Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 6 Theo định nghĩa ta thấy rằng đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . Ví dụ Các hàm 4 2 , 3 1 y x y x x là các hàm số chẵn, hàm số 3 , sin y x y x là các hàm số lẻ, 3 5 y x không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ 4) Hàm số tuần hoàn Cho hàm số ( ) y f x xác định trên miền D. Hàm ( ) f x được gọi là tuần hoàn nếu có số 0 T sao cho x D x T D và ( ) ( ) f x T f x , số 0 T nhỏ nhất thõa mãn tính chất trên gọi là chu kì của hàm số f. Ví dụ Hàm số sin y x là hàm số tuần với chu kì 2 1.2.3 Hàm số hợp, hàm số ngược 1) Cho hai hàm số f và g, ánh xạ hợp 0 g f của f và g cũng là một hàm số và gọi là hàm số hợp của f và g. 2) Hàm số f là một song ánh thì ánh xạ ngược 1 f được gọi là hàm số ngược của hàm f . Ta có 1 ( ) ( ) x f y y f x Để thuận tiện hàm ngược của hàm ( ) y f x được viết lại 1 ( ) y f x . Đồ thị hai hàm số ( ) y f x và 1 ( ) y f x đối xứng nhau qua đường thẳng y x . Ví dụ Cho ( ) 3 2, ( ) cos y f x x y g x x . Khi đó: 1 ( ) [ ( )] cos( ( )) cos(2 3) 2 ( ) 3 o g f x g f x f x x x y f x 1.2.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm sơ cấp. Các hàm số sơ cấp gồm hàm luỹ thừa, hàm mũ, hàm logarit, các hàm lượng giác, các hàm lượng giác ngược và các hàm hyperbolic. Các hàm lượng giác ngược gồm: 1) Hàm arcsin y x là hàm số ngược của hàm số sin y x sin arcsin , , 1,1 2 2 y x y x y x Do đó hàm y = arcsinx có MXD: D = [–1, 1] y Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 7 MGT: , 2 2 Hàm arcsin y x là hàm tăng và arcsin arcsin , [ 1,1] x x x . Đồ thị của hàm xem hình 1.2 2) Hàm arccos y x là hàm số ngược của hàm số cos y x cos arccos( ) 1 1 0 x y y x x y Do đó hàm y = arccosx có: MXD: D = [–1, 1] MGT: [0, ], là hàm giảm và arccos( ) arccos( ), [ 1,1] x x x , đồ thị của hàm xem hình 1.3 3) Hàm y arctgx y arctgx là hàm số ngược của hàm số y tgx 2 2 x tgy y arctgx x R y MXD: D = R MGT: , 2 2 , là 1 hàm tăng và (- ) - , arctg x arctgx x R Đồ thị xem hình 1.4 4) Hàm cot y arc gx Hàm cot y arc gx là hàm số ngược của hàm số cot y gx cot cot 0 x gy y arc gx x R y MXD: D R MGT: (0, ), là hàm giảm và, cot (- ) - cot , arc g x arc gx x R Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.5 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 8 Đồ thị xem hình 1.5 Hàm số được tạo thành bởi các hàm số sơ cấp cơ bản liên kết với nhau bằng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, phép hợp nối được gọi là hàm số sơ cấp. Ví dụ 6 Hàm 2 2 ( ) arcsin 1 x y f x x là 1 hàm số sơ cấp Hàm 1, 1 ( ) 1, 1 x x y f x x x không phải là hàm số sơ cấp vì nó không liên kết hai hàm 1 1 y x và 2 1 y x bởi các phép tính hàm số. 1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Dãy số và giới hạn dãy số. 1) Một dãy số thực (dãy số) là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên đến tập các số thực : n R n x R . Ký hiệu dãy số là ( ), 1,2 , n x n n x gọi là số hạng tổng quát của dãy hay là số hạng thứ n của dãy Ví dụ 1 ( ) n x với 1 n x n , khi đó: 1 2 3 1 1 1 1, , , 2 3 n x x x x n … 2) Giới hạn của dãy số Dãy (x n ) được gọi có giới hạn là a nếu: 0 0 0, 0 : n n n n x a Khi đó ta cũng nói dãy ( ) n x hội tụ về a, kí hiệu lim n n x a hoặc n x a , n , nếu dãy ( ) n x không hội tụ thì ta nói dãy ( ) n x phân kỳ. Định lí 1.1. Nếu dãy ( ) n x hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất Chứng minh. Giả sử n x a và , n x b a b khi n , chọn 0 2 a b theo định nghĩa về giới hạn của dãy tồn tại 01 02 01 , : 2 n n n N n n x a , 02 2 n n n x b . Đặt 0 01 02 max( , ) n n n , với 0 n n ta có: 2 2 2 n n a b a b x a x b suy ra 2 a b a b . Điều này vô lí. Vậy a b . Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 9 Định lí 1.2. Cho ba dãy ( ), ( ), ( ) n n n x y z có , n n n x y z n N và lim lim n n n n x z a thì lim n n y a Chứng minh. Vì lim lim n n n n x z a nên 0 0 : ( , ) 2 2 n n n N n n x a z a do đó 0 2 2 n n n n n y a x a z a .Vậy lim n n y a 1.3.2 Giới hạn hàm số Ta có các định nghĩa 1) Cho 0 x R , -lân cận của 0 x là khoảng số thực có dạng 0 0 ( , ), 0 x x . 2) Cho hàm số ( ) f x xác định trong một lân cận của 0 x (có thể trừ tại 0 x ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số ( ) f x khi x dần đến 0 x nếu: 0 0, 0, : (0 ( ) ) x D x x f x L Kí hiệu 0 lim ( ) x x f x L hay ( ) f x L khi 0 x x . Giới hạn của hàm số ( ) f x khi x dần đến 0 x còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số như sau: 0 0 lim ( ) ( ) : n n n x x f x x x f x L x L 3) Giới hạn bên trái Cho hàm số ( ) f x xác định trong khoảng 0 ( , ] x (có thể trừ tại 0 x ). Số 1 L được gọi là giới hạn trái của hàm số ( ) f x khi x dần đến 0 x ( 0 ( , ] x x ) nếu: 0 0 1 0, 0, ( , ]: (0 ( ) ) x x x x f x L . Kí hiệu 0 1 lim ( ) x x f x L hay 1 ( ) f x L khi 0 x x . 4) Giới hạn bên phải Cho hàm số ( ) f x xác định trong khoảng 0 [ , ) x (có thể trừ tại 0 x ). Số 2 L được gọi là giới hạn phải của hàm số ( ) f x khi x dần đến 0 x ( 0 [ , ) x x ) nếu: 0 0 2 0, 0, [ , ) : (0 ( ) ) x x x x f x L . Kí hiệu 0 2 lim ( ) x x f x L hay 2 ( ) f x L khi 0 x x . Định lí 1.3 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x f x L Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 10 Ví dụ 2 Chứng minh 1 lim(2 3) 5 x x Ta có 0, ( ) - 5 2 3 - 5 2 - 1 - 1 2 f x x x x Chọn = 2 khi đó 0, 0 : 1 ( ) 5 2 x f x . Vậy 1 lim(2 3) 5 x x Ví dụ 3 Chứng minh 2 2 4 16 lim 16 2 x x x Ta có 2 2 4 16 4( 4) 16 16 4( 2) 16 2 2 4 2 x x x x x x 0,4 2 2 ( 2) 4 x x x Vậy 2 4 16 16 2 0, 0, 2, 2 4 4 x x x x 5) Giới hạn vô tận Cho hàm số ( ) f x xác định trong một lân cận của 0 x trừ tại 0 x . Hàm số ( ) f x có giới hạn là khi x dần đến 0 x nếu với mọi 0 M lớn tùy ý tồn tại 0 0,0 ( ) x x f x M . Kí hiệu 0 lim ( ) x x f x Hàm số ( ) f x có giới hạn là khi x dần đến 0 x nếu với mọi 0 M lớn tùy ý tồn tại 0 0,0 ( ) x x f x M . Kí hiệu 0 lim ( ) x x f x 6) Giới hạn ở vô cực Hàm số ( ) f x được gọi là có giới hạn L khi x dần đến nếu với mọi 0 tùy ý tồn tại 0: ( ) M x M f x L . Kí hiệu lim ( ) x f x L Hàm số ( ) f x được gọi là có giới hạn L khi x dần đến nếu với mọi 0 tùy ý tồn tại 0: ( ) M x M f x L . Kí hiệu lim ( ) x f x L Ví dụ 4 Chứng minh 1 lim 1 1 x x Ta có 1 1 1 1 1 x M x x Khi 1 x x . Chọn 1 1 1 1M x M x Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com . . Vậy 1 lim (2 3) 5 x x Ví dụ 3 Chứng minh 2 2 4 16 lim 16 2 x x x Ta có 2 2 4 16 4( 4) 16 16 4( 2) 16 2 2 4 2 x x x x x x 0,4 2 2 ( 2) 4 x x x . Quốc Tiến 10 Ví dụ 2 Chứng minh 1 lim (2 3) 5 x x Ta có 0, ( ) - 5 2 3 - 5 2 - 1 - 1 2 f x x x x Chọn = 2 khi đó 0, 0 : 1 ( ) 5 2 x f x . khi n , chọn 0 2 a b theo định nghĩa về giới hạn của dãy tồn tại 01 02 01 , : 2 n n n N n n x a , 02 2 n n n x b . Đặt 0 01 02 max( , ) n n n ,