3, 4), e2 = (3, 5, 7), e3 = (4, 4, 6)} sở R3 tìm toạ độ vectơ u = (2, −3, −4) sở (e) Tìm ma trận f sở (e) Tìm giá trị riêng vectơ riêng f 93 CHƯƠNG DẠNG TỒN PHƯƠNG 5.1 Dạng song tuyến tính Bài tập 5.1 Cho ma trận A = [aij ]n×n với aij ∈ R, ∀i, j = 1, n Chứng minh ánh xạ ϕ : Rn × Rn −→ R xác định n ϕ((x1 , , xn ), (y1 , , yn )) = aij xi yj i,j=1 dạng song tuyến tính Rn ϕ có ma trận A sở tắc Rn Bài tập 5.2 Ánh xạ f : K → K cho f (x1 , x2 ) = x1 − x2 có dạng song tuyến tính K khơng? Bài tập 5.3 Cho f dạng song tuyến tính K cho f (x, y) = 2x1 y1 − 3x1 y2 + 7x2 y1 − x1 y3 + 9x3 y1 − x2 y2 + 4x2 y3 − x3 y2 + x3 y3 Viết ma trận biểu diễn f ma trận biểu diễn dạng cực dạng toàn phương sinh f theo sở tự nhiên Bài tập 5.4 Cho f dạng song tuyến tính K cho f (x1 , x2 ; y1 , y2 ) = x1 y1 − x1 y2 + x2 y2 Viết ma trận biểu diễn f theo sở v1 = (2, 1), v2 = (1, 2) Bài tập 5.5 Trong không gian R3 cho dạng song tuyến tính ϕ có ma trận sở tắc −1 −1 −1 a) Viết biểu thức tọa độ ϕ sở = (3, −2, 1) b) Tìm hạng ϕ 94 = (1, −1, 2), = (0, 1, −1), Bài tập 5.6 Chứng minh f : V × V −→ R dạng song tuyến tính có hạng không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V tồn ánh xạ tuyến tính g, h : V −→ R cho f (x, y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ V Bài tập 5.7 Cho f : V × V −→ R dạng tuyến tính khơng gian véc tơ thực V có số chiều Ma trận f sở chọn V −1 −2 h : V −→ V ánh xạ tuyến tính có ma trận sở E −1 1 −3 −4 −2 −3 Chứng minh ánh xạ g : V ×V −→ R xác định g(x, y) = f (x, h(y)), ∀x, y ∈ V dạng song tuyến tính Tìm ma trận g sở E Bài tập 5.8 Kí hiệu L2 (U, V ) dạng song tuyến tính U × V Chứng tỏ tập hợp trở thành không gian véc tơ với phép toán sau: (f + g)(x, y) := f (x, y) + g(x, y), (αf )(x, y) := αf (x, y), với f, g ∈ L2 (U, V ) x ∈ U, y ∈ V Bài tập 5.9 Cho f ánh xạ song tuyến tính khơng suy biến không gian véc tơ hữu hạn chiều V Chứng minh a) Nếu p : V −→ R ánh xạ tuyến tính tồn phần tử vp thuộc V cho p(x) = f (x, vp ), ∀x ∈ V b) Ánh xạ ϕ : HomK (V, R) −→ V xác định ϕ(p) = vp , ∀p ∈ HomK (V, R) đẳng cấu tuyến tính Bài tập 5.10 Cho A ma trận dạng song tuyến tính f khơng suy biến không gian véc tơ thực n chiều V với n lẻ Chứng minh −A ma trận f sở V 5.2 Dạng toàn phương Bài tập 5.11 Trong không gian véc tơ R3 trường số thực cho dạng toàn phương với biểu thức tọa độ có sở tắc a) ω(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1 x2 − 4x1 x3 b) ω(x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 95 1) Viết dạng song tuyến tính chúng 2) Bằng phương pháp Lagrange đưa dạng cho dạng tắc 3) Tìm hạng dạng tồn phương Bài tập 5.12 Xác định giá trị λ để dạng toàn phương sau xác định dương a) 5x21 + x22 + λx23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 b) 2x21 + x22 + 3x23 + 2λx1 x2 + 2x1 x3 c) x21 + x22 + 5x23 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 Bài tập 5.13 Tìm dạng tắc dạng toàn phương sau Q: a) x21 + x22 + 2x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 b) x21 − x22 − x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 3x2 x3 c) x1 x2 + x1 x3 + x2 x4 + x3 x4 Bài tập 5.14 Tìm dạng tắc phép biến đổi tuyến tính biến dạng tồn phương sau dạng tắc (xét Q): a) x21 − 5x22 + 4x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 , b) 4x21 − x22 + x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 + 3x2 x3 c) x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 Bài tập 5.15 Tìm dạng tắc phép biến đổi tuyến tính biến dạng tồn phương sau dạng tắc (xét Q): a) b) n i,j=1 aj xi xj , a1 , , an n i=1 xi + 1≤i